О зависимости Объем-давление для глазного яблока Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

2010_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 4

МЕХАНИКА

УДК 539.3

О ЗАВИСИМОСТИ ОБЪЕМ—ДАВЛЕНИЕ ДЛЯ ГЛАЗНОГО ЯБЛОКА*

С. М. Бауэр1, Е. Б. Воронкова2, А. С. Типясев3

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, s_bauer@mail.ru

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, науч. сотр., frumen@yandex.ru

3. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, albrt@mail.ru

1. Введение. Зависимость внутриглазного объема от внутриглазного давления (ВГД) в офтальмологии связывают с понятием ригидности глаза, которое лежит в основе клинической тонометрии, тонографии и эластометрии [1, 2]. Указанные измерительные процедуры проводятся для оценки ВГД, а также механических параметров глаза «in vivo». Однако, несмотря на широкое использование понятия «ригидности» глаза, оно остается «одной из самых запутанных областей в офтальмологии» [1].

В ряде работ отмечается, что на коэффициент ригидности величина объема глаза оказывает большее влияние, чем модуль упругости склеры [2]. Также обсуждается вопрос о том, какие параметры глаза оказывают существенное влияние на зависимость объем—давление. Это важно, например, чтобы оценить в каждом конкретном случае возможный уровень изменения ВГД после введения инъекций.

Большую часть наружной оболочки глаза (>90%) составляет склера. Для глаз с нормальным зрением склера имеет форму близкую к сферической, поэтому во многих работах, описывающих зависимость объем—давление, рассматривалась деформация сферической оболочки под действием нормального давления [1, 2]. Как правило, использовались простейшие соотношения безмоментной теории оболочек, дающие линейную зависимость p(V) (или V(p)). Как показано в экспериментах [3], в некоторых случаях эта зависимость действительно близка к линейной.

Известно, что при близорукости и дальнозоркости чаще всего глаз имеет форму вытянутого или сплюснутого эллипсоида. В связи с этим в данной работе анализируется,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00140). © С. М. Бауэр, Е. Б. Воронкова, А. С. Типясев, 2010

как может меняться зависимость р(У) (или V(р)) при изменении формы склеральной оболочки.

2. Постановка задачи. Рассматривается деформация безмоментной оболочки вращения, которая в начальном, ненагруженном состоянии имеет форму эллипсоида. Длину горизонтальной полуоси эллипсоида в ненагруженном состоянии обозначим До (рис. 1,а) Отношение длин вертикальной и горизонтальной полуосей эллипсоида — к. Положение элемента срединной поверхности оболочки заданной формы до деформации в силу симметрии может быть определено одной величиной — углом р (рис. 1,а). После деформации т(ф) —расстояние деформируемого элемента от оси симметрии, ф(ф) — угол между нормалью к оболочке и осью х. (рис. 1,б). Точка N на рис. 1,а — пересечение окружности радиуса До с центром в начале координат и прямой, проходящей через соответствующий элемент срединной поверхности и параллельной оси г.

Деформация и кривизна оболочки в направлении r = const обозначаются как £х и рх соответственно; деформация и кривизна оболочки в направлении х = const — как £r и pr. Выразим ех, рх, £r и pr через г(ф) и ф(ф) [4, 5]:

cos (ф)

-1, Рх =—"—> (!)

х До cos(^)

_^__Ф' . ,п

ег =----- 1, рг = -— sm(V>).

Д0 sin(ф)у sin2 (ф) + k2 cos2 (ф)

Уравнения равновесия элемента оболочки в направлении нормали и меридиана X = const имеют вид

Здесь V, E и h — коэффициент Пуассона, модуль Юнга и толщина соответствующего сегмента оболочки, а p — внутреннее давление жидкости.

Подставляя (1) в (2), получаем систему дифференциальных уравнений. В силу симметрии задачу можно решать на интервале [0,п/2], при этом должны выполняться

условия

^(0) = 0, ф(п/2) = п/2, г(п/2) = 0, т'(п/2)= г'(0) = 0.

Решение проводилось численно в пакете Mathematica 6.0. После определения деформации оболочки может быть также определен и ее новый объем.

3. Полученные результаты. На рис. 2 показаны относительное изменение объема изотропных эллипсоидальных оболочек, имеющих первоначально одинаковый объем, но разные отношения вертикального и горизонтального диаметра оболочки к при на-гружении оболочек внутриглазным давлением 45 мм рт. ст. Расчеты проводились при Е = 1.43 МПа, Н = 0.5 мм, V = 0.45, Е0 = 12 мм.

АУ/У 0,04 -

0,03 0,02 0,01

0

0,5

1,0

1,5

2,0 к

Рис. 2. Относительное изменение объема при одинаковом давлении и разных значениях к.

На рис. 3 для тех же оболочек представлен график изменения давления при изменении объема на 0.1 мл (введение инъекции). Видно, что форма оболочки существенно влияет на отношение АР/ АУ. Максимальное значение это отношение принимает для сферической оболочки.

Ар 45 г

40

35

30

25

0,75 0,85 0,95 1,0 1,05 1,15 1,25 к

Рис. 3. Изменение давление при одинаковом объеме и разных значениях к.

Выполнено также конечно-элементное моделирование в программном пакете ANSYS. Используемые модели при давлении меньше 100 мм рт. ст. дают практически совпадающие результаты.

Литература

1. White O. M. Ocular elasticity? // Ophthalmology. 1990. N9. P. 1092-1094.

2. Purslow P., Karwatowsky W. S. Is engineering stiffness a more useful characterization parameter than ocular rigidity // Ophthalmology. 1996. N10. P. 1686-1692.

3. Pallikaris I. G., Kymionis G. D, Ginis H. S, Kountis G. A., Tsilimbaris M. K. Ocular rigidity in living eyes // Invest. Ophthalm. Vis. Sci., 2005. Vol.46. N2. P. 409-414.

4. Бидерман В. Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.

5. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во C.-Петерб. ун-та, 2002. 386 с.

Статья поступила в редакцию 1 сентября 2010 г.