О влиянии высоты шахты на процесс разложения гидрата метана Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 519.63

раздел МАТЕМАТИКА

О ВЛИЯНИИ ВЫСОТЫ ШАХТЫ НА ПРОЦЕСС РАЗЛОЖЕНИЯ ГИДРАТА МЕТАНА

© А. Ю. Гилев1*, Н. Д. Морозкин2

1 Башкирский государственный университет, Бирский филиал Россия, Республика Башкортостан, 452453 г. Бирск, ул. Интернациональная, 10.

Тел./факс: +7 (34784) 4 04 09.

E-mail: gilevay@gmail.com 2Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

Тел./факс: +7 (347) 272 63 70.

E-mail: morozkin@bashedu.ru

В статье исследуется процесс разложения гидрата метана потоком нагретой воды. Рассматривается двумерная, симметричная относительно оси задача. Для расчетов используется метод конечных объемов. В качестве сетки применяется разбиение Вороного. Получены зависимости эффективности процесса разложения и формы шахты от времени и начальных условий задачи.

Ключевые слова: добыча метана, разложение гидрата метана, задача Стефана, расщепление по физическим переменным, метод конечных объемов.

1. Введение

Одним из перспективных источников природного газа являются залежи гидрата метана. Подавляющее большинство запасов гидрата метана (до 98%), приходится на мировой океан. Количество газа, содержащееся в них, оценивается величиной 2-1014—1015 м3 [1]. Гидрат метана представляет собой кристаллическое соединение - клатрат, построенный на основе каркаса из молекул воды, в полости которого внедрены в качестве молекул-гостей молекулы метана [2]. На разложение гидрата необходимо потратить от 6% до 12% энергии, содержащейся в гидратированном газе [3].

Основная идея одного из методов разложения гидрата и добычи газа, состоит в подаче нагретой воды непосредственно к залежам гидрата. Гидрат стабилен только в определенном диапазоне давлений и температур, и при повышении температуры выше критической величины начинает разлагаться на воду и метан.

В работе рассмотрена численная модель такого способа добычи метана.

2. Постановка задачи

В газогидратном слое бурится вертикальная шахта, размеры которой позволяют поместить систему из двух соосных труб. На трубах располагаются одно или несколько, опоясывающих трубу, отверстий. Через внутреннюю трубу подается нагретая вода, а через внешнюю - отводятся метан и остывшая вода.

В постановку задачи введены следующие упрощающие предположения:

• Гидрат метана не содержит каких-либо примесей;

• Осадочные породы, находящиеся выше залежей гидрата метана считаются твердыми и неподвижными;

Метан, образовавшийся при разложении гидрата, на течение и термодинамические характеристики воды не влияет; Рассматривается осесимметричный случай (рис. 1);

Форма границы раздела «вода-гидрат» описывается некоторой функциональной зависимостью от координаты г: г = % (z);

Грунт

Рис. 1. Расчетная область.

Расчетная область представлена на рис. 1. Здесь AD - поверхность трубы, подающей горячую воду; £ - кривая, образующая поверхность раздела сред воды и гидрата; CF - удаленная граница; DF -поверхность грунта; AC - граница осадочных пород, не содержащих гидрата; sin -входное отверстие; sout - выходное отверстие.

При расчетах задаются следующие геометрические величины: z0 - нижний край входного отверстия Sin; hin - ширина входного отверстия sn , hin = zi -z0; H - высота расчетной области; R0 - радиус подающей трубы; Ri - начальный радиус шахты, за-

* автор, ответственный за переписку

полненной водой; Ятах - радиус расчетной области. Края отводящего отверстия sout совпадают с радиусами Я0 и Я1, ширина этого отверстия Нои1 = Я] - Я0.

Для описания течения воды используем модель вязкой несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска, а для передачи тепла - уравнение теплопроводности, основанное на законе Фурье:

дгг дгг дгг 1 др ( ^2 Л (])

—г- + V -Г- + V —г- =---+ --г- , (])

dt

dr

dz

р dr

r r2

dv

dv

dv

1 dp

+ Vr—L + vz—^ =---^- + yV Vz +(1 -р/Po)g

dt

dr

dz P dz

d( rvr ) d( rvz )

dr

dz

= o,

dT + dT + dT Л , -т— + vr-- + v7—~ = — V T,

dt

dr

dz pc

dT = л v2T

dt Phch '

,(2)

(3)

(4)

(5)

где уг и - компоненты вектора скорости воды; р - давление воды; V - кинематическая вязкость воды; Т - температура среды; р , X и с - плотность, коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость воды, соответственно; рк, X и с^ -

плотность, коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость гидрата, соответственно; р0 - плотность воды при температуре, заданной на дне океана; g - ускорение свободного падения; р = р(Т) - плотность воды, для ее вычисления

используется приближенная формула (температура задана в градусах Цельсия):

P(T ) =

995.7

0.984 + 0.483 -10-3 ■ T

(кг/м3)

Величины V, р, X, С, Ph, \, , Ро и g считаются постоянными.

Уравнения (i) и (2) - уравнения Навье-Стокса; (3) - уравнение несжимаемости жидкости; уравнение (4) описывает теплоперенос в воде, посредством конвекции и теплопроводности; уравнение (5) описывает теплоперенос в гидрате.

На входных и выходных отверстиях задается нормальный к сечению отверстия, стационарный поток воды. Градиент давления направлен вдоль потока.

На входном отверстии sin

Vo = const (6)

Для входного отверстия градиент давления рассчитывается из решения задачи о стационарном и ламинарном течении жидкости между двумя параллельными плоскостями.

f = 24nMRohinv (7)

Здесь величина ¡ = pv - динамическая вязкость жидкости.

В горловине шахты, на выходном отверстии sout, скорость вычисляется из решения задачи о ламинарном течении жидкости между двумя соосны-

ми трубами. Градиент давления рассчитывается из условия несжимаемости жидкости и зависит от расхода жидкости Q через отверстие:

,(r ) = — dp (r2 + C1ln r + C2), W 4^9zl 1 2>

(8)

dp

dz

4ßQ

n [0.5r2 + C1 (ln r - 0.5) + C2 J

C2 = -R0 - C1ln R0>

ln ( R1/ R0)'

v = 0, d-P = 0.

где Ro и R1 - r-координаты краев отверстия.

На поверхности трубы, грунта, осадочных пород и раздела «вода-гидрат», задается условие прилипания жидкости:

(9)

дп

Границы области с грунтом и осадочными породами считаем теплоизолированными

дТ = 0. (10) дп

На поверхности трубы, на удаленной границе, на грунте, на границе с осадочными породами и начальную температуру воды в шахте и гидрата считаем одинаковой и фиксированной:

T0 = const. (11)

На границе «вода-гидрат» задается граничное условие 4-го рода, для случая изменения агрегатного состояния вещества (задача Стефана) имеет место равенство температур воды и гидрата и условие баланса тепловых потоков

Tw = Th,

, dTw dTh an an

(12)где - скорость смещения границы «вода-гидрат», и - удельная теплота разложения гидрата.

Температура разложения гидрата определяется следующим выражением

T

= T0 + T*lnP' где T°' T* и Po -

P0

константы, р - давление на глубине залегания гидратов. Для гидрата метана Т0 = 10 °С, Т* = 10 °С, р0 = 5.08-106 Па.

Необходимо решить задачу, описываемую уравнениями (1) (5) и граничными и начальными условиями (6)-(12). Исследовать эффективность процесса разложения гидрата и динамику формы шахты при различных режимах подачи воды и различных высотах расчетной области.

3. Решение задачи 3.1. Расчетная схема

Расчетная схема получена с помощью метода расщепления задачи по физическим переменным и метода контрольного объема [4, 5].

В приведенных ниже формулах выполняется расчет значений на момент времени ] по известным значениям на момент времени х0; т = - 10 шаг по времени, У и ^ - объем и поверхность ячейки

2

r

z

Rt - RÁ

0

C1 =

628

МАТЕМАТИКА

Вороного, соответственно; п - единичный вектор нормали к поверхности ^ и внешний по отношению к V.

Течение воды рассчитывается в три этапа. На первом вычисляется вспомогательная величина Б = (Дг, Дг) - скорость, полученная без учета уравнения неразрывности.

Dr = v0 +Т r r V

Dz = v0 + T

z z V

n .(W? ) dfl-v0 J

n -(Vv0 ) da + (1 -pl p? ) gV

На втором этапе по известным граничным условиям и величине Б вычисляется давление

| п-(Ур1) й а=^[|] п ■ ша.

а Т а

На третьем этапе расщепления вычисляется скорость V1 по известным значениям Б и р1

V1 = Б—-Ур1.

Р

Температура вычисляется аналогично величине Б

Г1 = T0 + Т -|Jn. v0T0dß + — ßn • (VT0 ) da

VL a pca

T1 = T ? + T ^'

^ [fi n .(vt 0 ) d a v рнсн a 1 '

(в области воды), (в области гидрата).

3.2. Расчетная сетка

Для решения задачи была использована неоднородная расчетная сетка, состоящая из ячеек Вороного. Сетка получена из соответствующей триангуляции Делоне [6]. Шаг сетки уменьшается вблизи границ области, раздела сред и на входных и выходных отверстиях.

Граница раздела сред может изменяться достаточно быстро. Для предотвращения многократного и трудоемкого построения сетки заново, расчет организован следующим образом [7]:

• Граница раздела всегда проходит через узлы сетки и перемещается скачкообразно по неизменной сетке.

• Сетка перестраивается не на каждом шаге, а только после значительного перемещения границы раздела. Величина критического перемещения границы может быть задана, и обычно составляет несколько длин стороны ячеек вблизи границы раздела.

• После перестройки сетки все физические величины пересчитываются со старой сетки на новую, с использованием линейной интерполяции по ячейкам.

3.3. Аппроксимация задачи Стефана

Течение воды, в рассматриваемой задаче, характеризуется большими числами Рейнольдса (Яе ~ 106). Поэтому, вблизи границы шахты могут существовать большие градиенты компонент скорости, и следовательно, температуры. Для аппроксимации

условий (12) на границе «вода-гидрат» стандартным способом [8], на границе необходима очень частая сетка.

Чтобы избежать этого, был выбран следующий подход. На начальный момент каждого шага, полагается, что температура на границе раздела вода-гидрат, в направлении нормали к границе, меняется скачкообразно (Тк Ф Тк).

В течении одного шага по времени Т происходит теплообмен и скачок «сглаживается». Поскольку величина Т достаточно мала, теплообмен, обусловленный градиентом температуры на границе, затронет только соседние с границей ячейки. Таким образом, данную задачу сводим к одномерной задаче о теплообмене в системе двух полуограниченных и равномерно нагретых тел [9]. Откуда вычисляется поток тепла j(t) сквозь единицу площади границы, в момент времени ?

j ({) = Ту> — Тк

е + е,

4лг

где е = p, eh = s]phûhch . Далее полагается, что

за тот же шаг по времени вода в приграничных ячейках перемешивается, то есть температура усредняется, и на начало следующего шага снова имеется скачок температуры.

4. Численный эксперимент

Во всех экспериментах R0 = 10 см, Rmax = 9 м, R1 = 20 см, zo = 0, v = 1.0 10-6 м21с, Л = 0.58 Вт/(м-К), с = 4200 Дж1(кг-К), ph = 900 кг/м3, \ = 2.11 Вт/(м-К), ch = 2500 Дж1(кг-К), g = 9.81 м/с2.

Скорость входящего потока и размер входного отверстия фиксированы, vin = 3 см/с и hin = 10 см. При этом варьируется высота области H (табл.).

Таблица

Значения высоты области H в численном эксперименте I № I H, м I

5.00 6.25 7.81 9.76 12.21

Заданная скорость входного потока достаточно малая. Поэтому, основным фактором, влияющим на движение воды, оказывается неуравновешенная сила Архимеда, действующая на нагретую воду.

Вода, только что поступившая в шахту, поднимается вверх и скорость этого конвекционного потока, как показывает эксперимент, увеличивается на расстоянии порядка метра до максимальной величины.

Часть разогнанного потока воды, близкая к подающей трубе, выходит через выходное отвер-

/

-m n • v°v°da+v

a

a

V

/

-rfi n.vVda+v

z

a

a

стие, а оставшаяся часть продолжает движение к верхней границе области (границе с осадочными породами) и к стенкам шахты. Нагретая вода оказывается в непосредственной близости от границы гидрата. Большой перепад температуры приводит к интенсивному нагреву и последующему разложению гидрата. Остывающая вода опускается ко дну шахты и вливается в нагретый восходящий поток. Поскольку к нижней части стенок шахты приходит более холодная вода, теплообмен происходит медленнее и шахта приобретает форму воронки (рис. 2, графики № 1-3).

няется хаотически и максимального значения не достигает (рис. 3).

Рис. 2. Профили шахты х = ¿(z), при t -эксперименты № 1-5.

: 20 ч,

При больших высотах области, заполнение шахты нагретой водой происходит медленнее. Поэтому, первое время, плавление гидрата происходит только в нижней части шахты, которая сначала принимает форму капли (рис. 2, графики №4, 5). Но впоследствии, когда нагретая вода пройдет до верха шахты, шахта так же начнет приобретать форму воронки.

В качестве эффективности процесса разложения гидрата n(t), использовалось отношение тепла, переданного гидрату, к поступившему с потоком нагретой воды, за период времени t от начала процесса.

На начальном этапе процесса (t < 10 ч) поступившая вода еще не успела передать тепло гидрату, а течение воды и форма шахты претерпевают качественные изменения, поэтому эффективность изме-

Рис. 3. Эффективность нагрева гидрата, эксперименты №1-5.

Как и следовало ожидать, при больших высотах области, основная часть нагретой воды успевает перемешаться с водой шахты и передать тепло гидрату. Поэтому эффективность процесса с ростом высоты области увеличивается (рис. 3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Соловьев В. А. Природные газовые гидраты, как потенци -альное полезное ископаемое // Рос. хим. ж. 2003. Т. 47. №3. С. 59-69.

2. Инербаев Т. М., Субботин О. С. Динамические, термоди -намические и механические свойства газовых гидратов структуры I и II // Рос. хим. ж. 2003. Т. 47. №3. С. 19-27.

3. Макогон Ю. Ф. Природные газовые гидраты: распростра -нение, модели образования, ресурсы // Рос. хим. ж. 2003. Т. 47. №3. С. 70-79.

4. Патанкар С. В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах. М.: Издательство МЭИ, 2003.

5. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей // М.: Мир, 1991.

6. Скворцов А. В. Триангуляция Делоне и ее применение. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002.

7. Морозкин Г. Д., Гилев А. Ю. Построении адаптивных сеток на основе триангуляции Делоне для метода конечных элементов // Вестн. Башкирск. ун-та, 2005. №2. С. 7-11.

8. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теп -лопередача. М: Едиториал-УРСС, 2003.

9. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: «Высшая школа», 1967.

Поступила в редакцию 18.08.2013 г.