О влиянии статистики распределения размеров зерен на оценку структуры металла ультразвуковым методом Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 620.179:629.4.083 м. Б. КАДИКОВА

О. В. ГАТЕЛЮК

Омский государственный университет путей сообщения

О ВЛИЯНИИ СТАТИСТИКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРОВ ЗЕРЕН НА ОЦЕНКУ СТРУКТУРЫ МЕТАЛЛА УЛЬТРАЗВУКОВЫМ МЕТОДОМ

Выполнен расчет параметров логарифмически нормального закона распределения зерен по размерам. Представлена количественная оценка необходимости учета статистики распределения зерен и численно определено понятие однородной структуры в соответствии с действующим стандартом. Рассмотрена возможность применения различных частот, для ультразвукового контроля структуры стали. Приведены выводы и рекомендации по использованию результатов исследования.

Учет статистики распределения размеров зерен существенно влияет на величину коэффициента затухания, а также на его частотную зависимость, что важно для задач ультразвуковой дефектоскопии и акустического структурного анализа материала.

Экспериментальные исследования Пападакиса [1] указывают, что функция распределения размеров зерен в поликристаллических материалах во многих случаях удовлетворительно аппроксимируется логарифмически-нормальным законом.

Плотность вероятности для логнормального распределения:

Р(х) = -

(Ьгх-Ь а)

2а*

(1)

Числовые характеристики случайной величины x, распределенной по логнормальному закону (1), имеют вид:

- математическое ожиланиX) = ае"' 2

- диспепсия- п/ V I = ¡¿е1 (ег,~ _ ])

- мода: М0(Х)~ае

- медиана: Мс(X) = а

Величина зерна - средняя величина случайных сечений зерен в плоскости металлографического шлифа.

При проведении микроструктурного анализа в соответствии с [2] средняя площадь сечения зерна Я = 1/т\ мм 2], средний диаметр зерна с1т=1/-Лп [мм], где т- количество зерен, приходящихся на 1 мм площади шлифа.

Номер величины зерна определяют сравнением полученных значений т, $ и с/„, со значениями соответствующих параметров в табл. 1

Таким образом, стандарт четко устанавливает максимальный и минимальный диаметр зерна в пределах одного номера, которые можно рассчитать по вышеприведенным формулам и данным табл. 1. Результаты расчетов занесены в табл. 2.

Будем считать, что на границах интервалов (х1; х2) количество зерен равно нулю, т.е. вероятность появления зерен выходящих по диаметру за пределы интервалов одного номера зерна равна нулю, а внутри интервала она подчиняется логнормальному закону. Так как натуральный логарифм диаметра зерна подчинен нормальному закону, то можно воспользоваться «правилом трех сигм»[3]:

// х2 = И а + 3(1

Сложив эти два равенства, получаем:

А х1 х2-2Ь а

Следовательно, параметр логнормального распределения медиана ,\{/Х) = а, есть среднее геометрическое концов интервала.

Вычитая равенства (2) можем рассчитать о:

(2)

Таблица 1

Значения параметров по ГОСТ [2]

Номер зерна G Средняя площадь сечения зерна, 8, мм2 Число зерен т на площади 1 мм2 Средний диаметр зерна йт, мм

минимальное среднее максимальное

1 0,0625 12 16 24 0,250

2 0,0312 24 32 48 0,177

3 0,0156 48 64 96 0,125

4 0,00781 96 128 192 0,088

5 0 00390 192 256 384 0,062

6 0,00195 384 512 768 0,044

7 0,00098 768 1024 1536 0,031

8 0,00049 1536 2048 3072 0,022

9 0,000244 3072 4096 6144 0,015

10 0,000122 6144 8192 12288 0,011

Таблица 2

Расчетные значения максимальных и минимальных диаметров зерен в пределах одного номера

Номер зерна, G Диаметр зерна ¿/,„, мм

минимальный средний максимальный

1 0,204 0,250 0,289

2 0,144 0,177 0,204

3 0,102 0,125 0,144

4 0,072 0,088 0,102

5 0,051 0,062 0,072

6 0,036 0,044 0,051

7 0,026 0,031 0,036

8 0,018 0,022 0,026

9 0,013 0,015 0,018

10 0,0009 0,011 0,013

Параметры логарифмически нормального распределения для зерен с 1 по 10 номер

Таблица 3

№ зерна 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

о 0,06 0,05 0,06 0,05 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06 0,06

М(Х) 10,84 15,32 21,67 30,64 42,92 60,70 85,84 121,39 171,68 243,22

Ме(Х) 10,82 15,30 21,63 30,59 42,85 60,60 85,70 121,19 171,39 242,81

Мо(Х) 10,86 15,34 21,71 30,68 42,99 60,80 85,99 121,60 171,97 243,63

Таблица 4

Значения средних диаметров зерен с учетом статистики их распределения по размерам

№ зерна 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

о = 0,1 11 16 22 31 44 62 87 123 174 246

о = 0,2 11 16 23 32 45 64 90 127 180 253

о = 0,3 12 17 25 35 48 68 96 134 188 263

о = 0,4 14 19 27 38 52 73 102 142 198 273

о = 0,5 15 21 30 41 57 79 110 151 207 281

Таблица 5

Диапазоны изменения диаметров зерен с учетом их логнормального распределения для различных значений среднеквадратичного отклонения

Балл зерна Ср. диаметр, мкм о = 0,1 о = 0,2 о = 0,3 о = 0,4 о = 0,5

1 250 185-313 146-375 115-430 90-477 70-515

2 177 129-223 100-272 78-318 60-359 46-395

3 125 90-160 69-197 53-234 40-269 30-302

4 88 63-114 48-143 36-172 27-201 20-229

5 62 44-82 33-104 25-127 18-150 13-173

6 44 31-58 23-75 17-93 12-111 9-131

7 31 22-42 16-54 12-68 9-83 6-99

8 22 16-30 11-39 8-50 6-62 4-74

9 15 11-21 8-28 6-36 4-45 3-55

10 11 8-15 6-20 4-26 3-33 2-41

Результаты расчетов параметров логнормального распределения для зерен с 1 по 10 номер занесены в табл. 3.

Очевидно, чем меньше о, тем ближе друг к другу значения моды, медианы и математического ожидания, а кривая распределения более симметрична.

Кривые плотности вероятности, построенные по данным табл. 3 приведены на рис. 1. Видно, что они практически не отличаются от нормального закона распределения [4].

Рассмотрим на примере зерна № 7 как изменяется плотность вероятности для логнормального распределения F(X) при увеличении среднеквадратичного отклонения о от 0,1 до 0,5 (рис.2).

При о = 0,1: мода М„(Х) =30,3, математическое ожидание М(Х) - 30,7;

При о = 0,5: мода М„(Х) = 2,8, математическое ожидание ЛУ(Л') = 34,7.

Таким образом, максимум кривой плотности вероятности смещается в сторону с меньшим диаметром зерен, о чем свидетельствует уменьшение моды, а

математическое ожидание смещается в сторону зерен с большим диаметром из-за роста количества и вероятности их появления (рис. 2).

За однородную принимают структуру, соответствующую одному из эталонов шкалы. Такая структура оценивается одним номером. Разнозернистой считают структуру, в которой имеются зерна, отличающиеся от основного (преобладающего) номера, соответствующего определенному эталону шкалы, более чем на 1 номер и занимающую на шлифе площадь более 10% [2].

Например, для зерна № 7 вероятность появления зерен отличающихся более чем на 1 номер при о = 0,1 - 0%, о = 0,2 - 0,6%, о = 0,3 - 7,5%, о = 0,4 - 18%, о = 0,5 - 28%.

Следовательно, при о = 0,1:0,2 - структура однородная, а при увеличении о структуру считают разнозернистой.

В случае определения величины зерна в разно-зернистой структуре средние размеры (диаметр, площадь зерна) не являются характеристиками оценки структуры.

Ультразвуковой метод, применяемый для определения средней величины зерна с1т , основан на зависимости коэффициента затухания 5 ультразвуковых колебаний в поликристаллическом материале от разменов зерна:

(3)

где /' - частота ультразвуковых колебаний, МГц.

По рассматриваемому методу, каждому, полученному при измерениях, коэффициенту затухания будет соответствовать определенный средний диаметр зерен. Так как коэффициент затухания пропорционален объему зерна, то при его измерении результатом будет математическое ожидание объема зерна, извлекая, кубический корень из которого получается средний диаметр.

Результаты расчетов средних диаметров с учетом статистики распределения зерен по размерам при изменении среднеквадратичного отклонения приведены в табл. 4.

Например, № 7 при о = 0,5 средний диаметр - 41 мкм.

Видно, что величина ошибки в разнозернистой структуре увеличивается с увеличением размера зерна.

Применяя данный метод также необходимо помнить, что рэлеевский закон выполняется лишь для зерен, размеры которых не превосходят некоторого граничного значения Dр, приближенно определяемого условием 2Юр = X.

Рассмотрим, в качестве примера, контроль стали на частотах 2,5; 5 и 10 МГц:

1 = 2,5 МГц, X = 2,36 мм, Dр = 375 мкм;

1 = 5 МГц, X = 1,18 мм, Dр = 188 мкм;

1 = 10 МГц, X = 0,59 мм, Dр = 94 мкм.

Диапазоны изменения логнормального распределения диаметров зерен для различных значений среднеквадратичного отклонения приведены в табл.5.

Для частоты 10 МГц рэлеевский закон нарушается уже на зерне №5, вероятность появления Dр > 94 мкм:

при о = 0,2 - 1,2 %, о = 0,3 - 6,8 %, о = 0,4 - 12,8 %, о = 0,5 - 17,6 %.

Для частоты 5 МГц рэлеевский закон нарушается на зерне №3, вероятность появления Dр > 188 мкм:

при о = 0,2 - 0,7 %, о = 0,3 - 5,9 %, о = 0,4 - 11,5 %, о = 0,5 - 15,8 %.

Для частоты 2,5 МГц рэлеевский закон нарушается на зерне №1, вероятность появления Dр > 375 мкм:

при о = 0,3 - 4,6 %, о = 0,4 - 9,4 %, о = 0,5 - 12,7 %.

Выводы

1. Оценивая структуру металла ультразвуковым методом, необходимо учитывать статистику распределения зерен по размерам. В случае неоднородных структур зависимость 8 — /4 в «чистом виде» вообще может не обнаруживаться на опыте, а вместо этого будет иметь место «размытая» область перехода от рэлеевского рассеяния к фазовому, внутри которой показатель степени частотной зависимости непрерывно изменяется от 4 до 2.

2. В соответствии с логарифмически нормальным законом распределения зерен по размерам и ГОСТ

-№ ю

-№9

№8

■№7

■№6

s0,6

и_

х 0.5 5

i 0,4 ш

л 0,2

о о

Е o.-i

—J 1

л

/\ /\

1111111 + V н+н А1111111 1111 I\I f\\ 111111 imti

9 13 17 21 25 29 33 37 41 49

диаметр зерна, мкм

Рис. 1. Плотность вероятности для зерен с 6 по 10 номер

0.14

£ 0,12 LL-

b о.ю

0

1 o.os

о

8" о,об

ш л

о 0.04

о

g 0.02 с

0.00

f i

I ]

J / п J * У

) —

1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 B1 В6 91 96 диаметр зерна, мкм

Рис. 2. Плотность вероятности логнормального распределения диаметров зерен для № 7

5639-82 структура однородная при среднеквадратичном отклонении о = 0,1:0,2, а при увеличении о структура разнозернистая.

3. В случае исследования однородных структур рэлеевский закон выполняется на частоте 10 МГц для зерен меньше № 5, 5 МГц — меньше № 3, 2,5 МГц — меньше № 0, если структура разнозернистая, то рэлеевский закон нарушается раньше.

4. Полученные результаты могут быть использованы для количественной оценки методов ультразвукового контроля структуры металла, а так же при разработке методик контроля различных изделий.

Библиографический список

1. Papadakis E.P. Phys. Acoustics, v. 4B, N. Y., 1968, p. 269.

2. ГОСТ5639 — 82 Стали и сплавы. Методы выявления и определения величины зерна. — М.: Изд — во стандартов, 1994. — 47 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд. 6 — е, стер. — М.: Высш. шк., 1998. - 479 с.

4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов — М.: ЮНИТИ — ДАНА, 2004. - 573 с.

КАДИКОВА Милица Борисовна, преподаватель кафедры «Вагоны».

ГАТЕЛЮК Олег Владимирович, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой Высшей математики.

Дата поступления статьи в редакцию: 29.11.2007 г. © Кадикова М.Б., Гателюк О.В.