CC BY
25
О вычислительном поиске квазиортогональных систем латинских квадратов, близких к ортогональным
системам
Е.Г. Белей, А.А. Семенов
Аннотация-В статье анализируются возможности применения современных алгоритмов вычислительной логики к задачам поиска некоторых комбинаторных структур. Конкретно, исследуется известная открытая проблема о существовании трех попарно ортогональных латинских квадратов 10-го порядка. Предлагается схема поиска такой тройки в форме итеративной процедуры, на каждой итерации которой строятся т.н. квазиортогональные системы. Вводится мера близости квазиортогональной системы к ортогональной, которая называется индексом ортогональности. Для построения квазиортогональных систем с заданным индексом ортогональности используются алгоритмы решения проблемы булевой выполнимости (SAT). Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют, что современные SAT-решатели могут использоваться для поиска новых комбинаторных структур, в основе которых лежат латинские квадраты.
Ключевые слова-латинские квадраты, греко-латинские квадраты, ортогональные системы латинских квадратов, квазиортогональные системы, задача о булевой выполнимости, SAT, CDCL, SLS
I. ВВЕДЕНИЕ
Задачи поиска комбинаторных структур, связанных с латинскими квадратами, притягивают внимание ученых на протяжении нескольких столетий. Латинские квадраты можно рассматривать в тесной связи с различными математическими объектами: таблицы Кэли для групп и квазигрупп [1], ортогональные массивы [2-3], математические головоломки (квадраты Судоку [4]) и многое другое.
Статья получена 21 декабря 2017 года. Белей Евгения Геннадьевна, магистрант Иркутского национального исследовательского технического университета, e-mail: [email protected] Семёнов Александр Анатольевич, кандидат технических наук, заведующий лабораторией ИДСТУ СО РАН, e-mail: [email protected] Работа выполнена при поддержке гранта РНФ № 11-16-10046.
Систематическое исследование латинских квадратов было предпринято Леонардом Эйлером, именно ему данный объект и обязан своим названием, поскольку для заполнения ячеек квадрата Эйлер использовал буквы латинского алфавита. Один из самых известных открытых вопросов, относящийся к латинским квадратам, заключается в следующем: существует ли ортогональная система мощности три и порядка 10?
Главная привлекательность этой задачи - в её относительно небольшой (на первый взгляд) комбинаторной размерности. Этот факт является основанием для применения к ней современных комбинаторных алгоритмов, использующих различные техники сокращения перебора.
В настоящей работе основное внимание уделено алгоритмам решения задачи о булевой выполнимости (SAT) [6]. Обоснование этого выбора заключается в том, что SAT-подход весьма успешно применяется к решению индустриальных задач, без преувеличения, огромных размерностей (в первую очередь подразумеваются задачи символьной верификации). Более того, алгоритмы решения SAT справляются даже с такими аргументированно трудными задачами, как криптоанализ некоторых действующих систем шифрования ([6], [7] и др).
Конкретно, в настоящей работе изучается одна из наиболее известных открытых проблем, связанных с греко-латинскими квадратами: существует ли система из трех латинских квадратов 10-порядка, любая пара которых образует греко-латинский квадрат? Основной результат работы состоит в построении объектов, близких к искомой структуре в смысле некоторой естественной меры. В вычислительных экспериментах использовались два класса алгоритмов решения SAT - CDCL (Conflict Driven Clause Learning) алгоритмы и SLS (Stochastic Local Search) алгоритмы.
Нам известно относительно немного работ, в которых SAT-подход использовался применительно к задачам, связанным с латинскими квадратами. Среди наиболее интересных стоит отметить статью [8], где анализировались возможности применения SAT к
исследованию различных задач, связанных с квадратами Sudoku. Большой обзор Х. Чжана [9] содержит исчерпывающую на 2009 год информацию по задачам построения ортогональных систем латинских квадратов с использованием SAT. Насколько нам известно, похожие по постановкам задачи рассматривались в работах [10-12], где с использованием алгоритмов решения проблемы булевой выполнимости исследовались задачи построения систем диагональных ортогональных латинских квадратов. В данной статье используются пропозициональные кодировки и техники поиска, основанные на иных принципах.
Наибольшая по индексу ортогональности квазиортогональная (3,10)-система, известная на данный момент, приведена в работе [13], ее индекс ортогональности равен 91. Однако при построении данной системы SAT никак не задействовался.
Приведем краткое описание структуры настоящей работы. Во втором разделе даются определения, связанные с основным объектом исследований. Третий раздел представляет собой краткое введение в применение SAT-подхода к решению комбинаторных задач. В четвертом разделе описаны SAT-кодировки задачи поиска квазиортогональных систем латинских квадратов. В пятом разделе приводятся результаты вычислительных экспериментов.
II. ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Определение 1.
Латинский квадрат порядка n - это таблица n X n, заполненная элементами из множества А = (аг,..., ап), а.1 Ф a.j, ij = 1,... ,n, i Ф j, такая, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все n символов. Множество А далее называем алфавитом.
Рис. 1. Латинский квадрат порядка 5, используется алфавит А = {1,23,4,5}.
Основным объектом наших исследований являются греко-латинские квадраты и более общие структуры -ортогональные и квазиортогональные системы латинских квадратов.
Определение 2.
Рассмотрим два латинских квадрата А,В порядка п. Занумеруем ячейки первого и второго квадратов в одинаковой последовательности т, используя для этой цели числа от 1 до п2. Рассмотрим квадрат А\В, элементами которого являются все возможные пары (а,Ь), аЕА,ЬбВ, выписываемые в последовательности т. Пары
(аьЫ)и (ау,Ьу) различны по определению тогда и только тогда, когда а, Ф ау или Ь, Ф Ьу, у = 1,... ,п, I Ф у. Квадрат А \В называется греко-латинским, если все составляющие его пары различны. Если два латинских квадрата А,В образуют греко-латинский квадрат, то говорят, что А и В ортогональны (обозначение «А1В»).
А =
12 3
2 3 1
3 12
В =
12 3 3 12 2 3 1
А|В =
11 22 33 23 31 12 32 13 21
Рис. 2. Пара ортогональных латинских квадратов порядка 3 и образованный ими греко-латинский квадрат.
Определение 3.
Набор из К латинских квадратов порядка п, в котором любые два квадрата ортогональны, называется системой из К ортогональных квадратов порядка п или ортогональной системой мощности К и порядка п. Кратко будем говорить о такой системе как об ортогональной (К,п) системе.
Известно (см. [2]), что для фиксированного п мощность ортогональной системы порядка п не может превосходить п — 1.
А -
2 14 3
3 4 12 12 3 4
4 3 2 1
В -
3 4 12
12 3 4 2 14 3
4 3 2 1.
С -
12 3 4
2 14 3
3 4 12
4 3 2 1.
Рис. 3. Ортогональная система мощности 3 и порядка 4.
Основная идея, которая эксплуатируется далее, заключается в рассмотрении ортогональной (3,10) системы как предельного случая для комбинаторных конфигураций с менее жесткими ограничениями на структуру. В частности, мы можем рассматривать, например, такие 3 латинских квадрата, два из которых не образуют греко-латинский: скажем, для квадратов А,В, С может выполняться А±В,В±С, но при этом А и С не ортогональны. Можно даже допустить, чтобы любая пара квадратов из трех не была ортогональной. Однако в этом случае необходимо предложить какую-либо разумную характеристику, которая позволяла бы сравнивать такие системы между собой, и наилучшая в смысле этой характеристики система давала бы ортогональную (3,10) систему. Ниже мы рассматриваем пример такой характеристики.
Определение 4.
Пусть А,В - произвольные латинские квадраты порядка п. Рассмотрим квадрат А\В и выпишем все пары вида (аьЬ^), I Е{1,...,п2}, в некоторой фиксированной последовательности. Пусть г - число различных пар в полученной последовательности (в указанном выше смысле). Назовем число г = г(АВ), 1 < г < п2, индексом ортогональности, а пару квадратов А,В будем называть квазиортогональной парой индекса г. Пусть А,В - латинские квадраты порядка п. Очевидно, что А±В тогда и только тогда, когда А,В - квазиортогональная пара индекса п2.
А =
12 3
2 3 1
3 12
В =
А\В -
11
22 33
22 33 11
12 3
2 3 1
3 1 2
33 11 22J
Рис. 4 Квазиортогональная пара порядка 3 индекса 3.
В силу всего сказанного выше очевидным образом справедливо следующее утверждение.
Утверждение 1.
Рассмотрим набор из K латинских квадратов порядка n: A1,.,AK, K < n — 1. Для каждой пары чисел вида ij Е {{,... ,K}, i Ф j, найдем индекс ортогональности пары квадратов Ai,Aj, который обозначим через rij. Введем следующее обозначение: r,= min {ri,}. Число r* назовем индексом
i,j£[1,...,K].ij v>
ортогональности системы A1,.,AK. Система A1,...,AK является ортогональной (K,n) системой тогда и только тогда, когда r*=n2.
Данное утверждение, несмотря на его простоту, позволяет описать общую стратегию построения ортогональной (K,n) системы как стратегию последовательного улучшения квазиортогональных систем. Более точно, далее мы будем рассматривать задачу существования квазиортогональной системы с индексом ортогональности r* < n2 как задачу поиска выполняющего набора булевой формулы F специального вида. Если для какого-либо значения r, нам удается найти квазиортогональную систему индекса r,, то взяв за основу соответствующий набор, выполняющий F, мы можем подставить в формулу F часть этой информации и перестроить полученную формулу так, чтобы она кодировала существование квазиортогональной системы большего индекса. После чего снова пытаться решить задачу о выполнимости полученной формулы.
III. ЗАДАЧА О БУЛЕВОЙ ВЫПОЛНИМОСТИ И НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ
Задача выполнимости булевых формул (SAT) — важная для теории вычислительной сложности комбинаторная задача. Задача заключается в
следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в булевой формуле F, значения «ложь» и «истина» так, чтобы формула стала истинной. На практике SAT обычно рассматривается относительно формул в конъюнктивной нормальной форме (КНФ).
SAT является исторически первой задачей, для которой была установлена ее NP-полнота [14]. Соответственно, поисковый вариант SAT NP-трудна [15]. Можно показать, что задача о выполнимости произвольной булевой формулы F эффективно (за полиномиальное в общем случае время) сводится к задаче о выполнимости булевой формулы в КНФ. Результирующая КНФ может содержать, правда, больше переменных, чем исходная формула, однако входящие в КНФ ограничения (дизъюнкты) имеют простую природу и могут быть весьма эффективно представлены в памяти ЭВМ.
Несмотря на NP-трудность, во многих частных случаях SAT весьма эффективно решается для больших размерностей (десятки тысяч переменных и сотни тысяч дизъюнктов). Соответствующие алгоритмы решения SAT эксплуатируют различные техники сокращения перебора. Мы выделим здесь две концепции решения SAT, получившие, пожалуй, наиболее широкое распространение: SLS (Stochastic Local Search) [16-19] и CDCL (Conflict Driven Clause Learning) [20-21]. SLS-алгоритмы основаны на идеологии локального поиска - итеративной процедуре, в каждой итерации которой происходит проверка окрестности рассматриваемого набора значений булевых переменных в надежде улучшить значение целевой функции (обычно требуется максимизировать число выполненных дизъюнктов в рассматриваемой КНФ). Когда набор является локальным максимумом в рассматриваемой окрестности, используются различные способы выхода из таких точек (главным образом, за счет процедур, имеющих природу случайных блужданий). CDCL-алгоритмы сочетают полную стратегию обхода дерева поиска с использованием памяти для записи конфликтной информации. Последнее позволяет во многих случаях осуществлять глубокие откаты (т.н. "Backjumping"), что является одним из главных факторов эффективности CDCL. CDCL-алгоритмы с успехом применяются для решения индустриальных задач большой размерности: биоинформатика, символьная верификация, криптография и т.д..
IV. БУЛЕВО КОДИРОВАНИЕ ПРОБЛЕМ ПОИСКА КВАЗИОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ
Булево или пропозициональное кодирование комбинаторной задачи P заключается в построении булевой формулы FP, обладающей следующими свойствами:
1. если формула FP невыполнима, то задача P не имеет решений;
2. если FP выполнима, то из любого выполняющего набора данной формулы можно эффективно извлечь двоичное описание некоторого решения задачи P.
Для весьма широкого класса комбинаторных задач возможно эффективное (полиномиальное от длины описания исходной задачи) булево кодирование (по сути, все задачи из класса NP являются таковыми).
Процесс пропозиционального кодирования задачи нахождения квазиортогональной системы латинских квадратов можно разбить на два этапа. На первом этапе строятся формулы, кодирующие тот факт, что все рассматриваемые квадратные матрицы являются латинскими квадратами. На втором этапе кодируется условие частичной ортогональности для всех пар квадратов.
Разберем процесс кодирования того факта, что рассматриваемая квадратная матрица порядка n является латинским квадратом. Сразу оговоримся, что используемая далее кодировка известна [8-9]. Это, пожалуй, самая простая кодировка, она самая эффективная по числу переменных, но при этом сильно проигрывает другим способам кодирования латинских квадратов по числу дизъюнктов и числу литералов [23]. Мы будем называть данную кодировку наивной. Удивителен тот факт, что именно наивная кодировка оказывается наиболее простой для SAT-решателей, причем как для SLS, так и для CDCL (это было выяснено в результате большого числа вычислительных экспериментов).
Основные дальнейшие построения базируются на свойстве, которое в некоторых источниках называется Only One Cardinality (сокращенно OOC). Пусть X={x1,...,xmj - множество булевых переменных. Рассмотрим следующую формулу:
OOCfa,... ,x) = ( У. VXm) ( V^xJ. (1)
1<i<j<m
Несложно убедиться, что (1) выполнима на всех таких наборах значений переменных из X, в которых одна переменная принимает значение 1, а все остальные переменные принимают значение 0. Пусть S - множество всех наборов, выполняющих (1). С произвольным vES ассоциируем натуральное число, равное номеру координаты в v, значение которой есть 1. Тем самым булевы векторы из S могут рассматриваться как кодировки натуральных чисел из
{1,...,m}.
Рассмотрим квадратную матрицу L порядка n. Будем считать, что элементы матрицы - это числа из множества A={1,2,...,n}. Пронумеруем все ячейки матрицы числами от 1 до n2 в некотором фиксированном порядке. Каждой ячейке с номером qE{1,...,n2} сопоставим множество булевых переменных Xq=[xq1,...,xn}. Для наглядного представления процесса пропозиционального
кодирования условия, что матрица L является латинским квадратом, рассмотрим следующий рисунок (n = 3).
Рис. 5. Пояснение к процедуре пропозиционального кодирования латинского квадрата.
Прокомментируем рисунок 5. Для удобства используется сквозная нумерация переменных. Как уже было сказано выше, мы используем для представления натуральных чисел из {1,...,n} единичные булевы векторы длины n. Соответственно, в рассматриваемом примере 100 кодирует 1, 010 кодирует 2, 001 кодирует 3. Тогда на переменные, сопоставленные, например, первой ячейке матрицы, накладывается дополнительно ограничение OOC(x1,x2,x3), которое означает, что набор значений переменных из X={xbx2,x3} должен выполнять соответствующую формулу вида (1), то есть должен принадлежать множеству {100,010,001}. Это соответствует тому факту, что в первой ячейке матрицы может стоять любое число из множества {1,2,3}. Аналогичные ограничения накладываются на переменные, кодирующие содержимое всех остальных ячеек матрицы. Также мы вводим дополнительные ограничения типа OOC(x1,x4,x7). Очевидно, что одновременное выполнение OOC(x1,x4,x7), OOC(x2,x5,x8) и OOC(x3,x6,x9)при действующих аналогичных ограничениях на ячейки означает, что в первой строке матрицы находятся все числа из множества {1,2,3}. Аналогично, одновременное выполнение условий OOC(x1,x10,x19), OOC(x2,x11,x20), OOC(x3,x11,x21) при действующих ограничениях на содержимое ячеек означает, что в первом столбце матрицы находятся все числа из {1,2,3}. Тот факт, что одновременно выполняется несколько OOC-условий эквивалентен истинности конъюнкции соответствующего множества формул вида (1).
Отметим здесь, что для представления свойства Only One Cardinality можно использовать различные способы кодирования (см., например, [24-25]), однако, как уже было сказано выше, в сравнении с наивной все другие кодировки оказываются более сложными для SAT-решателей.
Перейдем теперь к кодированию условия квазиортогональности. Допустим, рассматривается система из K латинских квадратов порядка n. Пусть A,B - произвольная пара квадратов из данной системы и пусть все ячейки этих квадратов, а также квадрата A\B занумерованы в одинаковой последовательности числами от 1 до n2. Каждой ячейке квадрата A\B с номером qE{1,...,n2} сопоставим пару множеств булевых переменных (XAXl). Каждое из множеств XqA,XqB состоит из n булевых переменных, кодирующих содержимое соответствующих ячеек в квадратах A и B в
OOC Xio<
il «и
I"J |/ I Hs ~
a31 u32 a-j.j
*-fc]
y/lJ
ÜI ЕЛ
соответствии с описаннои выше схемой.
Теперь рассмотрим множество всех возможных пар чисел, которые в принципе могут появиться в квадрате А \В (неважно в каких ячейках):
(1,1), (1,2),..., (1,п), (2,1),..., (2,п),..., (п,1),..., (п,п). (2) Будем рассматривать (2) как упорядоченное множество, считая первой пару (1,1), второй - пару (1,2) и т.д., последней - пару (п,п) (по сути, лексикографический порядок). Отметим, что для любого д Е(1,...,п2} переменные XЧАХВ в принципе
из
пар
чисел,
могут кодировать любую перечисленных в (2).
Свяжем с парой квадратов А,В булев вектор длины п2 х(А|В) = (Х],.--,Х,2), компоненты которого определим следующим образом:
!1, если пара чисел из (2) с номером г встречается вА\В 0, в противном случае
Назовем заданный так вектор х(А\В) вектором маркировки пары квадратов А,В. В силу всего сказанного выше справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2.
Для пары латинских квадратов А,В индекс их ортогональности равен весу Хэмминга вектора маркировки: г(A,B)=wtH((А\В)).
Доказательство.
Обозначим через Рп множество пар чисел вида (2). Пусть г = г(А,В) - индекс ортогональности пары квадратов А,В. В силу определения г равен числу различных пар из множества Рп, встречающихся в А\В. Пустьр,...,р - все различные такие пары, тогда
11 1г
в векторе х (АВ) этим парам соответствуют единицы. Любая пара из Рп\ ^р,...,р( } не встречается в А\В, поэтому всем таким парам в х(А\В) соответствуют нули. Как итог, wtH (((В))=г. Утверждение 2 доказано.
Для кодирования того факта, что квадраты А,В квазиортогональны с индексом ортогональности не меньше г, мы должны сначала определить условия, при которых булевы переменные х, ' ,. -п2}, принимают значение 1. Для этой цели мы учитываем, что пара р{ЕРп может стоять в А\В на любом месте. Скажем, для пары (1,1) в таком случае имеем следующее условие:
((х АхВ)=(1,о) у{(х2а,хВ)=(1,1)) V. (3) ..м((хпА,х ВУ=(1,1))
В записи (3), например, выражение (х1А,х1В) = (1,1) подразумевает, что значение переменных из множества х 1А - это булев вектор (10 ... 0) и то же самое имеет место в отношении переменных из множества хВ. С учетом сказанного, несложно
переписать (3) в виде булевой формулы, которую мы
2
обозначим через ^^(х), где х= и^хд. Тот факт,
что х1 принимает значение 1 тогда и только тогда, когда Fqj)(X ) принимает значение 1, записывается в виде следующей формулы:
XrFai)(X), (4)
где через символ = обозначена логическая эквивалентность. Аналогично (4) зададим все остальные компоненты векторах (B).
Теперь нам остается записать в виде булевой формулы тот факт, что в векторе маркировки присутствует > r единиц. Для этой цели мы используем специальный предикат, который носит название . Данный предикат принимает
значение 1 на булевых векторах длины m, вес Хемминга которых не меньше некоторого натурального k. Соответственно, в нашем случае потребуется булева формула, задающая предикат ALr(xv...,X,2), где r - индекс ортогональности для рассматриваемой пары квадратов.
Предикат ALk(xh...,xm) можно задать булевой формулой в КНФ при помощи схемы кодирования т.н. последовательного счетчика (Sequential Counter), предложенной К. Синцем в [25]. В данной работе описывается предикат AMk((1,...,xm), принимающий значение 1 на любом булевом векторе длины m, вес Хэмминга которого < k, и принимающий значение 0 на остальных булевых векторах длины m.
Пусть имеется т булевых переменных x1,.,xm. Тогда AMk(xh... ,xm) задается следующей формулой в КНФ:
(-xi V s и ) (—Si.j), для 1<j<k
si,i) (-Si-i,i Vsu) (-Xi V-s-ij.i V sj
Ы-ijV ¿is)
(-Xi V-Si-i k) (-xm V —sm-i,k)
, для 1<j<k
-, для i<i<m
(5)
В формуле (5) фигурируют кт дополнительных переменных Подставив вместо вхождений
литералов х1,...,хт литералы —х1,....,—хт и сделав элементарные преобразования, получим КНФ, задающую предикат АЬ^((1,... ,хт).
Итак, подведем итог процессу пропозиционального кодирования условия квазиортогональности системы латинских квадратов. Пропозициональная кодировка системы из К квазиортогональных латинских квадратов порядка п это конъюнкция следующих формул:
1. К КНФ, кодирующих латинские квадраты (конъюнкции соответствующих множеств формул вида (1));
2. К(К^ формул, задающих векторы маркировки для соответствующих пар квадратов (каждая такая
формула есть конъюнкция n2 формул вида (4));
3. K(K21 формул, задающих предикаты
A^((,.,X^), 1<i<j<K.
Формулы в пункте 2 могут быть превращены в КНФ с использованием преобразований Цейтина [26]. Как итог, имеем эффективную процедуру сведения проблемы поиска квазиортогональной системы латинских квадратов к SAT.
V. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
В вычислительных экспериментах исследовались задачи поиска квазиортогональных систем, состоящих из 3 латинских квадратов 10 порядка (далее кратко «квазиортогональные (3,10) системы»). В экспериментах использовались два SLS SAT-решателя CSCCSat [27], DCCalm [28], а также CDCL-решатели lingeling, plingeling [29], cryptominisat [30]. Вычисления проводились на вычислительном кластере ИДСТУ СО РАН1 «Академик В.М. Матросов» (на рабочих узлах, укомплектованных процессорами Opteron 6276).
В ходе первого эксперимента решались задачи поиска квазиортогональной (3,10) системы с индексами ортогональности от 70 до 80. При этом использовались пропозициональные кодировки соответствующих задач, построенных согласно описанной выше схеме кодирования. Результаты этой стадии экспериментов отражены в таблице 1. Таблица 1. Результаты первого эксперимента
Индекс ортогональности Время решения SAT-решатель
70 13 секунд CSCCSat
20 секунд DCCalm
40 секунд plingeling
5 секунд cryptominisat 5.0
72 13 минут CSCCSat
более 6 часов DCCalm
2 секунды plingeling
30 секунд cryptominisat 5.0
75 более 6 часов CSCCSat
более 6 часов DCCalm
18 минут plingeling
5 секунд cryptominisat 5.0
78 более 6 часов CSCCSat
Irkutsk Supercomputer Center of SB RAS, http://hpc.icc.ru
более 6 часов DCCalm
30 минут plingeling
более 6 часов cryptominisat 5.0
80 более 6 часов CSCCSat
более 6 часов DCCalm
более 6 часов plingeling
6 часов cryptominisat 5.0
Некоторые эксперименты были прерваны по лимиту времени в 6 часов (прерванным тестам соответствуют строки в таблице, выделенные жирным шрифтом).
На второй стадии экспериментов часть информации из найденных в первом эксперименте систем подставлялась в КНФ, кодирующую задачу поиска квазиортогональной системы большего индекса ортогональности. В роли такой информации использовалось содержимое некоторых ячеек найденных квадратов: конкретно, в каждом квадрате случайным образом выбирались от 20 до 50 % пар вида (аьЫ),1Е{1,...,п2}, встречающихся ровно один раз. Значения переменных, кодирующих ячейки латинских квадратов, содержащих выбранные пары, а также соответствующие им значения переменных, кодирующих векторы маркировок, приписывались в виде однолитеральных дизъюнктов к КНФ, кодирующей задачу поиска квазиортогональной системы с большим индексом ортогональности. Результаты данной стадии экспериментов приведены в таблице 2.
Таблица 2. Результаты второго эксперимента
Параметры Новая Суммарн
исходной задачи граница для ое время
индекса решения
ортогональности
72 75 12,7
CSCCSat Ип§еИп§ минут
753 секунды 10 секунд
72 78 14,7
CSCCSat Ип§еИп§ минут
753 секунды 128 секунд
72 80 28,15
CSCCSat cryptominisat минут
753 секунды 5.0 936 секунд
72 75 46 секунд
cryptominisat рЬ^еИ^
5.0 44 секунды
2 секунды
72 78 2,2
cryptominisat рИ^еИ^ минуты
5.0 2 секунды 131 секунда
72 cryptominisat 5.0 2 секунды 80 treengeling 5 121 секунда 1,42 часа
В первом столбце данной таблицы содержится описание исходной квазиортогональной системе, найденной на первой стадии эксперимента (указан индекс ортогональности, решатель и время решения соответствующей SAT-задачи). Во втором столбце указана новая граница для индекса ортогональности, решатель и время решения задачи (поиска системы с указанным индексом), в которую подставлена часть информации из системы меньшего индекса, найденной на предыдущей стадии эксперимента. В третьем столбце указано суммарное время вычислений. Из результатов, приведенных в таблице 2, можно сделать вывод, что итеративная схема построения квазиортогональных систем существенно эффективнее «прямой» схемы: в первой части экспериментов лишь одному решателю (cryptominisat5.0) удалось найти квазиортогональную (3,10) систему индекса 80, затратив на решение данной задачи более 6 часов. Применяя итеративную схему, данный решатель тратит на поиск аналогичной системы чуть меньше получаса с использованием информации, найденной SLS-решателем, и более полутора часов с использованием информации, найденной CDCL-решателем. На наш взгляд, особенно интересен тот факт, что учет информации, найденной на первой стадии экспериментов SLS-решателями, позволяет более эффективно выполнять вторую стадию эксперимента в сравнении с ситуацией, когда в новую КНФ подставляется информация, найденная CDCL-решателями.
VI. БЛИЖАЙШИЕ ПЛАНЫ
С нашей точки зрения, рассматриваемые в работе задачи являются перспективными тестами для техник крупноблочного распараллеливания по данным, которые представлены в работах [31-32]. Поэтому в ближайшем будущем мы планируем провести эксперименты по поиску квазиортогональных систем с высоким индексом ортогональности в параллельных и распределенных вычислительных средах. В частности, предполагается задействовать проект добровольных вычислений SAT@home [33-34].
БИБЛИОГРАФИЯ
[1] Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: «Наука». 1977. 495 С.
[2] Холл М. Комбинаторика. М.: «Мир». 197G. 425 С.
[3] Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs. Second Edition. Chapman&Hall, 2006. 984 p.
[4] Lin, Keh Ying (2004), "Number Of Sudokus", Journal of Recreational Mathematics, 33 (2): 120-124.
[5] Biere, A., Heule, M., van Maaren, H., Walsh, T. (eds.): Handbook of Satisfiability, Frontiers in Artificial Intelligence and Applications, vol. 185. IOS Press (2009)
[6] Mironov I., Zhang L. Applications of SAT solvers to cryptanalysis of hash functions // Lecture Notes in Computer Science. 2006. Vol. 4121, pp. 102-115.
[7] Semenov. A., Zaikin. O., Bespalov. D., Posypkin. M.: Parallel logical cryptanalysis of the generator A5/1 in BNB-grid system // Lecture Notes in Computer Science. 2011. Vol. 6873, pp. 473483.
[8] Lynce I. Ouaknine J. Sudoku as a sat problem. In 9th International Symposium on Artificial Intelligence and Mathematics, 2006.
[9] Zhang H. Combinatorial Design by SAT Solvers. In [6], Chapter 17. Pp. 533- 568.
[10] Zaikin, O., Kochemazov, S., Semenov, A.: SAT-based search for systems of diagonal latin squares in volunteer computing project sat@home // In Proc. of MIPRO 2016, Opatija, Croatia, May 30 -June 3, 2016. pp. 277-281.
[11] Zaikin, O., Zhuravlev, A., Kochemazov, S., Vatutin, E. On the construction of triples of diagonal Latin squares of order 10 // Electronic Notes in Discrete Mathematics. 2016. Vol. 54. pp. 307312.
[12] Zaikin, O., Kochemazov, S. The Search for Systems of Diagonal Latin Squares Using the SAT@home Project // International Journal of Open Information Technologies. 2015. Vol. 3. No. 11. pp. 4-9.
[13] Egan J., Wanless I. Enumeration of MOLS of Small Order// Mathematics of Computation. 2016. Vol. 85. N 298. 799-824
[14] Cook S.A. The complexity of theorem-proving procedures // Third annual ACM symposium on Theory of computing, 1971, Ohio, USA. ACM. 1971. P. 151-159.
[15] Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: «Мир». 1982. 416 С.
[16] Selman B., Kautz H., Cohen B. Noise strategies for local search. In Proc. of AAAI-94, pp. 337-343. AAAI Press/The MIT Press, 1994.
[17] Schoning U. A probabilistic algorithm for k-SAT and constraint satisfaction problems. In 40th FOCS, pages 410-414, New York, NY, October 1999. IEEE.
[18] Hirsch E., Kojevnikov A. UnitWalk: A new SAT solver that uses local search guided by unit clause elimination. Annals Math. and AI, 43(1):91-111, 2005.
[19] Kautz H., Sabharwal A., Selman B. Incomplete Algorithms. In [6], Chapter 6. Pp. 185-203.
[20] Marques-Silva J.P., Sakallah K.A. GRASP: A search algorithm for propositional satisfiability. IEEE Trans. Computers, 48(5):506-521, 1999.
[21] Marques-Silva J.P., Lynce I., Malik S. Conflict-Driven Clause Learning SAT solvers. In [6], Chapter 4. Pp. 131-153.
[22] Steffen Hölldobler and Van Hau Nguyen. An Efficient Encoding of the At-Most-One Constraint.//Tech. rep. 2013-04, Technische Universität Dresden, Germany, 2013.
[23] Кочемазов С.Е., Семенов А.А. О различных подходах к булевому кодированию задач поиска систем ортогональных латинских квадратов // Труды XVIII конференции «Информационные и математические технологии в науке и управлении». Иркутск. 2013. Т.3. С. 40-44.
[24] Asin R, Nieuwenhuis R, Oliveras A, Rodriguez-Carbonell E (2011) Cardinality networks: a theoretical and empirical study. Constraints 16:195-221.
[25] Sinz C. Towards an Optimal Encoding of Boolean Cardinality Constraints // Lecture Notes in Computer Science. 2005. Vol. 3709. Pp. 827-831.
[26] Цейтин Г.С. О сложности вывода в исчислении высказываний // Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР. 1968. Т.8. C. 234-259.
[27] Shaowei Cai, Chuan Luo, Kaile Su: Scoring Functions Based on Second Level Score for k-SAT with Long Clauses // J. Artif. Intell. Res. 51, pp. 413-441 (2014)
[28] Shaowei Cai, Kaile Su: Local search for Boolean Satisfiability with configuration checking and subscore // Artif. Intell. 204, pp. 75-98(2013)
[29] Biere, A.: Splatz, Lingeling, Plingeling, Treengeling, YalSAT Entering the SAT Competition 2016. In: Balyo, T., Heule, M., Jarvisalo, M. (eds.) Proc. of SAT Competition 2016. Dep. of Сотрю Sci. Series of Publications B, vol. B-2016-1, pp. 44-45. University of Helsinki (2016)
[30] Soos, M., Nohl, K., Castelluccia, C.: Extending SAT Solvers to Cryptographic Problems. In: Kullmann, O. (ed.) SAT. Lecture Notes in Computer Science, vol. 5584, pp. 244-257. Springer (2009)
[31] Посыпкин М.А., Заикин О.С., Беспалов Д.В., Семенов А.А. Решение задач криптоанализа поточных шифров в распределенных вычислительных средах // Труды Института системного анализа Российской академии наук. 2009. Т. 46. С. 119-137.
[32] Posypkin M., Semenov A., Zaikin O. Using BOINC desktop grid to solve large scale SAT problems // Computer Science (AGH). 2012. Vol. 13. pp 25-34.
[33] Заикин О.С., Посыпкин М.А., Семенов А.А., Храпов Н.П. Опыт организации добровольных вычислений на примере проектов ОРТ1МЛ@Иоте и SAT@home // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 5-2. С. 340-347.
[34] Заикин О. С., Семенов А. А., Посыпкин М. А. Процедуры построения декомпозиционных множеств для распределенного решения SAT-задач в проекте добровольных вычислений SAT@home // Управление большими системами: сборник трудов. 2013. №. 43. С. 138-156
On computational search for quasi-orthogonal systems of Latin squares which are close to
orthogonal systems
E.G. Beley, A.A. Semenov
Abstract- In the paper, we study the applicability of modern algorithms of computational logic to problems of finding some combinatorial designs. In particular, we consider the well-known open problem - to answer whether there exist three mutually orthogonal Latin squares of order 10. We propose an iterative procedure to search for such a triple. At each iteration, it constructs the so-called quasiorthogonal systems. We use the orthogonality index metric that makes it possible to measure how close is the quasiorthogonal system to the orthogonal one. To construct
quasi-orthogonal systems with specified orthogonality index we employ the state-of-the-art algorithms for solving Boolean satisfiability problem (SAT). The results of our computational experiments show that the SAT-solvers can successfully be used to search for new combinatorial designs based on Latin squares.
Keywords-Latin squares, Graeco-Latin squares, orthogonal and quasi-orthogonal systems of Latin squares, Boolean Satisfiability problem, SAT, CDCL, SLS
