О задаче восстановления входного сигнала для сетей из линейных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Доказательство непосредственно следует из свойств изоморфности автоматов по входным и выходным сигналам.

Теорема 3. Vn, m, ksN выполняется:

V АєК (n, m, k )Q A = TCy (П a ).

Доказательство аналогично теореме 2.

Теорема 4. Vn, m, keN выполняется:

VAgK(n, m, k) OJ = TCy (TCX (^)) =.

= TCX (TCy (Q a )) = n А.

Доказательство теоремы 4 непосредственно следует из теорем 2 и 3.

Следствие. Для восстановления геометрического образа класса автоматов К (n, m, k) в пространстве

P необходимо и достаточно наличия фрагментов образа, образующих при повороте относительно осей симметрии полную четверть пространства р .

3. Количественные характеристики минимального порождающего класса

Теорема 5.

1. Класс К 0(n, m, k) есть класс минимальных, попарно неизоморфных по состояниям, входным и выходным сигналам автоматов.

2.

К Q(n, m k) =—IК (n Щ k ^.

УДК 62-50

О ЗАДАЧЕ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ВХОДНОГО СИГНАЛА ДЛЯ СЕТЕЙ ИЗ ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТОВ

ОГНЕВА М.В.

Рассматривается задача о нахождении минимального времени восстановления сигналов на входах сети из линейных автоматов по наблюдаемым сигналам на выходах сети и известному начальному состоянию. Предлагается алгоритм решения данной задачи для сети из линейных автоматов без потери информации. Показывается, как данный алгоритм может быть применен для сетей из линейных автоматов общего вида.

Особенностью автоматов без потери информации является возможность восстановления неизвестных последовательностей, подаваемых на вход, по наблюдаемой выходной реакции (если известно начальное состояние). Поэтому для них возможно построение сравнительно простых и эффективных схем встроенного контроля, которые основаны на

Доказательство.

1. Справедливость первого утверждения следует из того, что произвольному автомату А еК (n, m, k) соответствует множество изоморфных ему автоматов в соответствии с установленным порядком рх

(pY), тогда при исключении автоматов, изоморфных ему по входным и выходным сигналам, получается искомый минимальный класс.

2. В классе К (n, m, k) содержится только m!k! множеств автоматов, изоморфных по входным и выходным сигналам.

Поэтому К °(n, m, k) = —— ІК(n, m, k)|.

m!k!

Литература: 1. Твердохлебов В.А. Техническое диагностирование в геометрической интерпретации задач, моделей и методов //Материалы международной конференции «Автоматизация проектирования дискретных систем», Минск,1995. Т.1. С.97. 2. Твердохлебов В.А. Дискретные словарные геометрии для анализа и синтеза автоматов. / / Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Вып.2. Саратов. 1998. С. 116-130.

3. Смирнов А.К., Твердохлебов В.А. Управление жизненными циклами сложных систем. Саратов: Изд-во СГУ. 2000. 110с.

Поступила в редколлегию 15.11.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Сперанский Д.В.

Батраева Инна Александровна, старший преподаватель кафедры математической кибернетики и компьютерных наук факультета компьютерных наук и информационных технологий Саратовского госуниверситета. Научные интересы: теория автоматов, анализ, синтез дискретных структур. Адрес: Россия, 410026, Саратов, ул. Астраханская, 83, тел.: 845-2-51-55-40 (раб.), 845-2-64-25-18 (дом.)

сравнении сигналов, поступающих на входы автомата, с восстанавливаемыми по наблюдаемым выходным реакциям. Рассогласование этих сигналов свидетельствует о неправильном функционировании автомата и может быть выявлено при первом появлении, что позволяет не допустить распространения появившейся ошибки.

В случае сети из автоматов с потерей информации восстановление сигналов на ее входах возможно при введении дополнительных контрольных точек. Тогда появляется еще проблема минимизации затрат на дополнительные линии.

Объектом исследования являются сети, компоненты которых — линейные автоматы. Линейным автоматом (ЛА) [1] над полем GF(p), имеющим n задержек, l входных и m выходных сигналов, называется конечный автомат, заданный над полем GF(p) следующими уравнениями состояний и выходов соответственно:

s(t +1) = As(t) + Bu(t), (1)

y(t) = Cs(t) + Du(t) . (2)

РИ, 2001, № 2

90

Здесь u(t) = (u1(t),u2(t),...,ul(t))T - входной вектор; y(t) = (y1(t),y2(t),...,ym(t))T - выходной вектор;

s(t) = (s1(t),s2(t),...,sn(t))T - вектор состояний, t обозначает момент дискретного времени (номер временного такта). При фиксированном t в записи векторов символ t может быть опущен. Матрицы

A = [aij]nxn , B = [bijlnxl , C = [cij]mxn , D = [dij]mxl

являются так называемыми характеристическими матрицами, состоящими из элементов поля GF(p). Величину n называют размерностью ЛА.

Линейным автоматом без потери информации (ЛА БПИ) называется автомат, для которого можно однозначно восстановить неизвестную входную последовательность, если известно начальное состояние и реакция этого автомата на данную входную последовательность. Из [1] известно, что для того чтобы ЛА являлся ЛА БПИ, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы D был равен 1.

Предположим, что задано некоторое конечное множество ЛА A = {AbA2,...,Ak} , именуемое базисом, а каждый элемент этого множества — базисным. Помимо элементов сеть содержит входные полюсы. Из базисных элементов по определенным правилам будут строиться сети. Опишем эти правила, используя индукцию:

— совокупность первичных входных полюсов, соответствующих различным входным переменным сети, есть сеть, и все эти полюсы являются ее вершинами;

— результат присоединения к вершинам сети вхо -дов (не обязательно всех) некоторого базисного элемента есть сеть; вершинами новой сети являются все вершины исходной сети, незадействованные (если такие есть) входы, а также выходы присоединенного элемента;

— результат присоединения к вершинам сети вхо -дов (кроме внешних полюсов) и/или выходов некоторого базисного элемента есть снова сеть, вершинами которой являются все вершины сети, полученной на предыдущем этапе, незадействованные (если таковые имеются) входы, а также все выходы присоединенного элемента. В сети выделяется некоторое подмножество вершин, именуемых внешними выходными полюсами.

Сеть, в которой отсутствуют незадействованные входы используемых в ее составе базисных элементов, назовем корректной. Далее рассматриваются только корректные сети.

Предполагается, что у каждого компонента сети отсутствуют соединения его выходов с его же входами, т.е. отсутствуют петли обратной связи. Это предположение не является ограничительным, поскольку в случае существования у компонента такого вида соединения его можно отнести к его внутренней структуре, а сам компонент рассматривать как черный ящик, содержащий только те входы и выходы, которые связывают его с другими базисными элементами сети или внешними входами (выходами).

РИ, 2001, № 2

Выходной канал yi ЛА назовем избыточным [2], если в любой момент времени t значение сигнала yi (t) на нем есть линейная комбинация сигналов на других выходных каналах этого же ЛА.

Назовем ЛА неизбыточным по выходам, если в нем отсутствуют избыточные выходные каналы.

Далее рассматриваются сети, построенные только из ЛА БПИ, неизбыточных по выходам. Очевидно, что любая сеть из ЛА БПИ такого типа представляет собой ЛА БПИ, но не обязательно неизбыточный по выходам.

Рассмотрим сеть из ЛА БПИ, неизбыточных по выходам, в которой вершинами являются автоматы-компоненты сети и все ее внешние входы и внешние выходы. Каждому каналу (соединению) сети, связывающему две его вершины, поставим в соответствие целое положительное число, называемое весовым коэффициентом. Значение весового коэффициента определяется типом канала. Если канал связывает выход некоторого автомата-компонента со входом другого автомата-компонента или некоторый внешний вход сети со входом автомата-компонента, то соответствующий этому каналу весовой коэффициент положим равным числу тактов времени, необходимому для вычисления сигнала на упомянутом входе путем решения соответствующей системы линейных уравнений вида:

Du(t) = y(t) - Cs(t). (3)

В случае, когда канал связывает выход некоторого автомата-компонента с одним из внешних выходов сети, соответствующий ему весовой коэффициент положим равным нулю. Последнее объясняется тем, что значение сигнала на выходе сети может наблюдаться, т.е. не требует никаких вычислений.

Чтобы восстановить сигнал на одном из внешних выходов, необходимо последовательно восстанавливать сигналы на выходах некоторого подмножества множества автоматов, входящих в сеть. Суммарные временные затраты на восстановление входного вектора назовем временем восстановления входного вектора.

Теперь сформулируем рассматриваемую задачу. Пусть задана сеть из ЛА БПИ, неизбыточных по выходам, и весовые коэффициенты на всех каналах этой сети. Требуется найти минимальное время восстановления входного вектора и множество автоматов, которые будут задействованы в ходе этого восстановления.

Аналогичная задача для сетей из ЛА БПИ была рассмотрена Сперанским Д .В. [3]. В данной работе предложен иной подход к решению задачи и, кроме того, показано, как ее решить для сетей из ЛА общего вида.

Для решения этой задачи построим по исходной сети граф по следующим правилам.

Каждому автомату-компоненту Ai сети A соответствует в порожденном графе вершина ai, каж-

91

дому узлу — вершина u;. Если в исходной сети какой-либо выход автомата Л; (узел) соединен с каким-либо входом автомата Aj (узлом), то в порожденном графе вершина aj (uj) соединяется дугой с вершиной a; (u;). Направление всех дуг порожденного графа совпадает с направлением распространения сигнала по соответствующим каналам исходной сети.

Опишем теперь правило назначения соответствующего весового коэффициента каждой вершине порожденного графа. Как уже упоминалось, для ЛА БПИ восстановление значений сигналов на его входах по наблюдаемой реакции и известному начальному состоянию требует решения соответствующей системы уравнений. Пусть для автомата-компонента A; исходной сети время решения такой системы равно с; единицам времени, если в качестве единицы принять временной такт. Тогда в порожденном графе весовой коэффициент вершины а; полагается равным с; . Весовые коэффициенты остальных вершин полагаются равными 0.

Таким образом, по исходной сети построен порожденный ориентированный граф, каждой вершине которого приписано некое число.

Будем далее называть начальными вершины графа, соответствующие автоматам, входы которых являются входами сети; конечными — вершины, соответствующие автоматам, выходы которых являются выходами сети.

Прежде чем рассматривать алгоритм, дающий решение данной задачи, введем следующие обозначения: V = {v;; ,v;2,...,vik } — множество начальных

вершин; smin - минимальное время восстановления входного вектора; smin[1], smin[2], ..., smin[k] — “вклад” каждой компоненты входного вектора в минимальное время восстановления; P—промежуточное множество вершин; О — множество окрашенных начальных вершин; M - множество окрашенных вершин; f — индикатор.

Перед началом работы алгортма все вершины считаются неокрашенными.

Перейдем теперь к описанию алгоритма.

1. smin:=0, smin[i]:=0 для і от 1 до k; P:=0; f:=false,

j:=1.

2. Берем начальную вершину v,. є V, прибавляем к величине smin[j] ее весовой коэффициент, Р:=РИ{ V,. } и строим обход графа в ширину [4], начиная с этой вершины. Если во время обхода встречается вершина а., соответствующая автомату и еще не окрашенная, то окрашиваем ее; smin[j]:=smin[j]+с;, где с; - весовой коэффициент

вершины а;; Р:=РИ{ а;}; f:=true. Если встречается вершина, соответствующая автомату и уже окрашенная, то величина smin[j] и множество Р остают-

ся без изменения. Если встречается вершина, соответствующая узлу, то возможны две следующие ситуации: 1) из этой вершины есть дуга в какую-нибудь уже окрашенную вершину. Тогда окрашиваем ее, добавляем во множество Р и продолжаем обход; 2) все дуги из этой вершины идут в неокрашенные вершины. Тогда на этом месте обход прерывается; Р:=0, smin[j]:=0.

smin:=smin+smin [j];

М:=М+Р;

если Р=0, то О:=О+ v^ ;

Р:=0;

j:=j+1.

Если j=k (рассмотрены все начальные вершины) и f=false, то переходим к шагу 3. Если j=k и f=true, то j:=1 и переходим к началу шага 2. Если j<k, то j:=j+1 и переходим к началу шага 2.

3. Если все конечные вершины окрашены, то переходим к пункту 7.

4. Обозначим множество неокрашенных узлов через B. Отсортируем это множество таким образом, чтобы для всех его элементов выполнялось

следующее правило: если узел ь стоит впереди

;1

узла К , то никакой путь из узла ь до любой

;р ;1

конечной вершины не включает в себя узел Ь j [4].

;Р

Полученное множество обозначим

В' = (b^vAm) .

5. j:=1.

Для вершины b; будем строить пути по всем дугам,

выходящим из нее и оканчивающимся в какой-нибудь из конечных вершин, и высчитывать веса этих путей следующим образом: если встречается неокрашенная вершина, то ее вес приплюсовывается к результату. Вершиной, следующей за данным узлом, назовем следующую вершину на пути минимального веса.

j:=j+1.

Если j<=k, то повторить 5 шаг, в противном случае перейти к шагу 6.

6. Рассмотрим множество вершин V - O = {x;t ,x;2 ,...,x;n } — множество НеокраШеНных начальных вершин.

j:=1.

Для вершины х. будем строить обход графа в

ширину аналогично тому, как это делалось в пункте 2, за исключением следующего: как только встречается узел, то обход продолжается с вершины, “следующей” за этим узлом.

j:=j+1.

92

РИ, 2001, № 2

Если j<=k, то переход к началу 6 шага, в противном случае перейти к шагу 7.

7. Конец работы алгоритма. Полученное значение smin есть минимальное время восстановления входного вектора и множество окрашенных вершин соответствует множеству автоматов, которые будут задействованы в ходе этого восстановления.

Доказательство корректности алгоритма следует из того факта, что если автомат БПИ не имеет подавтоматов БПИ, то для восстановления какого-либо входного сигнала необходимо решать всю систему уравнений вида (3), для чего нужно знать все выходы автомата, вход которого нужно восстановить. Следовательно, неопределенность встречается только в узлах сети.

Предположим теперь, что в сети есть не только автоматы БПИ, но и автоматы с потерей информации. Тогда:

1. Пусть имеется ЛА A с l входами и m выходами, где l>m. Будем через AJ обозначать линейный подавтомат линейного автомата A , у которого наблюдение выходных сигналов ведется по каналам с номерами из множества J = {ji, • • •j }, а восстановление информации осуществляется по входным каналам с номерами из множества I = {ii,...,i v}. Следуя [2], ЛА A назовем ЛА ОБПИ, если у него существует подавтомат Aj , являющийся ЛА БПИ.

Тогда в графе ему будут соответствовать две вершины: а) вершина, соответствующая подавтомату БПИ; б) вершина, соответствующая остальной части автомата (так как в данном случае нас не интересует внутренняя структура автомата, а только возможность восстановления его входов по его

УДК 620.179.13

О ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ АКТИВНОГО ТЕПЛОВОГО НЕРАЗРУШАЮЩЕГО КОНТРОЛЯ (АТНК) ПРОМЫШЛЕННОЙ ПРОДУКЦИИ

МЕШКОВ С.Н, МЕЛЬНИК С.И.________________

Рассматриваются возможные подходы к созданию универсальной методики оптимизации проектирования средств и процедур АТНК на основе решения прямой задачи, частных методик оптимизации режимов контроля и основных характеристик регистрирующих устройств. Для решения этой задачи предлагается применять аппарат тепловых передаточных функций.

Введение

Тепловой неразрушающий контроль в последнее время все чаще используется как основной метод контроля промышленной продукции. Все большее число объектов и методик входят в арсенал тепловых методов. Это в первую очередь связано с

РИ, 2001, № 2

выходам, то мы можем с этой точки зрения “разделить” автомат на две части). Весовой коэффициент первой вершины будет равен времени восстановления входов подавтомата БПИ по его выходам; весовой коэффициент второй вершины будет равен стоимости дополнительной линии для восстановления значения тех входов автомата, которые нельзя восстановить по его выходам.

2. Если автомат с потерей информации не является автоматом ОБПИ, то в графе ему соответствует, как и в случае с автоматом БПИ, одна вершина, но ее весовой коэффициент складывается из стоимости введения дополнительных линий для восстановления входов и времени их восстановления.

В остальном граф строится так же, как и в для автоматов БПИ, и после его построения можно применять приведенный алгоритм.

Литература: 1. Гилл А. Линейные последовательностные машины. М.: Наука, 1974. 287 с. 2. Сперанский Д.В. Обобщенные линейные автоматы без потери информации // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. N1. С.166-172. 3. Сперанский Д.В. Об одной задаче для сетей из линейных автоматов без потери информации// Автоматика и телемеханика. 1999. N1. С. 140-147. 4. Кнут Д Искусство программирования для ЭВМ. Т.1. Основные алгоритмы. М.: Мир, 1976.

Поступила в редколлегию 30.11.2000

Рецензент: д-р техн. наук. проф. Сперанский Д.В.

Огнева Марина Валентиновна, канд. физ.-мат. наук, ассистент кафедры математической кибернетики и компьютерных наук Саратовского государственного университета. Научные интересы: теория автоматов, эксперименты с автоматами. Адрес: Россия, 410026, Саратов, Астраханская, 83, тел. 52-26-87.

ognevamv@info .sgu.ru, ognevamv@mail. ru.

быстрым развитием измерительной техники: возникновение новых поколений тепловизоров, качество изображения в которых приближается к телевизионному стандарту, применение современных компьютерных методов обработки изображения, создание обширных баз данных термограмм поверхности. При этом стоимость программного обеспечения сравнима со стоимостью самого тепловизора [1]. Однако, несмотря на колоссальные возможности теплового метода, очень часто его используют лишь для индикации дефектов, а их дальнейшую дефектометрию проводят другими методами. При этом тепловая информация о внутренней структуре объекта контроля практически полностью теряется. Причина этого — отсутствие универсальных методов обработки термограмм, выполняющих не только стандартные процедуры, но и решающих оптимальным образом обратную задачу теплопроводности, а также — неоптимальность проведения процедуры контроля. Уже давно известно, что проведение активного теплового контроля оптимальным образом может в несколько раз повысить его чувствительность, а информации, содержащейся в тепловом отклике, вполне достаточно, чтобы в большинстве случаев с точностью определить

93