Об аналитических свойствах рядов Дирихле, коэффициенты которых являются конечнозначными, мультипликативными и с ограниченной сумматорной функцией Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 13 Выпуск 2 (2012)

Труды IX Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 80-летпю профессора Мартина Давидовича Г риндлингера

УДК 511.3

О ПОВЕДЕНИИ В КРИТИЧЕСКОЙ ПОЛОСЕ

РЯДОВ

ДИРИХЛЕ С КОНЕЧНОЗНАЧНЫМИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

И С ОГРАНИЧЕННОЙ СУММАТОРНОЙ

ФУНКЦИЕЙ

В. А. Матвеев, О. А. Матвеева (г. Саратов)

Аннотация

В работе рассматриваются вопросы, связанные с расположением нулей, ростом модуля вдоль мнимой оси, поведением при подходе к оси сходимости функций, заданных рядами Дирихле с конечнозначными мультипликативными коэффициентами и с ограниченной сумматорной функ-

ЦИ6Й.

The subject of this work are various questions related to the location of zeros, growth order along the imaginary line and behavior near the axis of convergence of functions defined by Dirichlet series, whose coefficients are finite-valued and multiplicative, and whose summatory function is bounded.

Рассмотрим ряд Дирихле

h(n)

f (s) = Yl П" ’ s = a + Ü’ w

1 n

где h(n) — конечнозначная, мультипликативная функция натурального аргумента, для которой

S(x) = h(n) = 0(1).

n<x

В силу интегрального представления

’ 5(х)

Х«+1

функция (1) аналитически продолжима регулярным образом в полуплоскость а > 0.

1 О порядке роста модуля функции /(в) вдоль мнимой оси

Для модуля функции / (в) имеет место следующее утверждение:

Теорема 1. При \ < а < 1 имеет место оценка вида

\/(а + И)\ = 0(Щ1-а 1п \ф,

где константа, не зависит от Ь.

Доказательство. Применяя формулу суммирования Абеля для функции / (в) в поло се 1 < а < 1, получаем следующее представление:

N

/(в) = £ ^(п)

п=1

n=N +1

1 1

П (п + 1)5

Так как

1 1 г-п+1 &и

п (п + 1)5 =в = \-\ / п и1+3

<М(± _

V гп(7

а \п” (п + 1)'

то в силу (2) получаем неравенство

N 1 |в|

\/(в)| < С1Т — + с(и +1)-” + СМИ +1)-”.

п” а

п=1

Так как (см. [1]) при 2 < а < 1

N

= 0(И1-” 1п N),

п=1

то в силу (3) окончательно получаем:

1

\/(в)\ = 0(\Ь\1-” 1п \Ь\), ^ < а < 1

(2)

(3)

что и завершает доказательство теоремы 1.

о

1

2 О нулях функции /(в) в полуплоскости а > 2

При а > 1 фуикцию /(в) можно представить в виде бесконечного произве-

Д6НИЯ

/ (в) = П(1 - ^ )-1 <4>

р

Отсюда получаем неравенство:

СЮ

\/(в)\ П=1п8 ¿1 и” 1 - а’

/(в) а > 1

Рассуждения, приведённые в работе [2], позволяют в нашем случае показать, что в области

1

а > 1 —

1п9(\Ь\ + 2)

/(в)

Далее, рассмотрим логарифмическую производную функции (4):

/(в) = ^ к(п)Л(п)

/ (в) п8 ■

К ' п=1

где Л(п) — функция Мангольдта. Отсюда

//(в) ^ %)1пр

ж=£-рг-+№■

где /1(в) — функция, регулярная в полу плоскости а >

Таким образом, область, в которой функция /(в) при а > 2 не имеет нулей, совпадает с областью, где функция

, , л ^ Цр)1п р

Мв) = > -------8-----

р8

р

является регулярной.

Рассуждения, приведённые в работе [2], показывают, что из отсутствия нулей функции /(в) в области а > 1 — следует оценка вида

£ %) 1пх = 0(хе-с9^) (5)

р<х

Посредством суммирования по формуле Абеля получаем, что

1п р гГ 1п х £ к(р). (6)

р<х р<х

Тогда из (5) и (6) получается, что

h(p) _ O(x lnxe-cVlnX). (7)

p<x

Из оценки (7) следует, что при любом m

£h(p) = O (шУ

p<x

Приведём условие, при котором функция f (s) не имеет нулей в полуплоскости а > 2. Имеет место

Теорема 2. Пусть верна оценка

^h(p) = O(x1+£), е> 0, x ос. (8)

p<x

Тогда функция f (s) не имеет нулей в полуплоскости а >

Замечание. В случае, когда h(n) — характер Дирихле, можно показать, что условие (8) равносильно тому, что соответствующая L-функция не имеет нулей в полуплоскости а > |.

Доказательству теоремы 2 предшествует доказательство следующего утверждения.

О

Лемма 1. Пусть ряд Дирихле ns ,s _ а + it таков, что соответству-

n=1

О n

їих

ющий степенной ряд 5^= апхп при стремлении х к 1 ведёт себя следующим образом,:

Ж

^апхп = 0((1 - х)2 +£), (9)

п=1

где £ — произвольное положительное число.

Тогда ряд Дирихле аналитически продолжим регулярным образом, в полуплоскость а > 2-

Доказательство. Запишем преобразование Меллина:

апв-пх) х3-1йх, а > 1, (10)

ОО

\ Л 1 I I \ л „ „-nx\ „s-1.

ns r(s)

n

ns I I S 1 Ir, \ *—'

n=1

П О / О \

j£ (5

где Г(з) — гамма-функция.

В силу оценки (9) интеграл, стоящий в правой части равенства (10) абсолютно сходится при любом з, для которого а > 2. Действительно, легко увидеть, что оценка (9) равносильна оценке вида

ГО

^апв-пх = 0(х 1 +£), х ^ 0 + .

п=1

Таким образом, за счёт выражения ряда Дирихле через абсолютно сходящийся интеграл лемма доказана.

Доказательство теоремы 2. Пусть

{

Н(р), п = р, 0, п = р.

Рассмотрим степенной ряд ^ апхп. Применяя приём суммирования Абеля,

п=1

при х < 1 получим для него интегральное представление:

Ж р Ж

ап хп = — 1п х Б (п)хиё,п, Б (и) =

^—1 ” 2

п=1

(и) = > ап.

п<п

В силу оценки (8) отсюда получаем:

£

п=1

апх

о

= О( | 1п х\ j и !+ЄХиІи

)

Запишем последний интеграл в виде

и2 +єХадьи =

»(1-х)-

и 2 +£Хи¿и +

и 2 +£Хийи.

(1-х)-

Применив к каждому интегралу формулу интегрирования по частям, получим оценку

п

п=1

апхп = О ( 11п х\

('

(1 - х)-2+£ +

(1 - х)'

-2 +£ (1 - х) 2 +£

1п Х

+

1п Х

О((1 - х)-2+£), Х ^ 1 - 0,

которая, в силу леммы 1, доказывает продолжимость ряда регулярным

р

образом в полуплоскость а > 1.

Таким образом, теорема 2 полностью доказана.

а

п

30

1

30

со

1

2

2

3 О поведении рядов Дирихле на границе сходимости и оценка сумматорных функций для одного класса мультипликативных коэффициентов

Выясним, в каких случаях функция f (в), определённая рядом Дирихле (1), не может иметь полюсов на оси сходимости а = 0. С этой целью рассмотрим

сумматорные функции вида

St(x) = h(n)nlt

(и)

n<x

и докажем следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть при некотором действительном, Ь для сумматорной функции вида, (11) имеет м,есто оценка

Тогда точка, в = й не может быть полюсом для, функции /(в), заданной рядом, Дирихле (1).

Доказательство. Пусть имеет место оценка (12). Тогда, по определению,

Рассмотрим функцию /\(в) = /(в — й). При а > 1 эта функция задаётся рядом Дирихле вида

Применяя к этому ряду метод суммирования Абеля, получим при а > 0:

где константа С2 те зависит от а и е. Здесь мы воспользовались тем фактом, что sup достигается в такой точке Жь что ln x\ = -.

x>1 x 2

Последняя оценка и доказывает утверждение теоремы 3.

Как следствие теоремы 3 получем следующий результат.

Теорема 4. Пусть для, некоторого действительного t для сум,м,а,торной функции вида, (11) имеет м,есто оценка

St(x) = o(ln x).

(12)

Ve > 0 3x0 = x0(є) : Wx > x0 | St(x)| <elnx.

n=1

Отсюда следует оценка вида:

|/1(s)| x)|x a 1 dx <

St(x) = 0(1),

(13)

где константа в правой части не зависит от х.

Тогда при всех а > 0 имеет м,есто оценка

/ (а + И) = 0(1),

а

Выясним, в каких случаях имеет место оценка (13). С этой целью рассмотрим ряд Дирихле

/,(«) = £ ^ 1, а > 1, (14)

п п3

П=1

где 5(п) = ^ Н(п).

П<Х

а > 0 а = 0

сходимости. Для таких рядов имеет место

Теорема 5. Пусть ряд Дирихле (14) определяет функцию, регулярную на границе прямоугольника {в = а + й Е С | 0 < а < 1, Ь1 < Ь < Ь2}. Тогда для любого Ь Е [Ь1, Ь2] для сум,м,а,торной функции 51;(х) = ^ Н(п)п-гг имеет м,есто

П<Х

оценка

ЗД = 0(1),

где константа, зависит только от Ь1 и Ь2.

Доказательство. Запишем равенство, полученное в результате применения формулы суммирования Абеля:

N -1

^2 Н(п)п-а-и = ^ 5(п)[п-— — (п + 1)-а-и] + 5(М)М-а-и.

n<N п=1

Перейдём в этом равенстве к пределу при а ^ 0. Получим:

N -1

^ к(п)п-и = ^ 5(п)[п-и — (п + 1)-и] + 0(1), (15)

n<N п=1

где константа не зависит от а и Ь.

Воспользуемся оценкой, доказанной в работе [1],:

п-г — (п — 1 — + Ип-{1^^ = 0(^).

п2

Из этой оценки и из равенства (15) следует, что

N-1

£>(п)п"« =£ (п)^ + 0(1), (16)

n<N к=1

где константа не зависит от N и Ь.

Исходя из условий теоремы, оценим сумму

N

^2Б (п)

ЇІ

п=1

п

1+И ‘

Обозначим ап = ^п и запишем ряд Дирихле (14) в виде

/і(5) = ^апП 3, а > 0.

П=1

При каждом в = а + й,а > 0 имеем:

N

г 1(5) - 2_^ апП

п=1

Иш

р^Ж

N+р

£

n=N+1

апп

Дальнейшие рассуждения в какой-то степени повторяют рассуждения, приведённые в [3] на стр. 141-143 при доказательстве теоремы Рисса о сходимости ряда Дирихле ы точках регулярности на оси сходимости.

Рассмотрим прямоугольник —а < а < а, Ь1 < Ь < Ь2, в котором функция вида (14) регулярна.

Рассмотрим ещё функцию

Б (п) 1

п=1

п1+е0 п3

—, где а — 2єо > 0.

Эта функция регулярна в прямоугольнике

Далее, рассмотрим функцию

9я (з) = Я3(з — гІ1)(в — й2)

/1,ео (з) —

п1+е0

Б (п) 1

п=1

п3

(17)

(18)

Покажем, что на сторонах прямоугольника (17) функция дд(в) равномерно по в стремится к нулю при q ^ ж>. а>0

Б(п) 1

п=1

п1+е0 п3 р—ж

ІІШ >

■)—^

п=ч+1

Б (п) 1

п1+е0 п3

Обозначим ап = ^—0, А(п) = ад+1 + ... + ап. Тогда по формуле суммирования Абеля имеем:

р р -1

^2 апп-3 = ^ А(п)(п-3 — (п + 1)- 3) + А(р)р-3.

п=д+1

п=д+1

Так как при достаточно больших ^ тся |А(п)| < е, и так как

1п-3 — (п + 1)-3|

то при q > qo получаем:

рп+1

и

-3-1

¿и

< в(п-а — (п + 1)-ст), а

£

п=д+1

апп

< е—(q + 1)" а

д

/1,ео(в) — > ^пп

п=1

|в| -3

< е—q 3. а

(19)

В силу оценки (19) при а > 0 и q > q0

|в — й^в — iЬ2І|в|

а

На стороне а = а1,Ь1 < Ь < Ь2 отношение ^ ограничено, и, следовательно

^ (в)| < еС,

где С те зависит от ^ и е.

0 < а < а1 , Ь = Ь2

|в — І¿2І а

1.

Аналогично обстоит дело и на нижней стороне.

Таким образом, на всём контуре при а > 0^ > q0

д(в)| < еСъ

где константа С1 те зависит от ^ и е.

а < 0 р

нашем прямоугольнике выполняется неравнство:

Г1,ео (в) / ; апп

п=1

р-1

п

п=1

п= р

<

<м +

Е

п= р

апп

в

3

мр

Так как

д д-1

3

^ апп-3 = ^ А(п)(п-3 — (п + 1)-3) + A(q)q-

п= р п= р

где |А(п)| < е при выбранном р, то

д

У апп-3

в

< 2е.

п= р

Таким образом, для функции дд(в) вида (18) получаем оценку:

|в — й^в —

^д(в)| < |в — ^1Цв — iЬ2ІMqa + 2е-

|а|

Первое слагаемое в правой части неравенства мало, когда q значительно больше р еС2 а < 0

где С2 — некоторая константа, не зависящая ни от ни от е. Следовательно, на сторонах прямоугольника при больших q выполняется

дд(в)| < Сзе,

где С3 те зависит от q.

Это неравенство будет выполнено и внутри прямоугольника, в частности, на интервале а = 0,Ь1 < Ь < Ь2. Но на этом интервале оно имеет вид

\Ъ — Ь1^Ь — ^

<С3е.

п=1

Отсюда видно, что на меньшем отрезке Ь\ < Ь < Ь'2} где Ь\ > Ь1,Ь'2 < Ь2, равномерно имеет место предел:

д^ж

п=1

д

Иш а,пп-и = /1,ео (iЬ),

7—^00 *

ИЛИ

д^ж *—' п

п=1

/1

Ь1 < Ь < Ь2

Иш /1(ео + О) = /1(й),

ео^0

то в силу (20) имеем оценку

£ ^п- = 0(1),

п=1

Ь

теоремы 5.

Пусть к(п) — обобщённый характер в смысле работы [4], то есть, конечнозначная мультипликативная функция, для которой 5(х) = ^ к(п) = 0(1), а

п<х

также к(р) = 0 почти для всех простых р.

Ясно, что условие регулярности функции /1(в) = ^2 ~пп~ пё на оси а = 0 рав-

п=1

носильно условию регулярности функции /(в) = на оси а =1- Поэтому

п=1

а=1

Отметим, что в случае характера Дирихле последнее имеет место, и, как следствие теоремы 5, получается следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть к(п) — характер Дирихле. Тогда для любого Ь, Щ < Т имеет м,есто оценка

к(п)п%г = 0(1),

п<х

Т

Замечание. Способом, отличным от нашего, утверждение теоремы 6 доказано в работе [5].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. М.: Физматлит, 1994

[2] Гельфонд О. А. Об арифметическом эквиваленте аналитичности ¿-ряда Дирихле на прямой И,е в = 1 // Избранные труды. М.: Изд-во Наука, 1973. С. 310-328.

[3] Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

[4] Чудаков Н. Г., Родосский К.А. Об обобщённом характере. ДАН СССР, 1950. Т. 73.

[5] Чудаков Н. Г., Бредихин Б. М. Применение равенства Парсеваля для оценок сумма горных функций характеров числовых полугрупп // УМН. 1956. Т. 8. С. 347-360.

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского.

Получено 17.05.2012