О вычислении многомерного дискретного преобразования Фурье в простом поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорема 3. Для того, чтобы решение х : [а, с) ^ М™ задач и (1) — (3) было продолжаемым на [а,т], (т Є [с, Ь]), необходимо и достаточно, чтобы ііш |х(і)| < ж.

Ь^с-0

Теорема 4. Если у - решение задачи (1) — (3) на, [а,т], т Є (а,Ь], то существует непродолжаемое решение х задач и (1) — (3), определенное либо на [а, с) (с Є (т,Ь]), либо на [а,Ь] такое, что при всех і Є [а, т] выполнено равенство х(і) = у(і).

ЛИТЕРАТУРА

1. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммер-штейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. № 3. С. 3-16.

2. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень московского университета. Секция А, 1938. Т. 68. № 4. С. 1-25.

Abstract: The problem of extendability of solutions for a functional-differential inclusion with lower semi-continuous Volterra operator (in the sense of Tikhonov) is considered.

Keywords: functional-differential inclusion; multivalued impulses, extendable solution.

Корчагина Елена Валерьевна аспирант

Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Elena Korchagina

post-graduate student

Tambov State University named after

G.R. Derzhavin

Russia, Tambov

e-mail: [email protected]

УДК 519.688

О ВЫЧИСЛЕНИИ МНОГОМЕРНОГО ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ПРОСТОМ ПОЛЕ 1

© А. О. Лапаев

Ключевые слова: компьютерная алгебра; дискрентное преобразование Фурье; быстрое преобразование Фурье; теория алгоритмов.

Аннотация: Рассматривается способ вычисления дискрентного преобразования Фурье для полиномов многих переменных в кольце Zp[xl,x‘2,..., хп]. Получены теоретические оценки сложности изложенного подхода.

Пусть / € ^р[х1,х2,... ,ха], р - простое число. Пусть наибольшая степень переменной хг в

полиноме / равна пг — 1, щ = . Обознач им п = П1П2 ■■■ па- Тогда поли ном / можно записать

В ВИД61

П1 — 1П2 — 1 па-1

/ = / . . хг1 хг2 хга

/ /г112..лпх1 х2 ■ ■ - ха

11=0 г2 =о га=о

1Работа выполнена при подцержке программы "Развитие потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/1853).

Пусть простое число р такое, что каждое из чисел пг делит р — 1. Тогда в ^р существует корень из 1 степени пг, который будем обоз начать иг- Введем определение дискретного преобразования /

/

Смерим таблица чисел Т(/) = (/з1...за), где 1 ^ ]1 ^ п1, 1 ^ ]2 ^ п2, ... 1 ^ ^ па, где

П1-1 п2 1 па-1

/нп-]Л = 2 £ ...^2 ^2...гп33 ■ ■ ■ иТа■ (1)

г1=о г2 =о г^=о

Правая часть (1) содержит п слагаемых. В левой части находится элемент ^-мерной таблицы, п

/будет 0(п2). Рассмотрим способ быстрого вычисления дискретного преобразования Фурье. Запишем формулу (1) в виде:

па-1 па-1-1 пк — 1 п1 — 1

$ = \~^ , Мга , ,За-1га-1 , 3кгк / , ,314

/3132---за = иа— 1 ■■■ ик ■■■2—/ /г1г2---гаи1 ■

гЛ=о гЛ-1=о гк=о *1=о

При фиксированных параметрах *2, ■ ■ ■ ,*а выражение

П1 —1

Р1 _ \ Л / . ,31^1

Гп,г2,гз,...,га / ^ /г1г2-.-га

г1 =о

- ]1-ж элемент одномерного дискретного преобразованпя Фурье на п1 точках, которое может быть посчитано по алгоритму Соо1еу-Тикеу [1] за 0(п1 log2 п1) операций.

Обозначим

пк+1 1

Р к+1 _ \ ' Р к ,к + 1гк+1

31,-,3к+1,гк+2,-,га ~ 2-^ 31,---,3к,гк+1---га а ■

гк+1=о

При последовательном вычислении Е1,Е2, ■ ■ ■, Еа элемент Еа будет содержать ДПФ полинома

/

Оценим сложность такого способа вычислений.

На шаге к + 1 для каждого набора ]1, ■ ■ ■ ]к+1, *к+2, ■ ■ .*а вычисляется одномерное преобразование Фурье на пк+1 точках, используя в качестве входных данных результат вычислений на шаге к На шаге к + 1 будет вычислено п/пк+1 одномерных преобразований Фурье.

Сложность такого способа вычислений будет выражаться

а

У^О( пк ^2 пк) = 0(п ^2 п).

— пк к=1 к

Аспекты программной реализации многомерного ДПФ и его применение для операций с полиномами будут представлены в докладе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ноден П., Китте К. Алгебраическая алгорнтмнка (с упражнениями и решениями). М.: Мир, 1999.

2. Кнут Д.9. Исскуство программирования.Получисленные алгоритмы. М.: Издательский дом «Вильямс»,2001. Т. 2.

3. Кормен, Т., Лейзерсон, Ч., Ривест, Р., Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. 1296 с.

Abstract: The method of computation of descrete Fourier transform for polynomials of many variables over the ring Zp[xi,x2,..xn] is considered. Theoretical complexity of the stated approach is provided.

Keywords: computer algebra; descrete Fourier transform; fast Fourier transform; theory of algorithms.

Дапаев Алексей Олегович Alexei Lapaev

аспирант post-graduate student

Тамбовский государственный университет Tambov State University им. Г.Р. Державина named after G.R. Derzhavin

Россия, Тамбов Russia, Tambov

e-mail: [email protected] e-mail: [email protected]

УДК 517.929, 519.71

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© А. С. Ларионов, В. В. Лузгин, В. В. Панасов

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение; функция Коши; система автоматического регулирования; устойчивость.

Аннотация: Предлагаются достаточные условия положительности функции Коши и фундаментального решения дифференциального уравнения первого порядка с запаздывающим аргументом; эти условия используются для получения признаков устойчивости решений уравнения, описывающего динамику системы автоматического регулирования.

Многие процессы, протекающие в реальных системах, не могут быть адекватно описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями. Все более актуальными в последнее время становятся такие прикладные задачи, в которых требуется учитывать одно из фундаментальных свойств любых реальных систем и объектов - запаздывание. Запаздывание обусловлено как необходимостью передачи сигнала, энергии или вещества во времени, так и тем обстоятельством, что на сбор и обработку информации, а также на принятие решений, например в системах автоматического регулирования, требуется определенное время [1, 2]. Для математического описания такого рода систем и объектов все большее применение находят дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, являющиеся актуальными представителями класса функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), которые в линейном случае можно записать в виде

(Сх)(г) = /(г), г е [а, ж), (1)

где С : АСп ^ Ьп— линейный ограниченный оператор (здесь АСп— банахово пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, ж) ^ Мп, Ьп— банахово пространство суммируемых на каждом конечном отрезке [а, Ь] С [а, ж) функций г : [а, ж) ^ Мп).