О задаче моделирования кинематики и динамики управляемых систем с программными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.1, 531.3

БОТ: 10.18698/2308-6033-2018-4-1753

О задаче моделирования кинематики и динамики управляемых систем с программными связями

© О.В. Матухина

Нижнекамский химико-технологический институт (филиал)

ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», Нижнекамск, 423570, Россия

Работа посвящена вопросам математического моделирования кинематических свойств и управления динамикой управляемых систем с программными связями. Предложена система дифференциальных уравнений, используемая для составления уравнений нестационарных дифференциальных связей. Рассмотрена задача построения уравнений динамики на основе интегрального вариационного принципа. Для решения задачи стабилизации связей введены уравнения программных связей. Применение приведенных методов моделирования продемонстрировано на примере задачи управления движением колесной системы с обходом подвижных препятствий. В ходе решения задачи построены уравнения кинематики системы, выраженные в виде уравнений нестационарных дифференциальных связей, и модель динамики управляемой системы с программными связями. Определены выражения управляющих сил, действующих на систему с целью обеспечить выполнение уравнений связей, наложенных на систему. Результаты решения рассмотренной задачи подтверждают эффективность приведенных методов. Предлагаемые в работе методы применимы для решения траекторных задач, задач управления движением электромеханических систем и управления динамикой экономических, производственных и технических систем.

Ключевые слова: управление динамикой, устойчивость, стабилизация, программные связи

Введение. Вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических систем остаются достаточно актуальными вследствие широкого внедрения робототехники в различные отрасли науки и производства, развития космических технологий, транспортных систем и применения в быту. К управляемым механическим системам можно отнести роботы-манипуляторы, мобильные роботы, космические объекты и т. п. Большинство возникающих задач исследования механических систем можно свести к двум взаимосвязанным научным проблемам: моделированию кинематики и динамики систем и управлению их движением.

В задачах моделирования кинематики и динамики механических систем широко применяется предложенный в работе [1] метод построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую на плоскости. В частности, в работе [2] рассмотрена задача построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные многообра-

зия, методом, предложенным в работе [1], и определена структура систем дифференциальных уравнений из условия устойчивости этих многообразий. В работе [3] построена автономная система дифференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на плоскости, определены коэффициенты системы исходя из вида интегральных кривых и особых точек. В работе [4] предложена система дифференциальных уравнений, позволяющая описать кинематические свойства механической системы уравнениями дифференциальных связей. Изложенные в работах [3, 4] методы построения динамических систем эффективно используются для программирования движения управляемых механических систем, соответствующего заданным свойствам. Программное движение осуществляется посредством дополнительных управляющих сил. Поэтому основная задача управления сводится к определению сил, прикладываемых к управляемой системе в соответствии с поставленной целью.

При численном решении систем дифференциально-алгебраических уравнений, составленных из уравнений динамики и уравнений связей, возникает проблема стабилизации связей. В работе [5] приведена модификация уравнений динамики систем со связями, позволяющая решить эту задачу. В работе [6] введены в рассмотрение уравнения программных связей.

В предлагаемой работе рассмотрена задача построения уравнений динамики механических систем с заранее заданными кинематическими свойствами, которые описываются т1 уравнениями голо-

номных и т2 уравнениями неголономных связей:

Ф (д, /) = 0; ¥ (д, д, /) = 0; (1)

Ф = К); ¥ = (%); n = 1,•••,т2-

Моделирование кинематических свойств. Уравнения неголономных связей ¥(д, д, /) = 0 механической системы, положение которой определяется обобщенными координатами д1, д2,..., дт, могут

быть получены в соответствии со структурой множества неавтономных систем дифференциальных уравнений, определенной в виде [4]

/ /

йх, _ _ . (¿-1 д/ ^ д/ Л дх, д/

-1 = Р, (х, /) + б(х, /) т

Ъ^-Ъ

к=1 дхк к=] +1 дхк у

1

/

дхк

1 = 1, •••, п, / = /о/1/г+1 = 1, /0 = 1, /г+1 = 1 (2)

Л2 '

Ъ

V к

к=1

Для этого необходимо записать выражения координат х1, х2, ..., хп

&х2 &х _ _

и их производных ——-, ..., —- через обобщенные координаты & & &

q2, ..., ст и скорости С1, ¿¡2, ..., ¿¡т механической системы и подставить полученные выражения в систему уравнений (2).

В системе уравнений (2) заданные функции £(х, t), I - 1, ..., г, являются ее частными интегралами [3, 4]. Предполагается, что при любом t функции fi (х, t) всюду в области G непрерывны и обладь Э/

дают непрерывными частными производными —-,—-, ] - 1,..., п,

Эх, дt

Г \2 £

Эх,

Ф 0, Q(x, t) — произвольная непрерывная функция, Р^х, t) —

] =1

\ у

непрерывные функции, обращающиеся в нуль вдоль многообразия (2).

Построение уравнений динамики. Для построения уравнений динамики системы должны быть известны ее кинетическая Т0 = = Т0(с, q) и потенциальная Р0 = Р0(с, t) энергии, диссипативная функция Б0 - Б0 (с, с, t), элементарная работа 8А - QЪq + Я8с, где Qv, V = 1, ..., т, — обобщенные непотенциальные внешние силы, Я — управляющие силы, действующие на систему для обеспечения выполнения уравнений связей (1).

Вектор Я определяется равенством [6]

Я - 0Т Я, (3)

где

вектор произвольных множителей,

/Лч л

0

Ф

с

Ф„

дФм дq

Эс{

(4)

Для стабилизации связей необходимо учитывать отклонения от уравнений (1) и вводить уравнения программных связей [6]:

Ф(с, t) - у^); Ф = (фц), Ц-1,..., т,;

ФсС- у ^); фс -

'¡ч \ л гэф, л

ф( -

дt

V -1, ..., т;

V(с, с, t) - y'(t); V-(vn), П-1, . .,

т2.

(5)

(6) (7)

Правые части у (/), у (/), у'(/) равенств (5)-(7) определяются как решения дифференциального уравнений возмущений связей:

йу , . , .ч йу , . .

— = g (у, у, у, g, д, *); — = h(y, у, у, д, д, *); (8)

т т

g (0, 0, 0, д, д, /) = 0; Л (0, 0, 0, д, д, /) = 0^

Уравнения (8) должны быть рассмотрены совместно с уравнениями динамики и начальными условиями

д(0 = д (О = у(0 = Ф0; .у (О = Ф0; у'(0=¥0^

Основным условием вывода уравнения динамики в виде уравнений Лагранжа является независимость обобщенных координат системы. Для построения системы дифференциальных уравнений можно воспользоваться интегральным вариационным принципом Гамильтона—Остроградского [7].

В результате применения основной леммы вариационного исчисления, используя выражение элементарной работы обобщенных управляющих сил, получаем уравнения Лагранжа второго рода

тэг-эг+ар+ао =& ^

й дд дд дд дд

Уравнения возмущений связей (8) можно получить из равенств

й дТ дТ дР до п

----+ — + — = 0;

т ду ду ду ду (10)

й дТ дБ п

--7 +-7 = 0^

й/ Эу Эу

Для определения выражения вектора множителей X необходимо продифференцировать уравнения связей (6) и (7) с учетом выражений (9) и (10), разрешенных относительно старших производных.

Вектор обобщенных управляющих сил определяется в виде [6]

Я = 0Т X

Пример моделирования движения колесной системы с обходом подвижных препятствий. Уравнения кинематики. Шасси трехколесной системы, движущейся по горизонтальной плоскости, состоит из оси переднего колеса и кузова, жестко скрепленного с осью задних колес. Общая схема колесной системы представлена на рис. 1, на котором положительному значению углов д3, д4 соответствует поворот колес влево.

Рис. 1. Схема колесной системы:

М(# , q2) — центр масс системы; qз — угол поворота переднего колеса, отсчитываемый от

оси симметрии системы; q — угол между осью симметрии колесной системы и осью Ох; q5, q , q — углы поворотов соответственно переднего, левого и правого колес задней оси

Введем следующие обозначения констант: т = т0 + 3т1 — масса всей колесной системы; т0 — масса кузова; т1 — масса каждого колеса; Ь = 11 +12 — база системы; 11, 12 — расстояния от центра масс системы до ее передней и соответственно задней оси; г — радиус колес; к — длина задней полуоси; А — момент инерции колеса относительно диаметра; С — осевой момент инерции.

Будем считать, что управление колесной системой осуществляется моментами М1, М2 и Я3, приложенными соответственно к левому и правому колесам задней оси и к рулевому приводу. Необходимо определить выражения для моментов М1, М2, Я3, такие, чтобы точка М(q1, q2) совершала движение из произвольной точки пространства ХОУ к движущейся точке, образованной пересечением прямых q1 = —к^ и q2 = 0, с обходом двух препятствий, ограниченных кривыми, которые заданы уравнениями:

(ql + 2 + к21 )2 + 4 q2 = 1;

1 , , , ч2 16, 3Л2 , (11)

~МХ -1 + къХ )2 + — (я2-- )2 = 1.

\2

4 ^ 3 ' 9 2

Фазовое состояние колесной системы определяется обобщенными координатами qi и скоростями qi = (/ = 1, ...,7). Требуемые

движения колесной системы будут осуществляться, если на координаты q1, q2 и скорости ql, q2 точки М наложить дифференциальные

связи, уравнения которых получены в соответствии с системой уравнений (2):

16 8

д1 = - — /1/3/4 -4д2/1/2/4 -9 ( 2д2 -3) /1/2/3 - §1 §3 84;

42

q2 = - — fiUU+(q+2+Kt) fxfj*+(q-1+V) /ЛЛ- g2 g3 g4 •

(12)

Здесь функции

fMi, Чг,t) = 4i + kt Л^ Чг,t) = /3 (4i, Ч2, t) =1 ((4i + 2 + k2t)2 + 4q22 -1);

q2, t)=2

i6

— (qi -1 + k3t)2 + —

2

Ч2

-1

являются частными интегралами системы уравнений (12);

gi (4i, Ч2 , t) = f2f3f4 + (4i + 2 + k2t )f1f2f4 + (4i - 1 + k3t )f1f2f3

8

g 2 (4i, Ч2 , t) = f1f3f4 + 442f1f2f4 + 9 ( 2Ч2 - 3 ) f1f2f3 \

gз(Яl, q2 , t) = k1f2f3f4 + k2 (qi + 2 + k2t )f1f2f4 + k3 (qi - 1 + k3t )f1f2f3

g4q q2, t) = [ gi2+g 2 ]1.

Условия качения без проскальзывания и отсутствия бокового проскальзывания всех колес приводят к следующим уравнениям дифференциальных связей:

q1 cos (q3 + q4) + q2 sin (q3 + q4) + q411 sin q3 - rq5 = 0; (13)

q1 cos q4 + q2 sin q4 - hq4 - rq6 = 0; (14)

q1 cos q4 + q2 sin q4 + hq4 - rq7 = 0; (15)

q1 sin (q3 + q4)-q2cos (q3 + q4)-q411 cos q3 = 0; (16)

q sin q4 - q2 cos q4 +12q4 = 0. (17)

Выражения (13)-(15), (17) можно представить в виде

qk =£bkjqj, bkj = bkj (q^ •••,q7), k = 4 .,7,

j=i

(18)

где

7 1 •

»41 =-—в1П ч4;

Ь51= 1

г

7 1

Ь52 =-

г

Ь42 = у с°8 ч*;

Ь .

соб q3 соб q4--б1п q3 б1п q4

/о

Ь .

соб q3 б1п q4 +— б1п q3 соб q4

1

»61 =1

г

к .

соб q4 +— б1п q4 1

7 1

Ь62 =-г

к

б1п q4--соб q4

1

(19)

7 1

»71 =-

г

к .

соб q4--б1п q4

1

»72 =-

г

к

б1п q4 +— соб q4

»к3 = 0, к = 5, 6, 7.

Исключая из уравнения (16) скорости q2, ¿¡4, с учетом выражений (12), (17) получаем уравнение голономной связи:

/ л

Ь

б1п q3 соб q4 +— соб q3 б1п q4

1

^^ q2, Г) +

+

Ь

(20)

б1п q3 б1п q4--соб q3 соб q4

1

F2(ql, q2, *) =0.

Уравнения неголономных связей системы примут вид

я - ^^ q2, 0 =0; Ч -q2, 0 =0,

(21) (22)

где /1(ч1, ч2, ^), ^2(ч1, ч2, ^) представляют собой правые части уравнений (12).

Уравнения динамики колесной системы с программными связями. Для составления уравнений динамики определим кинетическую энергию колесной системы:

Т = т ( Ч12 + Ч?22 ) + ^ + 2 Ч42 + АЧ3 Ч4 + т (/ - 2/2 )х

С

х ( Ч2 С08 Ч4 - Ч1 81П Ч4 ) ^ + ^ (^ + ^ + Я2 ) ,

(23)

где 3 = т0 к02 + т1 (+ 2/2 + 2И2) + 3 А — момент инерции системы относительно вертикальной оси, проходящей через точку М(д1, д2)•

Подставив выражение (18) в равенство (23), получим выражение для приведенной кинетической энергии системы:

2Т* = Ъ а* дд],

т , 3 .2

1,3=1

2 т, /1 \ . 2 а* = — + ^т2б1п д4 + (/1 - 2/2) б1п д4 +

2 2/2

+ -

С

2г2/2

2/22 соб2 д4 + 2 б1п2 д4 + (£ б1п д3 б1п д4 - /2 соб д3 соб д4)

а12 а21

3 4/2

- Б1П

2д4 ^^ (/1 -2/2) §1п2Д4 +

+

С

4г2/2

|/22 б1п 2д3 соб 2д4 - 3/22 б1п 2д4 -

- 2 б1п 2д4 - /2 б1п2 д3 б1п 2д4 - 2/1 /2 б1п д3 соб (д3 + 2д4 )]; т 3

(24)

2 т. ¡7 \ 2 а22 = ~+ ^2С08 д4 + 7^ (/1 - 2/2 ) С08 д4 +

2 2/.

2

+-

С

2г2/2

2/22 б1п2 д4 + 2Л2 соб2 д4 + (/1 б1п д3 соб д4 + /2 б1п (д3 + д4))

а13 =а31 ^ д4; а23 =а32 = С08 д4; а33 = ~'

Полагая, что внешние силы отсутствуют, составим уравнения динамики системы в форме уравнений Воронца:

йЭТ* ЭТ* ^ ЭТ*, ^ ЭТ ок. ^ „ . 100

—Ъ^"ь»+ЪЪ-^~3з = а + Я, / = 1, 2,3• (25)

й Эд Эд к=4 одк к=4 3=1 Щк

В уравнениях (25) силы соответствуют управляющим моментам М1 и М2:

а = Ь6гМ1 + Ъ1гМ 2; Я1, Я2 — реакции связи (20); Я3 — управляющий момент; р^з =

= «3+ъ <3 - дЬк,_Ъ дЬ^ь,.,

Эдг Эд ' дд Эд, 3

С учетом равенств (20)-(22) введем уравнения программных связей [6]:

у1 =91 ( ч» q2, qз, q4, *), (26)

^ =¥1 (ql, q2, *); (27)

г2 =¥2 (^ ql, q2, *); (28)

91

+

Ь

б1п ч3 соб ч4 +— соб ч3 б1п ч4 12

Ь

б1п ч3 б1п ч4--соб ч3 соб ч4

1

Р1 (ql, q2, *)+

Рг ( ч» q2, *);

¥1 (Ч1, ql, q2, О = Ч- (Ч1, q2, 0; ¥ 2(q2, ql, q2, О = Ч2- (Ч1, q2, 0.

Переменные у1, у', у' в уравнениях (26)-(28) оценивают отклонения соответственно от уравнений связей (20)-(22) и должны удовлетворять уравнениям возмущений связей:

Р = Р = (У^ ^ ¿2); Ар =

йг

V У

, ] = 1,2,3. (29)

Полагая связи (26)-(28) идеальными, в соответствии с работой [6] запишем выражения для Я:

Я = ^ X, / = 1, 2, 3,

Эчг

(30)

где X — произвольный множитель.

Уравнения (25) представим в развернутом виде:

3 3

Xа*4! + а = Хй1]и], /=1, 2,3.

] =1 У=1

В выражениях (31)

а = £«>? Ч;

л=1

йП = »5^ ^ 2 = »6г, й г3

д91.

Эчг '

и1 = М1, и2 = М2, и3 =Х;

(31)

(32)

(33)

(34)

ап = 22" т1 (/1 - 2/2) б1п д4 б1п 2д4;

2

а^2 =а121 = т (2/2 -/1)(§1п3д4 + б1П д4 )-т-у7 (^Ск2 -3г2) Б1П д4 -

2 '2

с

- [2/ (11 - соб 2д3) б1п д4 - /1/2 ( 3б1п (2д3 + д4)- б1п (2д3 - д4)- 4б1п д4) -

- 4/2 соб (д3 + д4) б1п д3 ];

С

а13 = а31 =—уу Г/12 (1 -соб2д4 ) б1п2д3 +2/1 /2 б1п2д3 -2/2Ь б1п (2д3 +2д4 )]; 8г ^2

а*22 =~,2 (2/1 - 3/2)( соб3д4 + 3соб д4) +—^у (2СЛ2 + 3г2) соб д4 +

.1 _ т.

8/2у 1 ^ " "" 2г2/.

_с 4Т2/;

+--— [2/2 (1 - соб 2д3) соб д4 - /1/2 (3соб (2д3 + д4) + соб (2д3 - д4)- 4соб д4) +

+ 4/2 б1п (д3 + д4) б1п д3 ]; 23 = а32 = —уу[4Аг2 -С/28ш2д3 Б1п2д4 + 2С/2 (/1 + /2)(соб(2д3 + 2д4) +1)

1 =—т1 (/1 -2/2 )(б1п3д4-3б1п д4 ) + -уу (2СЛ2 + 3г2) б1п д4 +

4г 2/з [2/12 (1 - соб 2д3) б1п д4 - /1 /2 (3б1п (2д3 + д4)- б1п (2д3 - д4)- 4 б1п д4)

- 4/22 соб (д3 + д4) б1п д3 ];

С

+

а12 а21

= —уу т1г2 (/1 -2/2)(соб3д4 -соб д4)--^у (2СЛ2 + 3г2) соб д4 -

4г /л 2г /3

с

—— I 2/12 (1 - соб2д3 ) соб д4 - /1 /2 (3соб (2д3 + д4) + соб (2д3 - д4)- 4соб д4) + 8г /2

+ 4/22 б1п (д3 + д4) б1п д3 ]; а2"1., = а^ = - [4Аг2 + С/12 б1п2д3 б1п2д4 -2С/2 (/1 +/2)(соб(2д3 +2д4 )-1)];

С

23 32 8 г2/2

а22 = 2/2 (71- 2/2) соб д4 81п 2д4;

[/12 (1 + соб 2д4) б1п 2д3 + 2/1 /2 б1п 2д3 + 2/2Ь б1п (2д3 + 2д4)];

а3/ = 0, -,/ = 1, 2,3.

Запишем систему уравнений (31) в матричном виде

А*Ч + а = Би, (35)

А* = (а*-), а = (а), Б = (), Ч = (Ч), и = (щ), г, - =1, 2, 3.

Определение вектора управляющих воздействий. Для определения управляющего вектора и необходимо продифференцировать дважды функцию 91 и по одному разу функции ¥1, ¥2 с учетом выражения (18):

3

91=х

91 = я;

991 = й; = ¿п, П = 1,2;

3 +Х М» \ ■ д9

- =1

Эч, к=4 дЧк

к

д*

(36)

991 =Х[ I9! + Х^»

-=1

к=4 дЧк

о

+х

- ,г=1

V

Э2 91 + д 2 91 » + X Э91 э»к

, +

дЧг к=4 дЧкдЧг к=4 Э^.

V У

Ч +

3 7

+Х XX

, ,г=1 / ,к =4

^ д291 , д291 » + д»к Л

ччА +

+2Х

- =1

Эч,э* ЭЧкэ*

»

3 ' Э2 ^ + ^ Э^

Э¥п . ^ Э¥

• Э291

• v э¥п •• , v

¥ п=Х а, Ч-+Х

- +

к=4 ЭЧк

д¥п

д*

Запишем систему уравнений (36) в матричном виде с учетом равенств (29), (26)-(28):

0? + 5-АД = 0; (37)

Г ле Л

=

й*

V У

Я = 9l, ¥l, ¥2;

(38)

0 =

гф ^

д ; ф д =

V д

'Эф. + Ъ Эф.Ъ Л

Эд, к=4 Эдк '

^ д =

Эд з

V 1 У

о

= Ъ

3 г =1

з = 1,2,3, П = 1, 2,

Э2ф1 + ъъ Э2ф1 Ъ +>Ъ ЭФ1 Э Ък3

(39)

(40)

Эд,Эдг ЭдкЭд Эдк Эд

V

д3дг +

3 1

+Ъ Ъ

3 ,г =1 / ,к =4

^ Э2ф1 + Э2ф1 Ъ +Эф1 Э3

Эд,Эд/ ЭдкЭд/ к Эдк Эд

Ъ1гд3дг +

+ 2Ъ

3=1

э2 ф1 + ъ Э2ф1 Ъ

ЭдЭ Э дкЭг к

д 3 +

Э2ф1.

52=Ъ +:Ъ Э^ ^

1=1 Эд, Щк

3 Э(2 ' Э^1.

д 3 +

Эг '

г =1

ЭУ 2 , V 2

- +

Эд3 к=4 Эдк

Ч} Эt

Систему уравнений (35) можно представить в виде, разрешенном относительно старших производных дд:

д = ( А*) 1 (Бы - а) •

(41)

Подстановка (41) в систему уравнений (37) приводит к следующему выражению:

\-1

0(А*)- (Бы-а) + 5 = Л£

(42)

Разрешив уравнения (42) относительно и, получим выражение для вектора управления:

и

= (0( А* )-1 Б) 1 (л£-5 + 0( А* )-1 а),

(43)

где А* =(а*), а = (аг), Б = (й33), £, 0, 5, г,3 = 1,2,3, определяются соответственно выражениями (24), (30), (33), (31), (39) и (40)

В соответствии с выражениями (30), (34) можно записать выражения управляющих моментов М1, М2, Я3 и реакций связей Я1, Я2 :

M = щ;

M 2 = Щ2;

R3 =

R =

r2 =

г

F

дF

L .

\

cos q3 cos q4--sin q3 sin q4 + F,

12

V 2 У

L

cos q3 sin q4 +— sin q3 cos q4

12

V 2

i

д qi

dF

L

sin q3 cos q4 +— cos q3 sin q4

V ^ У

л 3F/

+ -

д qi

L

л

sin q3 sin q4--cos q3 cos q4

V ^ У

/

д?2

L

sin q3 cos q4 +— cos q3 sin q4

л dF/ + 2

d?2

L

sin q3 sin q4--cos q3 cos q4

\

y-i

С учетом уравнений (41), (43) запишем уравнения движения в виде

dq dt dq dt

= q;

:(A)-1 D(©(A*)-1 D)' (as-5 + ©(A*)-

a -a

(44)

Система уравнений (44), состоящая из шести уравнений с шестью неизвестными q2, q3, ¿¡1, ¿[2, ¿[3, интегрируется совместно с уравнениями

dq

dt dq dt

. * q;

= Bq,

(45)

где q* = q4, ..., q^, q = q4, ..., ¿¡7, B = bk], Ъц, k = 4,5,6,7, j = 1,2,3,

определяются в соответствии с выражениями (19). Движение, описываемое уравнениями (44), (45), должно удовлетворять уравнениям программных связей (26)-(28).

Определение выражений управляющих моментов M1, M2, R3, построение и решение систем дифференциальных уравнений (44) и (45) проводилось с помощью системы компьютерной математики Maple. Результаты численного эксперимента представлены на рис. 2. В результате решения уравнений динамики (44) и (45) получена траектория движения (см. рис. 2) центра масс M колесной системы с обходом двух препятствий, уравнения движения которых заданы в виде (ii).

Для построения множества траекторий, огибающих движущиеся навстречу друг другу препятствия, составляют уравнения нестацио-

нарных неголономных связей в соответствии с уравнениями (2). Задача моделирования сводится к решению системы семи уравнений динамики и трех уравнений программных связей. Для построения уравнений, решения задачи управления и численного моделирования использована система компьютерной математики Maple. В результате численного моделирования получена траектория движения центра масс системы с обходом подвижных препятствий, движущихся со скоростями к3 и к4 (см. рис. 2).

ф

1,0

Рис. 2. Траектория движения центра масс колесной системы с обходом подвижных

препятствий

Заключение. Результаты исследований и численных экспериментов [7-9] свидетельствуют об эффективности приведенных методов математического моделирования кинематических свойств и построения уравнений динамики механических систем с программными связями, а также их применимости для решения прикладных задач управления движением механических систем. Вследствие динамических аналогий [10, 11] предложенные в работе методы моделирования могут найти применение в задачах управления системами, содержащими элементы различной физической природы [12], в том числе механическими, оптическими [13], электрическими [14], робо-тотехническими и экономическими системами [ 15-20] •

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, номер проекта 16-08-00558.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. Прикладная математика и механика, 1952, т. XVI, с. 659-670.

[2] Мухарлямов Р.Г. Построение множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегралы. Дифференциальные уравнения, 1967, т. 3, № 2, с. 180-192.

[3] Мухарлямов Р.Г. К обратным задачам качественной теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 1967, т. 3, № 10, с. 1673-1681.

[4] Ибушева О.В., Мухарлямов Р.Г. Построение неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов в многомерном пространстве. Ученые записки Казанского университета. Сер. Физико-математические науки, 2008, т. 150, кн. 3, с. 133-139.

[5] Baumgarte J. Stabilization of Constraints and Integrals of Motion in Dynamical Systems. Computer Methods in Applied in Mechanics and Engineering, 1972, vol. 1, no. 1, pp. 1-16.

[6] Мухарлямов Р.Г. Стабилизация движения механических систем на заданных многообразиях фазового пространства. Прикладная математика и механика, 2006, т. 70, № 2, с. 236-249.

[7] Ибушева О.В., Мухарлямов Р.Г. О построении уравнений динамики механических систем с программными связями. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010, № 1, с. 75-80.

[8] Матухина О.В. Компьютерные технологии в управлении системой с программными связями. Вестник Казанского технологического университета, 2013, т. 16, № 2, с. 199-202.

[9] Матухина О.В. Управление движением колесной системы по заданной траектории с обходом препятствий. Вестник Казанского технологического университета, 2012, т. 15, № 11, с. 272-274.

[10] Ольсон Г. Динамические аналогии. Москва, Государственное издательство иностранной литературы, 1947, 224 с.

[11] Layton R.A. Principles of Analytical System Dynamics. New York, Springer, 1998, 158 p.

[12] Мухарлямов Р.Г., Матухина О.В., Ахметов А.А. Управление динамикой систем, содержащих элементы различной физической природы. Вестник Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета, 2011, № 2, с. 25-37.

[13] Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением адаптивной оптической системы. Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика, 1994, № 1, с. 22-40.

[14] Шемелова О.В. Управление динамикой электромеханических систем. Вестник РУДН. Сер. Прикладная математика и информатика, 2003, № 1, с. 63-71.

[15] Сиразетдинов Т.К. Динамическая модель прогнозирования и оптимальное управление экономическим объектом. Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, 1972, № 4, с. 3-8.

[16] Сиразетдинов Т.К., Родионов В.В., Сиразетдинов Р.Т. Динамические модели экономического региона. Казань, Изд-во «Фэн», 2005, 320 с.

[17] Сиразетдинов Р.Т., Бражкина А.А. Универсальная структурная модель типового экономического кластера. Управление большими системами: сборник трудов. Москва, ИПУ РАН, 2010, вып. 29, с. 152-166.

[18] Мухарлямов Р.Г. Моделирование динамики простейших экономических объектов как систем с программными связями. Вестник РУДН. Сер. Физико-математические науки, 2007, № 1, с. 25-34.

[19] Ахметов А.А., Мухарлямов Р.Г. Применение методов моделирования механических систем для управления экономическими объектами. Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008, № 2, с. 81-84.

[20] Мухаметзянов И.А., Матухина О.В., Чекмарева О.И. Управление динамикой производственного предприятия для приведения в состояние эталонной модели. Вестник Казанского технологического университета, 2015, т. 18, № 11, с. 210-212.

Статья поступила в редакцию 01.03.2018

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Матухина О.В. О задаче моделирования кинематики и динамики управляемых систем с программными связями. Инженерный журнал: наука и инновации, 2018, вып. 4. http://dx.doi.org/10.18698/2308-6033-2018-4-1753

Статья подготовлена по материалам доклада, представленного на Международной конференции «Фундаментальные и прикладные задачи механики FAPM-2017», посвященной 170-летию со дня рождения великого русского ученого Николая Егоровича Жуковского, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана, 24 - 27 октября 2017 г.

Матухина Олеся Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных систем и технологий Нижнекамского химико-технологического института (филиала) ФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технологический университет». Область деятельности и научных интересов: информационные технологии, математическое моделирование, численные методы, дифференциальные уравнения, теория управления, теоретическая и аналитическая механика. e-mail: ovmatukhina@gmail.com

On the problem of simulating kinematics and dynamics of controllable systems...

On the problem of simulating kinematics and dynamics of controllable systems with software links

© O.V. Matukhina

Nizhnekamsk Institute for Chemical Technology, Branch of the FSBEI HPE Kazan National Research Technological University, Nizhnekamsk, 423570, Russia

The article discusses mathematical simulation of kinematic properties and control of dynamics of systems with software links. The construction of differential equation systems used for generation of nonstationary differential link equations is proposed. The problem of generating equations of dynamics based on the integral variational principle is considered. To solve the problem of link stabilization the equations of software links are introduced into consideration. The application of the described simulation methods is shown on the example of the problem of controlling the wheel system movement with moving obstacles bypassing. In the course of solving, system kinematics equations are generated, expressed in the form of equations of nonstationary differential links. A model of the system dynamics with software links is constructed. Expressions for control forces affecting the system are determined to ensure the fulfillment of the link equations governing the system. The results of solving this problem illustrate the effectiveness of the described methods. The methods proposed in the work are applicable for solving trajectory problems, tasks of controlling electromechanical system movement, tasks of controlling the dynamics of economic, production and technical systems.

Keywords: controlling the dynamics, stability, stabilization, software links

REFERENCES

[1] Yerugin N.P. Prikladnaya matematika i mekhanika — Applied Mathematics and Mechanics, 1952, vol. XVI, pp. 659-670.

[2] Mukharlyamov R.G. Differentsialnye uravneniya — Differential Equations, 1967, vol. 3, no. 2, pp. 180-192.

[3] Mukharlyamov R.G. Differentsialnye uravneniya — Differential Equations, 1967, vol. 3, no. 10, pp. 1673-1681.

[4] Ibusheva O.V., Mukharlyamov R.G. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki — Proceeding of Kazan University. Physics and Mathematics Series, 2008, vol. 150, no. 3, pp. 133-139.

[5] Baumgarte J. Computer Math. Appl. Mech. Eng., 1972, vol. 1, no. 1, pp. 1-16.

[6] Mukharlyamov R.G. Prikladnaya matematika i mekhanika — Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2006, vol. 70, no. 2, pp. 236-249.

[7] Ibusheva O.V., Mukharlyamov R.G. Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. A.N. Tupoleva (Herald of Kazan State Technical University named after A.N. Tupolev), 2010, no. 1, pp. 75-80.

[8] Matukhina O.V. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta — Herald of Kazan Technological University, 2013, vol. 16, no. 2, pp. 199-202.

[9] Matukhina O.V. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta — Herald of Kazan Technological University, 2012, vol. 15, no. 11, pp. 272-274.

[10] Olson H.F. Dynamical Analogies. New York, D. Van Nostrand Company, Inc. Publ., 1943, 278 p. [In Russ.: Olson H.F. Dinamicheskie analogii. Moscow, Inostrannaya Literatura Publ., 1947, 224 p.].

[11] Layton R.A. Principles of Analytical System Dynamics. New York, Springer, 1998, 158 p.

[12] Mukharlyamov R.G., Matukhina O.V., Akhmetov A.A. Vestnik Tatarskogo gosudarstvennogo gumanitarno-pedagogicheskogo universiteta ( Bulletin of Tatar State University of Humanities and Education), 2011, no. 2, pp. 25-37.

[13] Mukharlyamov R.G. Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov, seriya Prikladnaya matematika i informatika — Peoples' Friendship University of Russia Journal of Mathematics Informatics and Physics, 1994, no. 1, pp. 22-40.

[14] Shemelova O.V. Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov, seriya Prikladnaya matematika i informatika — Peoples' Friendship University of Russia Journal of Mathematics Informatics and Physics, 2003, no. 1, pp. 63-71.

[15] Sirazetdinov T.K. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Aviatsionnaya tekhnika — Proceedings of Higher Educational Institutions. Aviation Technology, 1972, no. 4, pp. 3-8.

[16] Sirazetdinov T.K., Rodionov V.V., Sirazetdinov R.T. Dinamicheskie modeli ekonomicheskogo regiona [Dynamic models of the economic region]. Kazan, Fen Publ., 2005, 320 p.

[17] Sirazetdinov R.T., Brazhkina A.A. Universalnaya strukturnaya model tipovogo ekonomicheskogo klastera [The universal structural model of a typical economic cluster]. In: Upravlinie bolshimi sistemami. Sbornik trudov [Control of large systems. Collection of works]. Moscow, Institute of Control Sciences of RAS Publ., 2010, no. 29, pp. 152-166.

[18] Mukharlyamov R.G. Vestnik Rossiyskogo universiteta druzhby narodov, seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki — Peoples' Friendship University of Russia Journal of Mathematics Informatics and Physics, 2007, no. 1, pp. 25-34.

[19] Akhmetov A.A., Mukharlyamov R.G. Vestnik Kazanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta im. A.N. Tupoleva (Herald of Kazan State Technical University named after A.N. Tupolev), 2008, no. 2, pp. 81-84.

[20] Mukhametzyanov I.A., Matukhina O.V., Chekmareva O.I. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta — Herald of Kazan Technological University, 2015, vol. 18, no. 11, pp. 210-212.

Matukhina O.V., Cand. Sc. (Phys. & Math.), Associate Professor, Department of Information Systems and Technologies, Nizhnekamsk Institute for Chemical Technology, Branch of the FSBEI HPE Kazan National Research Technological University. Research interests: information technology, mathematical modeling, numerical methods, differential equations, control theory, theoretical and analytical mechanics. e-mail: ovmatukhina@gmail.com