CC BY
140
УДК 519.17 ББК 22.143
АЛГОРИТМ ДЕКОМПОЗИЦИИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ КОНЕЧНЫХ АВТОМАТОВ
Рудаков И. В.1, Шляпенко Д. А.2
(Московский Государственный Технический Университет им.
Н.Э. Баумана, Москва)
Предлагается метод декомпозиции вероятностных конечных автоматов. Алгоритм позволяет декомпозировать вероятностный конечный автомат в сеть вероятностных автоматов с меньшим числом состояний. В основе метода лежит общая теорема декомпозиции, модифицированная для применения к вероятностным автоматам. Указаны параметры, характеризующие однозначность разбиения, и предложена система оценки таких параметров.
Ключевые слова: анализ системы управления, конечный автомат, декомпозиция, стохастическая система.
Введение
При анализе и проектировании структур сложных дискретных устройств, таких как микропроцессорные и робототехнические системы, системы управления технологическими процессами, комплексные автоматизированные системы, используется блочно-иерархический метод [6], который предусматривает декомпозицию процесса проектирования на ряд последовательных уровней и сведение задачи большей размерности к совокупности задач значительно меньшей размерности. При таком методе происходит разбиение исследуемой системы на части, моделирование и проверка работы каждой компоненты.
1 Игорь Владимирович Рудаков, кандидат технических наук, доцент, (irudakov@yandex.ru).
2Денис Андреевич Шляпенко, студент (dent.yootumi@gmail.com).
Случайный характер процессов формирования, обработки и передачи данных в сложных дискретных системах обуславливает необходимость применения стохастических моделей, в качестве которых широко используются модели вероятностных автоматов. При этом встаёт проблема декомпозиции дискретных систем, формализованных подобными схемами. Определим задачу декомпозиции формально.
1. Существующие методы
Задачу структурной декомпозиции вероятностного автомата с детерминированной функцией выходов решил Бэкон [7]. Следуя его методам можно получить последовательную (автоматы сети соединены строго последовательно) или параллельную (автоматы сети соединены строго последовательно) декомпозицию исходного автомата. При этом параллельная структура может быть как синхронной, так и асинхронной. Дальнейшее развитие этого метода описано Бухараевым [2]. В его работе приведено описание декомпозиции вероятностных автоматов с выделением стандартного заданного вероятностного подавтомата. Методы, описанные в работах Бэкона и Бухараева, сводятся к решению системы матричных уравнений. В случае когда система уравнений не имеет решения, декомпозиция не может быть произведена. Это накладывает серьёзные ограничения на исходный вероятностный автомат. Таким образом, эти методы применимы лишь в частных случаях.
Описанный в данной работе метод является обобщением общего алгоритма декомпозиции обычного (не вероятностного) автомата и применим для любого вероятностного автомата. Однако в силу общности структура получаемой сети является более сложной (большее число соединений между компонентами сети), чем в частных случаях, описанных Бэконом и Бухараевым.
2. Постановка задачи
Абстрактный автомат 5 определяется как кортеж, или вектор,
5 = (А, 2, Ш, 5, Л), где:
1) А = а1,..., ат,..., ам — множество состояний (алфавит состояний);
2) 2 = £!,...,£/,...,2^ — множество входных сигналов
(входной алфавит);
3) Ш = Ш1,..., шт,..., шм — множество выходных сигналов (выходной алфавит);
4) 5 : А х 2 ^ А — функция переходов, реализующая отображение ^ С А х 2 в А;
5) Л : А х 2 ^ Ш — функция выходов, реализующая отображение Бх С А х 2 в Ш;
Автомат (А, 2, 5), не имеющий выходов, будем называть полуавтоматом.
Автомат 5 = (А , 2 , Ш , 5 , Л ) называется подавтоматом автомата Б = (А, 2, Ш, 5, Л), если и только если А С А, 2 С 2, Ш С Ш, а также для любого ат С А и любого Zf С 2 справедливо
(1) 5' (ат ,Zf ,р) = 5(am,Zf ,р)
(2) 5' (ат ,Zf ,р) = 5(ат^ ,р) где р е [0; 1].
Другими словами, на области определения автомата Б поведение обоих автоматов совпадает. Таким образом, автомат Б «делает столько же, сколько и Б , и, быть может, несколько больше».
Автоматы Б и Б' называются изоморфными, если существуют три взаимно-однозначных отображения
(3) ^1 : А ^ А' ,^2 : 2 ^ 2' ,^э : Ш ^ Ш' ,
таких, что
(4) ^(5(ат^ ,р)) = 5' (^1(ат),^2^ ),р)) и
(5) ^з(Л(ат^,р)) = Л (^1(ат),^2^),р)) для любых ат е А и Zf е 2, где р е [0; 1].
Тройку отображений ^1, ^2 и ^з называют изоморфизмом автоматов Б и Б . Кратко понятие изоморфизма формулируется следующим образом: образ функции равен функции образов. Иначе, изоморфные автоматы идентичны с точностью до обозначений состояний, входных и выходных сигналов.
Автомат Б назовём реализацией автомата Б' (обозначение Б = Л(Б )), если у автомата Б существует подавтомат, изоморфный Б . Таким образом, если автомат Б реализует автомат Б , то поведение Б с точностью до обозначений совпадает с поведением Б на области определения Б , так как у автомата Б должен быть некоторый подавтомат Б , изоморфный Б .
В качестве модели, описывающей совместную работу совокупности автоматов, будем использовать понятие сети автоматов. Сеть автоматов — это кортеж
(6) N = (2, |Бг},Ш, Ш, (^},£), где:
1) 2 — входной алфавит;
2) (Бг = (Аг, 2^ , 5г)}, 1 ^ г ^ п — множество компонентных автоматов (КА) сети. КА Бг — полуавтомат, Аг — его множество состояний, 2г — его входной алфавит:
2 х 2" для 2 = 0
(7) 2г = 2'' для 2' =
2г для 2г = 0
5г — его функции переходов (5г : Аг х 2г ^ Аг);
3) Ш — выходной алфавит сети;
4) (/ : (^А^) ^ 2}, 1 ^ г,^ ^ п — множество функций соединения компонентных автоматов сети;
5) (^г : 2 ^ 2г}, 1 ^ г ^ п — множество входных функций;
6) g : (гхАг) х 2 ^ Ш — выходная функция сети.
Результирующим автоматом сети
(8) N = (2, (Бг},Ш, (/г}, Ш,д) назовём автомат
(9) N = (Ам,2м, Ш, 5м, Лм), у которого:
1) Ам =х Аг,г = 1,... ,п;
2) 2м = 2;
3) Шм = Ш;
4) Функция переходов 5м : Ам х 2м ^
Ам, определяется следующим образом:
(10) 5М (am, zf) = 5М ((ат1, . . . , ат^, . . . , атп ), zf) =
= Х 5г(ат;, (/г(ат1,. . . , ат„ )))
Здесь ат е АМ, zf е 2М, ат^ е Аи ат = (ат^, . . . , атп);
5) Функция выходов Лм : Ам х 2м ^ Шм (в мо-
дели Мили), определяется следующим образом:
(11) Лм (am,Zf )= д(( ат1,. . . , атп ),zf) в модели Мура:
(12) Лм : Ам ^ Шм, Лм(ат) = (ат1,..., ат„).
Под задачей декомпозиции автомата Б будем понимать задачу построения сети N такой, что её результирующий автомат Бм реализует заданный автомат Б, т.е. Бм = Д(Б).
3. Разбиение множества
Разбиением множества называется множество п = (В1,..., Вт}, элементы которого - подмножества А (В С А, г =
1,..., т), удовлетворяющие следующим условиям:
1) Для любых двух множеств Вг и В/ (г = j)Вг П В/ = 0.
2) и т=і в = а.
3) В = 0, і = 1,..., т.
Множества В (і = 1,..., т) назовём блоками разбиения п.
Пусть йт = (йт1, . . . , атп ), ар = (арі, . . . , арп ); Є
А^; , ар Є А^- ; А^- — множество состояний компонентного
автомата , ^ = 1,..., п. Определим разбиение пІ1і2...іг на множестве А^ следующим образом: ат = аР(пІ1І2...іг), если и только если ат = ар для всех j = г1,г2,...,*г. Таким образом, два состояния ат и ар результирующего автомата попадают в один блок пі1 і2...іг, если и только если в их кодах соответственно равны компоненты і 1, і2,..., V.
Каждый блок пІ1і2...іг соответствует различным элементам во множестве Аі1 х Аі2 х ... х Аіг (А^. — множество состояний компонентного автомата 5^. = 1,..., г), т. е. в пІ1і2...іг
столько блоков, сколько различных внутренних состояний имеет система автоматов 5^ , 5і2, ...,5іг. Если в пІ1і2...ігг = 1, то на А^ можно аналогичным образом задать разбиение п (иногда его называют примарным разбиением). Это разбиение, очевидно, определяется следующим образом: ат = ар(п^, если и только если аті = аРі (ат, ар Є А^; аті, аРі Є Аі). Таким образом, в один блок разбиения пі попадают те состояния результирующего автомата, которые имеют одинаковые і-е компоненты. Следовательно, число блоков разбиения пі равно числу состояний компонентного автомата 5і и между блоками пі и состояниями 5і имеется взаимнооднозначное соответствие. В связи с этим можно отождествлять состояния $і с блоками разбиения пі [5].
4. СП-разбиение
Разбиение п на множестве состояний автомата 5 =
(А, 2, Ж, 5, Л) обладает свойством подстановки (является СП-разбиением), если и только если из ат = аДп) (ат и а5 — в одном блоке п) следует, что $(ат,2/) = £(а8,2/)(п) для всех / Є 2.
Иначе, под действием любого входного сигнала автомат из состояний, находящихся в одном блоке п, переходит в состояния, также находящиеся в одном блоке, т.е. каждый входной сигнал отображает блоки п в блоки п. Таким образом, для Zf € 2 и В е п существует единственный блок В' е п, такой, что 5(В, Zf) е В'.
Пусть п — СП-разбиение на множестве состояний автомата Б = (А, 2, Ш, 5, Л). Тогда образом автомата Б назовём полуавтомат Бп = (Вп, 2,5П), Вп е п, у которого 5П(Вп, Zf) = Вп, если и только если 5(ВП, Zf) С Вп.
Если п1 и п2 — СП-разбиения, то п1п2 и п1 + п2 — тоже СП-разбиения.
5. Процедура нахождения всех СП-разбиений
Процедура нахождения всех СП-разбиений состоит из двух этапов:
1) Для каждой пары состояний (ат, а8) вычисляется наименьшее СП-разбиение п(ат,а8), которое отождествляет ат с а8 (первичные СП-разбиения).
2) Находятся всевозможные суммы полученных на первом шаге п(ат,а8). Эти суммы образуют вторичные СП-разбиения.
Отождествим два состояния ат и а5 (ат, а5 е А) в одном блоке искомого разбиения п : ат = а8(п). Тогда из определения разбиения с СП следует, что для любого Zf е 2 состояния 5(ат, Zf , р) и 5(а8, Zf , р) также должны быть отождествлены 5(am,Zf ,р) = 5(а8^ ,р)(п), где р е [0; 1]. Ясно, что если состояние а^ отождествлено с аг, а аг с аг, то состояния а^ и аг также должны быть отождествлены, поскольку разбиение соответствует эквивалентности, а последняя транзитивна. Процесс повторяется для каждой пары состояний, вошедших в один блок, до тех пор, пока не перестанут отождествляться новые состояния. Построенное таким образом разбиение п(ат,а5) имеет свойство подстановки и является минимальным разбиением, которое отождествляет состояния ат и а8 в одном блоке. Чтобы получить другие
11
разбиения, процесс повторяется для каждой пары состояний, т.е. M(M — І)/2 раз, где M — число состояний автомата [4].
6. Пары разбиений
Два разбиения (п,п'), определённых на множестве состояний A автомата S = (A, Z, W, б, Л), назовём парой разбиений, если и только если из am = as(п) следует б(am,Zf , р) = б^, Zf ,р)(п') для всех Zf є Z; am, as є A.
Т. е. при работе S блоки п переводятся в блоки п' под действием любого входного сигнала, иначе говоря, для каждого Zf є Z и B є п существует единственный блок B' є п' такой, что 6(B, Zf ,p) С B'.
Если п - СП-разбиение, то (п, п) - пара разбиений. Также можно показать, что если (п, п') и (т, т') - две пары разбиений на множестве состояний A автомата S, то (пт, п'т') и (п + т, п' + т')
- тоже пары разбиений на множестве A.
По аналогии с взаимнооднозначным соответствием между блоками пІ и состояниями Si, пІ1І2...Іг определяет входы в /І от других автоматов. Т. е. существует взаимнооднозначное соответствие между блоками пі1і2 ...ir и состояниями системы автоматов Sil, Sil,..., Sir. Как и в любом автомате Мили, следующее состояние Si (блок разбиения пІ) определяется его текущим состоянием и входным сигналом (входной сигнал здесь -- состояние системы автоматов Sil, Sil,..., Sir и буква внешнего входного алфавита Zf є Zi ). Таким образом, состояние Si в любой момент времени определяется состоянием системы автоматов Sil, Sil,..., Sir, Si и Zf є Zi, т. е. блоком разбиения пІ1І2...Іг и Zf є Zi, поэтому (пІ1І2...Іг, пІ) - пара разбиений, а бІ реализует отображение пІ1І2...Іг x Zi в пІ.
7. Общая теорема декомпозиции
Пусть пі, і ^ i ^ n - некоторое множество разбиений на множестве A состояний декомпозируемого автомата S =
(A, Z, W, б, Л).
Теорема. Множеству разбиений пг, 1 ^ г ^ п можно поставить в соответствие абстрактную сеть автоматов N так, чтобы Л(Б) = Б^, если и только если
П
(13) Пп =п(0)-
г=1
При этом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между разбиениями п и компонентными автоматами Бг.
Полностью доказательство теоремы приведено в [1, 3].
Множество разбиений, удовлетворяющих условию (1), будем называть ортогональным множеством разбиений. Таким образом, для декомпозиции автомата необходимо выбрать ортогональное множество разбиений. Способ выбора такого множества будет описан ниже в соответствующем параграфе.
Поставим в соответствие каждому разбиению п функцию ^ : А х 2 ^ пг, такую, что ^(ат^,р) = п»(5(ат^,р)), т. е. значение функции ^ на паре (ат, Zf) равно блоку пг, в котором содержится состояние а5 = 5(ат^,р),ат,а5 е А, Zf е 2,р е [0; 1].
Образуем на множествах А и 2 соответственно разбиения тг и так, что:
1) ат и а5 находятся в одном блоке разбиения тг(ат =
если и только если для любого Zf е 2 справедливо ^(ат^,р) = ^(а8^,р). Иначе тг =
а е А : Vz е 2, р е [0; 1], ^(а, z, р) = гг.
2) Zf и zt находятся в одном блоке разбиения =
z^(пг)), если и только если для любого ат е А справедливо ,Рг(ат^,р) = Fi(am,zt,p). Иначе п = z е 2 : Va е А,р е [0; 1], ^(а, z,p) = гг.
Полученные таким образом (тг,пг) - пара разбиений, т. е. каждый блок т отображается любым входным сигналом в некоторый блок пг. При этом тг - максимальное разбиение, образующее пару (тг,пг).
Построим сеть N = (2^, £г, , /г,^,д), для чего опреде-
лим все компоненты кортежа N. Начнём с входного и выходного алфавитов сети.
1) Полагаем = 2.
2) Полагаем = Ш.
3) Построим компонентные автоматы $і = (Аі, 2і, 5і), 1 ^ і ^ п, т. е. определим базис сети.
а) Полагаем Аі = пі.
б) Для определения входного алфавита компонентного автомата 2і воспользуемся построенными разбиениями Ті и Пі. Необходимо учитывать, что
ний входные алфавиты автомата Б».
Если на вход функции / поступают пг1, пг1,..., пгг
- выходы компонентных автоматов Б»1, Б»1,..., Б»г, то (пг1 г2...ггг,пг) - пара разбиений, где п^...^» ^
тг, так как тг - максимальное разбиение, образующее пару с пг. Нетрудно также доказать, что пг1г2...ггг = п»1п»1 ... п»гп». Таким образом, для нахождения автоматов, выходы которых присоединяются ко входу /г, необходимо найти такое произведение п»1 п»1 . ..п»гп» = пгЩ=гп», которое не превосходит тг, и тогда выходы Бг1, Б»1,..., Б»г должны быть соединены со входом /г.
Определим разбиение ег следующим образом:
.?=*
т. е. пг не входит в это произведение, так как ко входу /г могут присоединяться выходы других, отличных
(15)
Єі = П Пі, І = І,
от Б, компонентных автоматов. В автомате Б полагаем 2, = є,, 2і = Пі, а 2, определяется согласно
равенствам (7).
в) Определим функцию переходов компонентного автомата 5, : пі х 2і х р — пі .
Пусть а, в и 7 - соответственно блоки разбиений пі, є, и Пі (а Єі, в є Єі, 7 Є Пі). Если Єі = 2, = 0, т. е. пі ^ ті (пі - СП-разбиение), то 5,(а,7,р) = (5(а, 7,р)).
Таким образом, значение функции переходов 5, равно блоку разбиения пі, содержащему 5(а, 7,р). Здесь 5
- функция переходов декомпозируемого автомата Б = (А, 2, Ш, 5, Л).
Если же Єі = 2, = 0, то
(16) 5,-(а (в 7) р) = I (5(а П в,7,р)) а П в = 0
() ( , ( , \ Уп, (не определена) а П в = 0
4) Построим функции соединения компонентных автоматов /і : х*=,А, — 2,; иначе (в терминах разбиений) /, :
Іг
Х^=ІПІ —— Єі .
Пусть п,1 х пі2 х ... х пІг = Т,. Образуем множество Т, С
^, ^8 Є Т, , ^8 - (^«1 , ^«2 , . . . , ^8 г), TаKOе, что Р) j=1 tsj = 0.
Таким образом, в Т, попадают только те векторы из Т,, у которых пересечение всех компонентов не пусто. Такое пересечение Р| j=1 имеет место, так как компоненты і8і, і«2,..., г - блоки разбиений, т. е. множества.
Функция /, реализует отображение Т, — є, .
Значение /, определим следующим образом:
j
(17) /,(*«! , ^«2 , . . . ,І«г) = Рк є Єі, если Р| Ц. С Рк,
І=1
т. е. значение функции /, равно тому блоку разбиения є,, в который входит пересечение компонентов і8і, і«2,..., г.
15
На множестве Тг \ Т» функция / не определена.
5) Определим множество входных функций следующим образом:
(18) ^ф/ )= Вт (/ ),г ^...^
т. е. значение функции ^ на / € 2 равно блоку разбиения П, содержащему г/. Отсюда ясно, что автомат Бг не различают тех букв входного алфавита 2, которые входят в один блок разбиения п».
6) Построим выходную функцию сети д : (х™=1Аг) х 2 ^ Ш, иначе (в терминах разбиений) д : (х™=1пг) х 2 ^ Ш.
Пусть п1 х п2 х ... х пп = Н. Образуем множество Н' С Н,Лт € Н', = (Л^,..., Л-т,..., Лтоп), такое,
что Р|П=1 = 0. Таким образом, в Н' попадают только
те векторы из Н, у которых пересечение всех компонентов не пусто.
Функция д реализует отображение Н' х 2 ^ Ш.
Значение д определим следующим образом:
П
(19) д((Л„1 , . . . , , . . . , ),г/,р = А(П г/ ,р)
г=1
т. е. значение выходной функции сети совпадает со значением функции выхода Л декомпозируемого автомата Б на паре (ат,/), где ат - состояние, попавшее в пересечение компонентов вектора € Н'. На множестве Н \ Н' функция д не определена.
В [2] показано, что построенная таким образом сеть реализует исходный автомат Б. Разбиения т» и п» однозначно определяется разбиением пг (с помощью функции ^); тг показывает, какие автоматы воздействуют на автомат Б», а п» определяет классы неразличимых автоматом Б» букв входного алфавита 2.
Таким образом, (пг,тг,пг) - характеристическая тройка автомата Б». Стоит отметить, что т» и Пг являются наибольшими разбиениями, причем чем больше т», тем меньше выходов других
16
автоматов воздействует на 5і. Чем больше п, тем проще зависимость от внешнего входа 2. Использование разбиений г% и п при построении Б% является, таким образом, необходимым условием для построения сети N наименьшей сложности.
Нарис. 1 представлена общая схема алгоритма декомпозиции вероятностного автомата.
Рис. 1. Алгоритм декомпозиции вероятностного автомата
8. Выбор ортогонального множества разбиений
Из конструктивного способа построения сети N видно, что структура сети N определена в общем случае неоднозначно, поскольку неравенство п П}=г П ^ т, которое определяет автоматы 5^, 5^ ,...,$гг, влияющие на поведение 5, может быть выполнено при различных совокупностях разбиений из п,г = 1,..., п, где последнее является ортогональным множеством разбиений (т. е. Ш=1 П = п(0)).
Как показано выше, от выбора ортогонального множества разбиений зависит структура и состав результирующей сети N.
Выбор данного множества должен быть осуществлён до начала декомпозиции автомата. Так как имеется однозначное соответствие между этим выбором и результирующей сетью, то в зависимости от целей декомпозиции можно ввести критерий
17
выбора (оценки) конкретного множества, который позволит получить результат, наиболее полно удовлетворяющий этим целям.
Например, из всех возможных вариантов декомпозиции особый интерес представляют случаи, при которых распределение состояний по подавтоматам сети наиболее равномерно. Рассмотренный выше критерий даёт количественную оценку каждому множеству ортогональных разбиений (в процентах):
( ук |&--Щ \
(20) р = (1 -^„ ) • 100<%
V 2^г=1 2 ' кі '
где п - число элементов во множестве ортогональных разбиений, N - число элементов во множестве состояний исходного автомата, - количество элементов в і-ом блоке оцениваемого разбиения, к- количество блоков, оцениваемого разбиения, к -количество блоков і-ого разбиения. Данный критерий даёт тем большую оценку, чем больше разбиение соответствует ему.
9. Заключение
В статье изложен метод декомпозиции вероятностного конечного автомата в сеть вероятностных автоматов. Установлено, что выбор ортогонального множества СП-разбиений однозначно задаёт структуру результирующей сети. Варьируя выбор данного множества, можно задавать некоторые параметры сети: количество элементов, пропорции распределения состояний по данным элементам. Данный метод может использоваться для исследования (анализа) и проверки правильности функционирования сложных дискретных систем, формализованных вероятностными автоматами.
Литература
1. БАРАНОВ С.И. Синтез микропрограммных автоматов. -Л.: Энергия Ленингр. отд-ние, 1979.
2. БУХАРАЕВ Р.Г. Вероятностные автоматы. Итоги науки и техн. / Сер. Теор. вероятн. Мат стат. Теор киберн., 1978,
- С. 79-122.
3. КЕЭВАЛЛИК А.Э. Теорема декомпозиции конечных автоматов. - М.: Автоматика и вычислительная техника, 1974.
4. ЛАЗАРЕВ В.Г., ПИЙЛЬ Е.И. Синтез управляющих автоматов. - М.: Энергоатомиздат, 1989.
5. МЕЛИХОВ А.Н. Ориентированные графы и конечные автоматы. - М.: Наука, 1971.
6. НОРЕНКОВ И.П. Основы автоматизированного проектирования: Учеб. для вузов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. - 306 с.
7. BACON G.C. The decomposition of stochastic automata. // Inform. and Contr. - 1964, - No 7, - P. 320-339.
PROBABILISTIC FINITE STATE MACHINE DECOMPOSITION ALGORITHM
Igor Rudakov, Moscow State Technical University n.a. N.E. Bauman, Moscow, Cand.Sc., assistant professor (irudakov@yandex.ru).
Denis Shlyapenko, Moscow State Technical University n.a. N.E. Bauman, Moscow, student (dent.yootumi@gmail.com).
Abstract: A method of the probabilistic finite state machine
decomposition is proposed. A method is based on the Main Decomposition Theorem, modified for application to probabilistic state machines. The parameters of decomposition are described and the system of parameters estimation is proposed.
Keywords: analysis of a control system, state machine, decomposition, stochastic system.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии М. В. Губко
