Научная статья на тему 'О выборе функционала для одной вариационной задачи газовой динамики'

О выборе функционала для одной вариационной задачи газовой динамики Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
203
69
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Галкин В. М.

Рассматривается численное решение прямым методом вариационной задачи о построении сверхзвукового сопла с равномерным потоком на выходе. Предложен способ выбора минимизируемого функционала. Проведено сравнение с результатом, полученным другим методом.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

About choice of functional for one variational problem of gas dynamics

The numerical solution of the variational problem of construction of supersonic nozzle with an uniform output flow by a direct method is considered. The way of choice of the functional to be minimized is proposed. Comparison with the result received by other method is carried out.

Текст научной работы на тему «О выборе функционала для одной вариационной задачи газовой динамики»

осложненных условиях путем применения магнитных устройств // Нефтяное хозяйство. - 1997. - № 7. - С. 46-47.

5. Пивоварова Н.А., Унгер Ф.Г., Туманян Б.П. Влияние обработки постоянным магнитным полем на парамагнитную активность нефтяных систем // Химия и технология топлив и масел.

- 2002. - № 1. - С. 30-32.

6. Лесин В.И., Дюнин А.Г., Хавкин А.Я. Изменение физико-химических свойств водных растворов под влиянием электромагнитного поля // Журнал физической химии. - 1993. - Т. 67. -№ 7. - С. 1561-1562.

7. Борсуцкий З.Р., Ильясов С.Е. Исследования механизма магнитной обработки нефтей на основе результатов лабораторных и промысловых испытаний // Нефтепромысловое дело. - 2002.

- № 8. - С. 28-37.

8. Пат. 2153126 РФ. МКИ5 С01Б 111/22. Устройство для защиты трубопроводов от коррозии / В.М. Кондаков, А.Н. Качуров-

ский, А.Л. Бушковский, В.А. Кольцов, Л.В. Прасс, В.Н. Лялин. Заявлено 28.09.1998; Опубл. 20.07.2000, Бюл. № 20. - 16 с.: 7 ил.

9. Спектроскопия оптического смешения и корреляция фотонов / Под ред. Г. Камминса, Э. Пайка. - М.: Мир, 1978. - 574 с.

10. Посадов И.А., Поконова Ю.В. Структура нефтяных асфальте-нов. - Л.: ЛТИ, 1977. - 76 с.

11. Лоскутова Ю.В., Юдина Н.В. Влияние постоянного магнитного поля на реологические свойства высокопарафинистых неф-тей // Коллоидный журнал. - 2003. - Т. 65. - № 4. -С. 510-515.

12. Лоскутова Ю.В., Юдина Н.В. Реологическое поведение нефтей в магнитном поле // Инженерно-физический журнал. - 2006. - Т. 79. - № 1. - С. 102-110.

13. Лоскутова Ю.В. Влияние магнитного поля на реологические свойства нефтей: Дис. ... канд. хим. наук. - Томск, 2003. -144 с.

УДК 533.6.011

О ВЫБОРЕ ФУНКЦИОНАЛА ДЛЯ ОДНОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

В.М. Галкин

Томский политехнический университет E-mail: vlg@tpu.ru

Рассматривается численное решение прямым методом вариационной задачи о построении сверхзвукового сопла с равномерным потоком на выходе. Предложен способ выбора минимизируемого функционала. Проведено сравнение с результатом, полученным другим методом.

1. Введение

Известно, что если возможна численная (программная) реализация некоторой задачи, то эта реализация может быть сделана неединственным способом. В этом смысле не являются исключением и прямые численные методы решения вариационных задач, когда решение получается в результате минимизации определенного функционала. При этом для класса вариационных задач, к числу которых относятся и газодинамические задачи, некоторые численные реализации могут приводить к тому, что область определения будет являться нео-дносвязным множеством.

В качестве характерного примера рассмотрим задачу, решаемую прямым методом, о численном построении сверхзвукового сопла с равномерным потоком на выходе. Отметим, что к этому близка задача о сопле максимальной тяги [1]. Пусть в некотором сопле, профиль которого определяется варьируемыми переменными, рассчитывается поле течения, а по найденному полю вычисляется функционал, характеризующий неравномерность потока на выходе из сопла и имеющий минимальное значение тогда, когда поток равномерный.

В основу численной реализации указанной задачи могут быть положены два основных подхода. Первый использует тот факт, что поток остается

сверхзвуковым и возможно использование простых в реализации и быстрых в расчете маршевых схем; второй подход допускает существование дозвуковых течений и, соответственно, требуется применение гораздо более сложных и более медленных численных методов. Пусть в основу первой численной реализации положен метод характеристик [2]. Тогда очевидно, что если в некоторых контурах не будет реализовываться полностью сверхзвуковое течение, то это приведет к аварийному останову (авосту). Следствием этого будет неодносвязность области определения, поскольку функционал, использующий параметры потока на выходе из сопла, вычислить нельзя. Второй подход, учитывающий появление дозвукового течения и использующий, например, метод установления и схему Годунова [3], лишен это недостатка, однако интеллектуальные и временные затраты по сравнению с методом характеристик возрастают на порядок.

В работе [4] наряду с методом характеристик, позволяющим быстро получать решение, предложен функционал, который, в частности, использует значения параметров течения, найденные на каждой характеристике С+. Это позволяет даже при наличии авостов продолжить функционал на одно-связную область.

В данной статье, которая является развитием работы [4], предлагается вычислять функционал

более простым способом. Для оценки правильности полученных результатов использовалось решение, полученное по методике [2].

2. Постановка задачи

Дано установившееся незакрученное изоэнтро-пическое и изоэнергетическое течение идеального совершенного газа в осесимметричном сопле, рис. 1. Характеристические уравнения и условия совместности имеют вид:

^ = ^0±а),

ах

а0±-

С082(а)

а 5"1(а)5"1(0) ах = 0, (1)

(у +1)/2 - С082(а) у со8(0±а)

где у - показатель адиабаты, далее 7=1,4; х и у -продольная и поперечная координаты, отнесенные к радиусу сопла в минимальном сечении; а=агап(1/М) - угол Маха, М - число Маха; 0 - угол наклона вектора скорости (линии тока) к оси х; знак +(-) соответствует характеристике С+(С~); полагается, что во входном сечении ха=0. На стенке реализуется условие непротекания: tg(0)=/'(x), где /(х) - функция, описывающая контур сопла, а штрих обозначает производную по х. Во входном сечении ха поток однородный: 0п=0, Мп=1, где индекс «ш» соответствует входу в сопло. Далее индекс «0» соответствует выходу из сопла.

Рис. 1. Схема сопла: оа - минимальное сечение; аЬ - сопло с угловой точкой; аё - характеристика С-, принадлежащая пучку волн разрежения; ае - начальная характеристика ; к1 - характеристика С+ пт - характеристика С++; сЬ - конечная характеристика С

При вычислении параметров течения в угловой точке «а» используется формула Прандтля-Май-ера, следующая из (1):

62 +^(«2) = д1 +

у/(а) - -а + агС^

у — 1

у +1

tg(«)

(2)

где нижние индексы 1 и 2 соответствуют параметрам до и после разворота в угловой точке; 01=0, а=ап.

Необходимо найти контур сопла (рис. 1), на выходе из которого в сечении х=хь поток должен иметь однородные поперек сопла параметры 0=0 и число Маха М0>1. Считается, что давление на выходе из сопла больше давления окружающей среды.

3. Тестовая задача

При заданном показателе адиабаты рассмотрим однопараметрическое, зависящее от М0, семейство сопел с угловой точкой и равномерной характеристикой на выходе. Известно [1], что эти сопла имеют максимальную тягу, являются кратчайшими и обеспечивают нулевые потери на рассеяние в выходном сечении. Поскольку на выходе поток будет однородный и параллельный, то указанные сопла будут удовлетворять поставленным выше условиям.

Использование методики [2] при заданных М0>1 и показателе адиабаты позволяет найти единственное сопло, принадлежащее указанному семейству и удовлетворяющее условиям задачи. Контур сопла, полученный таким образом, считается эталоном, и с ним будет проводиться сравнение прямого метода, а координаты начальной точки «а» и найденной конечной точки «Ь» будут являться исходными данными для прямого метода.

4. Прямой метод

Даны координаты точек «а», «Ь» и тангенс угла наклона сопла в точке «Ь»:

/(ха ) = Уа, /(хЬ ) = УЬ, /'(хЬ ) = У^

ха = 0, Уа = 1, У' = 0. (3)

Последнее равенство следует из условия 0=0 на выходе из сопла.

Для аппроксимации искомого контура в качестве базисных функций используются степенные полиномы:

N+3

/(Х) = X 1 = (2Х - ХЪ - Ха )/(X - Ха ) ,

1=1

г е [-1,1], Х е[Ха, Хъ]. (4)

Так как должны выполняться условия (3), то коэффициенты ст, Сдт+2, ст и профиль сопла/(х) выражаются через N линейно независимых коэффициентов с1, ..., Сдт. Требуется найти профиль сопла, удовлетворяющий геометрическим условиям (3) и постановке задачи.

Прямой расчет. В рамках прямого метода принято называть прямым расчетом единичный расчет поля течения, который заканчивается вычислением функционала. Выбор функционала будет обсуждаться ниже. В прямом расчете система уравнений (1) решается по схеме, рис. 2, где цифрами «1» и «2» обозначены точки с известными параметрами, из которых выходят характеристики С + и С-. Цифрой «3» обозначена точка их пересечения. Записывая уравнения (1) в разностном виде, получим систему уравнений относительно неизвестных параметров а/, 0/, х/, у3 в точке «3»:

У3 - У 2

Уз - У1

= ^ё(023 -«2зХ

= 1Б(01з +«13),

соэ2а

(у +1)12 - соэ2 а

-(а]3 -а1) +

зта13 зт013

У13 СО§(013 +«13)

соэ а

(у +1)/ 2 - соэ2 а

(^ -*2) = 0,

*) = о,

К -а2) -

э1па23 зт023

У23 СО§(023 «23 )

здесь 7=1,2,... - номер итерации. Обозначим р=а,в,х,у, тогда Р1з=(Р1+Рзу-1)/2, Р2з=(Р2+Рз-1)/2. Полученная система решалась итерационно до выполнения условия тахр-рз^^О-8. На начальной итерации полагалось р30=(р1+р2)/2. Так как на оси 0=0, у=0, а на стенке 0=аг^(Дх)) и у=Цх), то в данной системе уравнений производились очевидные упрощения.

Рис. 2. Схема расчета: 13 - отрезок характеристики С+;

23 - отрезок характеристики С

Таким образом, от оси к стенке, по известной характеристике С+ рассчитывается следующая характеристика С ++1, где индексы I и /+1 - порядковые номера вычисляемых характеристик. Расчет производится до тех пор, пока очередная характеристика С не приходит в точку «Ь». В качестве начальных условий используются 0Ы=О и М=1,001 на начальной характеристике ае. Такие начальные условия достаточно часто применяют вместо плоской звуковой линии [5]. Отметим, что для вычисления интегралов использовалась формула трапеции.

Выбор функционала. В [4] использовался функционал, который рассчитывался вдоль характеристики (рис. 1):

I=л .

(5)

Если при вычислении характеристики С++1 происходил авост, то формула (5) заменялась выражением:

Г/ ь

I = (хь - х,) + П02й/ + |ф(х)йх,

У к а

ОI(х)|, I'(х) < о

ф( х) =

О, I'(х) > О

(6)

где первый интеграл вычислялся вдоль последней рассчитанной характеристики С+, а второй - суммировал площадь участков контура сопла с отрицательными углами наклона. Если авост произошел при расчете характеристики С+, то х=0 и 0=О вдоль начальной характеристики С2+. В результате функционал (6) приобретает вид:

ь

I = хь + |ф( х )йх.

(7)

Как видно, способ вычисления функционала (5-7), предложенный в [4], достаточно сложен. И, кроме этого, замена формулы (5) на формулу (6) приводит к тому, что функционал, сохраняя непрерывность, в общем случае может стать недиффе-ренцируемым.

В данной работе предлагается другой подход. Рассмотрим два функционала

11 =

12 = Ь1 ((а - «О )/а )2й/, Ь =| й/,

\ С+ С+

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

которые вычисляются вдоль произвольной характеристики С+. Выбор функционалов (8) обусловлен следующими соображениями.

Пусть сопло с известным Мо удовлетворяет условиям задачи. Тогда, как видно на рис. 3, первый функционал из (8) имеет два минимума 11=0. Первому минимуму на характеристике ае соответствует 0=О и ай=агс8т(1/Мя). Второму минимуму на характеристике сЬ соответствует 0=О и аО=аг8т(1/М0). Как следует из уравнений (1), только второй минимум является необходимым и достаточным условием решения задачи. Очевидно, что использование первого функционала не гарантирует единственности решения.

Рис. 3. Значение функционалов вдоль характеристик С+, / - номер характеристики

Второй функционал из (8), в отличие от первого, имеет единственный минимум 12=0 на характеристике сЬ (рис. 3), чему соответствует а=а0. Однако этот минимум является необходимым, но не достаточным условием решения задачи, поскольку может не выполняться условие 0=О. Комбинация I и 12 дает следующий функционал:

а

с

«о)/ а )2+02] dl.

(9)

который имеет единственный минимум /3=0 на характеристике сЬ (рис. 3). Так как этот минимум является необходимым и достаточным условием решения задачи и ему соответствует 6=0 и а=а0, то далее будет использоваться функционал (9).

При вычислении функционала (9) воспользуемся приемом, предложенным в [4], и если при вычислении характеристики С+ происходит авост, то функционал (9) вычисляется вдоль уже рассчитанной характеристики С+.

Если сопло имеет отрицательный наклон сопла Дха)<0 в точке «а», то авост происходит при вычислении характеристики С+, и функционал (9) вычисляется на начальной характеристике ае. Поскольку при вычислении параметров течения в угловой точке «а» используется формула Прандтля-Майера (2), то можно использовать эту формулу и для вычисления а2 при 62<0. В этом случае найденные значения а2 не имеют физического смысла, т. к. этому соответствует дозвуковое течение. Однако в силу своей непрерывности (рис. 4) функция а2(62) позволяет продолжить функционал (9) на односвя-зную область в случае отрицательного наклона сопла Дха)<0 и обеспечить функционалу непрерывность и дифференцируемость. Как показали расчеты, при вычислении по формуле трапеции функционала на начальной характеристике ае достаточно брать только две точки - «а» и «е».

Зависимость а2=а2(62)

Поскольку на входе в сопло граничные условия не меняются, а параметры течения определяются только профилем сопла (4), то значение функционала (9) будет неявно зависеть от этого профиля. Таким образом, задача нахождения профиля сопла У(х), доставляющего экстремум функционалу (9), сводится к поиску точки (с1,^,сЛГ), в которой функция многих переменных /3=/3(с1,^,сж) имеет экстремум. Для нахождения минимума этой функции использовался квазиньютоновский метод Бройдена из [6].

5. Численные результаты

Число N варьируемых переменных с менялось от 1 до 10, начальное значение с=0. На характери-

стике ае задавалось 50 точек. Координаты точек «а» и «Ь»: (0; 1) и (3,576; 1,299). Этим значениям соответствует найденное из [2] эталонное сопло с угловой точкой и числом Маха на выходе М0=2.

Сравнение решения для обоих функционалов с эталонным соплом показало, что при N=10 ординаты сопел отличались в четвертом знаке после запятой, а максимальная относительная погрешность по составила 0,02 %.

На рис. 5 представлены результаты минимизации в виде окончательных значений функционалов для различного числа N. Таблица демонстрирует влияние числа коэффициентов и используемого функционала как на число прямых расчетов, так и на количество авостов. Из представленных результатов видно, что предложенный функционал (9), несмотря на простоту, по эффективности не уступает функционалу (5-7), предложенному в [4].

Рис. 5. Минимизация функционалов: 1) формулы (5-7) из [4], 2) предлагаемая формула (9)

Таблица. Минимизация функционалов. В числителе - число прямых расчетов, в знаменателе - авостов

№ Формулы (5-7) [4] Предлагаемая формула (9)

1 13/2 17/2

2 36/3 39/4

3 63/4 69/5

4 98/4 99/5

5 135/5 115/7

6 150/7 166/7

7 199/7 203/6

8 273/6 304/7

9 385/8 320/8

10 444/7 492/9

Заключение

Проведенные численные исследования показывают, что предложенный функционал достаточно прост в реализации, при наличии авостов имеет продолжение на односвязную область и сохраняет дифференцируемость, а по эффективности не уступает ранее рассмотренному в работе [4] функционалу. Сравнение профиля найденного сопла с эталонным профилем показало, что при 10 варьируемых переменных максимальная относительная погрешность по ординате составляет 0,02 %.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. - М.: Наука, 1979. - 448 с.

2. Кацкова О.Н. Расчет равновесных течений газа в сверхзвуковых соплах. - М.: ВЦ АН СССР, 1964. - 61 с.

3. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. - М.: Наука, 1976. - 400 с.

4. Галкин В.М., Волков Ю.С. Сравнение базисных функций в прямой задаче профилирования сверхзвуковой части сопла //

Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004. - Т. 7. - № 4(20). - С. 48-58.

5. Крайко А.Н., Тилляева Н.И. Оптимальное профилирование контура сверхзвуковой части тарельчатого сопла // Механика жидкости и газа. - 2000. - № 6. - С. 172-184.

6. Дэннис Дж. мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. - М.: Мир, 1988. - 440 с.

УДК 536.21+692.2:691.327:666.973.2:666.64-492.3

НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ТЕПЛОПЕРЕНОС В НЕОДНОРОДНОЙ КЕРАМЗИТОБЕТОННОЙ СТЕНЕ

А.Н. Хуторной, А.Я. Кузин, Н.А. Цветков, Т.А. Мирошниченко, А.В. Колесникова

Томский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: kaftgs@tsuab.ru

С помощью математического моделирования исследовано тепловое состояние неоднородного трехслойного керамзитобетон-ного фрагмента стены с фасадным утеплением на гибкой связи. Установлен характер распределения полей температуры в ке-рамзитобетонной конструкции. Выполнена оценка зоны влияния гибкой связи на температурное поле стены. Разработанная численная методика позволяет проводить тепловую экспресс-диагностику наружных неоднородных керамзитобетонных стен с различными теплофизическими и геометрическими характеристиками материалов системы в реальных условиях эксплуатации.

Вопросы энергосбережения относятся к приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации. Очевидно, что решение этих вопросов должно иметь комплексный характер. В работе [1] выполнена оценка энергоэффективности комплекса энергосберегающих мероприятий в нескольких зданиях общественного назначения г. Москвы. Суммарная экономия энергии оказалась весьма значительной (56...63 %), при этом доля утепления несветопро-зрачных ограждений составила 16.20 %. Там же [1] подчеркнута важность энергосберегающих мероприятий, связанных с утеплением несветопрозрач-ных ограждений, как обеспечивающих суммарное снижение энергопотребления здания не менее чем в 2 раза. В этой связи разработка способов повышения теплоэффективности наружных стен существующих зданий и разработка новых конструкций с повышенными теплозащитными свойствами является объективной необходимостью.

Повысить уровень теплозащиты наружных стен зданий можно за счет устройства в толще конструкции пустот, заполненных эффективным утеплителем [2]. Однако, как показано в работе [3], для ряда климатических зон такое решение может быть не достаточным. С целью обеспечения требованиям СНиП 11-3-79* «Строительная теплотехника» возникает необходимость в устройстве дополнительного утепления ограждающих конструкций, которое может быть реализовано с помощью фасадных систем утепления на гибких связях.

Физико-математическая постановка задачи. Рассмотрим нестационарный теплоперенос через трехслойную неоднородную конструкцию, состоящую из керамзитобетона - 1 с вертикальной пустотой, заполненной утеплителем - 4, утеплителя фасадной системы утепления - 2 и обшивки - 3 (рис. 1). Керамзитобетон с обшивкой соединены гибкой связью (коннектором) - 5. Форма керамзитобето-на, внутреннего утеплителя, коннектора, утеплителя фасадной системы утепления и обшивки - прямые параллелепипеды, поперечные и продольные сечения которых в общем случае представляют собой разносторонние прямоугольники. Известны те-плофизические характеристики (А;, р, с,, /=1,5) материалов системы, ее геометрические размеры, температуры наружной (^£) и внутренней (г1^) сред, коэффициенты теплоотдачи на наружной (о,) и внутренней (а0) поверхностях ограждения [4].

Необходимо рассчитать поля температур и плотностей тепловых потоков в сечениях неоднородной керамзитобетонной стены с фасадным утеплением.

Теплоперенос в неоднородном керамзитобетон-ном фрагменте стены описывается в декартовой системе координат трехмерными нелинейными нестационарными уравнениями теплопроводности

(рс) _ д п ) + 5 п ) + 5 (, д)

i = 1,5.

(1)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.