CC BY
39
2003 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 3 (№ 17)
АСТРОНОМИЯ
УДК 521:27
В. В. Витязев, А. Ю. Шляпникова
О ВЗАИМНОЙ ОРИЕНТАЦИИ И ВРАЩЕНИИ СИСТЕМ ОТСЧЕТА FK5 И HIPPARCOS*
1. Введение. По решению XXIII Генеральной ассамблеи МАС с 1 января 1998 года в астрономии в качестве стандарта была введена новая система координат — ICRS (International Celestial Reference System). В оптическом диапазоне она реализована каталогом HIPPARCOS [2] подобно тому, как прежняя система координат реализовывалась каталогом FK5 [4].
Традиционно переход к новой системе отсчета сопровождался получением систематических разностей, позволяющих произвести редукцию наблюдений из прежней системы в новую. Очевидно, что такая же задача возникает и при переходе от системы FK5 в систему каталога HIPPARCOS. Тем не менее, для связи систем FK5 и HIPPARCOS авторы каталога HIPPARCOS применили модель жесткого вращения [2].
Рассмотрим эту модель для систем координат, реализуемых каталогами FK5 и HIPPARCOS. Обозначим через (ар,Sp) сферические координаты звезды в системе FK5, отнесенные к некоторой эпохе, а через (ан, Sh) — координаты этой же звезды в системе отсчета HIPPARCOS на ту же самую эпоху. Если две системы соотносятся между собой с помощью жесткого вращения, т.е. вторая система координат получается из первой путем ее поворотов вокруг осей X, Y,, Z на малые углы ei,е2, ез соответственно, то разности экваториальных координат могут быть выражены через эти углы следующим образом [5]:
(ар — ан) cos S = e1 sin S cos а + е2 sin S sin а — е3 cos S, Sp — Sh = —ei sin а + cos а.
Для интерпретации разностей собственных движений используются аналогичные уравнения:
(^ар — 1^ан) cos S = Ш1 sin S cos а + ш2 sin S sin а — ш3 cos S, — HsH = —^i sin а + cos а,
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 02-02-16570) и Совета по грантам Президента РФ для поддержки ведущих научных школ (грант № 00-15-96775).
© В. В. Витязев, А. Ю. Шляпникова, 2003
где и?, из — компоненты угловой скорости взаимного вращения осей систем отсчета FK5 и HIPPARCOS. В формулах (1) и (2) экваториальные координаты а и S могут быть взяты либо из FK5, либо из каталога HIPPARCOS.
Исследование адекватности модели жесткого вращения реальным разностям положений и собственных движений звезд каталогов FK5 и HIPPARCOS было проведено в работе [10]. Настоящая статья посвящена дальнейшему изучению этого вопроса.
2. Раздельные и совместное решения. Обычно параметры взаимной ориентации двух систем отсчета получают методом наименьших квадратов из совместного решения уравнений (1)-(2) без анализа результатов их раздельных решений. В последнее время для решения этой задачи стали использовать метод представления систематических разностей координат и собственных движений звезд по системам векторных сферических функций [6]. Рассмотрим связь совместного и раздельных решений уравнений в обоих методах. Ввиду однотипности этих уравнений последующий анализ мы проведем только для уравнений (1).
2.1 Метод наименьших квадратов (МНК). В работе [9] показано, что при равномерном распределении звезд на небесной сфере результаты совместного решения МНК связаны с одноименными результатами, полученными при раздельном решении уравнений (1), следующими зависимостями:
= (ef + 3е?)/4,
= (е% + 3е2)/4, (3)
= е3а.
2.2. Метод векторных сферических функций. Рабочей группой ESA для определения параметров взаимной ориентации и вращения систем отсчета каталогов FK5 и HIPPARCOS был применен метод разложения систематических разностей координат и собственных движений звезд по системе векторных сферических функций [6]. Результаты, полученные ими по 1535 звездам каталога FK5 на среднюю эпоху 1991.25 наблюдения звезд в каталоге HIPPARCOS, показаны в таблице 1.
Анализируя метод сферических функций, мы показали, что в случае разного вращения в системах прямого восхождения и склонения этот метод дает результат, идентичный тому, который получается с помощью МНК при совместном решении основных уравнений.
Таблица 1
Параметры ориентации и вращения
Ориентация [mas] Вращение [mas/yr]
ei = -18.8 ±2.3 е2 = -12.3 ±2.3 е3 = +16.8 ±2.3 Ш! = -0.10 ±0.10 Ш2 = +0.43 ±0.10 шя = +0.88 ±0.10
2.3. Критика совместного решения. В обоих рассмотренных методах совместное решение основных уравнений является линейной комбинацией результатов их раздельного решения. Более того, из (3) следует, что совместное решение всегда приписывает тройной вес ¿-решению по сравнению с а-решением. Это объясняет, почему результат совместного решения часто оказывается близким к решению, полученному по склонению.
По результатам тестирования на модельных примерах нами было показано, что если разности координат искажены систематическими ошибками, то одноименные параметры, полученные из раздельных решений, могут сильно различаться между собой.
При сравнении систем FK5 и HIPPARCOS нужно иметь в виду, что в обоих компонентах присутствуют систематические ошибки, обусловленные, по крайней мере, каталогом FK5. Также следует иметь в виду, что в классической астрометрии прямые восхождения и склонения звезд измеряются независимо друг от друга на разных инструментах. Поэтому систематические ошибки по обеим координатам могут иметь разный характер, и, как уже говорилось, совместное решение может оказаться хуже, чем каждое из раздельных решений. Окончательный ответ на этот вопрос можно получить с помощью тестирования модели жесткого вращения [9].
3. Численные результаты. В этом параграфе мы представим результаты решения уравнений (1)—(2) по разностям координат и собственных движений вида FK5-HIPPARCOS.
3.1. Отбор звезд. Для анализа мы составили каталог индивидуальных разностей FK5-HIPPARCOS, содержащий 1232 звезды. 303 звезды были отброшены как кратные системы. Мы считаем, что из всех 1535 звезд только эти 1232 звезды пригодны для решения задачи о связи систем каталогов FK5 и HIPPARCOS в том смысле, как это понимается в астрометрии.
3.2. Эпохи сравнения. Исследование модели жесткого вращения было сделано нами для двух эпох. Первая, Tp = 1949.4 — это средняя эпоха каталога FK5. Отнесенные к ней координаты звезд FK5 практически не зависят от их собственных движений и в предположении о безупречности собственных движений звезд каталога HIPPARCOS систематические разности вида FK5-HIPPARCOS могут служить материалом для исследования системы FK5 по отношению к системе ICRS, реализуемой в оптическом диапазоне каталогом HIPPARCOS. Вторая эпоха, TH = 1991.25 — это средняя эпоха наблюдения звезд в каталоге HIPPARCOS. Ее часто используют в процедурах сравнения FK5 с каталогом HIPPARCOS, хотя разности координат звезд сильно коррелируют с разностями их собственных движений.
При вычислении систематических разностей координат и собственных движений звезд переход с одной эпохи на другую производился по точным формулам редукций, учитывающим изменение всех астрометрических параметров (см. [2], vol. 1, pp. 94-99).
3.3. МНК-решения. По выбранным звездам мы получили оценки параметров жесткого вращения с помощью раздельного и равновесового совместного решений уравнений (1)-(2) с помощью МНК. Полученные результаты представлены в таблице 2. Поскольку разности собственных движений звезд практически не зависят от эпохи, все результаты, полученные из их анализа, здесь и дальше даются без указания эпохи. Заметим также, что полученные авторами HIPPARCOS оценки (табл. 1) близки к оценкам полученным нами из совместного решения на эпоху 1991.25 (табл. 2). Это обстоятельство вполне понятно, поскольку, как было нами показано выше, совместные решения уравнений (1)-(2), полученные c помощью МНК и методом векторных сферических функций, теоретически должны совпадать точно.
Обратимся теперь к результатам раздельных решений. Из таблицы 2 мы видим, что углы ex и 62 при получении их раздельно по прямым восхождениям и склонениям на эпоху 1991.25 имеют значения разных знаков. Такая же ситуация имеет место и для компонентов угловой скорости ¡1. Значения параметров 62 на эпоху 1949.4 и ¡2 имеют существенные различия.
Это обстоятельство является достаточным аргументом для того, чтобы подвергнуть сомнению правильность применения модели взаимного жесткого вращения для интерпретации систематических разностей координат и собственных движений звезд систем FK5 и HIPPARCOS.
Таблица 2
Взаимная ориентация и угловая скорость
вращения [тав/ут] систем отсчета РХ5 и HIPPARCOS
Да соей (1991.25) Дй (1991.25) СОМВ (1991.25)
£1 1.4±5.7 -22.5±4.0 -15.9±4.5
£2 14.1±5.7 -20.0±4.0 -10.8±4.5
ез 17.2±3.1 — 17.1±4.7
Да соей (1949.4) Дй (1949.4) СОМВ (1949.4)
<И -11.9±6.3 0.9±4.1 -2.5±4.8
£2 -26.8±6.3 -39.9±4.1 -36.5±4.8
ез -16.2±3.4 — -16.2±5.0
Аца соей Д/М СОМВ
шл 0.32±0.20 -0.56±0.11 -0.32±0.14
Ш2 0.98±0.20 0.48 ±0.11 0.61±0.14
шз 0.80±0.11 — 0.80±0.14
4. Уравнение яркости. Одной из причин, которая может нарушить жесткость модели взаимной ориентации и вращения астрометрических систем отсчета, является систематическая ошибка «уравнения яркости». С целью проверки этого предположения мы провели решение основных уравнений (1)—(2) для 568 ярких (т < 4.74) и для 664 слабых (т > 4.74) звезд. Полученные нами результаты этих решений для двух эпох сравнения показывают, что указанный эффект действительно существует, но он не приводит к существенному различию значений параметров модели ¡1, ¡2 и 62, 63, полученных по ярким и слабым звездам на эпоху 1949.4. Все же, имеющиеся эффекты уравнения яркости в параметрах вращения приводят к сильному его нарастанию в параметрах ориентации на эпоху 1991.25. Однако, для нас важно то, что значения этих параметров, полученные путем решения каждого из уравнений в системах прямых восхождений и склонений для фиксированной группы звезд, по-прежнему оказываются различными, что вновь указывает на существование различных вращений в этих системах.
Сравнительно небольшое число звезд, по которому приходится проводить наш анализ, не позволяет уменьшить шаг разбиения интервала блеска звезд. Для преодоления этого препятствия введем в рассмотрение модель жесткого вращения с параметрами, зависящими от блеска звезд:
ег = а^оЯо(т) + о,ъ,\Н\(т) + ^^(т), (4)
¡г = Ьг,оЯо(т) + Ъъ,\Н\(т) + Ъг2Н2(т).
Здесь ог^ ,Ъг^ — коэффициенты уравнения яркости (г = 1, 2, 3), Hj — полиномы Эрмита (2 = 0,1, 2), т — безразмерная звездная величина, которая вычисляется по формуле:
т — то то = -,
где то - средняя звездная величина звезд сравнения, а ат — среднеквадратичное уклонение звездных величин от средней.
Смысл введения уравнения яркости в модель жесткого вращения состоит в том, чтобы попытаться найти такие значения т, для которых одноименные параметры (4), определенные по уравнениям (1)-(2) совпадают. Однако, в ходе работы выяснилось, что за счет усложнения модели жесткого вращения удалось согласовать значения только параметра 61 для т « 6 на эпоху 1991.25, и параметра ¡2 для т « 2.46 и т « 6. Остальные параметры согласовать не удалось.
5. Метод ROTOR. В этом параграфе мы исследуем реальность существования взаимного вращения каталогов FK5 и HIPPARCOS в системах прямого восхождения и склонения. С этой целью мы произведем тестирование модели жесткого вращения методом ROTOR (ROTation by Orthogonal Representation) [9].
Главная идея этого метода такова. Выполнив разложение правых частей уравнений (1)—(2) по сферическим функциям, можно убедиться в том, что получающиеся при этом коэффициенты разложения пропорциональны величинам еi или w. Для калибровки метода достаточно получить разложения по сферическим функциям искусственных систематических разностей, вычисленных с помощью уравнений (1)—(2) при единичных значениях параметров. Если реальные разности положений и собственных движений звезд двух каталогов действительно отражают эффект их взаимного твердотельного вращения, то, поделив друг на друга коэффициенты разложения реальных и искусственных данных, мы только из одного уравнения получим несколько (теоретически бесконечно много) оценок для каждого из искомых параметров. Обычно на практике удается получить первые две оценки каждого параметра. Очевидно, что совпадение этих оценок является свидетельством совместности наблюдательных данных и модели жесткого вращения. Наоборот, различие получающихся оценок свидетельствует о том, что используемая модель не соответствует данным наблюдений. Особо отметим, что метод ROTOR позволяет протестировать модель жесткого вращения не только путем сравнения значений одноименных параметров, полученных в системах прямого восхождения и склонения, но и в каждой из этих систем независимо друг от друга.
Практическая реализация метода ROTOR основана на следующем представлении разностей положений и собственных движений звезд двух каталогов [1]:
где Knki — сферические функции, нормировка которых указана в работе [9]. Здесь и в дальнейшем индексом n обозначен порядок полинома Лежандра, индексом к — номер Фурье-гармоники, а третий индекс l используется для идентификации косинусной или синусной компоненты каждой гармоники.
Полученные первые две оценки искомых параметров представлены в таблице 3.
Проведя анализ полученных результатов отдельно по углам взаимной ориентации и по компонентам угловой скорости систем отсчета FK5 и HIPPARCOS, мы сделали следующие выводы: взаимный поворот относительно оси Z определяется только в системе прямых восхождений. Из таблицы 3 видно, что хотя для параметра ез обе оценки оказались значимыми, они очень сильно отличаются друг от друга. Это свидетельствует о том, что взаимного поворота систем отсчета FK5 и HIPPARCOS вокруг оси Z не существует. Оценки параметра ei, полученные и в системе прямых восхождений, и в системе склонений, свидетельствуют о том, что и поворот вокруг оси X также отсутствует.
Интересно отметить ситуацию, полученную для угла поворота вокруг оси Y. Каждая пара оценок для параметра е2, полученная по прямому восхождению (таблица 7) непротиворечива внутри себя для обеих эпох сравнения. Наоборот, в системе склонений обе оценки сильно расходятся. Другими словами, в разностях Да cos S обнаруживается взаимный поворот вокруг оси Y, однако, этот эффект отсутствует в разностях ДS.
Анализ разностей собственных движений дает такой же результат: взаимное вращение вокруг осей X и Z отсутствует, а вращение вокруг оси Y обнаруживается только в разностях собственных движений звезд по прямому восхождению.
(5)
Таблица 3
Метод ROTOR: оценки параметров взаимной ориентации [ma^j и вращения [mas/yj систем отсчета FK5 и HIPPARCOS. е| — параметры на эпоху 1949.4; ei — на 1991.25
оценки из уравнений для Да eos ó и Д//м eos ó
п к 1 I оценка п к 1 II оценка
eí 2 1 1 -3.2 ± 7.1 4 1 1 -33.0 ± 19.4
eí 2 1 0 -37.9 ± 7.1 4 1 0 -26.6 ± 18.8
0 0 1 -12.5 ± 3.5 2 0 1 -30.3 ± 11.6
£1 2 1 1 -0.7 ± 5.2 4 1 1 4.7 ± 14.3
£2 2 1 0 20.2 ± 5.2 4 1 0 22.5 ± 13.8
£3 0 0 1 13.2 ± 2.6 2 0 1 102.8 ± 8.5
ш i 2 1 1 0.06 ± 0.21 4 1 1 0.90 ± 0.57
CÜ2 2 1 0 1.39 ± 0.20 4 1 0 1.17 ± 0.54
сиз 0 0 1 0.62 ± 0.10 2 0 1 3.18 ± 0.34
оценки из уравнений для Д<5 и Д//0
eí 1 1 0 -3.7 ± 4.0 3 1 0 36.8 ± 15.2
1 1 1 -40.7 ± 4.0 3 1 1 -82.0 ± 15.6
£1 1 1 0 -28.0 ± 3.5 3 1 0 -6.0 ± 13.3
£2 1 1 1 -24.7 ± 3.5 3 1 1 -12.9 ± 13.6
шл 1 1 0 -0.58 ± 0.11 3 1 0 -1.02 ± 0.43
CÜ2 1 1 1 0.37 ± 0.11 3 1 1 1.89 ± 0.44
В связи с этим интересно отметить, что это вращение вокруг оси Y имеет вполне естественное объяснение. Дело в том, что параметр ¡2 и поправка Ар к принятому значению лунно-солнечной прецессии связаны между собой соотношением [3]
¡2 = —Ар sin е, (6)
где е — наклон экватора к эклиптике. Взяв из таблицы 3 значение ¡2 = 1-39 ± 0.20 mas/yr, определенного в системе Аа cos S, из уравнения (5) получаем Ар = —3.5 ± 0.5 mas/yr. Это значение находится в хорошем согласии с результатами РСДБ наблюдений (—3.6 ± 1.1 mas/yr [12]) и с определениями прецессии с помощью каталогов наземной и космической астрометрии (—2.8±0.8 mas/yr; —3.4±1.0 mas/yr [11]). Такой же результат мы могли получить и с помощью параметра ¡2, определенного в системе склонений, но как свидетельствует метод ROTOR, в системе собственных движений по склонению жесткого вращения вокруг оси Y нет. По-видимому, оно маскируется сильной высокочастотной помехой, о чем свидетельствует сравнение двух оценок этого параметра.
В своей работе [7] Миньяр и Фрошле для поправки постоянной прецессии получили величину Ар = —1.5 ± 0.7 mas/yr, что не согласуется с данными РСДБ наблюдений. С точки зрения нашего анализа этот результат находит простое объяснение. Дело в том, что указанные авторы для определения поправки постоянной прецессии использовали значение ¡2 = 0.60 ± 0.27 mas/yr, полученное ими по 1233 звездам методом векторных сферических функций. Как нами было показано выше, такой подход приписывает системе склонений тройной вес по сравнению с системой прямых восхождений и равносилен определению этой величины в основном из собственных движений по склонению, где жесткого вращения нет. Сравнение нашего результата с результатами Миньяра и Фрошле свидетельствует в пользу правильности нашего подхода к изучению систематических разностей положений и собственных движений каталогов FK5 и HIPPARCOS.
6. Заключение Главный результат нашего исследования заключается в следующем: разности координат и собственных движений звезд систем FK5 и HIPPARCOS не
являются результатом единого механизма взаимного поворота и вращения осей координат этих каталогов. Моделью жесткого вращения можно описать взаимное вращение наших систем отсчета вокруг оси Y только в системе прямого восхождения звезд. Это можно объяснить тем, что в наземной меридианной астрометрии (продуктом деятельности которой является каталог FK5) абсолютные определения прямых восхождений и склонений производят независимо друг от друга на инструментах различного типа — на пассажном инструменте и на вертикальном круге. Каждый из этих инструментов имеет свои индивидуальные ошибки ориентации. По всей видимости, обнаруженное с помощью метода ROTOR вращение в системе прямого восхождения и отсутствие вращения как такового в системе склонения каталога FK5 объясняются этими причинами. Тем более это свидетельствует о том, что существующие разности положений и собственных движений FK5-HIPPARCOS нельзя интерпретировать как результат единого .механизма взаимного поворота и взаимного вращения.
По нашему мнению проблема связи каталогов FK5 и HIPPARCOS сводится к простому определению систематических разностей положений и собственных движений общих звезд без предварительной редукции каталога FK5 на систему каталога HIPPAR-COS с помощью модели жесткого вращения. Так поступили Миньяр и Фрошле [7], применив, однако, для вычисления систематических разностей грубый метод осреднения индивидуальных разностей по площадкам 230 квадратных градусов. В противоположность этому Шван [8] использовал точный метод представления систематических разностей по ортогональным функциям, предварительно убрав из наблюдательных данных фиктивный эффект взаимного жесткого поворота и вращения систем отсчета каталогов FK5 и HIPPARCOS. Как мы видим, эти два подхода не свободны от существенных недостатков. Устранению этих недостатков будет посвящена наша следующая статья.
Summary
Vityazev V. V., Shlyapnikova A. Yu. Mutual orientation and rotation of the FK5 and HIPPARCOS frames.
The rigid body rotation model widely used nowadays in astrometry for connecting the FK5 and HIPPARCOS frames is analyzed. Conclusion is made that the model of rigid body rotation is not consistent with the real systematic differences in positions and proper motions of the FK5 and HIPPARCOS frames and must not be used as a tool to connect the frames.
Литература
1. Brosche P. Representation of systematic differences in positions and proper motions of stars by spherical harmonics // Veroff. Astron. Rechen-Inst. 1966. Heidelberg, N 17. Р. 1-27.
2. The Hipparcos and Tycho Catalogues. European Space Agency, 1997.
3. Fricke W. Basic material for the determination of precession and of Galactic rotation and a review of methods and results // Veroff. Astron. Rechen-Inst. Heidelberg. N 28. 1977. Р. 52.
4. Fricke W., Schwan H., and Lederle T. Fifth Fundamental Catalogue (FK5), Part I. Basic Fundamental Stars. 1988.
5. Kovalevsky J. Linking the Hipparcos Catalogue to the extragalactic reference system // Astron. Astrophys. 1995. Vol. 304. P. 189-201.
6. Mignard F., Morando B. Analyse de catalogues stallaires au moyen des harmoniques vec-torelles // Journees 90. Systemes de reference spatio-temporels. Paris, 1990. P. 151-158.
7. Mignard F., Froeschle F. Global and local bias in the FK5 from the HIPPARCOS data // Astron. Astrophys. 2000. Vol. 354. P. 732-739.
8. Schwan H. An analytical representation of the systematic differences HIPPARCOS-FK5 // Astron. Astrophys. 2001. Vol. 367. P. 1078-1086.
9. Vityazev V. The ROTOR: a new method to derive rotation between two reference frames // Astron. & Astrophys. 1994. Vol.4. P. 195-218.
10. Vityazev V. The link of FK5 to HIPPARCOS: is the model of rotation sufficient to tie the FK5 and HIPPARCOS frames // Journees 99. Systemes de reference spatio-temporels. Dresden, 1999. P. 14-16.
11. Vityazev V. Precession derived from the HIPPARCOS and ground-based catalogues // Journees 2000, Systemes de reference spatio-temporels. Paris, 2000. P. 121-122.
12. Walter H. G., and Ma C. Correction to the luni-solar precession from very long baseline interferometry // Astron. Astrophys. 1994. Vol.284. P. 1000-1006.
Статья поступила в редакцию 24 декабря 2002 г.
