CC BY
0
Вестник Омского университета. 2024. №2 (29). С. 4-8
УДК 517.537.36 DOI 10.24147/1812-3996.2024.2.4-8
О ВТОРОЙ ТЕОРЕМЕ АБЕЛЯ
Е. В. Мельников
канд. физ.-мат. наук, доцент, e-mail: melnikov_e_v@mail.ru
Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского, г. Омск, Россия
Аннотация. Даётся небольшой обзор существующих доказательств второй теоремы Абеля и приводится более простой вариант доказательства этой фундаментальной теоремы.
Ключевые слова: степенные ряды, поведение голоморфной функции на границе.
Формулировка теоремы Нильса Хенрика Абеля, опубликованная в 1826 году в работе [1], первоначально (в переводе на русский язык) выглядела так (см. также, [2, стр. 69]):
«Если ряд f (а) = v0+v1a+v2a2 + ... сходится при 8, он также будет сходиться и при а меньших 8, а при стремлении ß к нулю f (а — ß) будет стремиться к f (а) для всех а ^ 8.»
В математической литературе эта теорема обычно называется второй теоремой Абеля. В работе [3] эта теорема была сформулирована в виде:
те тете
«Еслиряд ап сходится, то lim ^ апхП = ап.»
п=0 п=0 п=0
Последняя формулировка равносильна следующей.
те
Теорема 1. Если степенной ряд (z — z0)k сходится в точке z1 Е C, отлич-
к=0
ной от z0, а S(z) — его сумма при \z — z0\ < \z1 — z0\, то
те
lim S(z) = S(zi) :=У^ ak(zi — Z0).
[zo,zi)3z^zi f—(
k=0
Именно в таком виде в большинстве книг и учебников по ТФКП и комплексному анализу формулируется вторая теорема Абеля (см., например, [4, с. 67], [5, с. 52], [6, с. 128]).
В 1904 году Otto Stolz [7], тот самый Штольц, что доказал известную теорему о пределах числовых последовательностей, похожую на теорему Лопиталя для функций, предыдущее утверждение существенно обобщил.
Утверждение следующей теоремы отличается от формулировки Штольца большей геометрической наглядностью.
Вестник Омского университета. 2024. №2 (29)
5
Теорема 2. Если степенной ряд Е ak (z — z0)k сходится в точке zi Е C, отлич-
к=0
ной от z0, а S(z) — его сумма при \z — z0\ < \zi — z0\, то
те
lim S (z) = S (zi) ak (z\ — z0)k,
z^ z\ i—'
k=0
где z стремится к по любому пути, заключённому между двумя произвольными хордами окружности радиуса — го | с центром в точке го, исходящими из точки
гг.
Доказательство. Делая замену переменных: ап := ап(гг — го)п и г :=
Z-ZQ
мы,
не уменьшая общности, можем считать, что го = 0, гг = 1 и ряд ^ ак сходится к
к=0
те
некоторому числу 5 =: 5(1), где 5(г) — сумма ряда Е ак гк при |г| < 1. Именно
к=0
при таких предположениях вторую теорему Абеля формулировал Титчмарш (см.
те
ссылку ниже). В силу сходимости ряда Е ак для любого числа е > 0 существует
к=0
номер п0 Е N такой, что Тогда
Е ак
к=п
< £ при т ^ п > по. Положим Sn
Е ак.
k= п
m
Y ак zk
к=п
l + (Sn + 1 + ... + (Sn,m — Sn,m-i)zm =
_ С (~n 7n+h , Q / n+1 n+2\ | | Q (jm-i m\ , q ~m — On,n(Z Z ) + On,n+i(Z Z ) + ... + On,m-i(Z Z ) + On,mZ .
Следовательно, при m ^ n > n0 имеем
^ ак гк^ ^ ^ \zk — zk+i\ + \z\m^ = ¡1 — z\ ^ \z\k + \z\m^ ^
k=n
k=n
k=n
^ e(\1 — z\ £ \z\k + \z\m) = e[ \z\n + \z\m) < e[-^j + 1).
11 - z\
k=n
1 — \z \
Полученное неравенство справедливо для всех г € С таких, что |г| < 1.
Пусть число а Е (0, п/2) произвольно и пусть число г € С, такое, что |г| < 1, лежит в конусе Ка, образованном хордами, исходящими из точки 1 влево вверх и влево вниз под углом а к оси абсцисс (см. рис. 1), т. е. | а^(1 — г) | ^ а. Рассмотрим треугольник с вершинами 0, г и 1 (г Е
0 ау
Рис. 1.
По теореме косинусов получаем, что
и2 = |1 - z|2 + 1 - 2|1 - z| cos р, |1 - *| (2 cos у - |1 - z\) = 1 - |z|2. Следовательно,
|1 - z| 1 + |z| 2 2 |-^ =-—-^ -^ -.
1 - |z| 2 cos (р - |1 - z| 2 cos р - |1 - z| 2 cos а - |1 - z| Предположим, что |1 - z| ^ cos а, тогда
|1 - ^ | 2 | | ^
1 - |z | cos а
В силу последнего неравенства и того, что при z Е [0, 1) имеем
|1 - z| 2
= 1 <
1 - |z| cos а'
получаем, что на множестве
Da := [z Е Ка : |z| < 1 и |1 - z| ^ cos а} для всех т ^ п > п0 выполнена оценка
т
Zk
k=n
V cos a ;
и, следовательно, ряд ak zk сходится равномерно на Da. А поскольку этот ряд
к=0
сходится при z = 1, то он будет равномерно сходиться и на множестве Da U [1}, откуда согласно теореме Вейерштрасса о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций и получаем требуемое. ■
Следствие 1. В обозначениях доказательства теоремы 2 её утверждение можно сформулировать следующим образом:
lim 1 5 (z) = 5 (1).
<х
Замечание 1. При желании область Da равномерной сходимости ряда ak zk
к=0
можно расширить, положив для произвольного 8 Е (1, 2)
Da,s := [z Е Ка, ^| < 1, |1 - z| ^ 8 cos а}, или просто добавив к Da произвольный круг радиуса А Е (0, 1) с центром в нуле.
Вестник Омского университета. 2024. №2 (29)
7
Замечание 2. Первая часть доказательства теоремы 2, до оценки дроби , мало отличается от доказательств этой теоремы в работах [7 - 13], а вот оценка указанной дроби во всех этих работах проводится по-разному. В некоторых работах (см., например, [8, с. 237-238], [12, р. 41]), авторы, следуя Штольцу [7], эту дробь просто предполагают ограниченной сверху, из чего сразу следует равномерная сходимость ряда в области
вг(К) := [г е С : |г| < 1, |1 - г| ^ К (1 - |г|)} (К > 1)
и заключение теоремы. В некоторых ([9], [10], [13]), включая приведённое выше доказательство автора, доказывается, что в указанной области соответствующая дробь будет ограничена, в силу чего, опять-таки, получаем требуемый результат. Приведённое выше доказательство автора является более простым среди работ второго вида.
Область 8Ь(К) в последствии математики стали называть областью Штольца. В [8, с. 237-238] приведено именно доказательство Штольца. Позже областью Штольца стали называть и область, указанную в теореме 2 (см., например, [12, р. 37]).
Область Штольца менее наглядна геометрически, чем область вида Иа, но на самом деле отличие области Штольца от области вида Иа не существенно (см. рис. 2), так как при соответствующем выборе параметров, а они в указанных пределах произвольны, равномерная сходимость степенного ряда в одной области влечёт его равномерную сходимость и в другой области.
Кстати, если К = 1, то вг(К) = [0, 1], а если К < 1, то вг(К) = 0.
В монографии [14] на странице 120 автор доказывает вторую теорему Абеля в формулировке теоремы 1, а на странице 123 предлагает в виде упражнения доказать утверждение теоремы 2. И именно благодаря этому упражнению от Эйнара Хилле автору настоящей заметки стало известно, что первым утверждение теоремы 2 доказал Отто Штольц.
Литература
1. Abel N. H. Recherches sur la serie 1 + ™ x + x2 + ... // Journal für die reine und
angewandte Mathematik. - 1826. - P. 311-339.
2. AbelN. H. Oeuvres completes de N. H. Abel, mathematicien, avec des notes et developpments: in 2 vol. - Christiania : C. Grondahl, 1839. Vol. 1.-480 p.
3. Littlewood J. E. The Converse of Abel's Theorem on Power Series //Proceedings of the London Mathematical Society. - 1911. - Ser. 2, Bd. 9. - P. 434-448.
4. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. - 13-е изд. -М. : Наука, 1984.-432 с.
5. БицадзеА. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. - 3-е изд., доп. - М. : Наука, 1984. - 320 с.
6. Saks S., Zigmund A. Analitic functions / transl by E. J. Scott. - Warszawa - Wroclaw, 1952. -459 p.
7. Stolz O. Die Bedeutung der Abel'schen Abhandlung uber die binomische Reihe fur die Functionentheorie // Acta Mathematica. - 1904. - No. 28. - P. 303-305.
8. Титчмарш Е. Теория функций. - М. : Наука, 1980. - 464 с.
9. Стоилов С. Теория функций комплексного переменного : в 2 т. - М. : ИЛ, 1962. - Т. 1. - 364 с.
10. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. - М. : Наука, 1967-1968. - Т. 1. -1967.-488 с.
11. Билута П. А. Лекции по теории функций комплексного переменного. - Новосибирск : НГУ, 2005.-238 с.
12. Alfors L. V. Complex analysis. - 3 ed. - N. Y. : McGraw-Hill, Inc, 1979. - 331 p.
13. Hahn L.-S., Epstain B. Classical complex analysis. - New Mexico : Jones and Bartlett, 1996. -411p.
14. Hille E. Analytic function theory : in 2 vol. - N. Y. : V.I. Chelsea Publ. Company, 1973. -308 p.
ON ABEL'S SECOND THEOREM E. V. Mel'nikov
Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: melnikov_e_v@mail.ru Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. We give a short survey of existing proofs of this fundamental theorem of Complex Analysis and suggest a simple one.
Keywords: power series, boundary behavior of holomorphic functions.
Дата поступления в редакцию: 20.03.2024
