О выборе обобщенного показателя качества при проектировании технических устройств Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.3 (043.3)

В.А. Кондратьев НГТУ, Новосибирск

О ВЫБОРЕ ОБОБЩЕННОГО ПОКАЗАТЕЛЯ КАЧЕСТВА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

В сложившейся практике проектирования технических устройств и систем на их основе не уделяется должного внимания необходимости учета условий, в значительной мере определяющих их основные эксплуатационные свойства. Например, при проектировании широко востребованных локальных систем автоматического управления под математической моделью в большинстве случаев понимается лишь связь между какой либо выходной динамической переменной и входными величинами, характеризующими управляющее или возмущающее воздействия. В лучшем случае эта связь задается системой нелинейных дифференциальных уравнений. Однако и при этом из поля видения разработчика опускается критерий качества устройства, для которого создается система, и реальные ограничения конструирования. Вследствие этого исключается возможность рационального выбора путей и средств достижения желаемой цели в создании устройства автоматического управления. Зачастую достижение тех или иных динамических свойств системы обеспечивается за счет существенно завышенных ресурсов на управление, повышением весогабаритных стоимостных и других эксплуатационных свойств всего изделия.

Здесь имеет смысл подчеркнуть одно очевидное, но очень важное обстоятельство. В процессе проектирования любых технических систем их свойства всегда являются однозначными функциями атрибутов их математических моделей. Это вытекает из того, что причинно-следственная связь в описании свойств детерминирована. Это не противоречит тому, что реальные свойства изделий имеют разброс, обусловленный неизбежным разбросом свойств материалов, комплектующих изделий, элементной базы полупроводниковых преобразователей и т. п.

Преодоление указанного технического противоречия возможно путем применения положений вариантного проектирования с анализом свойств по конкретному критерию проектирования.

Одним из наиболее удачных способов решения задачи оптимизации с большим количеством оцениваемых свойств является использование предложенной Харрингтоном, так называемой обобщенной функции желательности В [1] в виде среднего геометрического частных функций желательности:

£> = */й^/2...-4 . (1)

Применительно к решению задач проектирования для В более подходит название «обобщенная функция качества».

Для построения (1) необходимо преобразовать размерные значения свойств в безразмерные по шкале желательности d. Преобразование является в своей основе субъективным, отражающим отношение

проектировщика к отдельным свойствам. С этой целью используется метод количественных оценок с интервалом значений локальных показателей качества й от 0 до 1. Значение d = 0 соответствует абсолютно

неприемлемому значению, а й = 1 - самому лучшему значению

анализируемого свойства, причем дальнейшее улучшение его или

невозможно, или не представляет интереса. Промежуточные значения показателя анализируемого свойства и соответствующие им числовые отметки назначаются по условиям: 0,80 ... 1,00 - очень хорошо; 0,63 ... 0,80 - хорошо; 0,37 ... 0,63 - удовлетворительно; 0,20 ... 0,37 - плохо; 0,00 ... 0,20 - очень плохо. В (1) возможно введение весовых коэффициентов, равных в сумме единице.

Оговоренный выбор числовых отметок объясняется удобством

вычислений, поскольку

</ = 0,63*1—, а = 0,37 « —. (2)

е е

Шкала й является безразмерной. Она позволяет любое физическое свойство преобразовать так, чтобы его можно было интерпретировать в терминах полезности или желательности для специфического применения.

Простейшим типом преобразования служит такое, в котором существует не допускающий изменения верхний и (или) нижний предел спецификации свойства. Частная функция желательности при одностороннем ограничении имеет вид

, (°,У<Утт

<* = \л (3)

I1» У > ^гшп-

Аналогичным образом получается частная функция желательности, если спецификация задает ограничение сверху. Если для данного свойства существует двустороннее ограничение, то

[0? У < Утт и У ■> Утах ^

1, ^<^<^тах.

Представленными условиями при решении оптимизационных задач можно воспользоваться, например, при назначении ограничений по размерам. Однако при оценке свойств объектов проектирования практически всегда желательно, чтобы значения свойств определялось не только при значениях параметров, лежащих между известными пределами, но и на определенном расстоянии от них. Это необходимо, например, чтобы противостоять присущим производственному процессу случайным отклонениям. Кроме того, довольно трудно бывает провести точную грань между приемлемым и неприемлемым значением свойства. Поэтому в общем случае преобразование у и (Я осуществляется по более сложным законам.

Для двустороннего ограничения вида у ^ У ^ У таг преобразование у в

й (рис. 1, а) производится при помощи выражения

с1 = ехр[-(\у’\)п1 (5)

где п - положительное число (п > 0), не обязательно целое;

y =

2 y- (y max ymin) .

(6)

ymax ymin

показатель степени n можно вычислить, если поставить в соответствие значению у значение d (предпочтительно в интервале 0.6 < d < 0,9) по формуле

lnlnl Id

П =----; j—. (7)

\п\у'\

Задавая при помощи контрольной точки крутизну показателя анализируемого свойства, можно учесть особую важность отдельных свойств. Для этих свойств степень n будет иметь большее значение, и малой величине, характеризующей свойство вблизи ограничивающих пределов, будет соответствовать резкое изменение частной функции анализируемого свойства. Величина n определяет наклон кривой. По мере увеличения n кривая приближается к прямоугольной (предельной) форме. Если нет спецификации свойства, то целесообразно дать статистическую оценку n по ряду значений у и соответствующих им значений d.

Для односторонних ограничений вида у<утах или у>утт более

удобной формой преобразования у в d служит экспоненциальная зависимость (рис. 1, б):

d = ехр[-ехр(-у)]. (8)

d 1.0 0.9 0.8 о л 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

1 очень хорошее \

хорошее j J \

удовлетвори- \ 11 1 тельное 7 }

/| i\ плохое Г\ i\ / 1 1 \ / 1 > \ /—1 J—

плохое>

очень хорошее

хорошее

удовлетвори-

тельное

плохое /

очень /

плохое/

-2

3 У

-3 -2

-1

3 У

а

min (max)

б

Рис. 1. Функция желательности для свойства,ограниченного с двух сторон (а)

и с одной стороны (б)

Для (8) у' в большинстве случаев выбирается в виде линейной зависимости уг = Ь0+ Ьху . Коэффициенты Ь{) и Ъ\ можно определить, если задать для двух значений свойства у соответствующие значения частной функции анализируемого свойства d предпочтительно в интервале 0,2 < d < 0,8. Нелинейное преобразование у в у' применяется, если данное свойство

имеет особую важность, нарушение ограничивающих условий недопустимо и малому изменению свойства вблизи ограничивающего предела соответствует резкое изменение желаемой величины.

С обобщенной функцией качества В по (1) можно выполнить все вычислительные операции, как и с любым свойством; можно использовать

показатель В и как критерий оптимизации устройства в целом.

При использовании

возможностей вычислительной среды ЫМЬаЪ все действия, нацеленные на оценку обобщенного показателя качества, программируются с обеспечением визуализации. Это предоставляет проектировщику расширенные возможности в принятии решений.

Для примера, представленного рис. 2, варианты 6 и 7 с практической точки зрения являются конкурентоспособными. В такой ситуации решение за проектировщиком с учетом концепции разработки устройства в целом, а также конструктивнотехнологических, стоимостных и тому подобных соображений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Карташова Т.М., Штаркман Б.И. Обобщенный критерий

оптимизации - функция желательности. - Информационные материалы. - М.: Изд. Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР,

©В.А. Кондратьев, 2005

4 5 6 7 8

Номер варианта

10 11

Рис. 2.

1979. - №8 (45). - С. 55 - 63.