CC BY
22
------------------------------- © В.С. Литвинцев, А.М. Пуляевский,
2007
УДК 622.037:553.068.54:624.042.7
В. С. Литвинцев, А.М. Пуляевский
О ЗАКОНОМЕРНОСТЯХ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИЦ ЦЕННОГО КОМПОНЕНТА ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ СЕЙСМОАКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В ОБВОДНЕННЫХ ТЕХНОГЕННЫХ РОССЫПЯХ
~П этой работе цель состояла в разработке методики прогноза
JJ последствий мелких (сейсмоакустических) колебаний горной породы, содержащей ценные компоненты, на формирование продуктивного пласта россыпи.
В нашей предыдущей публикации [1] была показана принципиальная возможность влияния мелких колебаний аллювиальной горной массы на распределение частиц разной плотности в поле силы тяжести. Однако определенная незавершенность исследования состояла в слишком упрощенном выборе формы (плоской) подложки, на которой первоначально располагается частица ценного компонента. В реальных условиях частицы вмещающей породы имеют более причудливые формы, что, конечно, влияет на процессы высвобождения частиц ценных компонентов для свободного перемещения их вниз под действием силы тяжести и образования продуктивного пласта россыпи (как природной, так и техногенной).
У авторов работы пока нет достаточно полных данных по форме частиц, но можно предположить, что их набор в россыпях достаточно широк. Во всяком случае, содержание искривленных частиц вполне вероятно, и поэтому изучение перемещений в них частиц ценных минералов имеет определенный смысл.
Примем форму подложки циклоидальной, удовлетворяющей уравнению
х = R(в + sin0) , y = R(1 -cos0) (рис. 1).
Длина дуги циклоиды от начала координат будет S = 4Rsin(0/2) .
У
Рс
2тїЯ
Рис. 1. Расчетная схема № 1 для анализа движения частицы по циклоидальной подложке
Примем поперечный размер частицы малым по сравнению с R, тогда ее центр масс будет перемещаться по циклоиде.
Для частицы массой т, движущейся без сопротивления, уравнение движения будет:
mS = -mg smа, (1)
где £ - перемещение частицы, отсчитываемое от начала координат; а - угол между касательной к циклоиде и осью х; g - ускорение свободного падения; точка сверху означает дифференцирование по времени.
Ввиду того, что 8та = £/4R и обозначив (g/4R) = k2, уравнение (1) приведем к виду:
Пусть в начальный момент времени ^ = 0) частица находилась в нижней точке циклоиды с координатами х = х0 = 0, у = у0 = 0 и имела начальную скорость у0 . Тогда, поскольку 5 = 50 = 0, можно получить р = 0, С = v0/k и уравнение (3) - в виде:
5 + k2 5 = 0.
Общее решение этого уравнения
(2)
5 = С sin(Ы + р).
(3)
S = (v0/ k) sin (kt) .
(4)
Скорость частицы изменяется по закону V = v0 cos (kt) .
В крайнем положении частицы ^ = 5'тах = 4R (длине половины одной ветви циклоиды), откуда
Пока ^ < 4R, частица остается в пределах одной циклоидальной подложки и ее миграция в толще россыпи невозможна; при ^ > 4R частица подложку покидает, чем создаются предпосылки для миграции частицы.
В предельном случае, разделяющем миграционное и безми-грационное движения, скорость частицы в крайней точке циклоиды должна быть равна нулю, поэтому из формулы (5) получим
Время прохождения частицей расстояния S из формулы (4) равно
и, значит, крайнего положения частица достигнет через интервал
после начала движения.
В случае обводнённой горной массы на частицу при ее перемещении будет действовать еще сила сопротивления, вязкую составляющую которой можно представить в виде:
(6)
Следовательно, если начальная скорость частицы V) ^ 24ё& , частица остается в подложке, если v0 > 2^[^Я , частица из подложки теряется. Таким образом,
(9)
времени
0
(10)
где с - коэффициент пропорциональности, зависящий от физических свойств жидкости (вязкости и плотности) и площади миделева сечения частицы, а также дополнительное сопротивление от присоединенной массы т .
С учетом этого исходное уравнение движения можно представить в виде:
5 + К5 + LS = 0, (11)
где обозначено К = с / (т + т*), L = [т/(т+т*)] (g/4R). Исследование корней характеристического уравнения
г2 + К + L = 0
показывает, что при (К2 /4) — L > 0, с учетом тех же начальных условий (- = 0, 5 = 0), решение имеет вид:
к4л
ехр
К‘
2
(1 -К) - I |~1 — ехр (—к4л -)
(12)
а скорость выражается так:
V =
24л
ехр
(1 — \/Л) - |^(1 + л/Л)ехр(—К^Л"/)— (1 — \/Л)^, (13)
где обозначено Л = 1 — (4L / К2) .
При (К2 /4) — L < 0, соответственно, получим:
1 =ехр I 2
к 4—Л
—-18,п IК/4—Л
V =
4—Л
ехр
К-2
2
К/
V—ЛС081 К-4—Л I — 8ШI К^Л/—Л
(14)
(15)
Уравнение (14) отражает движение частицы по закону затухающих колебаний. Наибольшая амплитуда
Л* = 2^
Апах К4—Л ’
но затем амплитуда колебаний с течением времени уменьшается в соответствии с выражением
V
0
V
0
Рис. 2. Расчетная схема № 2 для анализа движения частицы по циклоидальной подложке
A = A e(~Kt/2)
max *
Частота затухающих колебаний v* = ^L -(K2/4) = (K/2)лГа ,
а период этих колебаний T* = 2п/V = 4п/(к4~Л), что, как известно, больше периода свободных колебаний T = 2ж/k, k = -Jg74R ; декремент колебаний равен exp^-Kt*j= exp, логарифмический декремент - (-ж / V - A ) , коэффициент затухания n = K/2*
Допустим теперь, что частица ценного компонента находится на поверхности, перевернутой по отношению к показанной на рис*
1 подложке (рис* 2)*
Если, по-прежнему, как и выше, пренебречь влиянием сухого трения между поверхностью подложки и частицей, уравнение движения последней, при сохранении прежних обозначений, будет иметь вид:
S + KS - LS = 0* (16)
Уравнение (16) отличается от уже рассмотренного ранее (11) знаком при последнем члене правой части, и вызвано это тем, что сила тяжести теперь разгоняет частицу, а не тормозит ее, как в пре-
дыдущем случае. Корни характеристического уравнения (16) вещественные, и поэтому решение его, с учетом начальных условий: t = 0, S = 0 (частица находится на вершине циклоиды), V = у0 , получит вид:
exp
- к (1 - B) t
exp
- к I1 + B) t
а скорость выразится так:
V = 2B 'f(1+B)exp -K2(1+B)t-(1-B)exp I"-K(1 -B)t
(17)
(18)
B = 71 + (4L / K2) *
При достаточно большой начальной скорости v0 частица может потерять контакт с подложкой. Для определения положения точки отрыва составим уравнение движения частицы в направлении на внешнюю нормаль п к подложке (рис. 2):
mv
=-mg cosa + N ,
(19)
где г - радиус кривизны циклоиды*
В момент отрыва частицы от подложки реакция ее N становится равной нулю* Тогда уравнение (19) примет вид:
v2/ gr = cos a * (20)
Линейная скорость частицы определяется формулой (18), а радиус кривизны дается выражением:
r =
х' у'
х у
(штрих означает дифференцирование по углу в ). Проведя вычисления, получим: в
г = -4R sш—,
2
а уравнение (20) - в виде:
r
16 (gR )2
1
_Я_
4R
(22)
По уравнению (22) совместно с формулами (17) и (18) можно найти точку отрыва, если она существует, частицы от подложки. После отделения частицы она будет перемещаться в жидкости с начальной скоростью, которой она обладала в момент отрыва.
Далее проведем анализ полученных зависимостей.
В наиболее простом случае движения частицы без сопротивления по схеме 1 получим изохронные колебания с периодом
описывающие свойства циклоидального маятника, установленные Гюйгенсом [2, С. 73]. Период колебаний не зависит от размеров и плотности частицы, а определяется только размерами циклоиды. Если принять радиус окружности R = 1 мм, то начальная критическая скорость, разделяющая безмиграционное и миграционное движения частицы, по формуле (8) оказывается равной Уокр = 19,8
см/с. С другой стороны, чтобы частица при начальной скорости у « 1 см/с имела возможность перемещаться в толще горной массы, радиус окружности циклоиды должен быть порядка 2,5 • 10" мм.
График перемещения частицы по подложке без сопротивления в безразмерных универсальных координатах Sk / у0 - Ы, построенный по уравнению (4), представлен на рис. 3.
Если в этой схеме № 1 (рис. 1) добавляются силы сопротивления, решение уравнения (11) разветвляется в зависимости от соотношения коэффициентов уравнения К и L . Коэффициент К выражается через коэффициент с в линейном законе сопротивления.
Считая частицу шаром диаметром d, по Стоксу [3, С. 502], будем иметь
(23)
с = 3лцс1.
(24)
Поскольку для шара т = ртел<Л3/6 , т* = рпс!3/12 , где рте и р - плотности твердой частицы и жидкости, при условии
Рис. 3. Универсальный фик перемещения частиц по циклоидальным
ложкам без сопротивления
Р/ Ртв << 1 (что вы-няется для тяжелых минералов, взвешенных в воде), получим:
К * 18 ц/ ( ртей2) , (25)
где /и - динамический коэффициент вязкости
воды.
Тогда условие (К2 /4) - Ь = 0 приводит к выражению раздельного диаметра частицы йр
йр = 3л/2 ^и/Ртв #Л? . (26)
Размеру частиц, меньших или равныхйр, т.е. й < йр, соответствуют решение (12) и формула (13), а дляй > йр - соответственно, (14) и (15).
Для воды при t = 40 С можно принять и = 1,57 • 103Па • с , для золота рте = 1,8 • 104 кг/м3, и тогда
йр = 0,7 • 10-3 4[я , (27)
где dр и R - в м.
Примем радиус образующей циклоиду окружности R = 1 мм. Тогда по формуле (27) йр = 0,12 мм. Пусть диаметр золотины
й1 = 0,05 мм < йр = 0,12 мм. Вычисляя, получим:
К1 = 0,63-103 с-1, Ь = 0,25•Ю4с~2,А1 = 0,975, = 0,987 .
График движения такой частицы с начальной скоростью у0 = 1 см/с представлен на рис. 4 в координатах £ = f (t) .
Рис. 4. Графики движения частиц золота диаметром d < dр в циклоидальной подложке: Я - 1
мм; v0 - 1 см/с; dp = 0,12 мм;
d = 0,10 мм;
d = 0,05 мм
->4, с
Вначале частица движется с относительно большой скоростью, ненамного меньшей начальной,
но затем, вследствие торможения за счет сопротивления воды и составляющей силы тяжести, все больше и больше замедляется и полностью останавливается в момент времени t = 0,0081 с после начала движения. Этот момент соответствует условию V = 0 в формуле (5). После этого частица начинает постепенно разгоняться в обратном направлении, к центру циклоиды под действием составляющей силы тяжести, что отражается на графике снижением кривой £ = f (t) . Точка остановки частицы определяет максимальное расстояние £тах, которое она проходит по подложке от начального положения. Понятно, что если £тах окажется меньше половины длины одной ветви циклоиды, которая равна 4Я, т.е. £тах < 4R , частица не сможет покинуть циклоиду и участвовать в дальнейшем в миграционном движении, которое может быть причиной концентрации ценного компонента в аллювиальной горной массе. Для рассматриваемого случая частица покинет подложку при начальной скорости > 2, 62 м/с. Полезно отметить, что в рассматриваемом случае время хода частицы до полной остановки не зависит от начальной скорости у0 , а определяется вязкостью жидкости и , диаметром частицы й и плотностью частицы рте, а также радиусом производящей окружности R.
На этом же рис. 4 показан график движения по той же подложке частицы вдвое большего диаметра, d2 = 0,1 мм. Из сравнения двух кривых следует, что большая частица за те же промежутки времени проходит и большее расстояние, причем максимальное удаление от начального положения почти в 3,5 раза больше, чем у частицы с d1 = 0,05 мм, но достигается через интервал времени, лишь в два раза больший, чем у первой частицы.
Объясняется это, конечно, большим начальным запасом кинетической энергии у частицы большего размера (отношение энергий 8:1). Края подложки эта частица достигнет при v0 = 0,754 м/с,
что в 3,5 раза ниже скорости v0i .
Таким образом, более крупные частицы покидают циклоидальную подложку при более низких начальных скоростях. Из этого следует, что продольные колебательные движения аллювиальной горной массы способствуют концентрации, в первую очередь, крупных частиц компонента, а затем - уже более мелких.
Аналогичным способом на основе полученных зависимостей можно проанализировать другие варианты движения частиц с известными физико-механическими свойствами.
-------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литвинцев В.С., Пуляевский А.М. О разделении частиц в аллювиальных россыпях под воздействием сейсмоакустических колебаний// Г орный информационно-аналитический бюллетень. Региональное приложение: Дальний Восток. 2005. С. 190.
2. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1984. -
423 с.
3. ЛойцянскийЛ.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1970. - 904 с.
— Коротко об авторах -----------------------------------------------
Литвинцев B.C. - доктор технических паук, доцепт, Институт горного дела ДВО РАН,
Пуляевский А.М. - кандидат технических паук, доцепт, Тихоокеанский государственный университет.
