CC BY
22
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 1 (1), с. 257-261
УДК 519.711.2
О ВЛИЯНИИ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ КВАЗИИНВАРИАНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ТОЧНОСТЬ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕШЕНИЯ И ВРЕМЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА
© 2014 г.
И.С. Гельфер
НИИ прикладной математики и кибернетики Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского
Пнступила в редакцию 06.11.2013
Работа посвящена дальнейшему исследованию свойств квазиинвариантного управления, а именно, даны оценки для точности установившегося решения и времени переходного процесса. Полученные аналитические результаты сопровождаются численными экспериментами.
Ключевок слнва: динамическая система, устойчивость, квазиинвариантное управление, численное моделирование.
С помощью синтеза квазиинвариантного управления объектом динамической системы, осуществлённого Ю.И. Неймарком, была разрешена проблема идеального регулятора Г.В. Щи-панова. При этом наметился ряд вопросов, связанных с возможностью и улучшением качества управления объектом, требующих дальнейшего изучения.
Система квазиинвариантного управления объектом описывается [1] уравнениями вида
Ап (р)х = -Вт (Р)(и + ^(Х)Х
ци = Dq (р)(х\ где Ап (р), Вт (р), Dq (р) - действительные полиномы от р = d|dt степеней п, т и q, ц -малый параметр, х - управляемая действительная переменная, и - управление, £,(Х) - внешнее ограниченное воздействие. В [1] показано, что при любом Ап (р), гурвицевом Вт (р) и надлежащим образом выбираемых ц и Dq (р), q = п - т -1, возможно обеспечить устойчивость системы управления и спустя некоторое время Т > 0 сколь угодную малость |х(Х)|. Но в
переходном процессе и\ может достигать очень больших значений, а время установления - быть длительным, в то время как |и| должен быть
ограниченным, а сам переходный процесс достаточно быстрым. Требование ограниченности |и| можно удовлетворить путём изменения вида управления, варианты которого, предложенные Ю.И. Неймарком, рассмотрены в [2]. Способ добиться малости времени установления Т, также предложенный Ю.И. Неймарком, кратко
описан в [3]. В данной работе подробно показывается, как выбор корней полинома Dq (р) и значений параметра ц влияет на время переходного процесса Т , а также даётся оценка точности установившегося решения |х(Х)|.
О быстроте переходного процесса
Общее решение уравнения (цАп (р) +
Вт( р^ (р))х = ЦВт( р^, которое получается из системы (1), если выразить и через х, есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения, х^Х), и частного решения неоднородного с нулевыми начальными условиями, х2(Х):
х(Х) = £ с{* +ц£ К | е^ (Х-^(тМт, (2)
i=1 i= 1 о
х1(х)=X/
где
се
определяет переходный
процесс, а х2(Х) = цХК1е*4(Х х)Е,(т^т - устано-
i=1 о
вившийся режим. Коэффициенты с. определяются из заданных начальных условий х(0) = х0, х(0) = х1, ..., хп-1(0) = хп-1, а
К =
Вт (*, )
(Ц • Ап (р) + Вт (р^с (р)) р=\
где Х1 - корни характеристического полинома цАп (р) + Вт (p)Dq (р), имеющие отрицательные действительные части в силу требуемой его устойчивости. Имеет место
Утверждение. Для любых сколь угодно малых е > 0 и Т > 0 при ограниченности возмущения Е,(Х) и начальных условий при т = 0 возможен такой выбор ц и корней полинома Dq (р), с = п -1, для которых при всех Х > Т |х(Х)| <е.
Доказательство. По условию Ы < N <да,
с, =
К.......х,-і х х,+1... К
Л п-1 Л п-1 Л п-1 Л п-1
Кі ....К- і X і X •. 1...К
1 ,-1 п-1 , + 1 п • 1
і = 1, п .
1 1 1
К2 Кп
х1;- 1л п-1 X 2 ... л п-1 Кп
с =
п-1 п-,
і + Хп-3 і Кі
і' ,і *<', і
V Л
-... + (-1)п-1 ХоПК- П(Кі-К,)
(3)
і = 0,п -1, |Е,(?) <М < да. Выберем корни многочлена Dn-1(р) действительными, отрицательными и различными. При ц — 0 п -1 корней полинома цАп (р) + Dn-1 (р) стремятся к корням Dn-1 (р), а ещё один, Кп, должен стремиться к
, т.к. Д,-1(Кп) * 0, а Мп (Кп ) + Dn-1(Кn ) = 0. Для устойчивости цАп (р) + Dn-1(р) требуется, чтобы Кп — -да . Поделив равенство цАп (Xп) +
+А,-1(Хп ) = 0 на ^ , ПолУчаем МОДп = -(^п-1 + + цап-1) -... - (й0 + ма0)Кпп"1, откуда следует, что
при ц — 0 Кп «- -^п-1, где ап , йп_1 - коэффи-апЦ
циенты при старших степенях полиномов Ап (р) и Dn-1 (р), и, чтобы Кп — -да , надо выбрать
^ПЫ = ^К-^ ап ).
Учитывая, что х2(?) берётся с нулевыми начальными условиями, имеем:
К1с1 + К 2С2 + ... + К пСп = Х1,
Л п-1 , Л п-1 „ . Л п-1 „
К1 с1 + К2 С2 + ... + Кп сп = Хп-1
откуда определяются
1.......1 х01......1
Если 1 = п, то Xn входит в знаменатель выражения (3) в степени п -1, а в числителе X п отсутствует, и, т.к. при ц —— 0 Хп —— -да , а X у,
] = 1, п -1, конечны, то |сп | — 0 .
Пусть 1 ф п . Хп входит в числитель и знаменатель выражения (3) в первой степени. Разделив числитель и знаменатель на Хп, получим
с =
2 х і+...+(-1)п х0 Пх і +
я (Х;-1;
П (К і -К і) -
___ ч -1
Ї ( х;-1; ОЛ
Х0 ={Х0,...,Хп-1}, К1 — {К1,...Кп-1} ,
где Я = Хп-1 - Хп-2 2 Кі + ... + (- 1)п 1 Х0 П Кі и
і *і,п jФi,n
/ = К, х X (Кі - К,) не зависят от Кп, а зна-
і *і,п Я (
чит, —, — стремятся к нулю при ц —— 0 и
х„ к
~ Хп-3 2Кі + ... + (-1)п Х0 ПК
п п
ц—0
і *і',п
0± 1' V
і *і,п
П (Кі-Кі)
і'*і,п
откуда следует ограниченность с., 1 = 1, п -1.
Теперь заменим X. на , где "л - некоторое положительное число. Тогда
ц—0
(
л
^/лп-2 - Хп-3 і I
V
+... + (-1)пХ0ПК- лп-2П(К- - Кі)
і *і,п у
Л-1
л
V і *і',п
Знаменатель с1 - определитель Вандермон-да, равный П (Х. - X j), не равный нулю в си-
1< ^<.<п
лу того, что X. Ф Х^. при 1 Ф у . После соответствующих преобразований, а именно, приведя числитель у с. к треугольному виду и сократив общие множители, получаем
При неограниченном возрастании ^ в числителе все члены, кроме последнего, стремятся к
х0 Пу
у Ф1,п
нулю и \с,\
ц—0,л—да
П(Кі -к)
і ^і, п
значит, с.
ограничен^1 при сколь угодно больших ^ , откуда следует, что |с..| < С <да для всех 1 = 1, п . Далее, задавая достаточно малую величину
+
К
К
п
п
с1 + с2 + ... + сп = Х0
с
>
+
с
е> 0, можно при ц — 0 сделать |х1(Х)| <
< СX е1''1 < (п - 1)Се Хш“Т <-е, выбрав (за счёт
выбора п ) максимальное из Xi, 1 = 1, п -1,
(
\
X шах < —1П
Т у 2(п - 1)СХ Рассмотрим второй член в (2): К
г(Х)| < цМX
X,.
К
где К1 =
-1
цап П ^ -X у)
уФ1
, 1 = 1, п . Если 1 = п .
то
К
ца
Л пп П (1 -X у/ X п)п-1
у Фп
и при ц — 0 стремится к величине
ц п-Чи-1
dn
п-1
К
1
и при ц — 0 стремится к
цап
ца
п Xtdn-1П (X1 -X у)
у Ф1,п
< К < да.
чаем |х2 (Х)| < цМ
М = шах|(^(Х))|. Член XKiXi1еXit неограни-
1=1
ченно убывает с ростом Х в силу выбора Xi,
значит, |х2 (Х)| < цМ
X КД-‘
. Малость |х2(Х)|
при заданном М определяется величиной пара-
п
метра ц и значением выражения X KiX-1, где
1=1
к. = -1 цап П (X ,■ - X у), 1 = 1, п, как было по/ уф1
казано выше, ограничены.
Следует заметить, что оценка для установившегося решения х2(Х) справедлива и при т Ф 0 . В этом случае при 1 = п
Ът X пт П|1 -
X
Л
ЦanXпп П| 1
у=1
X.
Последнее выражение в силу того, что ц — 0 и Xn — -да , стремится к
Ъ Ъ цп-т-1аи-т-1
т т^ п
цОЛ п
d:
п-т-1
стремящейся к нулю вместе с ц . Если же 1 Ф п , то
Отсюда следует, что |К,./X.| при ц — 0 стремится к нулю при т < п -1 и ограничено при т = п -1 (X* - корни полинома Вт (р)). При
1 Ф п оценка для |К./X.| получается аналогично случаю с т = 0 и отличается только конечным
множителем Ът П^ * ^).
Значит, х2 (Х) < цМ(п - 1)К + о(ц), и при достаточно малом ц может быть меньше заданной малой величины е/2, а |х(Х)| <е .
Оценка установившегося решения
Можно найти более точную оценку для решения в установившемся режиме х2(Х). После соответствующих преобразований полу-
где
Численные эксперименты
Для полинома А4(р) = р4 - р3 + 2р2 + 3р -2, постоянно действующего ограниченного случайного возмущения Е,(Х) = 25 sin(3t), при начальных условиях х(0) = 0.5, х(0) = 0.2, х(0) = 0.2 и
х(0) = 0.1, е = 103 при надлежащем выборе полинома D3( р) и параметра ц определяется время Т, начиная с которого |х(Х)| < е . Оказалось, что
3
при ц = 0.001 для полинома D3(p) = П(р -X.)
1=1
при X1 = -1, X2 = -2 , X3 = -3 время установления Т = 7.44, для X1 = -10, X2 = -20, X3 = -30 Т = 0.73 и для X1 = -100, X2 = -200, X3 = -300
Т = 0.07 (рис. 1, соответственно а), б), в)).
В табл. 1 приведены значения времени переходного процесса Т и точности установившегося решения при различных X и ц .
Как видно из таблицы, время переходного процесса Т убывает с убыванием X1, X2, X3, а параметр ц существенного влияния на Т не оказывает, в то время как точность установив-
х
X
X
п
п
п
1
X
п
п—т
X
Таблица 1
X ц T X уст.
3 - <N - - 0.001 7.440 5.174e-04
3 - <N - - 0.0005 7.505 2.586e-04
3 - <N - - 0.0001 7.605 5.169e-05
-10, -20, -30 0.001 0.730 3.927e-06
-10, -20, -30 0.0005 0.730 1.964e-06
-10, -20, -30 0.0001 0.730 3.927e-07
-100, -200, -300 0.001 0.070 4.164e-09
-100, -200, -300 0.0005 0.070 2.082e-09
-100, -200, -300 0.0001 0.070 4.164e-10
-2, -3
-10, -15
-20, -30
-100, -150
T
7.505
6.460
6.335
6.235
Таблица 2
\ Х уст. 1
1.64e-04
1.56e-05
4.10e-06
1.66e-07
|x2(t)| не превосходит величины цМ
шегося решения \хуСт\ = max|x2(t)| улучшается с убыванием X. и ц . В установившемся режиме
которая достигается при ^) = М. При Х1 = -1, Х2 = -2, X3 =-3, ц = 0.001 и Щ) = 25 |хуст.| = =0.0042, в то время как при ^) = 25sin(3t) \хуст |, как видно из табл. 1, не превосходит 5.174е-04.
Рассмотрим случай т = 1, Вт (р) = р +1, Ц),) = 25 эт(3^), начальные условия те же самые. В табл. 2 приведены значения Т и |хуст | при ц = 0.0001 и корнях полинома В2(р) =
= (р -Х1)(р -Х2 ) .
При убывании X. | хуст | становится сколь
угодно малым, в то время как Т стремится к конечной величине. Последнее происходит оттого, что максимальный корень полинома
4 6
Рис. 1
Вт (р)(р) нельзя сделать меньше максимального из заданных корней Вт (р).
Таким образом, точность установившегося решения и время переходного процесса целиком и полностью зависят от выбора параметров управления X и ц .
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ, проект № 11-01-00379.
Список литературы
1. Неймарк Ю.И. Синтез и функциональные возможности квазиинвариантного управления // АиТ. 2008. № 10. С. 48-56.
2. Гельфер И.С., Неймарк Ю.И. Нелинейность как расширение возможностей квазиинвариантного управления // Нелинейные колебания механических систем. Труды VIII Всероссийской научной конференции. Т. 1. Н. Новгород, 2008. С. 132-136.
3. Неймарк Ю.И., Гельфер И.С. Квазиинвариантное управление с быстрым установлением // Модели, методы и программные средства: Тез. докл. итоговой научной конференции учебно-научного инновационного комплекса, Н. Новгород, 27-30 ноября 2007 г.
Н. Новгород, 2007. С. 27-30.
THE INFLUENCE OF THE CHOICE OF QUASI-INVARIANT CONTROL PARAMETERS ON THE ACCURACY OF A STEADY-STATE SOLUTION AND THE TRANSIENT PROCESS TIME
I.S. Gelfer
A further study is presented of quasi-invariant control properties; in particular, the estimates are given for the steady-state solution accuracy and the time of a transition process. The analytical results obtained are supported by numerical experiments.
Keywords: dynamic system, stability, quasi-invariant control, numerical simulation.
References
1. Nejmark Ju.I. Sintez i funkcional'nye vozmozhnosti kvaziinvariantnogo upravlenija // AiT. 2008. № 10. S. 4856.
2. Gel'fer I.S., Nejmark Ju.I. Nelinejnost' kak rasshirenie vozmozhnostej kvaziinvariantnogo upravlenija // Neli-nejnye kolebanija mehanicheskih sistem. Trudy VIII Vse-
rossijskoj nauchnoj konferencii. T. 1. N. Novgorod, 2008. S. 132-136.
3. Nejmark Ju.I., Gel'fer I.S. Kvaziinvariantnoe upravlenie s bystrym ustanovleniem // Modeli, metody i programmnye sredstva: Tez. dokl. itogovoj nauchnoj kon-ferencii uchebno-nauchnogo innovacionnogo kompleksa, N. Novgorod, 27-30 nojabrja 2007 g. N. Novgorod, 2007. S. 27-30.
