CC BY
52
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 2 (2011)
Труды VIII Международной конференции Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения, посвященной 190-летию Пафнутия Львовича Чебышева и 120-летию Ивана Матвеевича Виноградова
УДК 512.542+514.12
О ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКАХ
С РАВНОУГОЛЬНЫМИ И ПАРКЕТНЫМИ
ГРАНЯМИ*
А. В. Тимофеенко (г. Красноярск) a.v.timofeenko62@mail.ru
ABOUT CONVEX POLYHEDRONS WITH EQUIANGULAR AND PARQUET FACES
A. V. Timofeenko (Krasnoyarsk)
Аннотация
В работе выясняется какие несоставные правнльногранннки становятся составными при допущении фиктивных вершин. Предложены задачи, необходимые для компьютерного моделирования.
In work it is found out what noncomposite regular-hedra become composite at an assumption of fictitious vertices. The problems necessary for computer modeling are offered.
Недавно стало известно, [1, 2, 3], что кроме призм Пп и антипризм An, n = 3,4,..., существует ровно 186 выпуклых правильногранников, из которых 78 обладают условными рёбрами, т. е. каждое такое ребро соединяет расположенные в одной грани правильные многоугольники (http://tupelo-schneck.org/polyhedra/). Напомним, [3], правилъногранником называется такой многогранник P, что каждая его грань составлена из одного или нескольких правильных многоугольников, и FP — множество этих многоугольников, причем, во-первых, общая вершина многоугольников из FP не лежит внутри ребра одного из них; во-вторых, сумма углов многоугольников из FP в каждой их общей вершине меньше 2п.
* Автор поддержан РФФИ, гранты NN 09-01-00395, 09-01-00717, 10-01-00509, и Красноярским госпедуниверситетом им. В. П. Астафьева, грант N 16-11-2/МП.
А
л
V
Рис. 1: Равносторонние неравноугольные паркетные многоугольники
без фиктивных вершин: (3,6, 3, 6), (3,12, 42,12), (3,122, 3,122), (3, 30, 53, 30), (3, 302, 3, 30,5, 30).
Таким образом, кроме правильных многоугольников гранями правильно-гранников могут служить также изображённые на рис. 1 многоугольники. Эти многоугольники относятся к паркетным, т. е. таким выпуклым многоугольникам, что каждый из них составлен из конечного и большего единицы числа равноугольных многоугольников. Поскольку угол каждого паркетного многоугольника равен углу какого-нибудь правильного п-угольника, то каждой вершине паркетного многоугольника можно приписать такое число п. Расположив эти числа в строку так, что соседним, а также первому и последнему числу соответствуют смежные вершины, получим упорядоченный набор, который называется типом паркетного многоугольника, см. рис. 1-11.
Получить все выпуклые правильногранники удалось благодаря тому, что уже в начале семидесятых годов прошлого века были известны все несоставные многогранники, т. е. каждый из них нерассекается никакой плоскостью на два правильногранника:
В этом списке за призмами и антипризмами расположены правильногранные многогранники Ы1, I = 1, 2,..., 28, которые называют сегодня многогранниками Залгаллера, [4], и шесть тел с условными рёбрами (сединяющих два треугольника), первые пять из которых называют многогранниками Иванова, [5], а Q6
— многогранником Пряхина, [6]. На них можно посмотреть на указанной выше интернет-страничке Р. Тупело-ГЦнек.
Как заметил Ю. А. Пряхин, [7], методами работы [4] можно найти все выпуклые несоставные многогранники, каждая грань которых является паркетным или равноугольным многоугольником. Без доказательства он публикует также все типы паркетных многоугольников и отмечает, что кроме четырёх бесконечных серий несоставных многогранников с паркетными и равноугольными гранями существует лишь конечное число таких тел. На рис. 1-11 и 13 изображён представитель каждого типа паркетного многоугольника за исключением четырёх, соответствующих правильным многоугольникам типов.
Принципиальное отличие теоремы о классификации выпуклых правильно-гранников при её обобщении до теоремы о выпуклых многогранниках с пар-
^ П4, ■ ■ ■ ; A4, A5, ■ ■ ■ ; M1, М2, ■ ■ ■ , M28, Q1, Q 2 ■ ■ ■ , Q6■
(1)
Рис. 2: (32, 62)
АД
Рис. 4: (62,12, 42,12)
Рис. 5: (62, 30, 53, 30)
Рис. 6: (3,122, 62,122) Рис. 7: (4,122, 4,124)
кетиыми и равноугольными гранями состоит в том, что комбинаторному типу может соответствовать бесконечное число выпуклых многогранников с паркетными гранями. Вырастает и объём вычислений, необходимых для доказательства существования многогранника данного комбинаторного типа, так как типов граней вместо 11 у отличных от призм и антипризм выпуклых правиль-ногранников становится 26. Поэтому выходят на первый план задачи алгебраического и компьютерного моделирования. Такое моделирование было уже применено автором для доказательства теоремы о классификации выпуклых правильногранников. В частности, работы [8, 9] содержат алгебраические модели несоставных правильногранников, отличных от тел Платона, Архимеда и их сечений. Для более эффективного применяя систем компьютерной алгебры нужен ответ на следующий
Вопрос 1. Найти такое алгебраическое (простое) расширение Р поля рациональных чисел, что:
Р
тела и элементы, каждой матрицы из порождающего множества группы, симметрий этого тела;
Р
тела и элементы, каждой матрицы из порождающего множества группы, симметрий этого тела;
Р
Рис. 10: (6,122, 6,126) ставного Е'-многогранника
Пз, П4, П5, Пб, Пз, Пю, А4, А5, Аб, Аз, А\о, Ы\, М2,..., М\5, М20, М22
и элементы, каждой матрицы из порождающего множества группы, симметрий этого тела.
Например, все вершины икосаэдра с единичными рёбрами можно получить из точки с координатами
Т +11 2
—2—, 2, 0, где т - положительный корень трёхчлена х + х — 1, действуя на неё группой, порождённой матрицами
А =
т +1 т -1 N / т +1 т 1
2 2 2 ' | 1 ' 2 2 2
т 1 т+1 1 и В — 1 т 1 т +1
2 2 2 1 И — 1 2 2 2
1 т+1 — т ) ! ' 1 1 т +1 т
2 2 2 / V 2 2 2
Этим порождающим соответствует генетический код
[а, Ь | а3,Ь3, (ааь)2, (ЬЬа)2Х
группы, изоморфной знакопеременной группе четных подстановок пятой степени, а также повороты на 120° с проходящими через середины смежных граней осями (рис. 12).
Ь
а, Ь,
порождающих группу его поворотов
Для дальнейшего моделирования и проведения рассуждений по индукции в работе [10] введены следующие многогранники, которые удовлетворяют условиям более слабым, чем правильногранники. и более сильным, чем многогранники с паркетными и равноугольными гранями. Ниже расположены и отсутствующие в процитированной работе доказательства теорем 1 и 2.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пусть т — целое неотрицательное число. Выпуклый многогранник называется т-правильногранником, когда выполняются следующие условия: 1) грани составлены из правильных многоугольников, стороны которых измеряются натуральными числами; 2) максимальная длина ребра равна т +1; 3) у любого подобного многогранника с коэффициентом подобия меньшем единицы существует ребро ненатуральной длины или существует грань, которую нельзя составить из правильных многоугольников с целыми рёбрами.
0
0
гранниками. служат призмы, в основаниях которых лежат паркетные многоугольники типов (4,122, 4,12, 6,12) (62,122, 62,122), (6,122, 6,122, 6,122) и (6,124,6,124) (рис. 13), а боковыми гранями являются квадраты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Пусть т0 — целое неотрицательное число. Выпуклый т0-правильногранник называется составным, если некоторая плоскость делит его т1 т2
цательных чисел т1, т2. В противном случае то-правильногранник называется
д А
V V
Рис. 13: Равносторонние паркетные многоугольники, обладающие гранефиктивными вершинами
несоставньтм.
ТЕОРЕМА 1. Кроме семи многогранников каждый несоставной правильно гранник с единичными рёбрами является несоставным 0-правилъногранни-ком. Исключения можно представить следующими соединениями т-правиль-ногранников, т — 0,1.
1) Призм,а П6 — соединение по прямоугольным граням двух призм с трапециями типа, (32,62) в основаниях, П6 — 6П3.
2) Трёхскатный купол М4 — (Р2,22 + М1) + (Р2,22 + Р2,22) — 4М1 + 3М2; где Р2,22 — М1 + М2 — соединение тетраэдра М1 и квадратной пирам,иды, М2 боковыми гранями, /2'].
3) Усечённый тетраэдр М10 — (3М1 + 2М2) + (М4 + 3М2) — 7М1 + 8М2.
Рис. 15: Проекция поверхности тела М19а с Рис. 14: Проекция види- прозрачными гранями мых граней тела М16а -трапециями
Рис. 16: Проекция поверхности тела М19ь с прозрачными гранями-трапециями
4) Усечённый октаэдр М16 — 2М2а + М16а; где М2а — усечённая по средним линиям боковых граней четырёхугольная пирамида с квадратом со сторонами длины два в основании, М16а — 1-правильногранник, оставшийся после отсечения от М16 параллельным,и плоскостям,и двух тел М2а (рис. Ц)-
5) Усечённый икосаэдр М19 — 2М3а + М19а — 3М3а + М19ь, где М3а — усечённая по средним линиям боковых граней пятиугольная пирамида с правильным пятиугольником со сторонами длины два в основании, М19а — 1-правильно-
М19
двух тел М3а (рис. 15), М19ь — 1-правильногранник, оставшийся после отсечения, от М19 тремя плоскостями трёх тел, М3а (рис. 16).
6) Наклонная, призма (многогранник Иванова) Q1 — 6М1 + 6М2.
7) Многогранник Иванова Q2 — 16М1 + 16М2.
Доказательство. Поскольку каждое тело списка (1) является несоставным и рёбра его единичные, то каждое пересечение такого тела с плоскостью, проходящей по рёбрам, является неправильным многоугольником. Выяснив, что паркетным такой многоугольник быть не может, переходим к сечениям плоскостью. которая проходит по внутренним точкам грани. Так как рёбра этой грани единичные, то число её сторон равно шести. Таким образом, кандидатами на исключения теоремы являются следующие несоставньте правильногранники с 6
Пе,А6, М4, М16, Мп, М19, М20, М21, Ql, Q2, Q5, Q6
Нетрудно увидеть, что сечение любой плоскостью тел Л6,М17^5^6 не делит т
разбиений оставшихся тел следует из построения описанных в теореме исключений. Теорема 1 доказана.
Рис. 17: Тонкими линиями изображены условные рёбра многогранни- Рис- 18; Тонкими линиями изобрака Q6a, соединённого с пирамидой жены условные рёбра многогранни-
М2, боковые грани которой закра- ка (^6ь, а пунктиром - его невиди-
тпены мьте рёбра
Теорема 2. Тела М2а, М3а, М16а, М19а, М19ь теоремы ??; тела, Q6a (рис. 17) и Q6ь (рис. 18), полученные из многогранника Иванова Q6 так, как он бы,л, получен из уплощённой треугольной клиноротонды М20, [6, 9]; В-антипризма, полученная в работе [7] из антипризмы Ак,к — 4, 5,..., с рёбрами длины 2 и
к
1
Доказательство. Каждое тело теоремы 2 содержит рёбра длин один и два, каждая грань составлена из правильных треугольников или есть правильный многоугольник. Поэтому для такого тела справедливы условия 1 и 2 определения т-правнльнограннпка при т — 1, а поскольку тело обладает единичным ребром, то выполняется и условие 3 этого определения. Таким об-
1
т^правильногранн ик и т2-правильногранник для не которых т1,т2 Е {0,1}, должна проходить либо через середины рёбер длины два и условные рёбра смежных граней этих рёбер, либо только по рёбрам. Заметив, что оба случая невозможны, приходим к справедливости теоремы 2.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Гурин А. М., Залгаллер В. А. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями и гранями составленными из правильных // Труды Математического Общества Санкт-Петербурга. 2008. Т. 14. С. 215 _ 294.
[2] Тимофеенко А. В. О соединении несоставных многогранников // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21. №3. С. 165 — 209.
[3] Тимофеенко А. В. К перечню выпуклых правильногранников // Современные проблемы математики и механики. Том VI. Математика. Выпуск 3. К 100-летию со дня рождения Н. В. Ефимова./ Под ред. И. X. Сабитова и В. Н. Чубарикова. — М.: Изд-во МГУ, 2011, С. 148 — 163.
[4] Залгаллер В. А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1967. Т. 2. С. 5 — 218.
[5] Иванов Б. А. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников // Украинский геометрический сборник. 1971. Т. 10. С. 20 — 34.
[6] Пряхин Ю. А. О выпуклых многогранниках с правильными гранями // Украинский геометрический сборник. 1973. Т. 14. С. 83 — 88.
[7] Пряхин Ю. А. Выпуклые многогранники, грани которых равноугольны или сложены из равноугольных // Зап. науч. семинаров ЛОМИ. 1974. Т. 45. С. Ш — 112.
[8] Тимофеенко А. В. Несоставные многогранники, отличные от тел Платона и Архимеда // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. Т. 14. №2. С. 179 - 205.
[9] Тимофеенко А. В. Выпуклые правильногранники, не рассекаемые никакой плоскостью на правильногранные части // Математические труды. 2008. Т. 11. №1. С. 132 - 152.
[10] Тимофеенко А. В. Выпуклые многогранники с паркетными гранями // ДАН. 2009. Т. 428. №4. С. 454 - 457.
Красноярский государственный педагогический университет им. В. П. Астафьева, Институт вычислительного моделирования РАН Поступило 16.10.2011
