CC BY
7PHILOSOPHICAL SCIENCES
О ВОЗМОЖНОСТЯХ ДЕДУКЦИИ ИЗ АТОМАРНЫХ СУЖДЕНИЙ
ВЕННА И ИХ ОТРИЦАНИЙ
Сидоренко О.И.
Кандидат физико-математических наук, главный конструктор Общество с ограниченной ответственностью научно-производственное предприятие «Анфас»
г. Саратов, Россия
ON THE POSSIBILITIES OF DEDUCTION FROM VENNS ATOMIC JUDGMENTS AND THEIR NEGATIONS
Sidorenko O.I.
Сапйгй^е of Physical and Mathematical Sciences, chief designer Society with Limited Liability Scientific-production enterprise «Anfas»,
Saratov, Russia
АННОТАЦИЯ
Рассмотрен предложенный ранее автором семантический метод решения силлогизмов с помощью вычисления результирующих отношений для выявления всех случаев логической связи (правильных модусов) между посылками и заключением силлогизма из атомарных суждений Венна и их отрицаний при различных значениях их истинности.
ABSTRACT
The author suggests a semantic method of solving syllogisms proposed by the author to calculate the resulting relations to identify all cases of logical connection (correct modes) between the premises and the conclusion of the syllogism from Venn's atomic judgments and their negations for different values of their truth.
Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.
Введение. Известно, что великий древнегреческий ученый Аристотель в своих исследованиях по силлогистике с базисным множеством из четырех типов категорических суждений А, Е, I, О не ограничивался нахождением всех правильных модусов силлогизма, в которых из истинности посылок с необходимостью следует истинность заключения. Он также попытался выяснить, что получится, если обе посылки правильного силлогизма будут ложными или ложной будет хотя бы одна из них [1]. Однако Аристотель при этом не выходил за рамки классического отношения логического следования и своих правильных модусов и не ставил цель найти все модусы, в которых заключение следует из посылок с необходимостью при любых, а не только при истинных посылках и заключении силлогизма.
Цель публикации. Целью настоящей статьи является выявление всех правильных модусов для возможных отношений логического следования между посылками и заключением силлогизма с разными значениями их истинности из базисного множества суждений Венна с квантификацией предиката [2], не обладающего свойством содержательной полноты [3]. Указанное свойство заключается в том, что для каждого суждения в базисном множе-
стве имеется его отрицание. При этом будет использован семантический метод, предложенный автором в работе [4]. Этот метод основан на прямом обосновании силлогистики в смысле работы [5] и назван автором методом вычисления результирующих отношений.
Суть метода вычисления результирующих отношений. Метод вычисления результирующих отношений основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать условия его истинности [6], в качестве которых принимаются теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, для зафиксированного универсума рассуждений таких отношений существует всего 7 (так называемые отношения Кейнса [7]). Для универсума без фиксации таких отношений ровно 5 (отношения Жергонна [8]). Семантика жер-гоновых отношений представлена в табл. 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.
Таблица 1
Семантика жергоновых отношений в традиционной силлогистике без фиксации универсума рас_суждений_
5 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения
Р 0 1 0 1
Номер отношения 9 1 0 0 1 Равнообъемность Б'Р'+БР
11 1 0 1 1 Обратное включение Б+Р'
13 1 1 0 1 Прямое включение Б'+Р
14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р'
15 1 1 1 1 Пересечение Б'Р'+8'Р+8Р+8Р= 1
Примечание. 0 - отсутствие свойства для терминов и запрещённая комбинация свойств для отношений; 1
- наличие свойства для терминов и разрешённая комбинация свойств для отношений; «'» - отрицание, «•»
- конъюнкция, «+» - дизъюнкция.
Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой табл. 2 правил порождения результирующих отношений в силлогистике без фиксации универсума рассуждений подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике. По аналогии с арифметикой в работе [9] такую таблицу предложено называть таблицей умножения отношений в силлогистике.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционной силлогистике без фиксации
универсума р ассуждений
№ Посылки БМ, МР Заключение БР № Посылки БМ, МР Заключение БР
1 9, 9 9 14 13,14 14
2 9,11 11 15 13,15 13,14,15
3 9,13 13 16 14,9 14
4 9,14 14 17 14,11 14
5 9,15 15 18 14,13 13,14,15
6 11,9 11 19 14,14 9,11,13,14,15
7 11,11 11 20 14,15 13,14,15
8 11,13 9,11,13,15 21 15,9 15
9 11,14 11,14,15 22 15,11 11,14,15
10 11,15 11,15 23 15,13 13,15
11 13,9 13 24 15,14 11,14,15
12 13,11 9,11,13,14,15 25 15,15 9,11,13,14,15
13 13,13 13
Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [10]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок при данном базисном множестве суждений не существует.
Применительно к поставленной задаче метод вычисления результирующих отношений заключается в следующем:
1. Для упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают семантические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и
предикатом являются термины и М, а во второй -Ми Р, что соответствует первой фигуре силлогизма, где М - средний термин, а 5 и Р - крайние термины силлогизма. Под базисным множеством суждений силлогистики понимается множество логических форм суждений данной силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой табл. 2 выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в табл. 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитически [11]. Как уже отмечалось, данной таблицей нужно пользоваться подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений выписывают те из них, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (т.е. включают их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, т.е. меньшим числом отношений в семантической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов в других фигурах силлогизма осуществляют взаимные замены от-
ношений 11-^-13 в семантической структуре посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества суждений при его наличии. В этом случае не производя самих вычислений, осуществляют замену определенных суждений в соответствующей фигуре посылках в результатах вычислений по первой фигуре [4].
Базисное множество суждений Венна применительно к традиционной силлогистике (т.е. с учетом ограничений на непустоту и неуниверсальность терминов) представлено в табл. 3 строки 1 -5 [12]. Каждое из представленных суждений Венна является атомарным, т.е. истинным только на одном каком-либо отношении между терминами. Для получения условий ложности, указанных в табл. 3 атомарных суждений, необходимо сформировать их семантическую структуру путем замены их отношений истинности на отношения ложности, т.е. на все остальные отношения Жергонна. Так для обще-общего утвердительного суждения АА условиями ложности будут отношения 11, 13, 14, 15. Для обще-частного утвердительного суждения А1 условиями ложности будут отношения 9, 11, 14, 15. Для частно-общего утвердительного суждения 1А условиями ложности будут отношения 9, 13, 14, 15. Для частно-частного утвердительного суждения II условиями ложности будут отношения 9, 11, 13, 14. Для обще-общего отрицательного суждения ЕЕ условиями ложности будут отношения 9, 11, 13, 15.
Таблица 3
Базисное множество суждений Венна и их отрицаний
№ Обозначение логической формы суждения Семантическая структура суждения (условия истинности) Логическая форма суждения
1 AA 9 Всякие суть всякие Р
2 AI 13 Всякие 5 суть только некоторые Р
3 1A 11 Только некоторые 5 суть всякие Р
4 II 15 Только некоторые 5 суть только некоторые Р
5 EE 14 Всякие 5 не суть всякие Р
6 (AA)' 11,13,14.15 Неверно, что всякие 5 суть всякие Р
7 (AI)' 9,11,14,15 Неверно, что всякие 5 суть только некоторые Р
8 (IA)' 9,13,14,15 Неверно, что только некоторые 5 суть всякие Р
9 (II)' 9,11,13,14 Неверно, что только некоторые 5 суть только некоторые Р
10 (EE)' 9,11,13,15 Неверно, что всякие 5 не суть всякие Р
Если дополнить базисное множество суждений Венна их отрицаниями (см. строки 6-10 табл. 3), то для решения поставленной выше задачи вполне достаточно будет выписать результаты вычислений для случая истинных посылок и заключения этого дополненного множества, заменив в них соответствующие суждения на их отрицания. Например, для случая истинных посылок и ложного заключения в посылках замена не производится, а меняется на отрицание только заключение.
Для случая ложной второй посылки и ложного заключения на отрицание меняется вторая посылка и заключение силлогизма и т.д.
Поскольку дополненное базисное множество суждений Венна обладает силлогистической полнотой, то для получения правильных модусов в других фигурах силлогизма достаточно выписать результаты вычислений в первой фигуре, осуществив взаимную замену суждений^/ 1 1.1: (. 11) 1 (1А)Г в соответствующих фигуре посылках, а
именно: во второй фигуре меняется вторая посылка, в третьей фигуре первая посылка и в четвертой фигуре меняются обе посылки одновременно.
Для выявления всех правильных модусов в силлогистике с 10 базисными суждениями рассмотренным методом необходимо произвести 10 J 10 = 100 вычислений. Если же следовать по пути отбраковки неправильных модусов, то потребовалось бы проанализировать 10 1 10 Г 10 = 1000 модусов в каждой фигуре силлогизма.
Вычисления. Вычисления для характерных случаев истинности посылок и заключения (по числу условий истинности в их структуре, характеризующему степень неопределенности соответствующих суждений), для случая традиционной силлогистики из суждений Венна и их отрицаний, приведены ниже. Правильные модусы выделены. В отличие от общепринятой записи посылки переставлены местами.
1 фигура SM-MP
AA (9), AA (9) ^ AA;
9, 9 ^ 9;
Р.О.: 9.
Таких случаев со структурой 1, 1 —> 1 всего 13.
АА (9), (AA)UU(\\, 13,14,15)^ П АА)П;
9, 11 11;
9, 13 ^ 13;
9, 14 ^ 14;
9, 15 ^ 15;
P.O.: 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 1, 4 ^ 4 всего 7.
AI (13), IA (11) ^ -;
13,11 ^ 9, 11, 13, 14, 15;
P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 1, 1 —> 5 всего 3.
AI (13), II (15) □ (АА) □, (14) □;
13, 15 13, 14, 15;
P.O.:13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 1, 1—> 3 всего 6.
А/(13), (АА) J (11, 13, 14, 15) —> -;
13, 11 —> 9, 11, 13, 14, 15;
Р.О.: 9, 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 1, 4 —> 5 всего 15.
Л/(13), (14)□ (9,13,14,15) (АА)П, (IA)□ □
13, 9 13;
13, 13 ^ 13;
13, 14 ^ 14;
13, 15 ^ 13, 14, 15;
P.O.: 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 1, 4 ^ 3 всего 3.
IA (11), AI (13) ^ (EE)';
11, 13 ^ 9, 11, 13, 15;
P.O.: 9, 11, 13, 15.
Таких случаев со структурой 1, 1 —> 4 всего 1.
IA (11),//(15) —> □ П(АА)П, (А1)П, (ЕЕ)П\
11, 15 11, 15;
P.O.:11, 15.
Таких случаев со структурой 1, 1 —> 2 всего 2.
(АА)а (11,13,14,15), АА (9) (АА)0 ;
11, 9 11;
13, 9 ^ 13;
14, 9 ^ 14;
15, 9 ^ 15;
P.O.: 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 4, 1 —> 4 всего 7.
(АА)L (11, 13, 14, 15), Л/(13)^-;
11, 13 —> 9, 11, 13, 15;
13, 13 ^ 13;
14, 13 ^ 13, 14, 15;
15, 13 ^ 13, 15;
P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 4, 1 —> 5 всего 15.
(АА)Г 1(11, 13, 14, 15), (АА)Г 1(11, 13, 14, 15)
—>1;
15,15 —> 9, 11 ,13, 14, 15;
P.O.: 9, 11, 13, 14, 15.
Таких случаев со структурой 4, 4 —> 5 всего 25.
(AI)UU(9, 11, 14, 15), IA (11) —(АА)П, (А1)П;
9, 11 11;
11, 11 ^ 11;
14, 11 ^ 14;
15, 11 ^ 11, 14, 15;
P.O.: 11, 14, 15.
Таких случаев со структурой 4, 1 ^ 3 всего 3.
Результаты вычислений. Результаты всех ста вычислений сведены в табл. 4 для первой фигуры силлогизма. По сравнению с общепринятой записью посылки переставлены местами. Получение аналогичных таблиц для других фигур с помощью данных, представленных в табл. 4, особых трудностей не представляет и может быть осуществлено читателем самостоятельно.
Выводы:
1. В традиционной силлогистике Венна, дополненной отрицаниями атомарных суждений, имеется всего 232 правильных модуса по 58 в каждой фигуре силлогизма. Для сравнения, отметим, что в силлогистике из 5 атомарных суждений Венна корректны только 13 правильных модусов в каждой фигуре силлогизма [2], [12].
2. Точно такое же количество правильных модусов, но не являющихся правильными в традиционной силлогистике Венна, имеется в любых других разновидностях рассмотренной силлогистики. В результате дополнительно к традиционной силлогистике построены ещё 7 однотипных силлоги-стик из суждений Венна и их отрицаний с альтернативными (неклассическими) отношениями логического следования (см. табл. 4).
4. В традиционной силлогистике из атомарных суждений Венна и их отрицаний из одних только отрицаний атомарных суждений Венна никаких заключений не следует.
5. В традиционной силлогистике из атомарных суждений Венна и их отрицаний из одних только атомарных суждений заключение следует всегда за исключением обеих частно-частных утвердительных посылок, первой обще-частной и второй частно-общей утвердительных посылок, а также обеих обще-общих отрицательных посылок.
6. Рассмотренная силлогистика Венна не является совершенной [3], поскольку её результаты в части некоторых правильных модусов не являются однозначными (см. табл. 4).
7. В распоряжении исследователей по логике отношений, весьма эффективный для построения появился новый семантический метод решения силлогистик [13], [14], [15], [16]. силлогизмов путем вычисления результирующих
Таблица 4.
Результаты дедукции из суждений Венна и их отрицаний в первой фигуре силлогизма
Посылки
Обе посылки и заключение истинные
Обе посылки истинные, заключение ложное
1 посылка истинная,
2 посылка ложная, заключение истинное
1 посылка истинная,
2 посылка ложная, заключение ложное
1 посылка ложная,
2 посылка истинная, заключение истинное
1 посылка ложная,
2 посылка истинная, заключение ложное
Обе посылки ложные, заключение истинное
Обе посылки и заключение ложные
AA, AA
AA
(AA)'
(AA)'
AA
(AA)'
AA
AA, AI
AI
(AI)'
(AI)'
AI
AA, IA
IA
(IA)'
(IA)'
IA
AA, II
II
(II)'
(II)'
II
AA, EE
EE
(EE)'
(EE)'
EE
AA, (AA)'
(AA)'
AA
AA
(AA)'
(AA)'
AA
AA, (AI)'
(AI)'
AI
AI
(AI)'
AA, (IA)'
(IA)'
IA
IA
(IA)'
AA, (II)'
(II)'
II
II
(II)'
AA, (EE)'
(EE)'
EE
EE
(EE)'
AI, AA
AI
(AI)'
(AI)'
AI
AI, AI
AI
(AI)'
AI, IA
(AA)', (IA)'
AA, IA
(AA)', (AI)'
AA, AI
AI, II
(AA)', (IA)'
AA, IA
AI, EE
EE
(EE)'
AI, (AA)'
AI
(AI)'
(AI)'
AI
AI, (AI)'
AI
(AI)'
AI, (IA)'
(AA)', (IA)'
AA, IA
(AA)', (AI)'
AA, AI
AI, (II)'
(AA)', (IA)'
AA, IA
AI, (EE)'
EE
(EE)'
IA, AA
IA
(IA)'
(IA)'
IA
IA, AI
(EE)'
EE
(AA)', (AI)'
AA, AI
(AA)', (IA)'
AA, IA
IA, IA
IA
(IA)'
IA, II
(AA)', (AI), (EE)'
AA, AI, EE
IA, EE
(AA)', (AI)'
AA, AI
(EE)'
EE
IA, (AA)'
IA
(IA)'
(IA)'
IA
IA, (AI)'
(AA)', (AI)'
AA, AI
(EE)'
EE
(AA)', (IA)'
AA, IA
IA, (IA)'
(IA)
(IA)'
IA, (II)'
(AA)', (AI)', (EE)'
AA, AI, EE
IA, (EE)'
(EE)'
EE
(AA)', (AI)'
AA, AI
II, AA
II
(II)'
(II)'
II
II, AI
(AA)', (IA)', (EE)'
AA, IA, EE
II, IA
(AA)', (AI)'
AA, AI
Обе посылки истинные, заключение лож- 1 посылка 1 посылка 1 посылка 1 посылка Обе посылки ложные, заключение истин-
Обе посылки и истинная, 2 посылка истинная, 2 посылка ложная, 2 посылка ложная, 2 посылка Обе посылки и
Посылки заключение истинные ложная, заключение истинное ложная, заключение ложное истинная, заключение истинное истинная, заключение ложное заключение ложные
ное ное
II, II — — (АА)' АА (АА)' АА — —
II, EE (АА)', (А1)' АА, А1 — — — — — —
II, (AA)' — — II (II)' — — (II)' II
II, (AI)' — — (АА)', (¿4)', (ЕЕ)' АА, А, ЕЕ — — — —
II, (IA)' — — (АА)', (А!)' АА, AI — — — —
II, (II)' (АА)' АА — — — — (АА)' АА
II, (EE)' — — (АА)', (АТ)' АА, AI — — — —
EE, AA ЕЕ (ЕЕ)' — — (ЕЕ)' ЕЕ — —
EE, AI (АА)', (1А)' АА, 1А — — (ЕЕ)' ЕЕ — —
EE, IA ЕЕ (ЕЕ)' — — — — — —
EE, II (АА)', (1А)' АА, 1А — — — — — —
EE, EE — — (АА),' (А АА, А (АА),' (А)' АА, AI — —
EE, (AA)' — — ЕЕ (ЕЕ)' — — (ЕЕ)' ЕЕ
EE, (AI)' — — (АА)', (А АА, А — — (ЕЕ)' ЕЕ
EE, (IA)' — — ЕЕ (ЕЕ)' — — — —
EE, (II)' — — (АА)', (А АА, А — — — —
EE, (EE)' (АА)', (1А)' АА, 1А — — — — (АА)', (А/)' АА, А
(AA)', AA (АА)' АА — — АА (АА)' (АА)' АА
(AA)', AI — — — — AI (А)' (А)' А
(AA)', IA — — — — А (А (IA)' А
(AA)', II — — — — II (II)' (II)' II
(AA)', EE — — — — ЕЕ (ЕЕ)' (ЕЕ)' ЕЕ
(AA)', (AA)' — — (АА)' АА (АА)' АА АА (АА)'
(AA)', (AI)' — — — — (АР)' АГ АР А)'
(AA)', (IA)' — — — — т А А (IМ)'
(AA)', (II)' — — — — (II)' II II (II)'
(AA)', (EE)' — — — — (ЕЕ)' ЕЕ ЕЕ (ЕЕ)'
(AI)', AA (А1)' А1 — — AI т' — —
(AI)', AI — — — — AI (А-0' — —
(AI)', IA (АА)', (А1)' АА, А1 — — — — (АА)', (А АА, А
(AI)', II — — — — (АА)', ^А)' АА, А — —
(AI)', EE — — — — ЕЕ (ЕЕ)' — —
(AI)', (AA)' — — (А!)' AI — — АР А)'
(AI)', (AI)' — — — — — — М А)'
(AI)', (IA)' — — (АА)', (А)' АА, AI (АА)', (А АА, А — —
(AI)', (II)' — — — — — — (АА)', (IA)' АА, А
(AI)', (EE)' — — — — — — ЕЕ (ЕЕ)'
(IA)', AA (Щ 1А — — А ^А)' — —
Обе посылки истинные, заключение лож- 1 посылка 1 посылка 1 посылка 1 посылка Обе посылки ложные, заключение истин-
Обе посылки и истинная, 2 посылка истинная, 2 посылка ложная, 2 посылка ложная, 2 посылка Обе посылки и
Посылки заключение истинные ложная, заключение истинное ложная, заключение ложное истинная, заключение истинное истинная, заключение ложное заключение ложные
ное ное
(IA)', AI (44)', (14)' АА, 1А — — (ЕЕ)' ЕЕ (АА)', (А^ АА, AI
(IA)', IA — — — — А (М) — —
(IA)', II — — — — (АА)', (АГ)', (ЕЕ)' АА, А1, ЕЕ — —
(IA)', EE — — — — (АА)', т' АА, AI (ЕЕ)' ЕЕ
(IA)', (AA)' — — (му А — — А (М)
(IA)', (AI)' — — (АА)', (!А)' АА, А (АА)', (А^' АА, A1 (ЕЕ)' ЕЕ
(IA)', (IA)' — — — — — — А (М)
(IA)', (II)' — — — — — — (АА)', (А^', (ЕЕ)' АА, А1 ЕЕ
(IA)', (EE)' — — — — (ЕЕ)' ЕЕ (АА)', (А^ АА, AI
(II)', AA (II)' II — — II (II)' — —
(II)', AI — — — — (АА)', (М)', (ЕЕ)' АА, А, ЕЕ — —
(II)', IA — — — — (АА)', т' АА, AI — —
(II)', II (44)' АА — — — — (АА)' АА
(II)', EE — — — — (АА)', (А^' АА, AI — —
(II)', (AA)' — — (II)' II — — II (II)'
(II)', (AI)' — — — — — — (АА)', (А)', (ЕЕ)' АА, А, ЕЕ
(II)', (IA)' — — — — — — (АА)', (А^' АА, AI
(II)', (II)' — — (АА)' АА (АА)' АА — —
(II)', (EE)' — — — — — — (АА)', (А^ АА, AI
(EE)', AA (ЕЕ)' ЕЕ — — ЕЕ (ЕЕ)' — —
(EE)', AI (ЕЕ)' ЕЕ — — (АА)', (!А)' АА, А — —
(EE)', IA — — — — ЕЕ (ЕЕ)' — —
(EE)', II — — — — (АА)', (!А)' АА, А — —
(EE)', EE (44)', (41)' АА, AI — — — — (АА)', (А)' АА, А
(EE)', (AA)' — — (ЕЕ)' ЕЕ — — ЕЕ (ЕЕ)'
(EE)' (AI)' — — (ЕЕ)' ЕЕ — — (АА)', (!А)' АА, А
(EE)', (IA)' — — — — — — ЕЕ (ЕЕ)'
(EE)', (II)' — — — — — — (АА)', (!А)' АА, А
(EE)', (EE)' — — (АА)', (А)' АА, AI (АА)', (!А)' АА, А — —
Литература
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Сидоренко О.И. Построение силлогистик Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации №7 (9), 2016. С. 48-57.
3. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №4 (18), 2017. С. 41-53.
4. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
5. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.
6. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.
7. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
8. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Издательство "Наука", 1967. 508 с.
9. Сидоренко О.И. Исследование дедуктивных возможностей суждений универсальной силлогистики // Современные инновации. №11 (13), 2016. С. 44-55.
10. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.
11. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.
12. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
13. Сидоренко О.И. Об аналитическом методе вычисления результирующих отношений в силлогистике // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-29. Т. 1. Сарат. гос. тех. ун-т, 2016. С. 108-112.
14. Сидоренко О.И. Об итогах семантического подхода к построению традиционной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации. №2 (16), 2017. С. 46-56.
15. Сидоренко О.И. Построение обобщенной ортогональной силлогистики Венна семантическим методом вычисления результирующих отношений // Современные инновации. №8 (10), 2016. С. 56-65.
16. Сидоренко О.И. О применении метода вычисления результирующих отношений для построения силлогистик без ограничений на термины // Ежемесячный научный журнал "Educatю". №11 (18). Часть 3. Новосибирск, 2015. С. 104-108.
