О возможности создание теплового поля с помощью электромагнитных полей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА, ФИЗИКА, ТЕХНИКА. 2023, №1

УДК 517

https://doi.org/10.52754/16948645 2023 1 172

О ВОЗМОЖНОСТИ СОЗДАНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Отелбаев М. otelbaevm@mail. ru.

Международный университет информационных технологий, Институтматематики и математического моделирования,

Кошанов Б.Д. koshanov@list. ru

Казахский национальный университет имени Аль-Фараби, Международный университет информационных технологий,

Алматы, Казахстан Кожобекова П.Ж.

Ошский Государственный университет, Ош, Кыргызстан Аннотация. В работах [1]-[5] мы рассматриваем возможность использования лазерного источника тепла для создания в заданных участках тела необходимого теплового поля. Такая необходимость возникает в связи с тем, что раковые клетки при температуре приблизительно равном 460 по C умирают, а большинство обычных клеток остаются живыми.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, электромагнитные поля, лазерный источник тепла

Известно, что тепловое поле удовлетворяет параболическому уравнению, для которого выполняется принцип максимума - согласно которому максимум и минимум достигаются на границе. Этот принцип, который хорошо служит при решении математических проблем, порождает очень трудную проблему при попытке убить раковые клетки с помощью создания теплового поля. Чтобы обойти принцип максимума можно использовать "внесение тепла" во внутреннюю область тела с помощью тонких игл и управлять "внесением тепла".

Так как уравнение диффузии также является параболическим (таким же как и уравнение теплопроводности), то возможно успешно управлять "внесением химии" в тело. Такие задачи могут быть решены при участии врачей. Математический алгоритм решения этих задач таковы (с незначительными изменениями), каким является алгоритм из работ М. Отелбаева, А. Гасанова [5]. Для численной реализации этого алгоритма можно использовать "метод дополнительных областей" из работы М. Отелбаева, Ш. Смагулова [8]. Хотелось бы какие-то молодые люди взялись за реализацию сказанной (один математик и один медик).

Мы со своей стороны готовы консультировать. Использование "игл вносящих тепло или ядохимию" в организм для убивания раковых клеток безусловно требует вхождения во внутрь.

Но возможно использовать электромагниты и создавать нужное тепловое поле. Для этого запишем нужную нам систему уравнений электромагнитной гидродинамики.

Полная система уравнений магнитной гидродинамики несжимаемой жидкости в векторной форме состоит из уравнения движения

р ^ = R - gradP + + [(rotfl) х fl], (1)

из уравнения энергии

рс —— = ЛАТ + цФ + ^,

r dt n aR

Ф(0 = 2[(^)2 + ф2 + £)2 +

v€)2 + О2 + Ф2 + О2 + Ф2 + О2 -

уравнения магнитной индукции

— = rotffi! X fll + —AW

dt L J //n(Tn

dt

уравнения неразрывности

МЯ^Я

divI/K = 0.

(3)

(4)

dT

Здесь Т -температура, р- плотность, _]- ток, 1/К= (и, V, ю)- вектор скорости, — - означает полную производную.

В (1)-(4) скаляр Р - давление, В — магнитная индукция, X - означает обычное векторное произведение.

Для получения замкнутой системы нужно добавить уравнение закона Ома

) = акЕ + X А]

уравнения Максвелла:

rot Н = j, div D = дv0,

rotE = — div В = 0,

dt

(5)

(6)

(7)

(8)

rot В =

Нас будет особо интересовать уравнение (2), так как управляя Ф можно создавать внутри области участки, где температура выше, чем в остальных участках. Но для управления Ф(-)

ди „ дд „ „

Ф« = 2%)2 + (з/ + )2] +

ди дд „ дш дд ^ ди дш „ —»„

+а!)2 + + Ж)2 + (а? + Ж)2 — (Л^)2

будет необходимо управлять граничными значениями для —W^ и для B .

Выпишем нужное нам тепловое поле. Пусть T - температурная функция равная t0 в окрестности области Q0, содержащих раковые клетки, в остальной части области Q равна t1,

t1 < T < t0, Q0 с Q,

где t0- температура вызывающий гибель раковых клеток, но не убивающая здоровые клетки задается врачами. t1- нормальная температура клиента. Вне некоторой области Q0 берем T равным t1. Функцию T берем достаточно гладким, имеющим производные до порядка 2. Функцию T подставим в (2). Тогда получим

дФ + — = М0 (9)

где функционал Ф(-) зависит только от —W^ (вектора скорости и его

производных). Для j справедлива закон Ома (5). Мы пользуемся формулой (8)

дBj = rotE! или j = fc^rotB. (10)

Теперь для M0 имеем

М0 = Д Ф + Ов1 Mb1 rot\B\2 . (11)

Нас теперь устраивает любое решение системы (1), (3) и (4) для которого выполнено (11). То есть нас устраивает любое решение системы

р ^ = R- gradP + + ^ [(rotfl) х В\,

— = rot IW х fll +—^—

9t L J иРл-Р

(12)

ptRaR

divMV = 0,

которое таково, что

д Ф + Ов1 Дв1 ^оГ | = М0, где М0- вычисляется явно формулой (9), когда берется нужная (заказанное врачом) температурное поле. Система (12) состоит из семи уравнений, неизвестных W1, W2, W3, В1, В2, В3, р, Р - восемь. Но если учесть уравнением состояния, то неизвестных тоже окажется семь. Такая задача имеет континуум решений. Поэтому можно управлять начальными и граничными условиями. Математически такая задача вполне разрешима. Использование электромагнитных полей для создания теплового поля не требует вхождения во внутрь тела (для внесения тепла или "химии" во внутрь).

Funding: Авторы были поддержаны грантом AP 14869558 КН МНВО РК. 2010 Mathematics Subject Classification: 35R30, 35K05, 49N45, 47A05

Литература

1. Отелбаев, М. Об одной задаче управления точечным источником тепла[Текст]/ Отелбаев М., Гасанов А., Акпаев Б. // Доклады РАН. - 2010. - Т. 435. - С. 317- 319.

2. Гаджиев, A.M. Математическое моделирование[Текст]/ Гаджиев A.M., Гасанов А.И., Фатуллаев А.Г. // 1991. 3(1). - С. 18-24.

3. Отелбаев М., Молдабеков С.М. Об управлении линейным операторным уравнениям[Текст]/. В сб.: Дифференциальные уравнения и их приложения. Алма-Ата: КазГУ, 1982. - С. 6-9.

4. Отелбаев, М. Одна задача управления операторным уравнением[Текст]/ Отелбаев М., Молдабеков С.М.// Известия НАН РК. Серия физико-математическая. - 1994. No.3. - С. 46-51.

5. Otelbaev, M. Inverse heat conduction problems with boundary and final time measured output data^xt]/ Otelbaev M., Hasanov A., Akpayev B.// Inverse Problems in Science and Engineering. - 2011. - V. 19, No.7. - P. 985-1006.

6. Смагулов, Ш.С. Метод дополненных областей для уравнений Навье-Стокса[Теxt]/ Смагулов Ш.С., Балдыбек Ж.А., Отелбаев М.О.// Известия НАН РК. Серия физико-математическая. 1993.- С. 15-24.

7. Смагулов, Ш.С. Об одном новом приближенном методе решения нелинейных краевых задач. [Текст]/ Смагулов Ш.С., Отелбаев М.О., Мухаметжанов А.Т. // Препринт ИА РК. - 1997. - No. 21. - 34c.

8. Смагулов, Ш. С. О новом методе приближенных решений краевых задач в произвольной области[Текст]/ Смагулов Ш.С., Отелбаев М.О. // Известия НАН РК. - 1998. - Т. 7, No.6. - С. 452-455.