О весовых классах целых функций типа Валирона Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 517.53, 517.54

DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(2).4-8

О ВЕСОВЫХ КЛАССАХ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ ТИПА ВАЛИРОНА О.В. Oхлупина

Брянский государственный инженерно-технологический университет, г. Брянск, Россия

Информация о статье Аннотация. Получено полное описание классов целых функций типа Валирона с весом

Дата поступления из ¿р-пространств. Доказательство всех утверждений строится с использованием ос-

05.02.2020 новных методов комплексного анализа.

Дата принятия в печать 14.05.2020

Дата онлайн-размещения 30.07.2020

Ключевые слова

Фактор бесконечного произведения, целая функция, порядок целой функции, корневые множества, факторизационное представление

ABOUT THE WEIGHT CLASSES OF ENTIRE FUNCTIONS OF VALIRON'S TYPE O. V. Okhlupina

Bryansk State University of Engineering and Technology, Bryansk, Russia

Article info Abstract. A representation of classes of entire functions of the Valiron type with weight

Received from Lp-spaces is constructed. The proof of all statements is constructed using the methods

05.02.2020 of complex and functional analysis.

Accepted 14.05.2020

Available online 30.07.2020

Keywords

An entire function, order of an entire function, root sets, factorization representation, infinite product factor

1.Введение

Задачи по описанию корневых множеств и получению факторизационных представлений разнообразных классов функций имеют особое значение в теории функций комплексного переменного и её приложениях. Широко известны работы начала XX столетия о корнях целых функций, имеющих за-

данный рост, при стремлении к бесконечно удалённой точке, о факторизационном представлении функций ограниченного вида и классов Харди в круге единичного радиуса. Изучению и полному описанию различных классов функций посвящены труды Б.И. Левина, М.М. Джрбашяна, Н.В. Говорова,

A.M. Седлецкого, Ф.А. Шамояна, Б.И. Коренблюма, К. Сейпа, Б.Н. Хабибуллина и других учёных.

Введём необходимые обозначения, предваряющие изложение основного результата работы.

Стандартно символом C обозначим комплексную плоскость. h(с) - множество всех целых функций в ней. Для f еН (с) обозначим

Zf ={zес: f (z)■ 0} .

Пусть qeN, z,^eC, тогда ач(z,С) =

■I1 -сГр

q iг"1

- фактор бесконечного про-

изведения Вейерштрасса порядка ,.

Для последовательности комплексных чисел

1=¥к 1к=1, Ы< 1^1, к = 1'2'-, Ы ,

кобозначим п(г) = согв:|кк| <г},

0 <г . Если I = 1!, то соответствующую считающую функцию назовём п{ .

Для 0<р<+да, 0<р<+ю определим класс функций:

N

(C )^jf е н (с) :J

(lnM (г, f ))p

,pp+i

dr < +<ю;

В данной работе построено факторизационное представление, а также получено описание корневых множеств функций класса (с) .

Если положить в рассматриваемом классе р равным единице, полученный в данной статье результат трансформируется в теорему Валирона (см. [1]).

При доказательстве основного результата работы использовались методы, изложенные в работах [2-5].

Корневые множества классов целых и субгармонических функций с другим весом из ¿Р-прост-ранств были описаны автором в работах [4; 5].

2. Формулировка и доказательство вспомогательных утверждений

Теорема 1. Пусть 0 < р < +<», 0 < р < +<», рй N. Тогда эквивалентны утверждения:

а) Найдётся / е^ (с), такая что I = {гк можно представить в виде I = I;

Ы? nЙ

' ¿^ -yppk

<+<Ю .

—I о р. к=1 2

Доказательство. Согласно свойствам несобственных интегралов сходимость ряда

~ пр (2к)

у—<+да равносильна сходимости интеграла

к=1 2

г np (г)

—^-r-dr <+».

J г РР+1

При 2k <г <2k+1, n(2k)<n(r)<n(2k) :

J _pp+l J _pp+l fkpp

1 ' k=o 2k ' k=о 2

+» np (2m ) ±» np (2m )

■ у У / ■ 2ppV- ^ !

m=L 2

■1 2"

Пр (2k)

Поэтому из сходимости Ъ—<+да выте-

k^1 2

+r np (r)

кает сходимость интеграла J ppv+i7dr

Функция п(г) монотонна на Я+ =[0; +»). Используя этот факт, несложно показать справедливость обратного утверждения.

Пусть / (с), I = I. Докажем сходимость

+?пр (г) интеграла ——вг .

J гРР+1 1 '

Применяя неравенство Иенсена, имеем

+" п р ( г )

П (г)< !пМ(ег,/)+ С{. Поэтому | ^ вг <

<J

lnpM (er, f )

rpp+i

dr

lnpM (t, f )

< ePP jinj

J j.ppp-1

dt < .

Доказали, что из a) следует Ь). Перейдём к доказательству обратного утверждения.

Пусть ч - целое число, такое, что ч<р<Ч +1.

ЕЧ (К, 1 )=П А, ( 1 1 ) .

к=1

Покажем, что Е (1,1к ) сходится на компактных подмножествах С при Ея (1,1 )бИр (с).

+<» 1

Установим сходимость ряда у—— <+да при

k^1 к,.

q >p-1. Сходимость последнего ряда эквива-

n (t),

in. - . ^J dt

1 t

1

Пусть 1 <р <+<». Согласно неравенству Гёль-дера имеем, что для сходимости интеграла

i "

j t

n (t)

Ж достаточно обеспечить сходимость инте-

грала

dt

i t{q+2-p-Pf

Р 3

, где р =-. Это означает, что

Р -1

z = r

Поэтому

+f(lnM(r'Eq))P dr<

J r1+pp

< Kp

Jt q-1n(t)dt

j i+(p-q)p dr + j

j t-q-2n(t )dt

1+(p-q-l)p

Y

-dr

= кр (/1 + /2 )■

Сходимость интегралов /г, /2 несложно показать с применением методов, представленных автором в работе [4].

Тогда Ед (г,гк)еМрР (с) (с нулями в точках последовательности {гк).

Пусть 0 < р < 1. Построим функцию, нулями которой являются точки последовательности {гк}™ .

Применяя оценку для Ед (г,гк), получим:

С г +» ^

1пМ(г,Еч)<КI г4/ д-1п^^ + гд+111~д-2п^^

V 1 г

+Р('пМ(г,Ед))Р аг<

J г1+рр

rq jt q-1n(t)dt + rq+1 j t q-2n(t)dt

< Kp f ^-r-:

q J ri+pp

Y

-dr <

< Kp

'jt q-1n(t)dt

ri+pp

-dr +

для выполнения условия р-1 <д<+» подберём дёМ таким образом, чтобы выполнялось условие р-1<д <р.

Докажем, что при выбранных д произведение Е, (^ г, )ёМР (С).

Применяя оценку произведения Вейер-штрасса, получаем:

/ г +Ю Л . (.. ..г. (

1пМ(г,Еч)<Кч!гд¡^д-1п^^ + гд+111 д2п(^, .1 г

v

.q+1

j t-q-2 n(t )dt

Y

r1+pp

-dr

= кр (¡1 + /2).

Сходимость ^, /2 доказывается методами, изложенными в работе [4].

Из сходимости интегралов ^ и /2 получаем, что

(|ПМ ( r 'Eq ))Р

r1+pp

dr , при этом p-1 < q <p,

рё N, 0 < р <+<».

Теорема доказана.

Для целых р имеет место утверждение: Теорема 2. Пусть / ё (с), рё N . I = {гк - последовательность комплексных чисел, \гк\ < \гк+11, к = 1,2,..., \гк\ , к . Тогда следующие условия эквивалентны:

a) I = {гк }™ можно представить в виде I = ^ для некоторой функции f ЁМр (с);

b) 5f (r ) =

А-* -, p

удовлетворяет условиям:

+?(§,( г))Рdг +»(n(г))Рdг

— <+-, где п(г)

1 ' 1

- число нулей функции f в круге йг, 0 < г <+».

При доказательстве данной теоремы используются методы из работ [3; 4]. Необходимость условий из пункта Ь) вытекает из неравенства Иенсена.

3. Формулировка и доказательство основного результата

Теорема I. Пусть р - нецелое неотрицательное число, 0<р<+<», р-1 <д<р. Тогда равносильны следующие утверждения:

a) f ЁМрр(с);

b) ^ допускает представление

( 7 \ q л / 7 у

f(z) = zmП 1--exp Т1 - exp(h(z)),

p

/

- I<r

1

где z eC, h(z) - многочлен степени меньше р, m

- некоторое неотрицательное целое число, {zt-последовательность комплексных чисел, удовлетво-

„ np (2k)

ряющая условию ^—<+».

k=1 2

Теорема II. Пусть ре N . Тогда следующие два утверждения эквивалентны:

a) f е Np (C);

b) f допускает следующее представление

+( / 7 \ р 1 / 7 у

f(z) = гт П 1--ехр £1 - ехр(Л(г)),

к=1 V гк ) V М 1 V гк ) )

где гёС, Л(г) - многочлен степени меньше, чем

р, т ё I, т > 0, {г}+( - произвольная последовательность комплексных чисел, для которых

T^tpr <+^, 8 / (r ) = k=1 2

вию

np (2k)

pp

+f(8 f (r ))"dr

J r

T-

удовлетворяет усло-

Доказательство Теоремы I. Покажем, что из пункта a) следует Ь). Предположим, что f ЁМр (с), {гк }+( - множество корней

f. Получаем, что по теореме 1: T

np (2k)

■J у

1 2

kpp

<+». Из

неё же следует сходимость бесконечного произве-

+да ( 2 \ q 1

дения Eq (z,zk) = П 1--exP T1

q Л( , j

i=1 ■

при

р-1 < д <р и его принадлежность классу (с) . Тогда д(г) = —^(г) , гёс, принадлежит

Ед (г,)

Н(с), при этом д(г) ф 0, г ё с .

Покажем, что д(г) = ехр(Л(г)) . Причём Л(г) -многочлен степени т, т <р. Докажем, что

д Ёмр (с).

Согласно равенству .п |д (г )|= .п| f (г )|--.п (г, гк)| имеем:

¿/.п+| д (ге"—ф< ±}.п+| f ( ге'ф) —ф +

1 ^

--J In- |E, ( re-, z,) ^,

где In |o| = max (о, - In |o|), aeC . С учётом равенства

2 E ^ )| *Ф = ¿H Eq К, ^^ К

1 n

- 2;Jln E (e,z

воспользуемся равенством Иенсена:

И!)

^ j In- |e (e,z,+ /jt < 1 Л

; — j ln+ |Eq (re'9,zk)d9< InM(r,Eq ) .

Из

последних оценок E) +1

вытекает:

1 я

— / .п+ |д(ге'ф) —ф <с.пМ(г,ЕЦ) + .пМ(г, f).

Для произвольных 0<г<Я получим:

.пМ(г,д) < — • — Л .п+ |д(Яе'ф)—ф. 2л Я - г 1 у п

Пусть Я = 2г, тогда согласно оценке

1 л

— / .п+ |д ( ге'ф ) —ф< с .пМ(г ,ЕЦ) + .пМ(г, f) имеем

2Л -л

)^<'пМ|г д'—г < с х

/ грр+1 1 1 1

Г+-(.пМ(2г ,Ед ))\ +(?(.пМ(2г^р ^

fv....... :^dr +f-

j ,pp+i J

,pp+i

-dr

= C

r ?(|nM<r ,Eq if +f(|nM(r, f )Yd^

J rpp+1 J rr~'

rpp+1

То есть д е мр (с), при этом д(г) ф 0, г ё с. Тогда д(г) = ехр(Л(г)), Л (г) - целая функция. Пусть и(г) = ЯеЛ(г), г ес. Не ограничивая общности, предположим: и(г) > 1.

Из того, что функция д принадлежит классу

Np(C), получаем

+f(\nM[r,u))P

J rpp+1 '

где М{г,и) = тах(и,о). По теореме о среднем, а также исходя из предыдущих рассуждений, имеем: +((.пМ(г ,и))р

/-^-—г < +( . Согласно монотонности функ-

zk l<r-k

k=1

Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 2. С. 4-8

-ISSN 1812-3996

ции lnM(r,u) и тому, что последний интеграл схо-

,. M(R,u) п п дится, получаем lim-= 0 . Применяя формулу

R^+w Rpp

m

Шварца, получим: h(z) = 'X°/(zk, где k <pp. При-

k=0

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Boas R.P. Entire functions. N. Y.: Acad. Press, Ink., 1954, 276 с.

2. Шамоян Ф. А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций // Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 6. С. 1422-1440.

3. Шамоян Ф. А., Шубабко Е. Н. Введение в теорию весовых Lp-классов мероморфных функций. Брянск : Группа компаний «Десяточка», 2009. 153 с.

4. Охлупина О. В. Обобщение одной теоремы Валирона на случай целых функций // Вестн. Брян. гос. ун-та: Педагогика. Психология. История. Право. Литературоведение. Языкознание. Экономика. Точные и естественные науки. 2015. № 3 (26). С. 400-408.

5. Охлупина О. В. Обобщение одной теоремы Валирона на случай субгармонических функций // Вестн. Брян. гос. ун-та: Точные и естественные науки. 2012. № 4 (2). С. 34-44.

6. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М. : Мир, 1973, 344 с.

7(lnM(r ,h))p

чём I-—;-dr <+ю . Учитывая, что

J rpp+i '

i

т

M(r,h)« |^|гт , имеем: т <р.

Обратное утверждение очевидно. Теорема I доказана.

Доказательство Теоремы II основано на применении теоремы 2.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Охлупина Ольга Валентиновна - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика», Брянский государственный инженерно-технологический университет, 241037, Россия, г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3; e-mail: helga131081@yandex.ru.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Okhlupina Olga Valentinovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent of the Department of Mathematics, Bryansk State University of Engineering and Technology, 3, pr. Stanke Dimitrova, Bryansk, 241037, Russia; e-mail: helga131081@ yandex.ru.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Охлупина О. В. О весовых классах целых функций типа Валирона // Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 2. С. 4-8. Э01: 10.24147/1812-3996.2020.25(2).4-8.

FOR QTATIONS

Okhlupina O.V. About the weight classes of entire functions of Valiron's type. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2020, vol. 25, no. 2, pp. 48. DOI: 10.24147/1812-3996.2020.25(2).4-8. (In Russ.).