О задаче управления движением колесной системы с перевернутым маятником Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.3

О. В. Матухина

О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ КОЛЕСНОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРЕВЕРНУТЫМ МАЯТНИКОМ

Ключевые слова: уравнения динамики, стабилизация связей, программные связи, обратный маятник, колесная система.

Рассматривается задача управления обратным маятником на колесной системе, совершающей движения по горизонтальной плоскости в соответствии с заданной траекторией. Предлагается алгоритм построения уравнений динамики системы, движения которой обладают заданными свойствами. Определяются выражения управляющих сил, действующих на систему с целью обеспечить уравнения связей.

Keywords: equations of dynamic, stabilization, program constraints, inverse pendulum, wheeled system.

The control problem of inverse pendulum based on wheeled system is considered. The wheeled system moves along given trajectory on a plane. The algorithm of dynamic equations construction for the system which has desired properties of motion is proposed. The expressions of the control forces acting on the system to ensure the constraint equations are defined.

Введение

Перевернутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления. Наличие достаточно большого количества работ в области управления подвижными объектами [1-4] позволяет разработать эффективные методы управления движением мобильных систем, в том числе и систем с обратным маятником. Для описания динамики транспортных систем используются уравнения неголономной динамики [1] в матричной форме [3]. Задача построения алгоритмов управления рассматривается как обратная задача динамики [4]. В данной работе предлагается решение проблемы управления перевернутым маятником, закрепленным на тележке, движущейся по горизонтальной плоскости в соответствии с заданной траекторией. Шасси тележки моделируется четырехколесной системой, управление которой осуществляется моментами М ^,

М2 и д, приложенными соответственно к левому

и правому колесам задней оси и к рулевому приводу.

Фазовое состояние управляемой системы определяется векторами обобщенных координат С = ), и скоростей С] = ((у), где точкой обозначено дифференцирование по времени 1: С у = —V

dt

V = 1,..., 9 . За обобщенные координаты приняты

координаты точки опоры маятника; угол поворота передних колес, отсчитываемый от оси симметрии колесной системы; угол отклонения маятника от вертикали, восстановленной к горизонтальной плоскости в точке опоры маятника; угол между осью симметрии колесной системы и осью абсцисс; углы поворотов колес.

На координаты и скорости системы наложены уравнения связей, представленные равенствами

ф(ч, t )= 0, ф = Ц, р2), 0qq + Фt = 0 ,

(1) (2)

Ф =

q

р др2

дqv дqv

, ф =

дру др2

д t ' д t

ф(С)= 0 , ф = (ф1,ф2). (3)

Уравнения связей получены из условий качения без проскальзывания, отсутствия бокового проскальзывания всех колес, обеспечения вертикального положения маятника и движения системы по заданной траектории на горизонтальной плоскости. Уравнения движения колесной системы по заданной траектории могут быть получены в соответствии с методом, изложенным в [5, 6].

Пусть Т = Т((, (]) - кинетическая энергия, Р = Р(() - потенциальная энергия системы, L = Т- Р - функция Лагранжа. Управляющие моменты М1 , М2 и ^ призваны обеспечить выполнение уравнений программных связей [7]

ФЙД) - y(t) = 0, Ф^ + Фt - y(t) = 0,

^(q ,q,t) - y(t) = 0.

(4)

(5)

(6)

Компоненты векторов избыточных пере-

dyu

менных у = (у1, У2) , у = (у 1,уУ 2) , У м = ,

^ = 1,2 , у' = (у1, у2) оценивают меру отклонения

изображающей точки в фазовом пространстве от многообразия, определяемого уравнениями голо-номных связей (1), интегрируемых дифференциальных связей (2) и неинтегрируемых дифференциальных (неголономных) связей (3). Уравнения возмущений связей [7, 8] можно представить в виде

z = (УУ2'У1'У'2), Az =

z = Az Г dzj ^

dt

v /

j = 1'...,4.

Построение уравнений динамики

Полагая, что внешние силы отсутствуют, составим уравнения динамики системы в виде уравнений Воронца [1]:

* * а д1 д I

— X

д Ь

9 4

д Ь „к ,

Ьи + X X — РкЧ1 = О + Р

с д Я, д Я, к = 5 д Чк ^'к = 5] = 1д 4 к1]

4к = .Х,Ьк]Ч], ьк| = Ьк|(41.....ч9)

j = 1

I = 1_____4 , к = 5,...,9.

(8)

(9)

* *

В уравнениях (8) 1_ = Т - Р ,

* 1 4 *

Т = — X а*Ч,4 | - приведенная кинетическая

2и = 1 ] ]

энергия системы, выражение которой получено исключением переменных Чк (к = 5,...,9) с помощью (9)

из выражения кинетической энергии т = Т(ч,Ч) • Силы О, соответствуют управляющим моментам М1 и М— :

О = Ь81М1 + Ь91М—,

р, Р—, Р4 - реакции связей, ^ - управляющий

момент, вк дьк| + X дЬк| ь дЬк1 X дЬк1 ь •

=——ь|,---.X—ь||

дч, I = 5 дЧ| дЧ] I = 5 дЧ|

Полагая связи (4) - (6) идеальными, запишем выражения для (, = 1,..., 4):

д Ф1 д ф—

Р =-Ли +--

, д 4, 1 д 4, —

_ (10)

и, - -1,

Тогда уравнения (43) можно представить в развернутом виде: 4 * 4

X а*41 + а, = X ] , , = 1,...,4 , (11) ] = 1 ] = 1

4 , • •

а = X а ||414|, (12)

],1 = 1 ] ]

д ф1 д ф—

С,1 = Ь6,, = Ь7,, С, =-1, С|4 =-2 (13)

М 6г 7Г д 4, ,4 д 4,

^ = М1, и— = М— , и3 = Л1, и4 = Л— (14)

Система (11) в матричном виде *

А 4+ а = Ри , (15)

А* =[а*] , а = Ц ^ О = [су], ч = (Ч^, и = (и,), И = 1,...,4 •

Определение вектора управляющих воздействий

Для определения управляющего вектора и необходимо продифференцировать уравнения (5), (6):

ФП - УП = 0,

Фп- уП = 0, п = 1,—.

Выполнив дифференцирование функций

Ф1, ф— , Ф1,Ф—, запишем систему уравнений (16) в матричном виде с учетом равенств (9), (7), (4), (6):

0 4+ в- Л Б = 0

0 =

ГФ 1 Ч

Ф •

V Ч у

(17)

(18)

Ф =

4

д Фп + X ^

д 4

д Чк

] к=5

в1, в]= ] Ч1'Ч1 у

Ф4 =

д 41

ЛБ =

СБ_|

Л

Б = ( Ф1, Ф—,Ф1, Ф—)

(19)

(20)

] = 1,...,4, п = 1,—,

Систему уравнений (15) можно записать в виде, разрешенном относительно старших производных 4:

4 = ( А* 1 \йи- а). (21)

Подстановка (21) в систему уравнений (17) приводит к следующему выражению * 1-1 _

(22)

0V А 1 (и-а)+ в = Л Б

Разрешив уравнения (22) относительно и

получим выражение для вектора управления

(

и =

*\-1 01 А 1 Р

-1

* л-1

Л Б- в+ 01 А I а

Л

(23)

V /V /

В соответствии с (14), (10), можно записать выражения управляющих моментов М^М—,^ ,

обеспечивающих вертикальное положение маятника при движении системы по заданной траектории: М1 = и1,

М— = и—,

д Ф1 д Ф—

^ =--и~ + —— ил •

3 д43 3 д43 4

С учетом (21), (23) запишем уравнения движения в виде:

СЧ •

— = 4, С

С4 Г Г *Л-1 ^ ' *Л-1 1

^ = 1А I О 0| А 1 О

01А

ЛБ- в+ 01А

- а

(24)

Система (24), состоящая из восьми уравнений с восьмью неизвестными 41,4—, 43,44,4^4 — ,43, <44 ,

интегрируется совместно с уравнениями ^ *

СЧ

Л

= 4 ,

^=вч. сt

*

ь

к]

С* = (,...,(9), с* = (с(9), В = (Ьк]) , Ьк]

(к = 5,...,9, ] = 1,...,4) определяются в соответствии с (9). Движение, описываемое уравнениями (24), (25), должно удовлетворять уравнениям программных связей (4) - (6).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 13-08-00535.

Литература

1. Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев. Динамика неголономных систем. М., Наука, 1967, 519 с.

2. Г.В. Коренев. Цель и приспособляемость движения. М., Наука, 1974.

3. Ю. Г. Мартыненко. Соросовский образоват. журнал. 6, 5, 110-116 (2000).

4. П.Д. Крутько, Б.Н. Петров, Е.П. Попов. Доклад АН СССР. 247, 5, 1078-1081 (1979).

5. О.В. Ибушева, Р.Г. Мухарлямов. Учен. зап. Казан. унта. Сер. физ.-матем. науки. 150, 3. 133-139 (2008).

6. О.В. Матухина, Вестн. Казан. технол. ун-та, 15, 11, 272-274 (2012).

7. Р.Г. Мухарлямов. Прикладная математика и механика. 70, 2, 236-249 (2006).

8. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина, Вестн. Казан. технол. ун-та, 15, 12, 220-224 (2012).

© О. В. Матухина - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационных систем и технологий НХТИ КНИТУ, [email protected].

© O. V. Matukhina - candidate physical and mathematical sciences, Department of information systems and Technologies NCHTI KNRTU, [email protected].