О возможности нарушения статической устойчивости асимметричного тела вращения в околорезонансном режиме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И А Г И

Том XIЛ 1982 № 5

УДК 629.76.015.017.2

О ВОЗМОЖНОСТИ НАРУШЕНИЯ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ В ОКОЛОРЕЗОНАНСНОМ РЕЖИМЕ

А. В. Бобылев, В. А. Ярошевский

Рассматривается явление потери статической устойчивости тела вращения с малой асимметрией на участке околорезонансного вращения. Показано, что такое явление может возникать у тел, имеющих нелинейную моментную характеристику.

Исследованию режимов околорезонансного вращения посвящено большое количество работ. В наиболее простой постановке Эти режимы могут быть изучены с использованием линейной или квазилинейной модели движения. Известно, что в линейном приближении движение изображающей точки в плоскости углов атаки и скольжения (а, Р) представляет собой сумму „быстрой1* и „медленной прецессии. Установлено, что основную роль в развитии и поддержании околорезонансного режима играет „медленная" прецессия, поэтому в первом приближении достаточно ограничиться изучением именно медленной прецессии [1]. В работе [2] подобный подход распространяется на задачу об исследовании околорезонансного режима в нелинейной постановке, что оправдано в том случае, когда быстрые колебания тела по углу атаки не возбуждены или не оказывают заметного влияния на движение.

Рассмотрим случай, когда асимметрия тела сводится к появлению возмущающего момента рыскания ту0 и производной момента крена по углу скольжения т9х („ортогональная11 асимметрия). В условиях околорезонансного режима продольная угловая скорость тела близка к резонансной и связана со значениями скоростного напора и пространственного угла атаки а соотношением [2]:

ш2 = тг ,(_а) ^ , (1)

где тг{а)— статическая моментная характеристика; 5, I, I, 1Х — характерная площадь, длина, экваториальный и осевой моменты инерции тела.

8—«Ученые записки ЦАГИ» № 5 113

Приближенные уравнения, определяющие „медленное1* изменение угла атаки и продольной угловой скорости в околорезо-нансном режиме, имеют вид ([2], уравнения (23.4) и (23.10)):

йа>.

1Г

'■ — е-

п$х $1п фр вШ а

(2)

(1а.

т

4 1 ач т? г

2о> <7 М IV

/га® бш3 а вш £ 2/сое а

тУ

Шу о сое

tgа —

(3)

где Г =£= ---у- Шх, ш

г2 тг(а)д81

тг (а) дБ1

тту(<1), Суг, (а)

безразмерные аэродинамические коэффициенты демпфирования нутационного движения и подъемной силы, е— параметр малости.

Резонансный угол собственного вращения фр можно определить из уравнения

(4)

(1(дх __ (1оу д(д , д(* с1а , до> йг

в котором производные = ¥ + + опреде-

ляются согласно уравнениям (2) и (3) с учетом условия устойчивости

д/

(Ж

<0.

(5)

Два уравнения (2) и (3) могут быть преобразованы к одному уравнению, если в уравнение (3) подставить выражение для из соотношения (1). Наиболее простой вид это уравнение приобретает в том случае, когда

(уравнение (23.22) из [2]):

йа

(2-4+*82«)-^ + е

+

+

тУ

а = (6)

где /,= ^, *2 = ^т-

Резонансный угол собственного вращения <|>р для этого случая определяется соотношением, следующим из уравнений (1) и (2):

БШ

причем с учетом (5)

. . Гх Л ^ <1 <1д

1 р 2 бш а г (I — 1Х) дБ1 Я М 7

81‘ёП (СОБ фр) = — SІgn т}х.

Из соотношения (7)'следует, что резонансный режим может существовать при достаточно больших значениях sin а( | sin^»p | < 1). Нетрудно видеть, что длительный околорезонансный режим возможен, если /иу0/иР>0. Тогда положительный член в правой части уравнения (6) обеспечивает возрастание угла атаки а, причем по мере роста скоростного напора q значение |cos ф| приближается к 1.

В подтверждение этого на рис. 1 и 2 приводятся результаты численного расчета для гипотетическаго тела вращения со следующими характеристиками (см. [2]): масса т = 10 кг, 1 — 2 м,

50°

40°

30°

20°

10°

шх,

15

- 10

- 5

О

шхр,.рад/с //

- /7,j У

сох - N \ \ Г а. /

^хр —-—-г I 1 . ... L

15

го

t,c

Рис. 1

5=1 м2, / — 2 кгм2, 1Х=\ кгмг, Су„ = 0, /ге“* = тауу — — 0,5, коэффициент сопротивления С^= 1, тг (а) = — 0,05^ а; для условий входа в атмосферу Земли: высота Я0=120 км, скорость У0 = = 7800 м/с, угол наклона траектории к местному горизонту 0О = = — 30°. Видно, что угол собственного вращения отслеживает изменение резонансного угла собственного вращения, определяемого формулой (7).

В [2] с помощью метода ВКБ получена приближенная формула, определяющая изменение малой вариации

8ф*=ф —ф0;

8ф = sin [ Г щМ+С,

>4 \t

\ Г І '

1ехр -J4 dt . и _

где для рассматриваемого случая

V

d In <

ту о qSl

2(1 -їх)*

dt

<0*:

2/71^ COS sin a

V-o-/J»

21 [(2 — Ix) mx p] tg a COS фр

nRjA^-ix)

x P

Для проверки применимости этих формул вычислим изменение

I С Г % '

фазы <р = Г («<!, dt + Q и амплитуды а — —= ехр — Г 8j dt вариа-

i ' Va* L I .

ции 8ф на интервале времени от t0 = 20,25 с до ^ = 24,55 с. Расчет по выписанным формулам дает следующие результаты: Д<р = 1081°, — а (ti)

= 0,121, что близко к значениям, полученным с помощью

a(t0)

точных численных расчетов: Д<р = 1080°, а = 0,130.

Для того, чтобы проследить за влиянием нелинейности мо-ментной характеристики на движение тела, рассмотрим случай, отличающийся от предыдущего только формой моментной харак-

Лт

теристики при том же значении =

тг = — 0,0125 біп 4а.

Тогда коэффициент при производной dajdt в уравнении, аналогичном (6), имеет вид

d

tg2“

1 —-tga

mz(a) _

2-1Х 2 — 1Х

и обращается в нуль при а 37° (отметим, что т2 — 0 при а=45°).

Соответствующие результаты расчета приведены на рис. 3. Видно, что при достижении значения а ^37° движение тела приобретает другой характер: угол атаки а резко возрастает и нарушаются сами предпосылки выделения „медленного" движения. Действительно, эти предпосылки заключаются в том, что в уравнении

d2 а ~ІР

+ є

rnwz (а)

С*, (а)

qS da mV dt

mz{a) qSl

(G — r cos a) (G cos j. — r) є my 0 sin <\i qSl

sin3 а

; 0,

где О — проекция кинетического момента на вектор скорости, деленная на экваториальный момент инерции; первые два члена считаются пренебрежимо малыми по сравнению с третьим и четвертым [см. [2], уравнение (23.1)]. В то же время сопоставление

изменения значений с?2а/Л2 и Шгпо результатам численного

расчета указывает на то, что это допущение нарушается именно в окрестности а « 37° (см. рис. 3). В заключение укажем, что условие положительности коэффициента при производной совпадает с условием статической устойчивости „быстрого" движения по углу атаки (см. соотношение (23.19) [2]).

ЛИТЕРАТУРА

1. Шилов А. А., Г о м а н М. Г. Резонансные режимы пространственного неуправляемого движения аппаратов на участке входа в атмосферу. Труды ЦАГИ, вып. 1624, 1975.

2. ЯрошевскийВ. А. Движение неуправляемого тела в атмосфере. М., „Машиностроение', 1978.

Рукопись поступила 111У 1981 г.