CC BY
32
АСТРОНОМИЯ
УДК 521:27
В. В. Витязев, А. Ю. Шляпникова FK5-HIPPARCOS:
СИСТЕМАТИЧЕСКИЕ РАЗНОСТИ ПОЛОЖЕНИЙ И СОБСТВЕННЫХ ДВИЖЕНИЙ ЗВЕЗД
1. Введение и постановка задачи. Первая попытка связать системы отсчета, задаваемые каталогами FK5 и HIPPARCOS, состояла в получении шести параметров, описывающих ориентацию и вращение системы отсчета FK5 относительно HIPPARCOS [1]. Всестороннее изучение модели жесткого вращения [10] сделала очевидным тот факт, что модель твердотельного вращения не адекватна реальным разностям положений и собственных движений звезд каталогов FK5 и HIPPARCOS и не должна применяться для связи систем указанных каталогов.
Миньяр и Фрошле [3] для вычисления систематических разностей FK5-HIPPARCOS применили метод осреднения индивидуальных разностей по площадкам 230 квадратных градусов. Достоинством такого подхода является то, что в исходные индивидуальные разности не вносились никакие поправки. Но такой метод имеет серьезные недостатки, так как результат его применения зависит от выбора размеров площадок на сфере, кроме того метод осреднения по площадкам плохо обобщается на случай зависимости систематических разностей от дополнительных аргументов: блеска и спектра звезд. В противоположность этому Шван [4] использовал точный метод представления систематических разностей по ортогональным функциям, но применил его к искаженным исходным данным, предварительно убрав из них фиктивный эффект взаимного жесткого поворота и вращения систем отсчета каталогов FK5 и HIPPARCOS. Эти два подхода не лишены существенных недостатков: в первом случае используются неискаженные данные, но грубый метод их представления, во втором — искаженные данные с последующим корректной их аппроксимацией.
По нашему мнению, чтобы правильно связать системы отсчета FK5 и HIPPARCOS, необходимо отказаться от модели жесткого вращения. В нашей статье мы используем аппроксимацию систематических разностей FK5-HIPPARCOS на множестве ортогональных функций «Лежандр—Эрмит—Фурье» [5], не убирая из начальных данных эффект глобального вращения.
© В. В. Витязев, А. Ю. Шляпникова, 2005
2. Функции Лежандр—Эрмит—Фурье. Для получения систематических разностей FK5-HIPPARCOS используем метод предложенный Броше [2]. В основе этого метода лежит использование тригонометрических полиномов по прямому восхождению, но при этом зависимость от второй координаты сферических гармоник позволяет осуществить гибкое воспроизведение хода систематических разностей по склонению. Важным свойством метода Броше является сравнительно простая формализация процедуры разделения случайной и систематической составляющих. Результатом представления систематических разностей по методу Броше является набор статистически значимых коэффициентов разложения, с помощью которых можно вычислить значение систематической разности в любой точке сферы. Этот метод получил широкое распространение в астрометрии в последние годы. Его модификация, основанная на применении в качестве базисных функций произведения ортогональных полиномов Лежандра, Эрмита и Фурье, применялась при составлении каталога FK5 [5]. Именно эта версия аналитического метода была использована нами для получения систематических разностей каталогов FK5 и HIPPARCOS с учетом их зависимости не только от координат на сфере, но также и от блеска звезд. Ниже мы даем описание базисных функций и использованного нами алгоритма.
Представим индивидуальные разности в следующем виде:
д
/(а, 5, т) = В2 (а,5,т)+е, (1)
з=о
где {У2(а, 5, т)}, ] = 0,1,... — система неких базисных функций, ортогональных в области
0 < а < 24н, < 5 < 52, т\ < т < т2.
Сутью аналитического метода является определение коэффициентов разложения систематической части исходных разностей по выбранной системе базисных функций, в качестве которых берут произведения классических ортогональных полиномов. Каждый полином зависит только от одной из переменных а, 5 и т. В нашем случае базисные функции составляют полиномы Лежандра, Эрмита и Фурье. Тогда основное уравнение будет иметь вид
/(а, 5, т) ^ ^ Врпк1 ^рпк1 (а, 5, т) + &, (2)
рпк1
где базисные функции задаются выражением
%рпЫ = Йрпк1 Нр(т')^п(')Рк1(а). (3)
В этой формуле полиномы Эрмита Нр определяются с помощью рекуррентного соотношения
Нр+1 (т) = тНр(т) —рНр-1(т), р =1,2,...
Но = 1, Н1 = т, Н2 = т2 — 1,...
где т — безразмерная звездная величина, которая вычисляется по формуле т =
(т — то)/ат, где то — средняя звездная величина звезд сравнения, а ат — средне-
квадратичное уклонение звездных величин от средней.
Для вычисления полиномов Лежандра можно также использовать рекуррентное соотношение следующего вида:
Ln+i(S) = ^^SLn(S) - r^—Ln-\{5)
n + 1 n +1 (5)
n = 0,1, 2,..., Lq = 1, Li = 6,
где
г = (1"Л s+s (6)
liSr-fSt. *i <*<■%:
Si = sin 6i, S2 = sin 62.
Для описания зависимости систематических разностей от прямого восхождения используются тригонометрические функции Фурье:
{1, l = -1,k = 0,
cos kla, l = +1,k = 1,2,..., (7)
sin(—Ika), l ^ —1, k ^ 1, 2,. ..
Базисные функции нормируются с помощью множителя
о V2n+ 1 (l, к = 0,
ЕгШ - ~Ж~ 1 V2, кф 0. (8)
3. Численные результаты. В этом параграфе мы представим таблицы полученных коэффициентов разложения, а также графическое представление систематической части разностей координат и собственных движений вида FK5-HIPPARCOS по системе функций «Лежандр—Эрмит—Фурье».
3.1. Отбор звезд. Для анализа мы составили каталог индивидуальных разностей FK5-HIPPARCOS, содержащий 1232 звезды; 303 звезды были отброшены как кратные системы. Многие авторы используют 1233 звезды. Но звезда с номером 104214 в каталоге HIPPARCOS не выделена как двойная, а в документации к каталогу отмечается, что 61Cyg кратная система, поэтому эта звезда не учитывалась в нашем анализе. Мы считаем, что из всех 1535 звезд только эти 1232 звезды пригодны для решения задачи о связи систем каталогов FK5 и HIPPARCOS в том смысле, как это понимается в астрометрии.
3.2. Эпоха сравнения. Мы использовали среднюю эпоху наблюдения звезд в каталоге HIPPARCOS — Th = 1991.25. Ее часто используют в процедурах сравнения FK5 с каталогом HIPPARCOS. При вычислении систематических разностей координат и собственных движений звезд переход с одной эпохи на другую производился по точным формулам редукций, учитывающим изменение всех астрометрических параметров [1].
3.3. Обсуждение результатов. Мы получили коэффициенты разложения систематических разностей по функциям типа «Лежандр—Эрмит—Фурье» для p=2, n=10, k=6. Результаты представлены в таблицах 1-2. Отделение шумовой компоненты от систематической было сделано нами с вероятностью, превышающей 0.95. Интересно отметить, что уравнение яркости уверенно определилось лишь для разностей Да cos 6 (7 гармоник) и для Д^а cos 6 (2 гармоники), для разностей Д6, Д^ зависимость от блеска звезд отсутствует.
Таблица 1. Аналитическое представление систематических разностей FK5-HIPPARCOS вида Аа cos 6 и AS [mas]
Аа cos 6 AS
j Р n k Щ j р n к 1 щ
1 0 2 0 - -25.78 1.99 1 0 0 0 -1 -49.23 2.23
2 0 3 0 - 21.90 1.93 2 0 1 0 -1 29.74 2.19
3 0 4 0 - -17.87 1.89 3 0 2 0 -1 18.42 2.06
4 0 7 0 - -6.13 1.95 4 0 3 0 -1 -6.92 2.10
5 0 0 1 - -16.56 2.03 5 0 5 0 -1 -22.36 2.12
6 0 1 1 - -7.20 2.01 6 0 7 0 -1 5.90 2.08
7 0 2 1 - 24.15 1.98 7 0 8 0 -1 -6.40 2.05
8 0 7 1 - -6.21 1.88 8 0 9 0 -1 10.92 2.02
9 0 7 1 6.29 1.94 9 0 0 1 -1 -17.85 2.23
10 0 0 21 11.54 2.13 10 0 0 11 16.11 2.24
11 0 2 21 -7.58 2.03 11 0 2 5.88 2.10
12 0 5 21 -6.72 1.89 12 0 2 11 -6.55 2.05
13 0 7 2 - 7.33 1.88 13 0 3 11 5.58 2.09
14 0 0 31 6.33 2.08 14 0 4 5.16 2.00
15 0 1 3 - -8.44 1.96 15 0 5 11 6.22 2.07
16 0 1 31 -3.57 2.00 16 0 0 21 -8.04 2.23
17 0 3 31 -8.27 1.96 17 0 2 21 6.47 2.07
18 0 0 4 - -13.21 2.06 18 0 7 21 6.97 2.05
19 0 1 41 8.75 1.95 19 0 2 4 -1 7.03 2.10
20 0 3 4 - -4.83 1.93 20 0 0 61 6.16 2.27
21 0 4 4 - 8.79 2.04
22 0 5 41 -5.79 1.88
23 0 8 4 - 5.14 1.93
24 0 3 51 -5.85 1.87
25 0 0 6 - 4.87 2.02
26 0 2 6 - 5.79 1.89
27 1 5 0 - -10.60 2.11
28 1 6 0 - 4.95 2.18
29 1 3 11 7.14 2.34
30 1 7 11 4.20 2.23
31 1 5 31 -4.41 2.41
32 2 7 4 - 14.34 4.75
33 2 6 5 - 12.92 4.95
Таблица 2. Аналитическое представление систематических разностей
FK5-HIPPARCOS вида А^ а и A^s mas/yr]
а
j Р n к Щ ав, j Р n к 1 В} °Bi
1 0 0 0 - 0.46 0.08 1 0 0 0 -1 -0.32 0.07
2 0 2 0 - -0.67 0.08 2 0 1 0 -1 0.50 0.07
3 0 3 0 - 0.79 0.07 3 0 4 0 -1 0.29 0.07
4 0 4 0 - -0.68 0.07 4 0 5 0 -1 -0.53 0.07
5 0 6 0 - -0.23 0.07 5 0 8 0 -1 -0.18 0.07
6 0 7 0 - -0.16 0.07 6 0 9 0 -1 0.20 0.06
7 0 0 1 0.24 0.08 7 0 0 1 -1 -0.40 0.07
8 0 1 1 - -0.46 0.08 8 0 0 11 -0.30 0.07
9 0 2 1 - 0.41 0.07 9 0 2 11 -0.28 0.07
10 0 0 3 - 0.24 0.08
11 0 0 31 0.23 0.08
12 0 8 4 - 0.18 0.08
13 0 3 51 -0.24 0.07
14 0 9 5 - -0.18 0.07
15 1 5 0 - -0.25 0.08
16 1 3 1 0.30 0.09
Рис. 1. Графическое представление систематических разностей FK5-HIPPARCOS вида Аа cos 6 [mas] по системе функций «Лежандр—Эрмит—Фурье» при p=2, n=10, k=6.
40
30
20
10
Да
[mas] 0
-10
-20
-30
-40
90
-90 0
Рис. 2. Графическое представление систематических разностей FK5-HIPPARCOS вида Аа cos 6 [mas] с помощью модели жесткого вращения.
Д5
[mas]
Рис. 3. Графическое представление систематических разностей FK5-HIPPARCOS вида А6 [mas] по системе функций «Лежандр— Эрмит—Фурье» при p=2, n=10, k=6.
40
30
20
Д5 10 [mas]
0
-40
90
а [deg]
Рис. 4- Графическое представление систематических разностей FK5-HIPPARCOS вида А6 [mas] с помощью модели жесткого вращения.
360
0
2
0
Да
-2
[mas/yr]
-10
90
а [deg]
Рис. 5. Графическое представление систематических разностей РК5-Ы1РРЛЯС08 вида А^а [тив/ут] по системе функций «Лежандр—Эрмит—Фурье» при р=2, п=10, к=6.
-90 0
да 0.5
а
[mas/yr]
180 а [deg]
Рис. 6. Графическое представление систематических разностей РК5-Ы1РРЛЯС08 вида А^а [тив/ут] с помощью модели жесткого вращения.
360
-90 0
Д5
[mas]
Рис. 7. Графическое представление систематических разностей РК5-Ы1РРЛЯС08 вида Д^§ [тив/ут] по системе функций «Лежандр—Эрмит—Фурье» при р=2, п=10, к=6.
-90 0
Рис. 8. Графическое представление систематических разностей РК5-Ы1РРЛЯС08 вида Д^<5 [тив/ут] с помощью модели жесткого вращения.
Полученные нами коэффициенты позволяют вычислить значение искомых систематических разностей для любой звезды и, тем самым, решить задачу о переводе наблюдений, выполненных в опорной системе FK5, в новую систему отсчета, задаваемую системой каталога HIPPARCOS.
С помощью этих коэффициентов мы вычислили систематические разности для всех 1232 звезд каталога FK5, взятых в обработку. Графические представления полученных систематических разностей показаны на рисунках 1-8. При этом для каждого вида разностей (Да cos S, Д^а cos S, AS и Д^од) имеется 2 рисунка. Верхний рисунок соответствует вычислениям, произведенным по системе функций Лежандр—Эрмит— Фурье. Нижний рисунок показывает, какой вид имели бы систематические разности, если бы они соответствовали модели взаимного твердотельного вращения осей каталогов FK5 и HIPPARCOS с параметрами, определенными авторами каталога HIPPARCOS [1]. Нетрудно убедиться, что и размах, и форма этих поверхностей нисколько не соответствует реальным поверхностям, полученным нами. Это графическое сравнение еще раз доказывает несостоятельность попытки связать системы каталогов FK5 и HIP-PARCOS с помощью простой модели взаимного жесткого вращения.
Отметим одно обстоятельство, которое сразу бросается в глаза: разности вида AS имеют преимущественно отрицательные величины. Легко понять, что среднее значение этих разностей определяет смещение нуль-пунктов отсчета склонений наших каталогов. С другой стороны, количественная оценка этого смещения задается коэффициентом при гармонике с индексами p = 0; n = 0; к = 0; l = —1 в разложении функции AS. Используя данные таблицы 2, мы приходим к заключению, что плоскость экватора каталога FK5 представляет собой малый круг, параллельный экватору системы каталога HIPPARCOS и смешанный от него на величину —49.23 ± 2.23 mas в сторону северного полюса мира. Этот факт был впервые установлен в [1], где для величины смещения была дана оценка « —60 mas. Мы видим, что метод ортогональных разложений, использованный нами, практически подтверждает эту оценку.
6. Заключение. Полученные нами коэффициенты позволяют вычислить значение искомых систематических разностей координат и собственных движений звезд каталогов FK5 и HIPPARCOS для любой звезды и тем самым решить задачу о переводе наблюдений, выполненных в системе FK5, в новую систему отсчета, задаваемую системой каталога HIPPARCOS. Вычисление систематических разностей для каждой звезды на эпоху J1991.25 может быть произведено с помощью формулы (1), в которой коэффициенты разложения берутся из таблиц 1-2.
Анализ систематических разностей склонений каталогов FK5 и HIPPARCOS показывает существенное смещение экваторов этих каталогов на величину —49.23 ± 2.23 mas.
Summary
V. V. Vityazev, A. Yu. Shlyapnikova. FK5-HIPPARCOS: systematic difference of positions and proper motions.
The coefficients of decomposition of systematic difference FK5-HIPPARCOS over a set of orthogonal functions «Legendre—Hermite—Fourie» have been obtained without assumption of rigid mutual rotation of the frames.
1. The Hipparcos and Tycho Catalogues. European Space Agency, 1997, «ESA».
2. Brosche P. Representation of systematic differences in positions and proper motions of stars by spherical harmonics // Veroff, des Astron. Rechen-Inst. Heidelberg, 1966, N 17. P. 1-27.
3. Mignard F., Froeschle F. Global and local bias in the FK5 from the HIPPARCOS data // A&A, 2000. Vol. 354. P. 732-739.
4. Schwan H. An analytical representation of the systematic differences HIPPARCOS-FK5 // A&A, 2001. Vol. 367. P. 1078-1086.
5. Bien R., Fricke W., Lederle T., Schwan H. Methods for the comparison of systems of star positions to be applied in the construction of the FK5 — Veroffen // Astron. Rechen-Inst., Heidelberg. N29.
6. Fricke W. 1977, Basic material for the determination of precession and of Galactic rotation and a review of methods and results // Veroff Astron. Rechen-Inst., Heidelberg. N 28.
7. Fricke W., Schwan H., and Lederle T. Fifth Fundamental Catalogue (FK5), Part I. Basic Fundamental Stars. 1988.
8. Kovalevsky J. Linking the Hipparcos Catalogue to the extragalactic reference system // A&A, 1995. Vol. 304. P. 189-201.
9. Vityazev V. Precession derived from the HIPPARCOS and ground-based catalogues, Journees 2000, Systemes de reference spatio-temporels. Paris, 2000. P. 121-122.
10. Vityazev V. In: Soffel M., Capitaine N. (ed.). Journees 99, Systemes de reference spatio-temporels & Lohrmann-Kolloquium, Observatoire de Paris, Paris, 1999, 14-16.
11. Walter H. G., Ma C. Correction to the luni-solar precession from very long baseline inter-ferometry // Astron. Astrophys. Vol. 284. P. 1000-1006, 1994.
Статья поступила в редакцию 5 июня 2004 г.
