CC BY
63
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
УДК 533.6: 534.2 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-21-28
ИДЕНТИФИКАЦИЯ РЕЖИМА РАБОТЫ ПРОПЕЛЛЕРА БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА ПО АКУСТИЧЕСКОМУ СИГНАЛУ*
© 2020 г. А.А. Бондарчук1, Е.А. Казаков1, М.А. Сумбатян1
'Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
IDENTIFICATION OF THE OPERATION MODE OF THE UNMANNED AIRCRAFT PROPELLER BY ACOUSTIC SIGNAL
A.A. Bondarchuk1, E.A. Kazakov1, M.A. Sumbatyan1
'Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
Бондарчук Алексей Алексеевич - кандидат физико-математических наук, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: aabondarchuk@sfedu.ru
Казаков Евгений Алексеевич - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: Eugene.A.Kazako V@yandex. ru
Сумбатян Межлум Альбертович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия, e-mail: sumbat@math.sfedu.ru
Alexey A. Bondarchuk - Candidate of Physics and Mathematics, Department of Theoretical and Computational Hy-droaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: aabondarchuk@sfedu. ru
Eugene A. Kazakov - Postgraduate, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: Eugene.A.KazakoV@yandex.ru
Mezhlum A. Sumbatyan - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Theoretical and Computational Hydroaerodynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: sumbat@math.sfedu.ru
Рассматривается частный случай идентификации режима работы двигателя беспилотного летательного аппарата (БПЛА) по акустическому сигналу при условии использования известного типа воздушных винтов, выделение из сигнала основной частоты и численный эксперимент. Поставлен натурный эксперимент с записью акустического сигнала реального квадрокоптера. Проведён анализ сигнала методом частотных фильтров и преобразования Фурье. Поставлен численный эксперимент над отсканированной моделью воздушного винта БПЛА, вращающегося на частоте, полученной из акустического сигнала. В эксперименте задействован гибридный метод конечных объёмов на сетке метода конечных элементов среды моделирования ANSYS CFX. Выявлены соответствие требуемой подъёмной силы с допустимой погрешностью и, как следствие, возможность идентифицировать режим работы двигателя по акустическому сигналу. Проведено сравнение натурных замеров акустического сигнала со значениями, восстановленными из численного эксперимента. Получено значительное количество данных, пригодных для использования в обратной задаче и полуаналитических методах.
Ключевые слова: аэродинамика, аэроакустика, летательный аппарат, метод конечных объёмов.
The paper deals with a special case of identifying the operation mode of an unmanned aircraft (UAV) engine by an acoustic signal (provided that a known type of propellers is used), the main frequency extraction from the signal, and a numerical experiment. A full-scale experiment was performed with the recording of the acoustic signal of a real quadrocopter. The signal is analyzed by the method offrequency filters and Fourier transform. A numerical experiment was performed on a scanned model of a UAV propeller, rotating at a frequency obtained from an acoustic signal. The experiment involved a hybrid finite-volume method on the mesh of the finite element method of the ANSYS CFX simulation environment. The correspondence of the required lifting force with the permissible error is revealed, and as a result, the ability to identify the engine operating mode by an acoustic sig-
*
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект № 19-29-06013/19.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
nal is shown. The field measurements of the acoustic signal are compared with the values recovered from a numerical experiment. A significant amount of data has been obtained suitable for use in the inverse problem and semi-analytic methods.
Keywords: aerodynamics, aeroacoustics, aircraft, the finite volume method.
Введение
В условиях роста численности служебных и личных беспилотных летательных аппаратов (БПЛА) логичным шагом становится разработка системы контроля и регулирования движения дро-нов. Фундаментальная часть такой системы - идентификация БПЛА, в том числе при отсутствии визуального контакта. Неотъемлемая часть работы винтокрылого транспортного средства - уплотнение воздуха, вызываемое как вращением винтов, так и непосредственно шумом работы двигателя. Такой сигнал является одной из возможностей надёжно отследить БПЛА в пространстве и дать сведения о режиме силовой установки. Вплоть до момента массового внедрения принципиально новых типов движителей идентификация по акустическому сигналу будет являться надёжным и перспективным элементом системы контроля БПЛА.
Постановка задачи
По звуку и аэродинамическим возмущениям, зная тип пропеллера, определить режим работы движителя и возможный груз (штатная камера, облегчённый вариант, полезная нагрузка). Зарегистрировав акустический сигнал, выявить основную частоту, численно проверить величину подъёмной силы. Провести математическое и численное моделирование на основе уравнений неразрывности, Навье - Стокса и баланса энергии, а также уравнения состояния идеального газа:
%+Pv-v = o , а)
pf = pF-Vp + V(AV^V) + 2V^E) , (2)
rlF
p^ = -pV-V + A(V-V)2 + 2fiE-E +
+V • (ШТ) + pq ,
p = RТ p . (4)
Здесь p - плотность газа; T - температура; p -давление; E - внутренняя энергия; V - вектор скорости частиц газа; г - тензор скоростей деформаций; F - вектор массовых сил; л - коэффициент динамической вязкости; X - коэффициент объемной вязкости; k - коэффициент теплопроводности; q - приток тепла к частицам газа за счет излучения; R - универсальная газовая постоянная.
Методы исследования
1. Натурный эксперимент. При проведении эксперимента использовался квадрокоптер DJI Mavic Air - представитель среднего класса винто-
крылых дронов. На данный момент он превосходит размерами и весом большую часть находящихся в обращении БПЛА, менее технически совершенных и грузоподъёмных. Тем не менее уже существуют более тяжёлые аппараты, в том числе оснащённые большим числом двигательных установок. В будущем доля таких дронов будет только расти. Соответственно, для эксперимента было решено остановить выбор на среднеразмерной модели.
Непосредственно эксперимент заключался в измерении и записи шумомерами акустического сигнала квадрокоптера в режиме вертикального взлёта и неподвижного зависания с последующим приземлением. Внешние факторы в виде потоков воздуха и фоновых шумов были сведены к минимуму.
2. Сканирование. Ключевой элемент квадрокоп-тера в вопросе возмущения окружающей среды -несущий винт. Модель пропеллера, необходимая для последующего вычислительного эксперимента, была создана на основе реального воздушного винта из комплектации DJI Mavic Air при помощи промышленного сканера ATOS. Устройство сканера представляет собой блок из сенсора и двух камер, ведущих одновременную запись, а также рабочую площадку, оснащённую опорными точками.
Принцип сканирования основывается на освещении исследуемого объекта интерференционными полосами с одновременной записью двумя камерами, благодаря чему достигается фазовый сдвиг, основанный на синусоидальном распределении интенсивности на чипах камер. В результате для каждого измерения создаётся переопределённая система уравнений. Независимые трёхмерные координаты вычисляются для каждого пикселя камер.
3. Гибридный метод конечных объёмов на сетке метода конечных элементов. Основополагающий метод среды моделирования ANSYS CFX [1] предполагает разделение исследуемой среды на отдельные элементы варьируемого размера с последующим вычислением физических величин. В рамках данной работы использовалась разбивка на тетра-эдрические элементы, призматические слои не использовались. Метод позволяет изменять густоту узлов сетки в областях, представляющих исследовательский интерес, - на участках модели сложной формы с малым радиусом кривизны (вблизи передних и задних кромок лопастей) и конкретных областях пространства, в которых планируется наличие детекторов. Обратный приём укрупнения элементов в зонах, незначительных для текущего исследования, применялся для снижения нагрузки на вычислительные мощности.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
В процессе расчёта ANSYS CFX моделирует среду с учётом вязкости. Для скоростей в потоке менее 100 м/с (что соответствует современным БПЛА среднего класса с характерным размером лопасти до 10 см) рассмотрение упрощается до представления среды в виде жидкости (1)-(3). Для более крупных и быстрых дронов необходимо также учитывать сжимаемость среды (4). В таких случаях идентификация сталкивается с условиями значительных угловых скоростей применительно к лопастям движителей и условно-неизвестной осевой компоненте скорости, подобно ситуации, рассмотренной в [2]. В данной работе используются представленная в ANSYS CFX модель турбулентности Shear Stress Transport (SST) и нестационарная система уравнений Навье - Стокса, включающая в себя уравнения неразрывности, моментов, баланса полной либо тепловой энергии и уравнение состояния идеального газа. Для ускорения масштабных расчётов также применимы встроенные методы акустического постпроцессинга ANSYS Fluent [3].
4. Анализ сигнала авторским кодом через преобразование Фурье. В данной статье исходный сигнал представляет собой амплитудно-временную характеристику на интервале времени, равном сроку натурного замера. Известно, что данная амплитудно-временная характеристика не является информативной, так как, согласно российским ГОСТам и международным стандартам, необходимо определять частотные составляющие уровня шума по давлению в дБ по октавным или третьоктавным частотным полосам. Один из методов построения таких частотных характеристик заключается в применении преобразования Фурье к вырезанной из полного спектрального состава акустического сигнала частотной полосы.
9(t)=±-J^G(f)e~ - t <Ш =
„— iTlift^jr _sin(2nf2t)—Sт(2пД£)
=f,
1,2 см; содержит в себе воздушный винт и способен вращаться с заданной частотой. Внешний субдомен каплевидной формы с характерным размером 40 см служит для установки точек-детекторов: две из них находятся в плоскости вращения пропеллера на дистанции 12 (Monitor Point X12) и 25 см (Monitor Point X25) от оси вращения. Ещё одна (Monitor Point Zmin 015) - на ней, непосредственно под пропеллером, как показано на рис. 1.
■71<1/К/2 т
где g(t) - пробная функция, преобразование Фурье которой G(f)=0 для всех/вне интервала /1/2), а на данном интервале G(/)=1. Согласно теореме о свёртке, отфильтрованный на данном частотном интервале сигнал имеет вид
(А * д)( С) = А(т)д(t - т)с1т.
Результаты
Произведены замеры акустического сигнала реального БПЛА. Данные проанализированы для выявления распределения сигнала по частотным полосам и основной частоте, соотносящейся с оборотами пропеллера и режимом работы двигателя.
Численный эксперимент производился с применением метода разделения исследуемого объёма воздуха на субдомены. Меньший из них имеет цилиндрическую форму радиусом 7 см и высотой
Рис. 1. Общая схема расположения детекторов в моделируемом объёме: 1 - Monitor Point X12; 2 - Monitor Point X25; 3 - Monitor Point Zmin 015 / Fig. 1. The general arrangement of the detectors in the simulated volume: 1 - Monitor Point X12;
2 - Monitor Point X25; 3 - Monitor Point Zmin 015
Расчёт проходил в четыре этапа (различающихся частотой оборотов меньшего субдомена), имитирующих практическое применение воздушного винта. Стартовая частота 150 Гц - включение и прогрев двигателя, 300 Гц - взлёт, 195-200 Гц -неподвижное зависание.
Спектр сигнала. Данные, представленные на рис. 2, позволяют выделить основную частоту порядка 375-400 Гц. С учётом конфигурации пропеллеров (в эксперименте используются двухлопастные) получаем 200 об/с, используемых в расчёте в качестве частоты вращения пропеллера.
Подъёмная сила. Согласно исследованию, в основном режиме неподвижного зависания воздушный винт действительно совершает 12 000 об/мин. В случае приёма сигнала с большей или меньшей основной частотой можно сделать вывод о том, что в данный момент наблюдаемый дрон набирает высоту либо снижается.
Рисунок 3 иллюстрирует общую картину вычислительного эксперимента: стартовая частота 150 об/с моделирует запуск и прогрев двигателя, значительный скачок подъёмной силы при 300 об/с - взлёт, затем уменьшение оборотов до 195 и 200 Гц - непо-
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
движное зависание и стабилизация. Зная исходную массу квадрокоптера (430 г), можно рассчитать подъёмную силу, которую необходимо развивать одному отдельно взятому воздушному винту для компенсации веса дрона, что соответствует исследуемому режиму неподвижного зависания на заданной высоте. Сила вычисляется по формуле ^ = где m - масса дрона; п - число несущих винтов (в нашем случае Fi= 1,0535 Н). Как видно из рис. 4, величина подъёмной силы, полученной в ходе численного эксперимента, осциллирует вблизи данного значения. Для повышения точности результата требуется учесть следующие дополнительные факторы:
- общую конфигурацию всех пропеллеров (число и взаимное расположение винтов может влиять
а
Па
0,010
0,008
0,006
0,004
0,002
100
200
300
400
на воздушные потоки, создавая своеобразную интерференцию);
- аэродинамический вклад корпуса дрона. Сам по себе он способен влиять на подъёмную силу за счёт форм потоков, прилегающих к корпусу, а также определяет схему расположения пропеллеров, задавая плоскость (а иногда - ось) симметрии;
- форму и размеры внешнего субдомена: несмотря на условие проницаемости его стенок, маленький объём исследуемой среды негативно влияет на точность вычислений, а большой - на запрашиваемые вычислительные мощности;
- параметры сетки, обеспечивающие как точность воссоздания формы реального винта, так и ресурсоёмкость и скорость расчёта.
°o
о
»
s ° &
о
-SfeO V
о
О S
о f|oo
Рис. 2. Фурье-анализ сигнала, позволяющий выявить пик зависимости давления от частоты, соответствующей скорости вращения воздушного винта / Fig. 2. Fourier analysis of the signal allows one to identify the peak of pressure-frequency
dependence corresponding to the speed of propeller's rotation
Рис. 3. Амплитудно-временная характеристика подъёмной силы / Fig. 3. The amplitude-time characteristic of the lift force
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Давление. Картина давлений (рис. 5, 6) соответствует ожиданиям. Прямая задача - получение из акустического сигнала основной частоты и, как следствие, режима оборотов двигателя - выполняется успешно. Принципиальная возможность обратной задачи - воссоздания сигнала по данным расчёта - также существует. Однако в области высоких частот различия воспроизведённой картины с наблюдаемой весьма значительны. Причиной этого могут служить как ограничения самого метода, так и отсутствие в численном эксперименте
акустического фона от шума двигателя, интерференционной картины и недостаточность параметров сетки (характерный размер элемента - 1 мм в значимых областях и до 4 см на периферии) и шага по времени (0,0001 с).
Сильное различие между расчетными и экспериментальными значениями в таблице говорит о том, что очень сложно осуществлять адекватный расчет акустических характеристик на основе аэродинамического давления.
Рис. 4. Подъёмная сила на этапе установившегося режима зависания в воздухе / Fig. 4. Lift force during the steady mode of hovering in the air
Рис. 5. Полная картина возмущений давления в точках-детекторах. Показатели в Monitor Point X12 положительны и стабильны; в Monitor Point X25 - в среднем выше и заметно осциллируют; в Monitor Point Zmin 015 - отрицательны / Fig. 5. A comprehensive view of pressure disturbances at detector points. The values in Monitor Point X12 is positive and stable; in Monitor Point X25, on average, it is higher and noticeably oscillates; in Monitor Point Zmin015 it is negative
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
рЮ-
Accumulated Time Step
Monitor Point: Monitor Point X12 Pres (Pressure)--Monitof Point: Monitor Pennt X25 Pres (Pressure)--Monitor Point: Monitor Point ZmmO 15 Pres (Pressure)
Рис. 6. Осцилляции давления при установившемся режиме зависания в воздухе / Fig. 6. Pressure oscillations in the steady mode of hovering in air
Соотношение измеренных и восстановленных значений после обработки методом частотных фильтров / The ratio of measured and restored values after processing by the method of frequency filters
Частотная полоса, Гц Monitor Point X12, дБ Monitor Point X25, дБ Monitor Point Zmin 015, дБ Натурный эксперимент, дБ
16 25 29 38 22
31,5 24 30 35 27
63 20 26 33 24
125 18 24 30 28
250 14 19 27 40
500 33 46 37 57
1000 12 20 22 51
2000 8 16 19 54
4000 9 16 20 53
где t — переменная времени; р' — акустическое давление как возмущение аэродинамического давления р относительно исходного уровня; р' — то же для массовой плотности р0; с0 — скорость звука в начальном потоке; р0 — невозмущённая массовая плотность; V, — декартовы компоненты вектора скорости Точки х=(х1,х2,х3) и
у=(у1,у2,у3) — внешние и внутренние переменные; V — рассматриваемый объём; 5" — жёсткая граничная поверхность; пу — нормаль к 5 в точке у&5;
— элементарная площадка 5 в точке у&5; dy=dy1dy2dy3. Такой вид (5) имеет в случае линейного приближения для возмущений порядка мало, 2 ,
сти, соответствующего соотношению р =с0 р .
Более естественно перейти к расчету акустического давления. С этой целью в дальнейших работах авторов будет использована формула Лайтхилла — Керла [4], в которую поля аэродинамических давлений и поля скоростей подставляются для вычисления акустического давления. 4пр'(х, С) =
Г а(ут)-^-Г 9Р'(У'т) ^у
]у а(У> ) 1Х_у1 ]5 ЭПу 1Х_у1
_ г \р'(У,т) 1 др'М] д(\х-у\)
f [\х-у\2 сп\х-у\ dt i
[\х-у\2 Со\х-у\ dt i дпу У' (5)
r = t-1 7
с
о
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Формула Лайтхилла - Керла - инструмент связи аэродинамической картины среды с акустической -в рамках данной работы непосредственно не применялась, но потенциально способна преобразовать текущие результаты вычислительного эксперимента в исходные данные полуаналитических методов, аналогичных [5, 6], превосходящих численные в точности идентификации.
Заметим также, что для совместного решения стационарных и нестационарных задач конвективных и вихревых течений в аэроакустике применяются практически все известные на данный момент методы - конечных разностей [7], спектральные и псевдоспектральные, конечных и граничных элементов [8], бессеточные [9, 10], а также гибридные подходы.
Заключение
По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Извлечение из проанализированного сигнала скорости вращения винта приводит к получению в численном методе значений подъёмной силы, соответствующих реальному весу БПЛА с небольшой погрешностью.
2. При исследовании такого рода важно учитывать конфигурацию пропеллеров. В современных и перспективных моделях широко используются двухлопастные, следовательно, актуальность избранной модели высока. Рассмотрение винтов с более чем тремя лопастями нецелесообразно.
3. Существенное значение имеют число пропеллеров и аэродинамический вклад корпуса - у большинства дронов четыре винта и явная плоскость симметрии, но некоторые модели несут шесть и даже восемь движителей.
4. Выявлено, что параметры сетки и стенок субдоменов оказывают незначительное влияние на аэродинамическую картину среды и значительное - на акустическую.
5. Установлена возможность воссоздания акустического сигнала по результатам расчёта в области низких частот. Для высокочастотной области требуются дополнительные исследования. Предположительно расхождения объясняются отсутствием учёта пространственного распределения винтов, звука двигателя, потоков вблизи корпуса дрона, а также параметрами самого метода и расчетной сетки.
6. Зная тип винтов и используя предложенные методы, можно по структуре звукового поля опре-
делить режим работы движителя, предполагаемый груз и с практической точки зрения возможный перегруз.
Авторы с глубоким и теплым чувством вспоминают то постоянное внимание, которое основатель ростовской школы механиков академик РАН И.И. Ворович уделял развитию гидродинамики и аэродинамики на мехмате РГУ (ЮФУ).
Литература
1. ANSYS CFX-Solver Theory Guide. Release 12.1. ANSYS, Inc., 2009. P. 2-31, 82.
2. Mescheryakov K., Sumbatyan M.A., BondarchukA.A. A boundary integral equation over the thin rotating blade of a wind turbine // Engineering Analysis with Boundary Elements. 2016. Vol. 71. P. 20-26.
3. ANSYS Fluent Theory Guide 15. Aerodynami-cally Generated Noise. ANSYS, Inc., 2009. Р. 14.
4. Zampoli V., Sumbatyan M.A. Flow-induced vortex field generated by a thin oscillating plate in an aero-acoustics framework // ZAMP. 2019. Vol. 70, № 1. Article 33.
5. Sumbatyan M.A., Bondarchuk A.A., Mescheryakov K.I. An efficient numerical algorithm in the classical 3D theory of thin lifting surface in a flow of non-viscous incompressible fluid // Mechanics Research Communications. 2018. Vol. 89. P. 18-22.
6. Wu L., Jing X., Sun X. Prediction of vortex-shedding noise from the blunt trailing edge of a flat plate // J. Sound Vibration. 2017. Vol. 408. P. 20-30.
7. Schlottke-Lakemper M., Yu H., Berger S., Meinke M., Schröder W. A fully coupled hybrid computational aero-acoustics method on hierarchical Cartesian meshes // Computers & Fluids. 2017. Vol. 144. P. 137-153.
8. Schlegel M., Noack B., Jordan P., Dillmann A., Grösche, E., Schröder W., Tadmor G. On least-order flow representations for aerodynamics and aeroacoustics // J. of Fluid Mechanics. 2012. Vol. 697. P. 367-398.
9. Tan J., Wang H.-W. Simulating unsteady aerodynamics of helicopter rotor with panel/viscous vortex particle method // Aerospace Science and Technology. 2013. Vol. 30 (1). P. 255-268.
10. Huberson S., Rivoalen E., Voutsinas S. Vortex particle methods in aeroacoustic calculations // J. of Computational Physics. 2008. Vol. 227. P. 9216-9240.
References
1. ANSYS CFX-Solver Theory Guide. (2009). Release 12.1. ANSYS, Inc., pp. 2-31, 82.
2. Mescheryakov K., Sumbatyan M.A., Bondarchuk A.A. (2016). A boundary integral equation over the thin
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
rotating blade of a wind turbine. Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 71, pp. 20-26.
3. ANSYS Fluent Theory Guide 15. (2009). Aerody-namically Generated Noise. ANSYS, Inc., р. 14.
4. Zampoli V., Sumbatyan M.A. (2019). Flow-induced vortex field generated by a thin oscillating plate in an aeroacoustics framework. ZAMP, vol. 70, no. 1, article 33.
5. Sumbatyan M.A., Bondarchuk A.A., Mescheryakov K.I. (2018). An efficient numerical algorithm in the classical 3d theory of thin lifting surface in a flow of non-viscous incompressible fluid. Mechanics Research Communications, vol. 89, pp. 18-22.
6. Wu L., Jing X., Sun X. (2017). Prediction of vortex-shedding noise from the blunt trailing edge of a flat plate. J. Sound Vibration, vol. 408, pp. 20-30.
7. Schlottke-Lakemper M., Yu H., Berger S., Mein-ke M., Schröder W. (2017). A fully coupled hybrid computational aeroacoustics method on hierarchical Cartesian meshes. Computers & Fluids, vol. 144, pp. 137-153.
8. Schlegel M., Noack B., Jordan P., Dillmann A., Grösche, E., Schröder W., Tadmor G. (2012). On least-order flow representations for aerodynamics and aeroacoustics. J. of Fluid Mechanics, vol. 697, pp. 367-398.
9. Tan J., Wang H.-W. (2013). Simulating unsteady aerodynamics of helicopter rotor with panel/viscous vortex particle method. Aerospace Science and Technology, vol. 30 (1), pp. 255-268.
10. Huberson S., Rivoalen E., Voutsinas S. (2008). Vortex particle methods in aeroacoustic calculations. J. of Computational Physics, vol. 227, pp. 9216-9240.
Поступила в редакцию /Received
20 апреля 2020 г. /April 20, 2020
