О вычислении корней уравнений аэроупругости с максимальной вещественной частью Текст научной статьи по специальности «Математика»

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м V 1974

М 6

УДК 629.015.4

О ВЫЧИСЛЕНИИ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ АЭРОУПРУГОСТИ С МАКСИМАЛЬНОЙ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ЧАСТЬЮ

А. Ф. Минаев, В. А. Тозырева

Рассматривается преобразование исходного уравнения свободных упругих колебаний летательного аппарата в уравнение, где максимальным собственным значениям соответствуют корни, лежащие в правой полуплоскости. Такое преобразование используется для вычисления потенциально неустойчивого тона колебаний непосредственно, минуя предварительное вычисление низших по частоте тонов свободных колебаний.

Общим методом анализа устойчивости линейных аэроупругих систем и, в частности, методом определения границ флаттера является определение корней уравнений, описывающих свободные упругие колебания летательного аппарата в потоке воздуха. Как известно, при некоторых допущениях эта задача сводится к вычислению собственных значений Хг (г'= 1, 2,..., п) матрицы А размера («Хга)> удовлетворяющих однородному алгебраическому уравнению

АХ^ХХ, (1)

где X — собственный вектор—„форма“ свободных колебаний. Матрица А вещественная, и поэтому Хг — попарно комплексносопряженные величины. Собственное число Х1 однозначно связано с комплексной частотой свободных колебаний уг = В; + ушг (8г — коэффициент затухания, шг — частота). Если &г = 0, то система находится на границе области устойчивости. Обычно пользуются таким представлением (1), что =

В задачах аэроупругости величина п может быть довольно большой (порядка 100). Диапазон же частот, в котором ищут корень с неотрицательной вещественной частью, ограничен сверху. Поэтому для анализа устойчивости в аэроупругости достаточно решения частичной проблемы собственных значений. Для решения

этой задачи получил распространение итерационный процесс[1]. Итерации приводят к определению наибольшего по модулю собственного значения тах|Хг|. Для того чтобы в процессе итераций получить максимальное по модулю собственное значение, соответствующее тт|>. | и, следовательно, тто); (так как обычно 8(. ш(.),

уравнение (1) можно преобразовать так, чтобы собственные значения преобразованного уравнения были обратными величинами собственных значений исходного. Получим уравнение того же вида:

где В — Л-1 и ц = 1/1

Если среди X существуют величины, равные нулю (для свободных аэроупругих систем), то матрица А особенная и система уравнений в виде (2) не существует. В этом случае вырожденность матрицы можно устранить сдвигом комплексной плоскости X вдоль вещественной оси на величину Х0(Х0.^Хг). Матрица Л*=Л—Х0Е, полученная в результате этого преобразования, при произвольной ^ не имеет особенности, и собственные числа матрицы (Л*)-1 имеют

вид . Очевидно, что шах|[А*| соответствует ближайшая

по модулю к Х0 собственная комплексная частота.

Отметим одну особенность, важную при построении алгоритма определения тах|Х,|. Исходная матрица А для задач аэроупругости и соответствующий ей вектор X имеют следующую структуру

Такая структура матрицы А позволяет при вычислениях оперировать с матрицами £> и в с размером, вдвое меньшим размера А. После сдвига по вещественной оси можно сохранить структуру матрицы А и вектора х [2]. Действительно, подставив в уравнение (1) X = X* — Х0, после необходимых преобразований получим

Легко показать, что матрица (Л*)-1 сохраняет структуру, аналогичную (1).

Применяя к матрице (Л*)-1 итерационный процесс, получим: собственное значение

Очевидно, что шах|(і.*| соответствует тіп^(. — у0|. При достаточно малых нисходящей последовательности модулей Х1 соответствует восходящая последовательность модулей V;.

Итак, преобразование комплексной плоскости собственных значений позволяет построить матрицу системы так, что ее максимальное собственное значение содержит минимальную комплексную частоту.

Если необходимо вычислить собственное значение, ближайшее по модулю к найденному, то матрица исходной системы преобра-

ВХ = рХ,

(2)

(3)

А* X* = X* X*,

(4)

где

D* = D-2X0E, G* =X0D + G + ХІЕ.

max I (a* I = max I l/X* \ — max | 1/(X — X0)

зуется таким образом, чтобы матрица, полученная в результате преобразования содержала все собственные значения, кроме вычисленного.

Следовательно, при исследовании устойчивости системы необходимо последовательно вычислить все собственные значения в заданном диапазоне частот, пока не будет получено собственное значение с положительной вещественной частью. Эта процедура весьма трудоемка, и процесс последовательного исключения корней может привести к потере точности.

Известны применения и других преобразований плоскости собственных значений, например, в [3] приведен способ улучшения сходимости итераций на основе использования конформного отображения.

Преобразуем комплексную плоскость собственных значений так, чтобы максимальному по модулю собственному значению соответствовала комплексная частота с максимальной вещественной частью, т. е.

шах | Хг | шах

Тогда можно построить вычисление таким образом, что „флаттер-ный“ корень будет вычисляться непосредственно, минуя нахождение всех корней, соответствующих частотам, которые меньше частоты колебаний при флаттере.

Воспользуемся для этого дробно-линейной функцией, преобразующей правую полуплоскость комплексных частот во внешность круга единичного радиуса с центром в начале координат

Очевидно, если 8 = 0, то|тг]|=1,|тг|[>1 при 8 > 0 и | | < 1 при 8 < 0 Найдем из выражения (5) Х = и п°Дставим в (1), получим

выражение вида (4), где

О*=2(Е + Е)-0Г1(Е - О), б* = (Е + 0 + О)-1 {Е-О + в), Х* = г,.

В аэроупругости при практических расчетах заметное место занимают вычисления, связанные с определением границ устойчивости и исследованием влияния на них различных конструктивных параметров. В этих случаях, как правило, необязательны исследования поведения остальных корней. Поэтому предложенное выше преобразование позволяет значительно сократить вычисления, поскольку отпадает необходимость вычисления не только всех предыдущих корней, но и всех вспомогательных операций итерационного процесса (итерации транспонированной матрицей, построение матрицы перехода, вычисление преобразованной матрицы). Кроме того, объем вычислений в данном случае существенно снижается за счет значительного уменьшения заданной точности расчета собственного числа. Обычно большая точность вычислений требуется ввиду возможного накопления ошибок при последовательном переходе к высшим собственным значениям. Отметим также, что итерационный процесс в нашем случае по существу

решает задачу устойчивости, так как его результат непосредственно отвечает на вопрос, устойчива система или нет, и устанавливает запас устойчивости по коэффициенту затухания 8.

Улучшение сходимости итерационного процесса достигается

введением масштаба частоты К, т. е. принимается ^ = ^ля

задач аэроупругости можно принять К = 50 („средняя" частота).

Фиг. 2

Проиллюстрируем описанный способ примером. Ниже приведены результаты вычислений комплексных частот некоторой аэроупругой системы для двух значений скорости полета (фиг. 1 и 2). Из приведенных данных видна последовательность вычисления корней в

случае преобразований -у- и -ц = ^ | .

Во втором случае вычисление только первых корней позвляет сделать вывод об устойчивости системы: для У1 система устойчива, а для У^ — ЗУх система находится за границей устойчивости, т. е. имеет место флаттер.

ЛИТЕРАТУРА

1. Минаев А. Ф., Кадыров X. О численном определении комплексных чисел и форм действительной матрицы. „Изв. Ан УзССР", 1959, № 3.

2. Б у н ь к о в В. Г. Особенности свободной схемы летательного аппарата при решении задач аэроупругости. Труды ЦАГИ, вып. 1166, 1969.

3. Фаддеев Д. К., ФаддееваВ. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Физматгиз, 1963.

Рукопись поступила 181Х 1973 г.