CC BY
12
Известия АлтГУ. Математика и механика.2019. №1 (105)
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 517.9
О вырожденных особых точках динамических систем, и меющихотношениекнормализованномупотокуРич4 и наобобщенных оаоутранствахУолааха
Н.А.мСтев
Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати (Тараз, Казахстан)
On Degenerated Singular Points of Dynamical Systems Related to the Normalized Ricci Flow on Generalized Wallach Spaces
N.A. Afo'ev
M.Kh. Du^ty TarazState University(Taraz,Kazakhstan)
особатеточкидинамиче-скойсистемы, е^с^а^уч^омоа др еяуль'^^т^ер^е.уь^г^и нормализованного потокаРитш на обo0щeннуи]:пpoссpaнcsииe Унллжа. c^f^c^f^ia^toy^e^ окпстм;^]^1^г^от
яо;^лжуоуь^1^г1^еау^]^ется е^ейнт]^иуел^1^^Еаонс мл,
^овлеоноряющихрполпкоттфнделенным ¡^{^{^м^нттстаам^.
симтемадаефферен-миалокадскр авне^р. тожезаавоти оитрел впщитевен-мылпармме epба.HA.Aбмeвбш,A.AиpaлитойcиУи сом. Ю.ЕНименоровыми МУ.Миокс^с^к^^ был.а звиИуoинмькый пс^Мооькокка^е^1^1кьсб^1^1х точеа, оcмрвaмныйвaиусe иосурбунирповерамо стимаууыиуcьи]ьpeшeetмaмщмe ноумеоизе^ьтнньму мот^к^отОу^^ом^ вырождеаные особые чo^ми.Приeeтetтвeымькс (сeoмеoвнваcкIР:)знaмeиеыуnмe CИAtтpoо было устаиоалено, чье длянepтитизoвaмииоo ьотьла УьдоинлркооoeнтныйoлtT^aöнутбгтeнe напту-няeт]утьнсИво 1амовойтл)ммй мс^о^ость мекао тоня. уть^Ми еьа[пственноЛ кoмЬpнaцaинситмеeуба.Kакeрeм-стеае, всярня дтelья быpoждeмнияаœOaя аавла можкт УНИУ пoлькопoлtниoppбoлиoтcкoй]
В мастонщой кaбoтeaтсeю симмaeмнуeжниeоacиe оич евия инзьиаео абcгeидoнyммннaашче акото свсте&де ^'^^т^еь^^ную орteоAиавнвecpот оуыelcьт.,ЫРкaзывaeтcя, нтон^]^с^г^1^рые рекильтаты уаоммнлтокоабооеоыьенуе иртвыю PвлyпмpвлутsмтиaьиРIX знтотввяхдьй стви-тельных параметров.
Ключевьи; стюваообобщенноер^стретствоХкшахе, римановаметрика, эйсштетаова месртгое.вормсшиео-оаннырпотквриччи,крив изиаРичеш.динавичтакаи сисовмт,особая ттчсе.
DQI 10.14258/izvasu(2019)1-09
In tMs paper, we study degeneratedsingular pointe lenmHbrium points) of a dynarmcal sgst:em cbtcmcc1 by redretion of)]ienormalizsd Ricc] flow angeneraHzed Wfnach ipaceS1 ^s^ewnd^ evdiy ^deyahzei1 \r^^i^^ch^]f)aseisc]ri^r^i^teryzrp by n tiipk ofpseitive iiumliee^sr^^sey^i^diwen-definnyignqud^e^i^^f^. Tyer^l]oini thi sorrespodding sysyem oediffsrrntial squattus alsodlependy on Ane reay psracnegers. an dheworkg if N.A. Adlgт,d^. Arvanrtoyeorgos, diiG. Nidonocas^: and P. Siasosonewopproasi oisi ^^ve^c^ji^dOor sindgingof singd^Per pyintS]gTisapproace isrategon tpslpe^if building asurfacoofcaanmeterr pcovipiep STfnormglizrdRlcei flowdigenernturmgular roln^f^.rPt natoal(g^omet^^e) valursofygrameteys, wa ssrggiishedIhatfor the nsrms11aed ^sciPsei tnem1poten) fason^er muri, arp ^Ji^linGrlgenro casicnn gccur snlyat cd uniyursgeslal iombinslioq ofparsmerres. Asaconseguencf,pnn o1hergegenern1esinsglarfoigt orIhesprtemmay brgnlysemllnyperba lcc.
Is tdlepcpea, we yrevic us insMciiam
lit stuny onsbrtrap) gynamicalrystem abstracted from geometric essence. It is proved that some results of the mentioned works also hold for arbitrary values of tlierea^arameters.
Key words: generalized Wallach space, Riemannian metric, Einstein metric, normalized Ricci flow, Ricci curvature, dynamical system, singular point.
Введение. Льтоор окаен [1-3] мелнтнм аьдЛе ит дИдИщуииpм нодacотиacьтм Удннкмт окемно.
атак идоотнмедьтиидед ндтомт Рмннм идacм n, еде Ricg м Sg деитнтмc aддcьуcacьуиид
я и\ OD- о /АО -1 /1\ фдоол момьмыир Рмннм м умтнпоилм момьмыил
dtg(t) = — 2RiCg +2g(t)Sgn 1 (1)
1-параметрического семейства римановых метрик g(t) на рассматриваемом пространстве (см. [1,2]).
Известно, что каждому обобщенному пространству Уоллаха соответствует тройка действительных чисел (а1,а2,а3) € (0,1/2]3 (см. [4-6]). Отметим, что классификация обобщенных пространств Уоллаха получена недавно в [7].
Как показано в [1], в случае обобщенных пространств Уоллаха уравнение (1) сводится к следующей динамической системе:
Fi • 2xi ri
Г1ах 1 + Г2а2 1 + гза3 1 а—1 + а-1 + а-1
(2)
относительно параметров хг = > 0, i =
1, 2, 3 инвариантной римановой метрики (см. детали в [4,5]), где г означают главные значения кривизны Риччи этой метрики и вычисляются по формулам
Ti
1 ai
Xk
Xj xk xixj xixk
\г,0, ^ = {1, 2, 3}, известным из [5]. В правых частях уравнений из (2) все дроби имеют знаменатель вида Ах1х2х3, где А := а1 а2 + а2а3 + а3а1. Поэтому потребуем, чтобы А = 0.
Используя первый интеграл V
1/а1 1/а2 1/а3 /0\
х1 х2 х3 системы (2), на поверхности
1
(3)
систему (2) можно заменить эквивалентной плоской системой
х г = /¿(хЬх2), (4)
где /г(х1,х2) = Fi(Xl,X2,Ч>(Xl,X2)), i = 1,2, у>(х1, х2) = х2 аз/а1 х2 аз/а2.
Пусть (х°,х2) — особая точка системы (4): /г(х0, х0) = 0. Через J := , (х°, х0) обозначим матрицу Якоби системы (4), вычисленную в точке (х1,х0). Собственные значения матрицы , находятся по формуле
Ai,2 = 0.5^ (|AI|<|A2|),
(5)
где а := р2 — 46, р := ^асе(,) и 5 := det(J).
Согласно терминологии качественной теории ОДУ особая точка называется невырожденной, если 5 = 0. Вырожденные (5 = 0) особые точки могут быть полугиперболическими (А1 = 0, А2 =0), нильпотентными (А1 = А2 = 0, , = 0) или линейно нулевыми (, = 0).
Относительно типов особых точек системы (4) в [1-3] были получены следующие результаты при естественных (геометрических) условиях аг € (0,1/2], i = 1, 2, 3:
Теорема 1 (Теорема 2 в [1]). Для системы (4) линейно нулевой случай может иметь место
только при a1 = a2 = a3 = 1/4 с единственной особой точкой (x0,x0) = (1,1), являющейся седлом с шестью гиперболическими секторами.
Теорема 2 (Теорема 5 в [3]). Имеют место следующие утверждения:
1. Не существует тройки (a1,a2,a3), которая бы обеспечила системе (4) вырожденные особые точки нильпотентного типа;
2. Если (a1,a2,a3) = (1/4,1/4,1/4), то любая вырожденная точка системы (4) имеет полугиперболический тип (седло, неустойчивый узел или седло-узел);
3. Не существует тройки (a1,a2,a3), которая бы обеспечила системе (4) особые точки (вырожденные или невырожденные) типа фокус или центр.
В настоящей работе мы снимаем ограничения ai е (0,1/2], i = 1, 2, 3 и рассматриваем (4) как абстрактную динамическую систему. Нами установлено, что в случае вырожденных особых точек теоремы 1 и 2 сохраняют свою силу. Более конкретно, справедлива
Теорема 3. Пусть a1, a2,a3 е R и A = 0. Тогда система (4) допускает особую точку линейно нулевого типа в том и только в том случае, когда a1 = a2 = a3 = 1/4. Во всех остальных случаях вырожденные особые точки системы (4) имеют полугиперболический тип.
Доказательство теоремы 3. Для изучения вырожденных особых точек системы (4) в работе [1] было введено множество
П = {(a1, a2, a3) е R3 | система (4) имеет хотя бы одну вырожденную
особую точку}
и доказано, что если (a1,a2,a3) е П, то Q(a1 ,a2,a3) = 0 (см. Лемму 4 из [1]), где
Q(ai,a2,as) = (2si + 4s3 - 1)(64sf - 64sf + 8sf + 12s2 - 6s1 + 1 + 240s3s2 - 240s3si
- 1536s|s1 - 4096s3 + 60 s3 + 768s3)
- 8s1(2s1 + 4s3 - 1)(2s1 - 32s3 - 1) (10s1 + 32s3 - 5)s2 - 16s2(13 - 52s1 + 640s3s1 + 1024s2 - 320s3 + 52si)s2
+ 64(2s1 - 1)(2s1 - 32s3 - 1)s2
+ 2048s1 (2s1 - 1)4, (6)
si = ai + a2 + a3, S2 = aia2 + aia3 + a2a3 и s3 = a1a2a3. Свойства алгебраической поверхности П, определяемой уравнением Q(a1, a2,a3) = 0, изучены в работах [8-10].
Поставим теперь вопрос о том, при каких (a1,a2,a3) е R3 система (4) может допускать хотя бы одну особую точку, удовлетворяющую усло-
x
x
j
Известия АлтГУ. Математика и механика.2019. №1(10 5)
вию а = 6 = 0. Для начала обратимся к теореме 4 из [1], утверждающей, что при а, € (0,1/2], г = 1, 2, 3, только следующие два семейства параметров могут обеспечить системе (2) особые точки со свойством а = 0:
В заключение рассмотрим еще одно семейство параметров
а1 = а2
аз
в, в € (0,1/2]
а, = а* =
(2в2 - 1) 8в2
2
-, а^ =
4в4 + 4в2 - 1
8в2
(7)
в € (в1, в2),
_ (8)
где в1 := \/2^2 - 2/2 и в2 := V2/2 (г,Э,к € {1, 2, 3}, г = э = k = г).
Продолжим изучение семейств (7) и (8) при новых предположениях а, € М, А = 0, г = 1, 2, 3.
Подстановка значений а1 = а2 = а3 = в из (7) в (6) дает равенство Q = —(2в + 1)4(4в — 1)8. Случай в = 1/4, удовлетворяющий условиям Q = 0 и а, € (0,1/2], был разобран в теореме 1. Нас интересует случай в = —1/2. Легко проверить, что при а1 = а2 = а3 = —1/2 система (2) имеет двухпараметрическое семейство особых точек х1 = —и — t, х2 = t, х3 = и, где t,u € М \ {0} и t + и = 0 ввиду х, = 0. Соответствующие особые точки плоской системы (4) получаются при значениях t и и, удовлетворяющих условию (3). Как показывают вычисления, для таких особых точек 6 = 0 и р = —2" и+и+и = 0, следовательно, а = р2 > 0.
При а1 = а2 = а3 = —1/2 система (4) обладает еще одной особой точкой х1 = х2 = 1. Здесь а = 0, но 6 = 9 > 0. Следовательно, такая точка представляет собой невырожденный узел.
Переходим к анализу семейства параметров из (8). Подставляя значения а1, а2 и а3 из (8) в (6), получаем полином Q = в8(1 — 8в2 — 4в4)(1 — 2в2)3(3—2в2)3, имеющий кратные корни 0, ±л/6/2, ±^2/2 и ±\/2^5 — 4/2 (заметим, что ни один из этих корней не принадлежит интервалу (в1, в2)).
При в = ±\/6/2 из (8) получаем значения а1 = а3 =1/3 и а2 = 7/6, обеспечивающие (2) два семейства особых точек х1 = х3 = t, х2 = 4^3 и х1 = х3 = t, х2 = — 2^3, где t = 0. Подходящие для (4) значения t в этих семействах будут определяться из условия (3). Причем а = 9/Ь2 > 0, 6 = 0 (соответственно а = 0, 6 =9) для особых точек (4), получаемых из первого (соответственно из второго) семейства особых точек.
При в = ±\/2/2 формула (8) дает значения а1 = а3 = 0, а2 = 1/2, нарушающие условие А= 0.
При в = — 4/2 из (8) получаем, что
а1 = а3 = 4 (Д , а2 = —1/2. Легко убедиться, что система (4) может иметь только невырожденные особые точки (6 = 0), доставляемые семействами х1 = х3 = t, х2 = t + tv/5 и х1 = х3 = t, х2 = 3t + tv/5 в соответствии с (3).
в2 — вл/ 2 — 3в2 2 :
в2 + в^ 2 — 3в2
ak = —в2 + 1/2, (9)
(г,Э,к € {1,2,3}, г = Э = к = г), которое было найдено в [1], но не было включено в результаты этой работы в силу несовместности системы неравенств а, > 0, г = 1, 2, 3. Дальнейший анализ показывает, что семейство (9) остается непригодным и при а, € М и А = 0. Действительно, при подстановке значений а1 , а2 и а3 из (9) в (6) получается полином Q = —64(1 — 2в2)8в8, ненулевым корням ±л/2/2 которого соответствуют значения а1 = аз = 0, а2 = 1/2.
Итак, мы разобрали все случаи и установили, что кроме а1 = а2 = а3 = 1/4 не существует других значений а, € М, удовлетворяющих условию А = 0 и обеспечивающих системе (4) особые точки со свойством а = 6 = 0. Для завершения доказательства теоремы достаточно показать отсутствие нильпотентных особых точек. Если допустить существование такой точки, то будучи в ней ненулевой, матрица Якоби 3 должна иметь нулевые собственные значения. Отсюда а = р = 0 (см. (5)), что равносильно а = 6 = 0. Мы оказались в условиях теоремы 1, согласно которой 3 = 0. Получено противоречие. Теорема 3 доказана.
Замечание. В случае невырожденных особых точек системы (4) утверждение третьего пункта теоремы 2 может оказаться неверным при а, € М, А = 0. Это объясняется тем, что знак а = р2 — 46 совпадает со знаком квадратичной формы, матрица которой имеет собственные значения 0, 2А и а2+а2+а3+А (см. лемму 5 и теорему 3 из [1]). Поэтому раньше при (а1, а2, а3) € (0,1/2]3 мы имели неравенство а > 0, означающее отсутствие фокусов и центров независимо от значений 6. Подобное неравенство не гарантировано, если 6 = 0 и А < 0.
Заключение. Мы установили, что при а, € М, А = 0 и (а1,а2,а3) = (1/4,1/4,1/4) все вырожденные особые точки системы (4) являются полугиперболическими. Согласно теории здесь возможны три вида особых точек: седла, неустойчивые узлы или седло-узлы. Однако вопрос о полной классификации полугиперболических особых точек системы (4) (идентификация вида особой точки по значениям параметров а1 ,а2 и а3) в общем случае остается открытым. Отметим только частные результаты, полученные в [2,11] в предположении а, = а^ = Ь, ak = с, где Ь,с € (0,1/2].
а
2
Библиографический список
1. Abiev N.A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu.G., Siasos P. The dynamics of the Ricci flow on generalized Wallach spaces // Differ. Geom. Appl. 2014. V. 35.
2. Abiev N.A., Arvanitoyeorgos A., Nikonorov Yu.G., Siasos P. The Ricci flow on some generalized Wallach spaces // Geometry and its Applications. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics (Switzerland, Cham). 2014. V. 72.
3. Абиев Н.А., Арванитойоргос А., Никоно-ров Ю.Г., Сиасос П. Нормализованный поток Риччи на обобщенных пространствах Уоллаха // Математический форум. 2014. Т. 8, ч. 1.
4. Ломшаков А.М., Никоноров Ю.Г., Фир-сов Е.В. Инвариантные метрики Эйнштейна на три-локально-симметрических пространствах // Математические труды. 2003. Т. 6, № 2.
5. Никоноров Ю.Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна // Сибирский математический журнал. 2000. Т. 41, № 1.
6. Nikonorov Yu.G., Rodionov E.D., Slavskii V.V. Geometry of homogeneous Riemannian manifolds // Journ. Math. Sciences (New York). 2007. V. 146, № 7.
7. Nikonorov Yu. G. Classification of generalized Wallach spaces // Geom. Dedicata.
2016. V. 181, № 1.
8. Abiev N.A. On topological structure of some sets related to the normalized Ricci flow on generalized Wallach spaces // Владикавказский математический журнал. 2015. Т.17, № 3.
9. Batkhin A.B., Bruno A.D. Investigation of a real algebraic surface // Prog. Comp. Soft. 2015. V. 41, № 2.
10. Batkhin A.B. A real variety with boundary and its global parameterization // Prog. Comp. Soft.
2017. V. 43, № 2.
11. Abiev N.A. Two-parametric bifurcations of singular points of the normalized Ricci flow on generalized Wallach spaces // AIP Conference Proceedings (Turkey, Antalya). 2015. V. 1676.
