Синтез и функциональные возможности простейшего квазиинвариантного управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование и оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2007, № 6, с. 140-146

УДК 62-50

СИНТЕЗ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ПРОСТЕЙШЕГО КВАЗИИНВАРИАНТНОГО УПРАВЛЕНИЯ

© 2007 г. Ю.И. Неймарк

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского neymark@pmk.unn.ru

Поступила в редакцию 08.11.2007

На примере простейшей математической модели линейной минимально фазовой системы квазиин-вариантного управления рассматриваются вопросы физической реализуемости, устойчивости и ошибки управления. На этой основе решается задача синтеза квазиинвариантного управления путём синтеза нелинейной системы, объединяющей квазиинвариантную стратегию с классической.

Введение

Настоящая работа индуцирована идеей инвариантного регулятора, высказанной Г.В. Щи-пановым в публикации 1939 г. [1], и последующей бурной дискуссией. Идея состояла в том, что регулятор должен не устранять возникшую ошибку, а предотвращать её, сделать объект управления невосприимчивым к внешним воздействиям, инвариантным по отношению к ним. С тех пор прошло более полувека, а дискуссия и обсуждаемая проблема не получили завершения, хотя идея инвариантного управления привлекала исследователей, что нашло отражение в справочнике по теории автоматического регулирования [2], в обстоятельной книге о проблеме Г.В. Щипанова [3], в недавнем цикле работ

В.А. Якубовича [4-6] и др. Причину этому можно видеть в резолюции специально созданной академической комиссии. Работа Г.В. Щипано-ва была оценена как целиком неверная и лженаучная. Г.В. Щипанов был уволен, а ИАТ, издавший его работу, подвергся критике [3]. Это была трагедия талантливого человека, специалиста по авиаприборам и гироскопам, по книгам которого учились современники. Это была упущенная возможность создания нового типа регуляторов и систем управления. Косвенно в дальнейшем этому способствовала успешно развивающаяся теория оптимального управления, которая, казалось бы, должна указать лучшие системы управления, но инвариантных управлений она обнаружить не могла, поскольку таких (как мыслил Г.В. Щипанов) нет, а есть квазиинвариантные. Это практически одно и то же, но среди квазиинвариантных нет оптимального, и поэтому теорией оптимального управления они не могли быть обнаружены. Это не значит, что теория оптимизации не может быть

полезна, а означает только то, что постановка задач оптимизации должна быть существенно изменена. Решающими всё же были характер критики без указания конкретной ошибки, непонимание и восприятие математической реализации идеи Г.В. Щипанова как некий парадокс и, конечно, устрашающие административные меры [3].

Последующее относится к изучению и синтезу квазиинвариантного управления (не только стабилизации, но и слежения) для произвольного минимально фазового объекта, описываемого математической моделью вида

Ап (Р)х = -Вт (Р)(и + ^(0)

Сг (р)и = Од (р)(х - / (Г) + Г|(0 ),

где Ап (Р), Вт (Р), Сг (Р) и (Р) - действительные полиномы от р = , степеней п, т ,

г и ^ соответственно; Е>(1), ^) - ограниченные неизвестные возмущения в объекте и управлении; / (^) - заданная функция отслеживания (/(^) = 0 - стабилизация); х и и - одномерные переменные объекта и управления. Зависимости (1) имеют направленный характер: х определяется переменными и и ^(^) первым уравнением, и х, /(^) и ) определяют и согласно второму уравнению. Исследование модели (1) включает формулировку условий её физической реализуемости, установление условий устойчивости, оценки ошибок управления и слежения, выявления роли внутренних возмущений ) и частичной нейтрализации внешнего возмущения Е(^), что позволило сформулировать условия квазиинвариантности и возможности сколь угодно точного управления. Вместе с тем, высокая точность управления, требующая малости оператора Сг (р) = ц, , мо-

жет привести к недопустимо большим значениям управления при тех или иных непредвиденных (возможно и незначительных) нарушениях. Уйти от этого дефекта квазиинвариантного точного управления можно за счёт синтеза его с обычным управлением в соответствующей нелинейной системе, используя возможности обоих подходов: подходу, основанному на устранении возникшей ошибки управления, и подходу, предотвращающему возникновение этой ошибки.

О физической реализуемости математической модели системы управления

Систему управления (1) назовём физически реализуемой, если она может быть адекватно отображена реальной физической системой или в сочетании с вычислениями компьютера. Какими же при этом должны быть входящие в уравнение (1) функции и операторы? В дальнейшем под физически реализуемыми принимаются гладкие и кусочно-гладкие ограниченные функции с конечным числом разрывов. При этом разрывы мыслятся как идеализации быстрых и очень быстрых гладких изменений. Относится это прежде всего к функциям Е(^), Л(^), затем к /(I) и управлению и, к функции х(1) и, возможно, к некоторым её производным. Требование физической реализуемости приводит к тому, что корректная математическая модель (1) должна удовлетворять дополнительным условиям. О них и пойдёт речь ниже.

Начнём с реализуемости направленного от Е к х оператора

Ап (Р)х = -Вт (Р)Е(1). (2)

Прямые вычисления Вт (р)Е(1) требуют наличия т производных от Е , а Е может не иметь ни одной. Как же вычислить х ? Оказывается, что вычисление и реализация х возможна при т < п и невозможна при т > п . Общее решение уравнения (2) складывается из общего решения однородного уравнения ( Е = 0 ) и частного решения неоднородного уравнения (2) при нулевых начальных условиях. Ради простоты примем корни (ХьX2,...,Хп) полинома Ап(р) не кратными и запишем решение неоднородного уравнения (2) в изображениях ~ (р) и Е(р) и соответствующий оригинал

В (Р)~ п 1

~ (р)=е( р)=1 с

Ап (Р)

* . Е(р),

*=1 р -Х *

х(1) = IЕ С*еХ*( Х)Е( *)&, с* =

0 *=1

Вт(Х*)

Ап (X*)

Напомним, что для этого требуется, чтобы т < п . Из соотношения

Вт(Р) = Е С* =

Ап (Р) *=1 Р -Х *

( п Л ^ ( ( п Л ( п

П(Р-X*) ЕС* рп-1

V*=1 ) у^*=1 )

п

рп-2 +

+

рп-3+...

ЕС* ЕХХ-

*=1 ?,/Ф*

следует, что при т < п - 1 ЕС* = 0 , при

*=1

т < п - 2 ЕС*Х* = 0, при т < п - 3

*=1

п

ЕС*Х*. = 0 и т.д. Теперь согласно (3) вычис-

лим производные х(1)

( I ^

х * (?-т)

*=1

х(I) = Е С*т + 1 С*Х*еХ*(?-х)Е(т)Л

0

при-

чём при т = п -1 Е С* Ф 0, и второй произ-

*=1

водной нет, т.к. Е(?) не дифференцируема. При

п

т < п - 2 Е С* = 0 , и имеется вторая произ-

*=1

п ( I Л

водная х(0 = Е С*Х*Е(1) + | С*Х2*еХ* (1“х)Е(т)Л

*=1V 0 )

у которой нет производной при т = п - 2, поп

скольку Е С* X * Ф 0, но она есть при т < п - 3,

*=1

п

т.к. при этом ЕС*Х* = 0. Продолжая эти вы-

*=1

числения с уменьшением т , находим, что х(1) имеет т - п производных и не более, если Е(1) не дифференцируема. Если же Е(1) имеет к > 0 производных, то х(1) при этом имеет п - т + к производных. Отсюда следует, что при к > 0 возможно находить х(1) и при т > п .

Применим полученные сведения к математической модели (1). Будем исходить из недифференцируемости Е(1), Л(1) и управления и, но удовлетворяющим принятым условиям физической реализуемости. Это приводит к некоторым соотношениям между величинами т, п,

г и д , а именно, т < п -1 для физической реализуемости х и его производной. При требова-

*=1

нии физической реализуемости I производных от х т < п -1. Далее, для регулятора при требовании физической реализуемости управления и д < I + г, где I = п - т - число производных, требуемых от х или х - /. Подчеркнём, что это только необходимые требования к системе управления. Впереди ещё требования устойчивости и малости ошибок стабилизации и слежения.

Условия устойчивости

Требование устойчивости состоит в том, что при Е = Л = / = 0 любое решение х уравнений (1) стремится к нулю с ростом времени I. Исключая из уравнений (1) управление, при Е = Л = / = 0 приходим к уравнению для х вида

[Сг (р) Ап (р) + Вт (р) Од (р)] х = 0, (4)

и, следовательно, для устойчивости требуется, чтобы все корни полинома от р , стоящего в (4) перед х , имели отрицательную действительную часть. Для дальнейшего требуется, чтобы это условие выполнялось при малости полинома Сг (р). В простейшем случае г = 0, Сг (р) = ц, где ц - малое число, требование устойчивости состоит в надлежащем выборе знака числа ц и отрицательности действительных частей всех корней полиномов Вт (р) и

Од (р). Для полинома Вт (р) это имеет место в силу минимальной фазовости объекта, а для

Од (р) это требование к его выбору. Степень

произведения полиномов Вт (р) и Од (р)

должна быть не меньше п -1. Весьма привлекателен вариант минимальной степени д , когда д = п -1 - т При этом требуемое число д производных от х не превосходит их числа, равного п - т. Желание ослабить требование на функцию / возможно за счёт увеличения г. Этот вариант рассматривается в [7].

Вернёмся к определению знака ц и определению корней полинома

цАп (р) + Вт (р) Од (р), (5)

когда т + д = п -1 и ц — 0 . При ц — 0 п -1 корней полинома (5) степени п стремятся к корням полиномов Вт (р) и Од (р), а ещё один

корень, Xп , должен стремиться к -X . Последнее достигается надлежащим выбором знака ц: sgnц = sgn{anЬmdд}, где апЬтёд -

старшие коэффициенты полиномов Ап (р), Вт ( р) и Од ( р) . Значение действительного корня Xп , который должен при ц — 0 стремиться к -х, можно задать, выбирая ц из уравнения цАп (X) + Вт (X)Од (X) = 0, причём при X — -х ц —> 0 , а знак ц совпадает с указанным выше.

Рассмотренный случай г = 0 и д = п -1 - т можно назвать простейшим и привлекательным, но он требует при слежении наличия д производных у функции х - /(I). Как уже указывалось, преодолеть это ограничение можно, повышая степень г полинома Сг ( р) . При этом вместо д производных требуется д - г .

Ошибка стабилизации

В этом и следующем параграфах рассматривается ошибка управления - стабилизации и слежения - в простейшем случае г = 0 , соответственно Сг (р) = ц, при нулевых начальных условиях или спустя достаточное время функционирования устойчивой системы управления. Из (1) при /(I) = 0 и л(0 = 0 в изображениях непосредственно находим, что

цВт (Р)~(Р)

х (р) = --

(6)

цАп (Р) + Вт (Р)Од (р)

Пусть X!,X2,...Дп - корни знаменателя (6) и имеет место устойчивость, тогда п -1 корней, X1,X2,...^п-1, имеют отрицательную действительную часть, а Xп - большое отрицательное число, причём Xn — -х при ц — 0 . Ради простоты ограничимся общим случаем не кратных корней. Тогда оригинал х (р) представля-

п 1

ется в виде х(1) = цЕК*|е *^~х\(т)<$т , где

*=1 0

К* =~

Вт (Л * )

цА'п (X *) + (Вт (X * ) Од (X * ) )

Предполагая |Е(1) < М и учитывая ограниченность всех коэффициентов К* X*1 некоторой величиной С <х, непосредственно находим, что

|х(0| < цКМ(К < х). (7)

Таким образом, ошибка стабилизации при исходных нулевых начальных условиях и ограниченном возмущении Е(1) неограниченно умень-

шается с уменьшением ц . Можно поинтересоваться, как ведёт себя управление и и за счёт чего мала ошибка стабилизации.

При нулевых начальных условиях х определяется возмущением Е . Действительно, из (1) при / = л = 0 находим для изображений х и и, что

~ (Р) = - 1ГТР\ (~ + ~), ~(Р) = 1 Од (Р) ~,

Ап (р) ц

откуда ~ (р) = —

МВт(р)Е( р)

(8)

МАп (Р) + Bm (Р)Dq (Р)

Тем самым управление и также определяется возмущением Е

и( р) = -

Вт (Р)Dq(Р)Е(Р)

МАп (Р) + Dq (Р)Bm (Р)

= -Е( Р) +-

М^п (Р) Е(Р)

(9)

и цФ 0, Е = / = 0 . Первый случай был рассмотрен, и при ц — 0 х — 0 . Нам надлежит рассмотреть второй. При нулевых начальных условиях в изображениях из (1) после исключения и~ находим, что

цАп (р)~ + Вт (р)Од (р)(~ - /) = 0 или

[ц4 (Р)7 + Вт (Р)Од(Р)](7 - 7) =

= -цАп (Р)7 .

Нас интересует, как ведёт себя ошибка слежения х - /, изображение которой, согласно (10), имеет вид

ц4( р)?

(11)

цАп (Р) + Од (Р)Вт (Р)

причём так, что при ц — 0 и — -Е , нейтрализуя согласно (8) воздействие Е на х . Это в предположении, что последний член в формуле (9) мал, что может не соблюдаться в точках разрыва или очень больших производных от Е . Нейтрализация возмущения Е управлением и может нарушаться при больших, не подавляемых малым ц , величинах производной от Е .

Обнаруживается это из записи последнего члена в (9) в виде

---------ц^пМ-----------рЕ( р),

р(цАп (Р) + Од (р) Вт (р)ГЫ^ где первый множитель неограниченно уменьшается с ц — 0 , а второй, рЕ(р), может при некоторых I иметь очень большие значения. Вместе с тем это не мешает стремлению ошибки стабилизации х неограниченно уменьшаться вместе с уменьшением ц при ограниченности Е, поскольку весьма кратковременные скачки производной от Е(!) существенного влияния не оказывают, а вне скачков производная от Е(!) ограничена.

Ошибка слежения

Рассмотрим теперь возможности слежения переменной х({) квазиинвариантной системой (1) заданной функции / (I). В силу линейности модели (1) х^) представляется суперпозицией воздействий Еф 0, / = Л = 0, / Ф 0, Е = Л = 0,

цАп (Р) + Вт (Р)Од (Р)

Возникшая ситуация аналогична той, которая была при нарушении стабилизации х возмущением Е с управлением и в отношении компенсации управлением и возмущения Е. Достижение малости ошибки слежения х - / за счёт малости ц требует ограниченности производной от / . Соответствующую оценку можно получить, записав (11) в виде

Мп (Р)

-Р./' ■.

Р(ИАп (Р) + Вт (Р)Dq (Р))

из чего следует, что

| х- f |< yKmax | f ' (t) |, K <ж . (12)

Из полученной оценки (12) и ранее полученной (8) следует, что система управления, описываемая (1), при ограниченности f '(t) и E(t) может сколь угодно точно отслеживать переменной х заданную функцию f (t). Вместе с тем при r = 0 физическая реализуемость управления и и устойчивость требуют, чтобы f (t) имела q = п -1 - т производных.

Влияние внутренних помех

Речь идёт об учёте помехи л^) при г = f = 0, т.е. при и = y~lDq (р)(х + л(0). В

этом случае, согласно (1), х определяется уравнением

[И4 (р) + Вт ( р) Dq (р)]х = - Вт ( р) Dq ( р)л • Видно, что малость у не влечёт уменьшения ошибки стабилизации. Требуется малость л • Величина л является реальным ограничением точности стабилизации и слежения. Для реализации второго уравнения (1), определяющего управление и, требуется измерение х. По-

грешность этого измерения является одной из возможных составляющих помехи л . Очевидно, что измерение х не может быть менее точным, чем требуемая точность управления.

Компьютерный эксперимент и переменная (нелинейная) стратегия управления

Приведем краткие описания компьютерных экспериментов, проведённых И.С. Гельфер, двух объектов

х ± 1.5х = -и -^(0

'х- х + 2х + 3х - 2х = -и - Е(().

В качестве конкретной их реализации можно указать маятник и двойной маятник, управляемые перемещением точки опоры. У первого объекта п = 2, т = 0 ; у второго п = 4, т = 0 . Для регулятора в обоих случаях г = 0 и в соответствии с ранее изложенным д = 1 и д = 3 . Полиномы Од (р) выбираем устойчивыми. Для первого объекта

и = ц 1( х + 2 х)

и второго

и = ц-1( х + 6 х + 11х + 6 х).

Параметр ц и функции Е(!), /(0 , Л(^) варьировались. В случаях стабилизации (/ (I) = 0) и слежения (/(I) Ф 0) без учёта внутренних помех л(!) = 0 , как при гладких, так и кусочногладких Е(!) и /(I), и нулевых начальных условиях имело место уменьшение ошибки управления хтах вместе с уменьшением ц в пределах от 0.1 до 0.0001 весьма близко к линейной зависимости от ц . Такие же эксперименты, но при учёте внутренних помех ( л(0 Ф 0) обнаружили, что ошибка управления уменьшается с убыванием ц лишь до некоторого предела, естественно, тем меньшего, чем меньше л(!). Сказанное относится к управлению при нулевых начальных условиях. При ненулевых начальных условиях величина управления может оказаться недопустимо большой. Обойти эту неприятность можно, меняя стратегию управления и в зависимости от величины х . Простейший, но не наилучший вариант состоит в том, чтобы менять ц в зависимости от | х |,

Г0.001 при |х| < 0.1;

Ц = -

или

0.1 при |х| > 0.1

1 +101 х |

В первом случае после переходного процесса, приводящего к | х |< 0.1, всё происходило так же, как и в описанном выше эксперименте. Второй вариант переменной стратегии управления также не допускал больших значений и спустя некоторое время приводил к малым значениям | х | . Опираясь на эти данные, можно указать достаточно хороший вариант меняющегося управления, в котором для уменьшения состояния (некоторого его функционала) используется оптимальное по этому функционалу управление, а при допустимых | и | , требующих

малости х , точнее, малости Од (р)(х - /), используется квазиинвариантное управление.

Ошибался ли Щипанов?

Почему идеальный регулятор Г.В. Щипанова воспринимается как парадокс? Как уже отмечалось, идеальный регулятор Г.В. Щипанова был признан лженаучным, но вместе с тем конкретная ошибка не была указана. Рассуждения Г.В. Щипанова были очень просты. В простейшем случае, исключая из уравнений (1) управление и , приходим к одному уравнению вида

[ Сг (Р) Ап (Р) + Вт (Р)Од (Р)] х =

= -Сг (Р)Вт (Р)Е ,

(13)

Ц =

1 +10001 х |

из которого при Сг (р) = 0 следует, что при устойчивости полинома Вт (р)Од (р) х — 0 , и влияние возмущения Е устранено. Парадоксальность вывода в том, что при х = 0 управление отсутствует, хотя на объект действует возмущение Е . Сегодня было бы обращено внимание ещё на то, что уравнение (13) при Сг (р) — 0 сингулярно возмущённое, и устойчивости Вт (р)Од (р) недостаточно. Нужно, чтобы корни, стремящиеся к бесконечности при Сг (р) — 0, имели отрицательные действительные части, ещё лучше, действительные части их стремились бы к -х. Но сингулярно возмущённые дифференциальные уравнения были изучены значительно позже, а в то время о них ничего не знали. При Сг (р) = 0 управление исчезает, а при х = 0 и Сг (р) = 0 и - неопре-0/

деленность вида , и математическая модель

некорректна. Но в рамках формальной математики эта неопределенность может быть устранена, если принять, что

0 = Рд(Р)х

0 сг(рК0 Сг (р) '

Но это возможно только для математической модели, а не для реальной системы управления. При Сг (р) = 0 подправленная математическая модель неадекватна реальной физической, и это приводит к тому, что инвариантный регулятор нереализуем. Вместе с тем в рамках модели (1) реализуемы при ц = 0 квазиинвариантные сколь угодно точные регуляторы. Значительно позднее было обнаружено, что при некой дополнительной информации о помехе Е , уже не в рамках модели (1), можно реализовать инвариантное управление [4-6]. Таким образом, формально математически, а именно этого придерживался Г.В. Щипанов, в синтезе «идеального регулятора», ошибки нет. Ошибка в неадекватности в одной единственной точке математической модели и её естественной непосредственной физической реализации.

Конечно, Г.В. Щипанов опередил своё время, а дискуссия задержала разработку и исследование его идеи, но всё же, уже из других соображений, кое-что было реализовано в релейных системах и системах управления с большим коэффициентом обратной связи, обеспечивающей высокую статическую точность.

Особенностью квазиинвариантной системы управления является также наличие большого коэффициента усиления, поскольку малые значения ошибки управления должны привести к компенсации сравнительно большого внешнего возмущения Е . В скользящем режиме релейной системы с бесконечным усилением она нечувствительна к достаточно малым внешним возмущениям [8], а большой коэффициент обратной связи обеспечивает высокую точность стабилизации [9].

Два разных подхода к проблеме управления и возможность их синтеза в нелинейной системе

Под управлением понимается стабилизация и слежение. Первым исторически сложился подход к реализации управления на основе уменьшения его ошибки. Для регуляторов прямого действия уменьшение ошибки управления и обеспечение устойчивости были антагонистичны. В дальнейшем эта несовместимость уменьшалась введением непрямого регулирования, астатического, изодромного и, наконец, на основе теории оптимального управления. Уже отмечалось, что непосредственно оптимальное управление не могло обнаружить квазиинвари-антные управления, но это возможно при существенном изменении постановки задачи, при учёте новых факторов помех управления. Второй подход, предложенный Г.В. Щипановым,

основан на компенсации внешних возмущений. Его реализация требует больших коэффициентов усиления, что может приводить к недопустимо большим значениям управляющих воздействий. Кроме того, большой коэффициент усиления требует точности измерения х , превосходящей точность управления, малости других помех, агрегированных в возмущении ц(!), которые должны быть значительно меньше требуемой точности управления (малости | х | или | х - / | ). В рамках линейных систем управления преодолеть эти неприятности невозможно, но это возможно при нелинейной стратегии управления. Нелинейная стратегия позволяет объединить и синтезировать возможности первого подхода с возможностями второго, когда, например, и заменяют на а $а(Ъи). В простейшем варианте это объединение уже имеет разработанную математическую базу в теории абсолютной устойчивости.

Возможен и более изощрённый путь устранения «аварийной ситуации» с | и |> итах, убыстряющий её ликвидацию и возврат к режиму точного управления с | х |< в , но при Л = 0 или достаточно малом ц . Он состоит в переходе к другому управлению, осуществляемому как бы раздельно для решения однородного уравнения с Е = 0 и решения с нулевыми начальными условиями при реальном Е . Первое осуществляется классическими методами теории управления, второе - исходное квазиин-вариантное управление.

В заключение следует отметить, что сказанное о модели (1) допускает обобщение на более общий вид модели вида (1) и на модели с несколькими управляемыми переменными и несколькими управлениями. Речь идёт об обобщении условий физической реализуемости, требований устойчивости и оценки ошибок управления. Возможно и более широкое рассмотрение в плане объединения методов оптимизации по состоянию с квазиинвариантным управлением, в синтезе надлежащей нелинейной системы, что требует расширения и изменения постановки задачи управления.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ 05-01-09391.

Список литературы

1. Щипанов Г.В. // Автоматика и телемеханика. 1939. № 1.

2. Справочник по теории автоматического регулирования / Под ред. А.А. Красавского. М.: Наука, 1987.

3. Щипанов Г.В. и теория инвариантности / Составители З.М. Лезина, В.И. Лезин. - М.: Физматгиз, 2004.

4. Якубович В.А. // Докл. АН. 1995. Т. 343. № 2. С. 172-175.

5. Якубович В.А. // Докл. АН. 2001. Т. 380. № 1.

С. 77-80.

6. Якубович В.А., Проскуряков А.В. // Докл. АН. 2003. Т. 389. № 6. С. 742-746.

7. Неймарк Ю.И. // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Сер. Матем. моделир. и оптим. управление. 2006. Вып. 3 (32). С. 83-88.

8. Неймарк Ю.И. // Труды ГИФТИ и р.-ф. факультета ГГУ. Сер. физич. Учёные записки. 1956. Т. 30. С. 159-192.

9. Мееров М.В. Синтез структур систем автоматического регулирования высокой точности. М.: Физматгиз, 1959.

SYNTHESIS AND FUNCTIONAL CAPABILITIES OF QUASIINVARIANT CONTROL

Yu. I. Neimark

Problems of physical implementation, stability, and control error are considered for a simple mathematical model of a linear minimal phase system of quasi-invariant control. The problem of quasi-invariant control is solved on the basis of these considerations enabling an extended control by means of a nonlinear system that combines quasiinvariant and classical control strategies.