CC BY
14
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Научная статья УДК 533.69
doi: 10.18522/1026-2237-2023-2-38-47
О ВЛИЯНИИ ВИИГЛЕТОВ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ТОНКОГО КРЫЛА
Илья Константинович Самсонов1, Межлум Альбертович Сумбатян2^
'■2 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
1 hazar7073@sfedu.ru
2 masumbatyan@sfedu.ruS3
Аннотация. Рассматривается задача симметричного обтекания потоком воздуха тонкой пластинки с винглетами. Определяется степень влияния винглетов на подъёмную силу тонкой пластинки. Представлены данные, полученные с помощью математической модели, основанной на линеаризованной теории тонкого крыла и методе малых возмущений. В рамках этой теории задача сводится к системе двух двумерных интегральных уравнений, для решения которой применяется метод дискретных вихрей. Для сравнения также представлены данные, полученные в ходе натурного эксперимента с пластинками различных размеров с винглетами и без них. Проведено сравнение полученных результатов по аналитической теории с данными натурного эксперимента. Сделаны выводы о влиянии винглетов на подъёмную силу. Отмечается, что на малых углах атаки результаты экспериментов подтверждают теоретические выводы. Общий вывод состоит в том, что наличие винглетов рассмотренного вида увеличивает подъемную силу крыла до 10 %, что приводит к экономии топлива при их использовании.
Ключевые слова: аэродинамика, подъёмная сила, тонкая пластинка, винглеты
Для цитирования: Самсонов И.К., Сумбатян М.А. О влиянии винглетов на аэродинамические свойства тонкого крыла // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 2. С. 38^-7.
Благодарности: работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ № 19-29-06013.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
THE EFFECT OF WINGLETS ON THE AERODYNAMIC PROPERTIES OF A THIN WING
Ilya K. Samsonov1, Mezhlum A. Sumbatyan 2B
'■2 Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
1 hazar7073@sfedu.ru
2 masumbatyan@sfedu.ruS3
Abstract. The paper considers the problem of symmetrical airflow around a thin plate with winglets. There is studied the effect of the winglets on the lifting force of a thin plate. There are presented the data obtained by using a mathematical model, which is based on a linearized theory of thin wing and a method of small perturbations. In frames of this theory, the problem is reduced to a system of two dual integral equations, which is solved by a discrete vortex method. For comparison, we also present the data obtained in natural experiment with thin plates of various sizes with and without winglets. Then we perform a comparison between the analytical theory and the data of the natural experiments. Some conclusions are made about the effect of winglets on the lifting force. It is stressed that with small attack angles the experimental results confirm the theoretical conclusions. The general conclusion is that the winglets of the discussed type increase the lifting force up to 10 % that may lead to fuel economy with their usage.
© Самсонов И.К., Сумбатян M.A., 2023
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2 Keywords: aerodynamics, lifting force, thin plate, winglets
For citation: Samsonov I.K., Sumbatyan M.A. The Effect of Winglets on the Aerodynamic Properties of a Thin Wing. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(2):38-47. (In Russ.).
Acknowledgments: the work was supported by RFBR, project No. 19-29-06013.
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Одной из числа наиболее значимых характеристик летательного аппарата является подъёмная сила, на которую множество явлений и факторов влияют негативно: лобовое сопротивление, наличие вихрей вдоль крыла и на его концах, и ряд других [1-4]. Существует несколько способов увеличения подъёмной силы, в том числе и за счёт уменьшения влияния данных негативных факторов. Таким методом является уменьшение концевых вихрей. Как известно, локальная подъемная сила в точках крыла уменьшается практически до нуля при приближении к его боковым кромкам, что, в частности, описывается теорией несущей линии Прандтля [5], а также более точными теориями крыла конечного размаха. Физически уменьшение подъемной силы на концах крыла связано с перетеканием воздуха из-за более высокого давления с его нижней лицевой поверхности на верхнюю через боковые кромки. Математически это выражается в том, что основное интегральное уравнение теории тонкого крыла имеет гиперсингулярную особенность вдоль размаха крыла; при этом его ограниченное решение стремится к нулю на концах. Уменьшить эффект перетекания и улучшить лётные характеристики крыла можно с помощью винглетов (открылков), расположенных на боковых концах крыльев. Они теоретически должны препятствовать описанному перетеканию воздуха снизу вверх через боковую кромку.
Эффективность винглетов подробно исследована в [6-9]. Приложения в реальном авиастроении описаны в [10-13]. Некоторые актуальные экспериментальные и полуэмпирические исследования отражены в [14-18].
Заметим, что в перечисленных работах, где также имеется ряд других полезных литературных ссылок, как правило, применяются либо экспериментальные, либо прямые численные методы моделирования, в том числе с использованием современных вычислительных коммерческих пакетов. В то же время, как было отмечено выше, в теории тонкого крыла имеется несколько классических теорий. Одна из них - трехмерная теория тонкого крыла, основанная на методе малых возмущений, в рамках которой удается построить аналитическую теорию и свести задачу обтекания к некоторому двумерному интегральному уравнению. В монографиях [19,20] основное интегральное уравнение теории тонкого крыла выводится на основе физических принципов вихревой динамики -метод, родственный подходу Прандтля, с заменой крыла системой неизвестных вихрей и дальнейшим поиском их интенсивности, удовлетворением граничному условию непроницаемости на твердой поверхности крыла. В российской литературе такой подход получил название «метод дискретных вихрей» (метод ДВ). В зарубежной литературе за ним закрепилось название «панельный метод» [21]. Вопросам численного обоснования метода ДВ посвящены монографии [22-25]. Также было показано, что классическое интегральное представление теории потенциала приводит к тому же базовому двумерному интегральному уравнению [26].
Если тонкое слабоизогнутое крыло расположено почти параллельно горизонтальной плоскости ху под малым углом атаки к однородному равномерному набегающему потоку, направленному параллельно оси х, то в рамках теории малых возмущений основное интегральное уравнение метода ДВ имеет вид
Здесь 5" - проекция поверхности крыла на горизонтальную плоскость ху; переменные д" и с изменяются вдоль хорды крыла (параллельно набегающему потоку), у и щ - вдоль размаха крыла ортогонально к набегающему потоку. При этом функция Р(х,у) связана с формой поверхности крыла, а
Введение
х-4
О)
Ю8Ы1026-2237ВЦШ:тОРШС1ШКЕПиСЛПОМА1тТПУЛОМ8.тКТНСЛиСАЗи81{ЕСЮМ.тти1{А18С1ЕМСЕ. 2023. N0. 2
функция - с распределением локальной подъемной силы (локального аэродинамического давления) по поверхности крыла. В ядре уравнения (1) в явном виде присутствует квадратичная гиперсингулярная особенность в знаменателе в виде члена (у - //)2. Это автоматически предопределяет то, что ограниченное решение единственно и стремится к нулю на боковых кромках крыла [27]. Интегрируя вдоль размаха и учитывая значение табличного интеграла
г с!> 7 _У(х-^)2+(у-; 7)2 (2)
после сокращения на (х - очевидно появление сингулярной особенности типа Коши первого порядка в виде члена (х - в знаменателе. Таким образом, поведение ядра вдоль хорды принципиально отличается от его поведения вдоль размаха крыла. При этом решение вдоль хорды с ядром типа Коши не единственно. Для выделения единственного решения необходимо привлекать гипотезу Жуковского - Чаплыгина (Кутта - Жуковского - в зарубежной терминологии) об ограниченности решения на задней кромке крыла. В рамках этой гипотезы решение становится единственным, ограниченным на задней кромке и имеющим корневую особенность на передней кромке. Достоинство метода ДВ [22-24] состоит в том, что при численной реализации он автоматически обеспечивает выполнение гипотезы Жуковского - Чаплыгина.
Целью данной работы является распространение метода ДВ на случай тонкого крыла с двумя винглетами на его концах. При этом винглеты сами являются тонкими пластинками, расположенными вертикально, ортогонально к основному крылу.
Формулировка задачи и сведение к системе интегральных уравнений
Пусть равномерный при х—>-<х> однородный поток идеальной несжимаемой жидкости обтекает крыло с двумя винглетами (рис. 1 и 2). Основное крыло представляет собой тонкую жесткую слабоизогнутую пластинку, поверхность которой определяется уравнением г=Дх,у).
При этом скорость потока равна Ко, а угол атаки а = -д/ / ох может быть переменным как внутри каждой хорды, так и вдоль размаха. Таким образом, в общем случае основное крыло может быть закрученным. Два винглета на концах крыла являются тонкими вертикальными пластинками, жестко соединенными с основным крылом и установленными параллельно набегающему потоку. Схема обтекания показана на рис. 1, 2.
Рис. 1. Схема обтекания тонкой пластинки Рис. 2. Вид сбоку при обтекании тонкой пластинки
с винглетами / Fig. 1. Scheme of the flow past с винглетами / Fig. 2. Side view of a flow around
a thin plate with winglets a thin plate with winglets
В работе авторов [28] показано, что в рамках теории малых возмущений для тонкого крыла в общем случае задача может быть сведена к системе трех двумерных интегральных уравнений относительно трех функций: уп,(х,у),у1(х,2),у2(х,"), связанных с распределением аэродинамического давления на основной пластинке и на двух винглетах. Более точно: функция уп,(х,у) равна разности давления на нижней и верхней сторонах основного крыла, ;/](д",г) - на
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATION AL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
внешней и внутренней сторонах правого винглета при у = - Г), функция находится аналогично для левого винглета (приу = Г)..
В данной работе ограничимся случаем симметричного обтекания относительно оси Ох. В этом случае ;/2(х,г) =;/, (х, г), и система 3><3 из [28] упрощается до системы 2x2. Здесь мы приведем альтернативный вывод, приводящий даже к более простому виду, чем просто частный случай общей системы [28]. Заодно, как будет показано ниже, такой подход автоматически обспечивает устойчивость вычислений после сведения интегральных операторов к дискретному виду.
Из работы [28, формула (3.4)] после устранения описки (лишний множитель 2 в линеаризованном интеграле Бернулли (2.2)) получаем представление для потенциала возмущенной скорости потока в произвольной точке (хуг). При у2 (х, г) - у, (х, г) из этой формулы следует
s. (У'7!)
x-Ç
1
+
l-y
(l-y)2+(z-Q2
7+ ¡¡П(4,0
l + y
(l + y)2+(z-Ç)2
x-4 <h
-1
<?2
- + 1
dÇdÇ.
(3)
qi=[(x-Ç)2+(l+y)2+(z-02f/2:
д2=[(х-&2 +(1-у)2 .
Предполагается, что вдоль размаха длина крыла равна 21.
Для получения интегральных уравнений на основе формулы (3) необходимо сначала удовлетворить условию непроницания на основном крыле : д(р'/дг = У0 о/'/ ох [28, условие 3.6], что при г = 0 приводит к уравнению
Я
(y-riY
x-Ç
1
V iww
d&Tj- ff
д
l + y
+
l-y
Lw2
X- S,
\
+ 1
v Qw2 у
df
twl=(l + y)2+Ç2
dÇ ox
tw2=d-yf+C'
x-4
4wl
1
(4)
<7«
Чы ^[(х-^)2+(1 + У)2+^2]1'2, =[(х-%)2+(1-у)2+<;2]1/2. Здесь учтено, что для разностных ядер, зависящих по третьей переменной только от ,
имеет место очевидное соотношение д/дг =-д/.
По аналогии для получения второго интегрального уравнения необходимо продифференцировать соотношение (3) по переменной у, чтобы удовлетворить условию непроницания на вин-глете ^ : д(рЧду = 0 [28, условие 3.5], что приу= -I приводит к уравнению
ÔJ]
4w
х-4
1
х-£ Чп
1
'12
V
v'12
-1
х-4
412
Л 4 l2(x-Ç)
3
Ч\2
>d£flÇ — 0, (x,-l, z) g S]
1 j
(5)
hw ~(l + ri)2 +z2 ? ¿i2 = 4/2+(z-02.
Чы - [(х~<^)2 +(1 + гТ)2 + ^2]1/2 , дп = [(х-^2+412+(2-02]112.
Вспомним, что в уравнениях (4), (5) интегралы по применяются на крыле, а по ^ - на вин-глете. Следовательно, функция ук определяет основную аэродинамическую характеристику - локальную подъемную силу на крыле. Полная подъемная сила равна интегралу от функции ук по основному крылу .
Каждый из четырех интегральных операторов в системе (4), (5) имеет очевидный смысл. Так, первый интеграл в (4) определяет влияние давления в точке (<%,т}) основного крыла на значение
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
вертикальной компоненты скорости в точке (х,у) этого же крыла. Фактически этот интегральный оператор повторяет оператор (1) классической теории тонкой несущей поверхности. Второй интеграл в (4) определяет влияние давления в точках винглетов на значение вертикальной компоненты скорости в точке (х,у) основного крыла. Этот интегральный оператор, в отличие от предыдущего, не имеет «подвижных» особенностей в своем ядре, т.е. особенностей при {£, - х) —» 0 . Однако он имеет «неподвижную» особенность на ребрах соединения винглетов с основным крылом. В самом деле, при одновременном выходе точек на основном крыле и на винглете к ребру, т.е. при С, -> 0 и у —> -I, член (/ + у) / rui в уравнении (4) имеет особенность. Аналогичная неподвижная особенность имеет место в уравнении (4) и при приближении ко второму ребру, при С, 0 и у —> I. Первый интеграл в (5) определяет влияние давления в точке (£, //) основного крыла на значение горизонтальной поперечной компоненты скорости в точке (х, z) винглета; его ядро также имеет неподвижную особенность при приближении к ребру. Наконец, второй интеграл в (4) определяет влияние давления в точках С) винглетов на значение горизонтальной поперечной компоненты скорости в точке (x,z) винглета. Первая часть этого интегрального оператора соответствует взаимному влиянию точек внутри одного винглета и соответствует оператору (1) классической теории крыла, а вторая часть этого оператора определяет влияние одного винглета на другой и имеет регулярное ядро.
Дискретизация двумерных интегралов в полученной системе осуществляется в соответствии с методом ДВ [22-24]. Ограничимся случаем, когда основное крыло имеет прямоугольную форму в плане и оба винглета также являются прямоугольными. При этом вдоль размаха длина крыла равна 21, хорда крыла - 2а, высота каждого винглета - с.
При дискретизации интеграл с регулярным ядром (третья строка в уравнении (5)) можно трактовать любым известным способом, основанным на квадратурных формулах для непрерывных функций. Особое внимание следует уделить первому интегралу в (4) и нерегулярной части второго интеграла в (5).
При интегрировании в поперечном направлении, ортогональном направлению потока (соответственно, по переменной г/ в (4) и по переменной С, в (5)), метод ДВ фактически означает, что интегрирование вдоль каждого малого отрезка (_у7 - к !2,у 1- /2) по переменной // (или вдоль (гк -И. / 2,2к +1-1-/2) по переменной С, ) при вычислении гиперсингулярного интеграла осуществляется так, как если бы подынтегральное выражение было непрерывным [22-24, 27]. При этом автоматически обеспечивается ограниченность решения; более того, оно автоматически стремится к нулю на концах интервала. Здесь А„ и - шаги сетки по переменным у и г. При этом узлы сеток
по внутренней переменной (переменная интегрирования) и по внешней переменной можно взять совпадающими: 77= -/ + (/-1/2)/г., (;=1 ку = 21Шу, ¿¡к = гк = (к- 1/2)/гг, (к-
— с!Иг. Значение первообразной при интегрировании по переменной 77 приведено в формуле (2). Аналогичный вид имеет первообразная при интегрировании гиперсингулярного ядра по переменной С> . Более детально этот вопрос изложен в [26]. После этого поведение ядра по переменным
их, т.е. вдоль хорды, становится сингулярным типа Коши.
Для корректной дискретизации вдоль хорды в рамках метода ДВ необходимо выбрать две разные системы узлов для внутренней и внешней переменных: — -а + ткх, х„--а + (п-1/2 )1гх, (т -1 ,...,Их,п - \,...,ИХ +1) , 1гх= 2 а/(Их +1) . Первая из них соответствует целым, а вторая - полуцелым узлам внутри отрезка (-а,а) при его разбиении на (Л'А. +1) малых интервалов. При этом корректная замена интеграла типа Коши конечной суммой внешне выглядит как квадратурная формула прямоугольников для непрерывных функций [22]:
Дискретная форма уравнений
(6)
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. №2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Основная сложность при этом состоит в том, что внутренних узлов ¿гш здесь на единицу меньше, чем внешних хп. При подстановке дискретного приближения (6) для сингулярных интегралов типа Коши в систему интегральных уравнений (4), (5) будет получаться система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которой число неизвестных меньше, чем число уравнений. Основной фундаментальный результат метода ДВ [22] состоит в том, что для удовлетворения условию Кутта - Жуковского об ограниченности решения на задней кромке крыла необходимо из двух крайних внешних узлов х1 и хн +1 оставить ближайший к кромке, которая
при обтекании крыла является задней по отношению к набегающему потоку. При выборе системы координат, изображенной на рис. 1 и 2, очевидно, что задней кромкой является точка х = а. Следовательно, узел х1 следует выбросить, а узел хн +1 нужно оставить. Таким образом,
формулы типа (6) следует трактовать со следующим диапазоном изменения индекса и: п = 2,...,ИХ +1. В итоге число узлов по внутренним и внешним переменным становится одинаковым, равным Nх . Такова схема дискретизации для ядер, имеющих подвижные особенности, т.е. для первого интеграла в (4) и сингулярной части второго интеграла в (5).
В отличие от этого примененное выше специальное представление для ядер с неподвижной особенностью позволяет осуществить дискретизацию непосредственно. Например, во втором интеграле уравнения (4) при интегрировании по С, вдоль малого элементарного интервала (гк - И, / 2, Г/. + И, / 2) после вынесения неизвестной функции за знак интеграла интегрирование оставшегося ядра легко осуществляется в явном виде. Аналогичное интегрирование имеет место в первом интеграле уравнения (5) по переменной щ. В итоге из системы интегральных уравнений (4), (5) после дискретизации получаем следующую СЛАУ:
к
», Ny
К 11 11
m = 17=1
Yw (4m ' y,)
y-i -n
WW
4 n,m,i
n — ^n
■ + 1
y ■ + — j 2
Л = Уу
y ~2
N
Nz
m = \k = 1
1 + У1
, wl
■^n brr. QWl ■
+ i
+
i-yi
, w 2
Sn
QW2 ■
+ i
h
I—-2
(7)
= 4лрУ2Щ^-, (n = 2,...,Nx + l, i = l,...,Ny),
ôx
WW
in,m,i
= [(*„ -u2+ Си,- -riff2, tf = (/ + ^ Y + ^
wl ln,m,i
= [(xn-Çm)2+(l + yi)2+Ç2]1'2
,w2 /1 \2 ,
w2 in,m,i
= [(xn-Çm)2+0-yi)2+Ç2f2,
N_x Ny
A IIl&Jj)!;
m=17=1 ¿и
' m
Jw
+ 1
^ 4n,m,u
y.f+-
K
К m—lk—1 Zu - С
Ч=УГ у
и
Чп,т,и
К
I—-2
A. 12
lu,k
8r
12
lu,k
-1
пП
4n,m,u ,k
^ (xn 4 )
(a12 ï
= 0, (n = 2,...,Nx+l, u-l,...,Nz),
(8)
4n,m,u = [(*„ " Çm Y + (Zu - О2]1'2 , ¿и" =(l + if + ¿I,
JW =[(Xn-U2+d + 1l)2+Z2uf2,
ln,m,u
tl2k=4l2+(zu-zkf,
i2
k=[(xn-Çmf+4l2+(zu-zkf]l/2.
Полученная в результате описанной выше дискретизации СЛАУ (7), (8) решалась в среде С++ с применением стандартного итерационного метода Пейджа - Сондерса Ь8СЖ, эфффективного для систем большой размерности [29].
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Результаты расчетов и сравнение с экспериментальными данными
Для сравнения с теоретическими результатами были проведены натурные эксперименты по обдуву в аэродинамической трубе пластинок без винглетов и с винглетами. Образец без винглетов представляет собой дюралюминиевую пластинку толщиной 2 мм, габаритами 20x5 см в плане. При этом пластинка с винглетами имеет тот же размер в плане, с жестко прикрепленными по краям двумя вертикальными винглетами одинаковой высоты (1 см). Обдув осуществлялся в аэродинамической трубе замкнутого типа компании «Денар» (г. Ярославль) с рабочей частью 30x30 см в поперечнике и длиной 60 см. Скорость набегающего потока 11 м/с. Подъёмная сила Р измерялась при помощи аэродинамических весов, скорость набегающего потока - трубок Пито - Прандтля. Угол атаки a = -df / дх выбран постоянным как вдоль размаха, так и вдоль хорды в каждом сечении. Таким образом, пластинка выполнена незакрученной. В эксперименте угол атаки а изменялся от 2 до 14° с шагом 2°. Полученные данные выводились на компьютер через специализированное программное обеспечение. Сравнение расчетных результатов по предложенной здесь линейной теории малых возмущений и экспериментальными данными представлено в таблице, а в графическом виде - на рис. 3. Заметим, что при дискретизации выбиралось Nv = 120, N. =15, Nx = 30 , так что
полный размер дискретной сетки равен (А'',. + N.)NX = 4050 . При этом результаты практически не
отличаются от сетки со значениями N = 100, N. =10, Nx = 20 .
Рис. 3. Подъёмная сила пластинки 20x5 см без винглетов и с винглетами в зависимости от угла атаки / Fig. 3. The lifting force of the plate 20x5 cm without winglets and with winglets depending on the angle of attack
Экспериментальные данные по подъёмной силе Р, мН, для пластинки размером 20^5 см и высотой винглета 1 см / Experimental data on the lifting force P, mN, for a plate 20x5 cm
in size and a winglet height of 1 cm
Эксперимент Теория
Без винглетов С винглетами Без винглетов С винглетами
2 88 90 92 97
4 175 185 183 193
6 262 269 275 291
8 340 355 366 388
10 392 419 458 485
12 423 434 550 582
14 439 448 641 679
Из приведенных данных видно, что пластинка с винглетами имеет выигрыш в подъёмной силе до 10 %, причем как в теории, так и в эсперименте.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. №2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
Заключение
По результатам проведенного выше исследования можно сделать следующие выводы:
1. В данной работе классическая теория малых возмущений для тонкого слабоизогнутого крыла в идеальной жидкости обобщена на случай тонкого крыла с вертикальными винглетами при симметричном обтекании набегающим потоком. Сравнение линейной теории с результатами натурных экспериментов показывает хорошую точность теоретических расчетов на малых углах атаки - примерно до 8°.
2. Обычно при плавном ламинарном обтекании хорошо обтекаемых профилей точность линейной теории в сравнении с экспериментом бывает высокой до больших углов - порядка 1618°. В проведенных нами экспериментах существенное отклонение экспериментальных кривых от теоретических при а > 8° объясняется нарушением условий плавного обтекания в аэродинамической трубе, которое связано с конечной толщиной пластинки (2 мм) в эксперименте; в теории толщина пластинки принимается нулевой.
3. Как отмечено выше, двумерные интегральные уравнения (4), (5) стандартного метода ДВ в случае винглетов, ортогональных к основному крылу, имеют неподвижную особенность на изломах, что затрудняет численный анализ. Дискретизация в окрестности изломов по той же схеме, что и в остальной области на крыле и на винглетах, приводит алгоритм ДВ к неустойчивости счета. Однако специальный подход авторов, с представлением ядра второго оператора в (4) и первого в (5) в виде производных от функций с более регулярным поведением, даёт устойчивый алгоритм.
4. Общий вывод состоит в том, что наличие винглетов рассмотренного вида действительно увеличивает подъемную силу крыла до 10 %, что приведет к экономии топлива при их использовании. При этом авторы ожидали здесь большего количественного выигрыша, чем было в действительности получено в расчетах и в эксперименте. Тем не менее при эксплуатации серийно выпускаемых гражданских самолетов считается, что если некоторый вид винглетов снижает потребление топлива не менее чем на 5 %, то их следует применять на практике.
Список источников
1. Jiang Y., Wang W., Qin Ch., Okolo P.N., Tang K. Investigation of the normal blowing approach to controlling wingtip vortex using LES // International J. of Aerospace Engineering. 2021. Article ID 6688569.
2. Samal S.K., Dash P.K. Reduction of wingtip vortex from suction at wingtip // Mechanical Engineering Research. 2013. Vol. 3, № 1. P. 152-162.
3. Xiang Y., Cheng Z.-P., Wu Y.-M., Liu //., Wang F. Scaling analysis on the dynamic and instability characteristics of isolated wingtip vortex // AIAA J. 2021. Vol. 59, № 12.
4. GursulL, Wang Zh. Flow control of tip/edge vortices // AIAA J. 2018. Vol. 56, № 5.
5. Лойцянский JI.F. Механика жидкости и газа. 4-е изд. М.: Наука, 1973. 848 с.
6. Parcher Sh., Pavek J., Jodeh N.M., Osteroos R. Range performance flight test of small UAS with winglets // AIAA Aviation 2022 Forum, https://doi.Org/10.2514/6.2022-3213.
7. Alkhafaji A.J., Panatov G.S., Boldyrev A.S. Numerical analysis and optimization of a winglet sweep angle and winglet tip chord for improvement of aircraft flight performance // Diagnostyka. 2022. Vol. 23, № 2. Article ID 2022210.
8. Devenport W.J., Rife M.C., Liapis S.I., Gollin G.J. The structure and development of a wing-tip vortex // J. of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 312. P. 67-106.
9. Gehlert P., Sabnis K., Babinsky H. Effect of winglet serration geometry on the wingtip vortex // AIAA SCITECH. 2022. Forum, https://doi.Org/10.2514/6.2022-1961.
10. Allen A., Breitsamter C. Transport aircraft wake influenced by a large winglet and winglet flaps // J. of Aircraft. 2008. Vol. 45, № 2. P. 686-699.
11. Ning A.S. Kroo I. Multidisciplinary considerations in the design of wings and wing tip devices // J. of Aircraft. 2010. Vol. 47, № 2. P. 534-543.
12. Takenaka K., Hatanaka K. Multidisciplinary design exploration for a winglet // J. of Aircraft. 2008. Vol. 45, №5. P. 1601-1611.
13. Шевяков В.И. Способы совершенствования воздушных судов в целях сохранения конкурентоспособности на перспективу // Науч. вестн. МГТУ ГА. 2015. № 212. С. 66-73.
14. Чичеров Н.А. Экспериментальные исследования распределения давления на крыле с концевыми шайбами при околозвуковых скоростях // Уч. зап. ЦАГИ. 1986. № 3. С. 90-94.
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. №2
ISSN 1026-2237 В ULLETIN OF HIGHER ED UCA TIONAL INSTITUTIONS. NORTH С A JJCASUS REGION. NA TURAL SCIENCE. 2023. No. 2
15. Занин Б.Ю., Зверков ИД. Влияние концевых шайб на топологию срывного течения на прямом крыле // Аэромеханика и газовая динамика. 2002. № 3. С. 1-5.
16. Москаленко В. О., Цой А.И., Недогарок А.А. Исследование аэродинамических характеристик крыла с законцовками различной формы // Инженерный журнал: наука и инновации. 2019. № 10. С. 1-12.
П.Галемин Е.К., Агеева Е.В. Метод учета влияния концевых шайб на обтекание крыла с изменяющимися по размаху профилями // Изв. Юго-Западного гос. ун-та. 2020. Т. 24, № 2. С. 49-59.
1 Пастухов А.И., Галемин Е.К., Денисов В.А. К расчету аэрогидродинамических характеристик крыльев с концевыми шайбами в несжимаемом потоке // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 2004. № 1. С. 20-31.
19. Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. 243 с.
20. Белоцерковский С.М., Ништ М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. М.: Наука, 1978. 351 с.
21. Katz J., Plotkin A. Low-speed Aerodynamics. From Wing Theory to Panel Methods. N.Y.: McGraw-Hill, 1991. 632 p.
22. Белоцерковский C.M., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. М.: Наука, 1985. 254 с.
23. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн. М.: Янус, 1995. 520 с.
24.Вайникко Г.М., Лифанов И.К, Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных уравнениях и их приложения. М.: Янус-К, 2001. 508 с.
25. Iovane G., Sumbatyan М.А., Lifanov I.K. On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics // Acta Mechanica. 2003. Vol. 162, № 1. P. 99-110.
26. Sumbatyan M.A., Bondarchuk A.A., Mescheryakov K.I. An efficient numerical algorithm in the classical 3D theory of thin lifting surface in a flow of non-viscous incompressible fluid // Mechanics Research Communications. 2018. Vol. 89. P. 18-22.
27. Сумбатян M.A., Скалия А. Основы теории дифракции с приложениями в механике и акустике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 327 с.
28. Sumbatyan М.А., Samsonov I.K. On the theory of thin lifting surface with winglets // Mechanics Research Communications. 2020. Vol. 109. Article ID 103519.
29.Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares // ACM Trans. Math. Software. 1982. Vol. 8, № 1. P. 43-71.
References
1. Jiang Y., Wang W., Qin Ch., Okolo P.N., Tang K. Investigation of the normal blowing approach to controlling wingtip vortex using LES. International J. of Aerospace Engineering. 2021:6688569.
2. Samal S.K., Dash P.K. Reduction of wingtip vortex from suction at wingtip. Mechanical Engineering Research. 2013;3( I): 152-I62.
3. Xiang Y., Cheng Z.-P., Wu Y.-M., Liu H., Wang F. Scaling analysis on the dynamic and instability characteristics of isolated wingtip vortex. AIAA J. 2021;59(12).
4. Gursul I., Wang Zh. Flow control of tip/edge vortices. AIAA J. 2018;56(5).
5. Loitsyansky L.G. Mechanics of liquid and gas. 4th ed. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 848 p. (In Russ.).
6. Parcher Sh., Pavek J., Jodeh N.M., Osteroos R. Range performance flight test of small UAS with winglets. AIAA Aviation 2022 Forum, https://doi.Org/10.2514/6.2022-3213.
7. Alkhafaji A.J., Panatov G.S., Boldyrev A.S. Numerical analysis and optimization of a winglet sweep angle and winglet tip chord for improvement of aircraft flight performance. Diagnostyka. 2022;23(2):2022210.
8. Devenport W.J., Rife M.C., Liapis S.I., Gollin G.J. The structure and development of a wing-tip vortex. Journal of Fluid Mechanics. 1996;312:67-106.
9. Gehlert P., Sabnis K., Babinsky H. Effect of winglet serration geometry on the wingtip vortex. AIAA SCITECH2022 Forum, https://doi.Org/10.2514/6.2022-1961.
10. Allen A., Breitsamter C. Transport aircraft wake influenced by a large winglet and winglet flaps. Journal of Aircraft. 2008;45(2):686-699.
11. Ning A.S. Kroo I. Multidisciplinary considerations in the design of wings and wing tip devices. Journal of Aircraft. 2010;47(2):534-543.
12. Takenaka K., Hatanaka K. Multidisciplinary design exploration for a winglet. Journal of Aircraft. 2008;45(5): 1601-1611.
13. Shevyakov V.I. Ways to improve aircraft in order to remain competitive in the future. Nauch. vestn. MGTU GA — Civil Aviation High Technologies. 2015;(212):66-73. (In Russ.).
14. Chicherov N.A. Experimental distribution on a wing with end plates at transonic speeds. Uch. zap. TsAGI = TsAGI Science Journal. 1986;(3):90-94. (In Russ.).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
15. Zanin B.Y., Zverkov I.D. Influence of end plates on the topology of the stall flow on a straight wing. Aeromekhanika igazovaya dinamika = Aeromechanics and Gas Dynamics. 2002;(3):l-5. (In Russ.).
16. Moskalenko V.O., Tsoi A.I., Nedogarok A. A. The study of aerodynamic characteristics of a wing with tips of various shapes. Inzhenernyi zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering Journal: Science and Innovation. 2019;(10):1-12. (In Russ.).
17. Galemin E.K., Agheeva E.V. A method for taking into account the influence of end plates on the flow around a wing with spanwise varying airfoils. Izv. Yugo-Zapadnogo gos. un-ta = Proceedings of Southwest State University. 2020;24(2):49-59. (In Russ.).
18. Pastukhov A.I., Galemin E.K., Denisov V A. On calculation of aerohydrodynamic characteristics of wings with end washers in an incompressibe slow. Vestn. MGTU im. N.E. Baumana. Mashinostroenie = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Series Mechanical Engineering. 2004;(1):20-31. (In Russ.).
19. Belotserkovsky S.M. Thin lifting surface in a transonic flow of gas. Moscow: Nauka Publ.; 1965. 243 p. (In Russ.).
20. Belotserkovsky S.M., Nisht M.I. Separated and non-deparatedflow around thin wings by the non-viscousl fluids. Moscow: Nauka Publ.; 1978. 351 p. (In Russ.).
21. Katz J., Plotkin A. Low-speed Aerodynamics. From Wing Theory to Panel Methods. New York: McGraw-Hill Publ.; 1991. 632 p.
22. Belotserkovsky S.M., Lifanov I.K. Numerical methods in singular integral equations and their application in aerodynamics, elasticity theory, electrodynamics. Moscow: Nauka Publ.; 1985. 254 p. (In Russ.).
23. Lifanov I.K. Method of singular intergral equations and numerical experiment in mathematical physics, aerodynamics, theory of elasticity and wave diffraction. Moscow: Yanus Publ.; 1995. 520 p. (In Russ.).
24. Vainikko G.M., Lifanov I.K., Poltavsky L.N. Numerical methods in hypersingular equations and their applications. Moscow: Yanus-K Publ.; 2001. 508 p. (In Russ.).
25. Iovane G., Sumbatyan M .A., Lifanov I.K. On direct numerical treatment of hypersingular integral equations arising in mechanics and acoustics. Acta Mechanica. 2003; 162(1):99-110.
26. Sumbatyan M.A., Bondarchuk A.A., Mescheryakov K.I. An efficient numerical algorithm in the classical 3D theory of thin lifting surface in a flow of non-viscous incompressible fluid. Mechanics Research Communications. 2018;89:18-22.
27. Sumbatyan M.A., Scalia A. Fundamentals of diffraction theory with applications in mechanics and acoustics. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2013. 327 p. (In Russ.).
28. Sumbatyan M .A., Samsonov I.K. On the theory of thin lifting surface with winglets. Mechanics Research Communications. 2020;109:103519.
29. Paige C.C., Saunders M.A. LSQR: An algorithm for sparse linear equations and sparse least squares. ACM Trans. Math. Software. 1982;8(1):43-71.
Информация об авторах
И.К. Самсонов - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
М.А. Сумбатян - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the authors
IK. Samsonov - Postgraduate Student, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vo-rovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences.
M.A. Sumbatyan - Doctor of Science (Physics and Matematics), Professor, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science.
Статья поступила в редакцию 13.02.2023; одобрена после рецензирования 28.02.2023; принята к публикации 19.05.2023. The article was submitted 13.02.2023; approved after reviewing 28.02.2022; accepted for publication 19.05.2023.
