О знакоопределенности и осцилляции решений некоторых классов функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929

О ЗНАКООПРЕДЕЛЕННОСТИ И ОСЦИЛЛЯЦИИ РЕШЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; осциллирующие решения; знакоопределенные решения.

Для линейных автономных функционально-дифференциальных уравнений получены необходимые и достаточные признаки осцилляции и знакоопределенности решений в виде дополняющих друг друга областей в пространстве параметров исходной задачи.

Вопросы осцилляции решений функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) часто рассматривают одновременно с существованием у этих уравнений знакоопределенных решений (для линейных уравнений последнее утверждение означает положительность функции Коши, для автономных уравнений — фундаментального решения). Целью подобных исследований, как правило, является получение эффективных (т. е. выраженных в терминах параметров исходной задачи) признаков осцилляции и знакоопределенности решений. Обе эти задачи можно считать полностью решенными, если пространство параметров разбивается на области знакоопределенности и осцилляции общей, явно указываемой границей. Покажем, как решается эта задача для линейного автономного ФДУ вида

Здесь коэффициенты и запаздывания — вещественные числа, причем Ь ^ 0, к ^ 0, т > 0, Н> 0. При отрицательных значениях аргумента функцию х считаем доопределенной некоторой начальной функцией.

Фундаментальным решением [1, с. 84] назовем решение уравнения (1), равное нулю при отрицательных значениях аргумента и равное единице при £ = 0.

Решение уравнения (1) назовем осциллирующим, если при любом I ^ 0 оно обращается в нуль на полуоси [I, ж) .

Поставим уравнению (1) в соответствие функцию комплексного переменного ( :

Л е м м а 1. Фундаментальное решение уравнения (1) положительно тогда и только тогда, когда уравнение р(() = 0 имеет, вещественные корни.

Л е м м а 2. Решение уравнения (1) является осциллирующим при любой начальной функции тогда и только тогда, когда уравнение р(() = 0 не имеет, вещественных корней.

Таким образом, вопрос об осциллирующих и знакоопределенных решениях сводится к вопросу о вещественных нулях функции р. Проведя исследование функции р на вещественной оси, легко установить, что количество ее вещественных нулей может принимать только три значения: 0, 1 или 2. Случай, когда функция имеет единственный корень, определяет искомую границу в пространстве параметров. Точнее говоря, система уравнений р(С) = 0, р'(() = 0 задает в пространстве {а, Ь, к} (при фиксированных т,Н) поверхность Е, отделяющую «область осцилляции» от «области знакоопределенности».

© В.В. Малыгина

(1)

р(с) = -С + а + ЬвСг + к/((всн - 1).

Для уравнения (1) поверхность F можно задать параметрически:

(ZheZh — eZh + 1)(Z — a) + 1 — eZh

eZh((heZh — eZh + 1) + reZr(1 — eZh) ’ k _ (1 — Zr + аГ)С 2 nZ(= R

Zr(1 — eZh) + (Zh — 1)eZh + 1’ ’ ’

F

подпространстве R x R+ , которое она разбивает на две односвязные непересекающиеся

F

F

поверхности — во всех остальных случаях.

Теперь леммы 1 и 2 можно дополнить эквивалентными «геометрическими» формулировками.

Теорема!.. Следующие утверждения эквивалентны:

(a) уравнение p(Z) _ 0 имеет, вещественные корни;

(b) тючка, M(a, b, k) лежит не выше поверхности F ;

(1)

Теорема2. Следующие утверждения эквивалентны:

(а) уравнение p(Z) _ 0 не имеет, вещественных корней;

M(a b k) F

(1)

Fa с осями b и k пересекается в точках (0 , b0, 0^ и (0 , 0 , ко) , вде b0 _ 1/er , k0 _ so(2 — so)/h2 , a so —положительный корень ypавненпя 1 — e-s _ s/2 . Отсюда можно получить известные признаки осцилляции и знакоопределенности решений для частных случаев уравнения (1) [2, 3].

В заключение отметим, что теоремы 1 и 2 легко обобщаются на случай автономных ФДУ с несколькими запаздываниями (как сосредоточенными, так и распределенными), а также могут быть применены к исследованию аналогичных свойств решений некоторых классов нелинейных уравнений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов П.В., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

3. Сабатулина Т.Н. Признаки положительности функции Коши дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Известия вузов. Математика. 2010. № 11. С. 50-62.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Malygina V.V. On the property of having fixed sign and the oscillation of solutions of some classes of functional differential equations. For solutions of linear functional differential equations we establish the necessary and sufficient conditions of the oscillation and the property of having fixed sign in the form of complementary domains in the space of parameters of the problem. Key words: functional differential equation; oscillating solutions; solutions of fixed sign.

Малыгина Вера Владимировна, Пермский государственный технический университет, Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры вычислительной математики и механики, e-mail: [email protected].