CC BY
170
УДК 372.851 ББК 74.262.21
Старцева Татьяна Александровна
соискатель г. Пермь
О введении понятий в школьном курсе математики
Основой современной личностно - ориентированной образовательной парадигмы служит деятелъностный подход, реализация которого требует изменения в характере, способах и методах обучения. В статье показан один из возможных способов организация активной деятельности школьников при введении определений математических понятий.
Одной из основных задач обучения в школе является развитие мышления. Мышление определяется как "опосредованное и обобщенное отражение существенных характеристик действительности" [13, с.363]. "Выявлению сущности изучаемых объектов способствуют действия, направленные на образование и решение познавательных целей: перевод непосредственного во внутренний план, использование символики, моделей и др. Они являются способами преобразования, которые позволяют опосредовать переход от конкретно - чувственного к мыслимому, обеспечивая тем самым поиск и познание закономерных связей и отношений" [1, с. 9].
Общеизвестно, что большие возможности для развития мышления предоставляет математика, при изучении которой происходит активная мыслительная деятельность.
Учитывая, что основной механизм интеллектуального развития ребенка, а значит и его мышления, связан с формированием в его сознании понятии, отметим их исключительную значимость в процессе обучения. В методической литературе понятиям уделено достаточно много внимания. В учебниках по методике преподавания математике представлены вопросы, раскрывающие содержание и объем понятий [4, с.6; 7, с. 129; 9, с.50]; классификацию понятий [10, с. 115]; определения понятий [4, с.9], их виды [9, с.53]; способы введения понятий на уроке [4, с. 15; 9, с.56 и др.]. В современных научных исследованиях рассматриваются психологический и методический аспекты процесса формирования понятий [5, с.4], процесс переработки информации при работе с математическими понятиями [2, с.52], деятельностная составляющая при работе над ними [3, с. 130].
Для нас представляет особый интерес рассмотрение процесса изучения понятий в школе с позиций деятельности. Связано это, прежде всего, с современными тенденциями в сфере образования, переходом от "знаниевой" образовательной парадигмы к "личностно ориентированнойоснованной на компетентностном подходе, и необходимости формирования у современных школьников математической компетентности. Основой личностно ориентированной парадигмы служит деятельностный подход к обучению школьников.
Феномен деятельности в современных научных разработках конкретизируется учеными различных направлений. Активные исследования по его внедрению в процесс обучения начались в середине прошлого столетия и представлены в работах психологов, дидактов и методистов Л.С. Выготского, А.Н. Леонтьева, П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной, В.В. Давыдова, В.И. Загвязинского, П.И. Пидкасистого, Б.И. Коротяева, Г.И. Щукиной, О.Б. Епишевой, Г.Н. Васильевой, Т.Н. Ивановой и др. Базисными основаниями деятельностного подхода к обучению выступают "общие философские и психологические положения о предметности и субъектности деятельности, а также принципы единства деятельности и сознания, единства строения
внешнего и внутреннего планов деятельности, интериоризации -экзистеоризации, зависимости психического отражения от места отражаемого предмета в структуре деятельности" [8, с.286].
Любая деятельность состоит из отдельных действий. При структурно -функциональном анализе учебная деятельность (как и деятельность вообще) разлагается на составляющие ее "единицы" - действия, а действия - на операции. В сложном действии всегда можно выделить относительно самостоятельные промежуточные действия, каждое из которых соотносится с определенным этапом реализации: целеполагание, моделирование, планирование, исполнение, контроль, оценка, коррекция. Любое развитое действие осуществляется сознательно, но отдельные частичные действия, входящие в его состав в результате тренировки могут осуществляться без участия сознания. Тогда действие превращается в операцию, т.е. в условие выполнения другого действия. Таким образом, операции служат компонентами того или иного действия и определяются не целями, а условиями его осуществления. Когда действия оказываются этапом или составной частью какой-либо специальной учебной деятельности (становятся средством усвоения специальных знаний и приобретения специальных умений), они становятся специфическими для этого вида деятельности [12, с. 100].
Усваивая ту или иную теорию, ученик должен увидеть и раскрыть систему содержательных операций, входящих в состав и структуру теории. Иначе он не сможет овладеть содержанием изучаемой теории и той деятельностью, которая обобщенно ею выражена. На этом и основана идея включения школьника в активную деятельность в процессе приобретения им знаний.
При организации урока учитель должен иметь четкое представление о том, какие действия необходимы учащимся. При реализации деятельностного подхода в ходе подготовки к уроку, учитель обязан предусмотреть процесс формирования этих действий. Для этого необходимо знать содержание формируемых действий. Заметим, что в психологической литературе
отмечается, что конкретные учебные действия чрезвычайно разнообразны, и их состав тесно связан с содержанием учебных задач [11, с.54]. Но на современном этапе операциональный состав действий исследован недостаточно.
Обратимся к рассмотрению одного из видов деятельности на уроках математики - введению понятия. Раскроем его операциональный состав.
Традиционно в содержании учебного материала вычленяется два крупных блока: теоретический материал и математические задачи. Теоретический материал представлен понятиями и их определениями, утверждениями (теоремами, свойствами, признаками и т.п.), алгоритмами (правилами, формулами и др.). Исходя из этого, в исследованиях видов деятельности можно выделить три основных вида: деятельность по введению математических понятий, деятельность, связанную с изучением свойств понятий, и, наконец, деятельность, предмет которой составляет применение изученных понятий и их свойств - процесс решения задач. Таким образом, основная деятельность школьников при изучении математики есть деятельность по изучению математических понятий, включающая в себя знакомство с понятием, изучение его свойств посредством суждений и усвоение их путем применения в решении задач. Итак, виды деятельности по изучению свойств понятий и процесс решения задач можно рассматривать как составляющие деятельности по изучению понятий.
При рассмотрении вопросов, связанных с введением понятий мы основываемся на структурной схеме деятельности, предложенной А.Н. Леонтьевым и конкретизированной к процессу обучения Г.Н. Васильевой [3, с.131].
Общеизвестно, что источником познавательной деятельности является потребность. Применение данного положения соответственно нашим целям приводит к познавательному мотиву: осознанию учащимися того, что изучение того или иного понятия является необходимым для дальнейшего успешного обучения математике и получения образования вообще. Поэтому первостепенное значение для введения понятий, следуя деятельностному
подходу, обретает мотивация учения, которая осуществляется планомерно с использованием всех возможностей математического содержания и обусловленных им приемов и средств обучения.
Наблюдения показывают, что ученик не будет заниматься разработкой той или иной проблемы, если вопросы, поставленные ею, не стали для него личностно значимыми, если проблема, как внешний фактор, не перешла во внутреннюю потребность, не увлекла, не завладела мыслями и эмоциями школьника, т.е. не преобразовалась в мотив. Главная задача учителя при подготовке любого урока — спроектировать работу учеников таким образом, чтобы она не казалась им навязанной извне, а исходила бы от учеников, пройдя через их сознание. Для формирования устойчивого интереса существуют стимулы - внешние побудители определенной деятельности школьника. Чтобы вызвать, "подогреть", усилить мотив, необходимо активизировать связанную с ним потребность. На этом основывается стимулирование возникновения мотивации.
Продемонстрируем это на примере введения определения степени с натуральным показателем. Отделение знания от незнания, на основе которого возникает потребность в изучении степени с натуральным показателем, можно осуществить посредством вопроса, заданного учителем " Что значит 4-7? ". Ученики уже знают, что для этого нужно найти сумму семи слагаемых, каждое из которых равно семи 4-7=4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 или сумму четырех слагаемых, каждое из которых равно четырем 4-1=1 + 7 + 7 + 7. Обращается внимание школьников на то, что обе записи громоздки. Поэтому, для упрощения записи сложения нескольких одинаковых множителей служит действие умножения а • п = а + а + ... + а = п + п + ... + п . Вопрос
4-V-' 4-V--'
п а
учителя "Только ли складывать можно одинаковые числа?" определяет ход дальнейших рассуждений. Очевидно, нет. Может возникнуть ситуация, когда необходимо умножить несколько одинаковых чисел, например, 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4. В этом примере число четыре является множителем семь раз. Следующий
вопрос: "Как Вы думаете, можно ли это произведение записать короче?" вызывает потребность у учащихся в изучении нового объекта.
Так формируется мотив, который реализован посредством отделения знания от незнания. Его результатом является понимание необходимости изучения нового объекта и постановка цели: дать определение новому понятию, описать свойства, с помощью которых объекты "степени с натуральным показателем" будут отличаться от других математических объектов, научиться применять их. Таким образом, мотив "запускает" деятельность, состоящую из отдельных действий, направленную на изучение понятия.
Введение нового понятия как деятельность состоится в результате выполнения следующих действий:
1) определение понятия;
2) выведение следствий из определения;
3) подведение под понятие;
4) классификация понятия [3, с. 130].
В данной статье остановимся на одном из них - действии определения понятия. Для осуществления действия определения понятия ученик должен знать смысл этого действия и его операциональный состав. Определить объект - значит, выбрать из его существенных свойств такие и столько, чтобы каждое из них было необходимым, а все вместе достаточны для отличия изучаемого объекта от других. Выполняется это действие различными путями (с помощью различных мыслительных и предметных операций), и результат его выполнения фиксируется в различного вида определениях.
В зависимости от специфики действий, с помощью которых выделяют родовые объекты и видовые отличия в методике преподавания математики выделяют следующие виды определений математических объектов: определение объектов путем указания их характеристического свойства, отрицательные определения, неявные определения основных объектов предмета через систему аксиом [9, с. 54].
Логическое действие - определение объекта - везде одинаково, но содержательные (математические) операции в каждом из отмеченных путей введения определения различны. В одних случаях видовые отличия перечисляются как описательные характеристики (определение через род и видовые отличия); в других - указываются действия, которые надо произвести, чтобы получить объект (конструктивные и рекурсивные определения); в -третьих перечисляются свойства, которые отрицаются (отрицательные определения).
Операции, раскрывающие действие формулирование определения объектов, следующие: выбор ближайшего родового объекта, затем наложение на него ограничений - видовых характеристик (отличий). На основе видовых отличий вводится новый объект, но с меньшим объемом, чем родовой, так как у него больше свойств. Вот этому объекту с большим числом свойств и меньшим объемом присваивается новое название (термин). В нашем примере можно выделить родовое понятие - произведение и видовые отличия - все множители произведения одинаковые.
Специально созданные условия обеспечивают активную деятельность школьника по реализации этого действия. Действие определение понятия реализуется во фронтальной работе на уроках математики приемом отбора или конструктивным приемом, описанным в книгах по общей методике преподавания математики [9, с. 58]. Его итогом служит действие формулирование определения (описание) понятия. Так, например, при введении понятий посредством перечисления его характеристических свойств, школьникам предлагается следующая модель действия (здесь, и в дальнейшем, под моделью действий мы будем понимать определенную последовательность операций, пошаговое выполнение которой способствует выполнению данного действия): 1) рассмотрите предложенные примеры; 2) определите, к какому понятию все они принадлежат; 3) укажите отличительные признаки (признак), которыми обладают все примеры; и далее, после введения термина 4) сформулируйте данное определение, используя следующую форму
определения "Определяемое понятие (в творительном падеже)" - называется "определяющее понятие (в именительном падеже)" - отличительные признаки. При этом школьники понимают, что "определением называют предложение, в котором разъясняется смысл новых слов" [6, с. 165].
В нашем случае школьникам предлагается рассмотреть еще несколько примеров произведений одинаковых множителей. Анализ этих примеров позволяет ученикам сделать вывод о том, что в каждом из них общим свойством служит произведение, а отличительным признаком данных произведений является то, что все множители в этих произведениях одинаковы. Учитель сообщает, что такое произведение можно записать короче 4.4.4.4.4.4.4 = 4^ называется оно седьмой степенью числа 4, читается "седьмая степень числа 4" или "четыре в седьмой степени", обозначается в виде " 47". Рассмотрение нескольких подобных примеров и их обобщение для числа а и натурального числа п, подводит учащихся к выводу о необходимости определения понятия степени с натуральным показателем. Школьники осуществляют это действие, используя знание особой формы определения. Далее исследуются значения п, вводится определение - условное соглашение а1 = а и уточняется определение степени числа а с натуральным показателем п.
Данный этап, по возможности, сопровождается введением термина и символа, принятого в науке для краткой записи. При введении многих терминов или символов в школьном курсе математики удается показать историю возникновения и развития того или иного понятия. Появляется возможность рассказать учащимся об ученых, впервые использующих данное понятие; о научных дискуссиях по тому или иному вопросу; о нравственных качествах людей, посвятивших свою жизнь математическим исследованиям. Например, при введении понятия пропорции, арифметического квадратного корня, логарифма, уравнения, функции и других, исторические экскурсы усиливают мотивацию познавательной деятельности школьников. В школьных учебниках далеко не всегда используются эти возможности.
Итак, знание сути действия определение понятия: 1) раскрывает учащимся необходимость его появления в математике; 2) показывает его логическую структуру и свойства; 3) дает возможность самостоятельно формулировать определение понятия; 4) ориентирует на знание места понятия в системе других понятий; 5) позволяет качественно применять его при доказательстве теорем и решении задач. Организуется активная деятельность учеников в процессе введения математических понятий. Ее результатом должна быть математическая компетентность в области изученного понятия, которая предполагает готовность применять его в процессе математической деятельности и способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
Библиографический список
1. Атаханов, Р. Математическое мышление и методики определения уровня его развития. [Текст]/Р. Атаханов. Москва - Рига, 2000. - 208с.
2. Боженкова, Л.И. Переработка информации в процессе освоения учениками понятий школьного курса геометрии [Статья]/Л.И. Боженкова // Методики и технологии математического образования: Сборник трудов по материалам II международной научной конференции "Математика. Образование. Культура", 1-3 ноября 2005 г., Тольятти: ТГУ, 2005. - 321с.
3. Васильева, Г.Н. О деятельностном подходе при введении понятий [Статья]/Глав. ред.: Г.Н. Васильева //Педагогические идеи Е.А. Дышинского и современное математическое образование: материалы науч.- практ. конференции преподавателей математики. Перм. гос. пед. ун-т.-Пермь, 2005. - 162с.
4. Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие [Текст]/Л.В. Виноградова, - Р. н/Дону: Феникс, 2005. - 252с.
5. Гусев, В.А., Шевченко, В.М. О формировании понятий в школьном курсе математики [Статья]/В.А. Гусев, В.М. Шевченко // Методики и технологии математического образования: Сборник трудов по материалам II
международной научной конференции "Математика. Образование. Культура", 1-3 ноября 2005 г., Тольятти: ТГУ, 2005. - 321е.
6. Дорофеев, Г.В. Математика: учебник для 5 кл. В 2 ч. Ч. 2 [Текст]/Г.В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. - М.: Баласс: С-инфо, 1996. - 240е.
7. Епишева, О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс лекций: Учеб. пособие для студентов физ.-мат.спец. пед. ин-тов [Текст]/О.Б. Епишева. - Тобольск: Изд. ТГПИ, 1997. - 191с.
8. Клековкин, Г.А. Некоторые аспекты использования компьютера в свете деятельностного подхода к обучению [Статья]/Г.А. Клековкин// Методики и технологии математического образования: Сборник трудов по материалам II международной научной конференции [Текст]/"Математика. Образование. Культура", 1-3 ноября 2005 г., Тольятти: ТГУ, 2005. - 321с.
9. Саранцев, Г.И. Методика обучения математике в средней школе: учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов [Текст]/Г.И. Саранцев. -М.: Просвещение, 2002. - 224с.
10. Стефанова, Н.Л. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов [Текст]/Н.Л. Стефанова, Н.С. Походова, В.В. Орлов. - М.: Дрофа, 2005. - 416с.
11. Талызина, Н.Ф. Педагогическая психология: учеб. для етуд. сред. пед. учеб. заведений [Текст]/Н.Ф. Талызина. -М.: ИЦ "Академия". 2003 -123с.
12. Талызина, Н.Ф. Что значит знать? [Статья]/Н.Ф. Талызина // Советская педагогика. №8. 1998. С.97-104.
13. Холодная, М.А. Психология интеллекта: парадоксы исследования [Текст]/М.А. Холодная. - Томск: Изд-во Том. ун-та; М.: "Барс", 1997. -392с.
