CC BY
0
у. О
2024. Т. 49. С. 90-104
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
Научная статья УДК 517.55
MSC 39B72, 32A05, 32A15, 32A27
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.90
0 вещественных корнях систем трансцендентных уравнений с вещественными коэффициентами
А. М. Кытманов1 О.В.Ходос1
1 Сибирский федеральный университет, Красноярск, Российская Федерация И akytmanov@sfu-kras.ru
Аннотация. Исследуется число вещественных корней систем трансцендентных уравнений в Cn с вещественными коэффициентами, состоящих из целых функций, в некоторой ограниченной многомерной области D С Rn. Предполагается, что число корней системы дискретно (тогда оно не более чем счетно). Для некоторой целой функции ip(z),z е Cn, с вещественными коэффициентами Тейлора в точке z = 0, и заданной системы уравнений вводится понятие результанта Rv (t), который является целой функцией одного комплексного переменного t. Он строится, используя степенные суммы корней системы в отрицательной степени, найденных с помощью вычетных интегралов. Если результант не имеет кратных нулей, то показано, что число вещественных корней системы в D = {x е Rn : а < ip(x) < b} (x = Re z) равно числу вещественных нулей этого результанта в интервале (а,Ь). Приведен пример для системы уравнений.
Ключевые слова: системы трансцендентных уравнений, результант, простые корни
Благодарности: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 24-21-00023.
Ссылка для цитирования: Кытманов А. М., Ходос О. В. О вещественных корнях систем трансцендентных уравнений с вещественными коэффициентами // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2024. Т. 49. C. 90104.
https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.90 Research article
On Real Roots of Systems of Trancendental Equations with Real Coefficients
Alexander M. KytmanovlK, Olga V. Khodos1
1 Siberian Federal University, Krasnoyarsk, Russian Federation K akytmanov@sfu-kras.ru
Abstract. The work is devoted to the study of the number of real roots of systems of transcendental equations in Cn with real coefficients, consisting of entire functions, in some bounded multidimensional domain D C Rn. It is assumed that the number of roots of the system is discrete (then it is no more than countable). For some entire function <^(z), z £ Cn, with real Taylor coefficients at z = 0, and a given system of equations, the concept of a resultant Rv(t) is introduced, which is an entire function of one complex variable t. It is constructed using power sums of the roots of the system in a negative degree, found using residue integrals. If the resultant has no multiple zeros, then it is shown that the number of real roots of the system in D = {x £ Rn : a < <p(x) < b} (x = Re z) is equal to the number of real zeros of this resultant in the interval (a,b). An example is given for a system of equations.
Keywords: systems of transcendental equations, resultant, simple roots.
Acknowledgements: The research was financially supported by the Russian Scientific Found, (Project No. 24-21-00023 ).
For citation: Kytmanov A.M., Khodos O. V. On Real Roots of Systems of Trancendental Equations with Real Coefficients. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2024, vol. 49, pp. 90-104. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2024.49.90
1. Введение
Нахождение числа вещественных корней многочленов с вещественными коэффициентами является классической задачей алгебры. Ей посвящены метод Эрмита квадратичных форм [3, гл. 16, §9], [4, дополнение I], теорема Штурма, правило знаков Декарта, теорема Бюдана - Фурье (см., например, учебник [6, гл. 9]). Дальнейшее развитие этих методов для многочленов можно найти в обзоре Крейна и Наймарка [20] (на самом деле этот обзор был опубликован в 1936 г. на русском языке, но стал давно библиографической редкостью) и монографии Джури [18]. Для целых функций вопрос о локализации вещественных положительных корней рассматривался в классических работах Н. Г. Чеботарёва [16, с. 3-18, 29-56], а также в работе [21] (мы ссылаемся на собрание сочинений Н. Г. Чеботарёва, поскольку оригинальные его работы сейчас малодоступны).
Для систем уравнений число вещественных корней исследовалось в статьях [1; 7; 15; 22; 23].
В монографиях [8; 17] рассмотрены алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Системы трансцендентных уравнений возника-
ют, например, при изучении уравнений химической кинетики [2]. Одна из возникающих там задач — это задача о числе вещественных положительных корней системы уравнений, либо о числе корней в многограннике реакции.
Целью статьи является исследование числа вещественных корней систем трансцендентных уравнений в Сп с вещественными коэффициентами, состоящих из целых функций, в некоторой ограниченной многомерной области О С Кп. Предполагается, что число корней системы дискретно (тогда оно не более чем счетно). Для некоторой целой функции <^(г), г € Сп с вещественными коэффициентами Тейлора в точке г = 0, и заданной системы уравнений вводится понятие результанта К,р(и), который является целой функцией одного комплексного переменного и. Он строится, используя степенные суммы корней системы в отрицательной степени, найденных с помощью вычетных интегралов. Если результант не имеет кратных нулей, то показано, что число вещественных корней системы в О = {х € Кп : а < <р(х) < Ь} (х = И,е г) равно числу вещественных нулей этого результанта в интервале (а, Ь). Приведен пример для системы уравнений.
где Л(г), ..., /п(г) являются целыми функциями от комплексных переменных г = (г1,..., гп) в Сп.
В дальнейшем будем предполагать, что множество корней системы (2.1) дискретно. Поэтому оно не более чем счетно. Обозначим через Е множество корней системы с ненулевыми координатами = (эдц^,),..., эдп(г,)), V = 1, 2,..., занумерованных в порядке возрастания модулей: | ^ |-Ш(2) | ^ • • • ^ ) | ^ • • • .
Рассмотрим степенные суммы корней Ба из Е, где а = (а.1, • • • ,ап) — неотрицательный мультииндекс (все компоненты неотрицательные и целые) и ||а|| = а1 + ... + ап > 0, вида
Будем считать, что ряды Ба абсолютно сходятся для любых мульти-индексов а, | а| > 0.
2. Результант системы
Рассмотрим систему трансцендентных уравнений вида
(2.1)
Понятие степенных сумм для трансцендентных систем уравнений было рассмотрено в работах [9-12]. Результаты этих статей были основаны на представлении степенных сумм через так называемые вы-четные интегралы [26].
В статье [22] доказано утверждение.
Лемма 1. Ряды Ба абсолютно сходятся для любых мультииндексов а, > 0, тогда и только тогда, когда ряды
абсолютно сходятся.
Эта лемма позволяет определить понятие результанта системы (2.1). А именно, введем целую функцию нулевого рода ( [14], гл. 7)
где в — кратность нуля системы (2.1) в точке ноль, в ^ 0.
В формуле (2.2) бесконечное призведение абсолютно и равномерно сходится на комплексной плоскости С в силу леммы 1.
Функцию К(г1) будем называть результантом системы (2.1) по переменной . Понятие результанта для систем трансцендентных уравнений не является общепринятым. Для случая двух уравнений похожее определение было введено Н. Г. Чеботаревым [16, с. 24-27]. В последние годы оно рассматривалось с различных точек зрения в работах [13; 21; 24; 25]. Результаты данных статей были основаны на вычислении степенных сумм через так называемые вычетные интегралы [26].
Пусть все коэффициенты разложения Тейлора в точке 0 функций системы (2.1) вещественные.
Лемма 2. Степенные суммы Ба из Е являются вещественными числами.
Доказательство. Если является корнем системы (2.1), то также является ее корнем. Поэтому с каждым слагаемым, содержащим хотя бы одну комплексную координату,
(2.2)
3. Вспомогательные результаты
1
ш
в степенную сумму Sa входит и слагаемое
1
„,«1 . „,«2 . . . w«n
W1(v) W2(v) Wn(v)
Что доказывает утверждение.
Лемма 3. Результант
R(zi) = zS ■ ^ b
те
^m ' z1
s \ h zm
т=0
имеет вещественные коэффициенты Ьт, т ^ 0. Доказательство. Рассмотрим бесконечное произведение
flf1-—l^-^-E—+ Е—---
П=Л W1(j) W1(j1) ■ W1(j2)
E ---+ ••• =
jl<h<h „1(Л) ' „1(^2) ^ WKj3)
те
m=1 31<32^..<3т WKj1) ■ WKj2) ■ • • • ■ WKjm)
Коэффициенты при zm равны:
bo = 1,
Ьт = (- 1Г- E ---' rn = 1,2,... (3.1)
j1<j2r.<jm W1(j1) ■ W1(j2) ■ • • • ■ W1(jm)
Из вида (3.1) очевидно следует, что bm являются симметрическими
функциями чисел -, -, -, ..., а значит Ьт — вещественные.
w1(1) w1(2) w1(3)
□
□
4. Основной результат
Теорема 2 из [23] состоит в следующем.
Теорема 1. Если система (2.1) с вещественными коэффициентами такова, что все нули простые, кроме точки 21 = 0, то число
вещественных корней системы (2.1) в Е совпадает с числом вещественных корней результанта Л(21).
Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть <(г) — целая функция с вещественными коэффициентами разложения Тейлора в точке г = 0 и <(0) = 0. Если г € Сп и 1т2 = 0, то г = х = (х1,...,хп) € Кп. Обозначим через
Оа)Ь = {х € Кп : а < <(х) < Ь}. Как определить число вещественных корней системы (2.1), лежащих
в А0>ь?
Введем комплексные числа
<
1
1
w,
'п(^)
W(v) € Е, V = 1,2,...
Нам нужно найти степенные суммы вида
11
4 = £ <
3 > 1,
и проверить эти ряды на сходимость.
Лемма 4. Ряды (4-1) абсолютно сходятся для всех 3 ^ 1. Доказательство. Пусть
< (г) = £ ^ гв,
(4.1)
(4.2)
где в = (въ • • • , вп) — неотрицательный мультииндекс с целыми координатами, а ||в|| = в1 + ••• + вп. Тогда
4 = £ <
но
^=1
|
W,
'п(^)
£
в1 в2 вп
1 / \ ' \ ' ' ' W / \ ^=1 1(^) 2(^) п(^)
те
11ву>1
<
<
(5(1;о)...;о))в1 ■ (5(о)1)...,о))в2 ••• (5(о)...)о,1))А
Поэтому | ^
^ £ |(^(1,о,...,о))|в1 ■ |(^(о,1,...,о))|в2 ••• (^(о,...,о,1))
в2
< +ГС).
11^1
□
1
1
1
в
п
Предположим, что »Б. найдены (вопрос о их нахождении мы обсудим позже). Тогда мы можем применить к ним рекуррентные формулы Ньютона для целых функций одного комплексного переменного (см. [17, СЬ. 1], [8, гл. 1]). Они справедливы для целых функций вида
.7=1 4 3/ к=о
Ьо = 1,
(4.3)
таких что ряд
те 1
сходится (это условие, например, справедливо для целых функций первого порядка роста минимального типа [14, гл. 7]).
Таким образом, нам нужно проверить выполнение условия сходимости рядов
те
£-г-Н5-г^. ; = !.•••■
V =1
<
-3
1
1
W,
а это и есть сумма модулей для .
Коэффициенты Ь^ целой функции / (¿) можно найти по формулам (см. [17, СЬ. 1], [8, гл. 1])
Ьк =
(-1)4 к\
1
а
0 0
0"1
(4.4)
где а. = , и использовать тем самым лемму 4.
Таким образом, мы найдем целую функцию = /(£) одного
комплексного переменного ¿, имеющую корни
<
1
1
w,
V = 1, 2,...
Если W(j) — корень системы (2.1) из Е, не все координаты которого вещественные, то гУ(3) также корень системы (2.1). Если
<
^)
w,
«(V)
— вещественное число, то то же самое можно сказать о равном ему числе
11
w,
n(v)
1
1
Поэтому число
( 1 1
) )
является кратным нулем функции К<Д£). Таким образом, справедливо утверждение
Теорема 2. Если система (2.1) имеет вещественные коэффициенты и если функция К<Д£) имеет только простые нули, то число вещественных корней системы (2.1) в области совпадает с числом вещественных нулей функции К^(¿) на интервале (а, Ь).
Данная теорема является естественным обобщением теоремы 1.
5. Нахождение степенных сумм а, — ^^
Рассмотрим вопрос о нахождении степенных сумм а, — Б, .В работах [9]- [12] рассмотрены различные системы вида (2.1) и вычетные интегралы формы
Т 1 /1 <У = [_1__Л^
ир (2тГ ] ' / У ^1+1 . ... ' /! А /2 /„ '
7 7 12
где 7 — некоторый п-мерный компактный цикл, зависящий от вида системы (2.1), в — мультииндекс с неотрицательными целыми координатами, I — (1,..., 1).
Эти вычетные интегралы связывались затем со степенными суммами корней системы в отрицательной степени .
Мы рассмотрим простейшую систему (2.1) (см. [9]), в которой
/,■ (г) — + Я, (г), ; — 1,...,п, (5.1)
где в3 — (в,, в,,---,в»г) — мультииндекс с неотрицательными целыми
координатами, г^ — г^1 ■ г^2 ■ ■ ■ гПп, а Я,(г) — многочлены, в которых каждый входящий в них моном имеет общую степень большую \\в31| — к,, ] — 1,..., п.
Цикл 7 имеет вид
7 — {г € Сп : |г81 — г,, 8 — 1,...,п} г1 > 0,..., гп > 0.
В работе [9] приведены формулы, позволяющие явно вычислять вычетные интегралы .
Затем в [9] показано, что вычетные интегралы равны степенным суммам (—1)ппри некоторых дополнительных предположениях на коэффициенты системы.
Рассмотрим интеграл для функций из разд. 4:
/V1 м 1 а/
(2пг)га У У^'"'' *п/ я1 /
1
1 Г ^ ^ 1 /
(2пг)п У /
7 мм">0
>0 ^ ИвИ^о
1 7 иви^о ; ^
В частности, при j = 0 получим
1 /1 #
(2ттг)- У ^ ' /
7
= (-1Г .
К сожалению, полученное выражение не является степенной суммой , поэтому нам нужно более подробно рассмотреть систему (5.1). Основное допущение, наложенное на систему (5.1) в работе [9], состоит в том, что при замене ^ — 1/и, j = 1,...,п,, сокращении и отбрасывании знаменателя система (5.1) принимает вид
(и) = и^ + < (и), j = 1,...,п, и = («1 ,...,ип), (5.2)
где многочлены <33 (и) имеют степень (по совокупности переменных) строго меньшую, чем . При этом корни ш(^) из Е перейдут в корни Е' системы (5.2) с ненулевыми координатами и^).
В качестве функции ^ возьмем многочлен степени N. В этом случае степенные суммы примут вид
= £^К*),---,ига(^)), ; > 1. ^>1
Для вычисления этих выражений можно воспользоваться формулой Айзенберга (см., например, [17, формула (8.9)]. Поэтому справедливо утверждение
Следствие 1. Степенная сумма
Га1 ... Га»
(5.3)
^ = Е (-1)"°"М
Га1 . . . Г а»
■ ■ ■ «го
где — якобиан системы (5.2), N ■ j — степень многочлена ^, а М — линейный функционал, сопоставляющий 'ряду Лорана (стоящему под знаком функционала М) его свободный член.
Как нетрудно проверить, что при ] — 0 выражение в формуле (5.3) будет равно 81 ■ ■ ■ т.е. числу корней системы (5.2).
В работе [9] рассмотрены и более сложные системы, состоящие из целых функций. То же самое можно сказать о работах [10-12].
6. Пример
Рассмотрим систему уравнений
22 + а12122 + Ь1 г2 + с^^ — 0
(6 1)
21 + а2г| + Ь22122 + 022122 — 0. ( . )
Данная система удовлетворяет условиям, наложенным на систему из [9], для подсчета степенных сумм (теорема 2). Действительно, сделав замену щ — 1/21, ^2 — 1/22 и отбрасывая знаменатель, получим систему
+ а1«1 + Ь1 и2 + С1 — 0, (6 2)
и2 + а2^1 + Ь2и2 + С2 — 0. ( . )
Найдем результант системы (6.1) по переменной 21, используя любой метод, например результант Сильвестра (см. [6, гл. 11, §54]). Запишем систему (6.1) по переменной 22.
22 (1 + а121 + с^) + Ь122 — 0, (а2 + С221) + 22Ь221 + 21 — 0.
В качестве результанта возьмем определитель
1 + а121 + с122 Ь122 0
К(21) —
0 1 + а121 + с^2 Ь122
а2 + С221 Ь221 21
— 21 ■ (с2 + Ь1с2 - 61620^ + (2а1С1 + а2Ь1 - ах&1Ь^ +
+22 (а? + 2С1 - Ь^) + 212а1 + 1 .
Таким образом, система имеет 5 корней. Из них один — это начало координат (0,0), остальные 4 имеют ненулевые координаты, т. е. принадлежат Е.
Нетрудно понять, что К(21) не имеет кратных корней при почти всех значениях коэффициентов (если рассматривать его дискриминант). Поэтому по теореме 1 число вещественных корней системы (6.1) совпадает с числом вещественных корней К(21). Это число можно найти, не вычисляя корней, с помощью метода Эрмита квадратичных форм (см., например, [3, гл. 16, §9]).
Рассмотрим применение теоремы 2. В качестве функции ^>(2) возьмем функцию ^>(2) — 22 + 22. Таким образом будем искать число корней системы в круге или в кольце. Запишем систему (6.2) в виде
— и2 + <31 — 0,, ^2 — и2 + <32 — 0,
где < 1 — а1«1 + Ь1^2 + С1, <2 — а2^1 + Ь2^2 + С2. Якобиан JF этой системы равен
JF — 4щ1щ2 + 2а1 и2 + 2Ь2щ1 + а1Ь2 — а2 Ь1.
Согласно следствию 1 нам нужно вычислить выражения
Sj = Е (-1)"0"M
, = , ____
Ч>
IHK2j
Q «1 • qq «2
(«! + U2yjF 2ai + l 2а2+1
u1 • u2
При j = 0 получим, что данное выражение равно 4, т. е. числу корней системы (6.2).
Вычисляя этот функционал, получим
Sj = 2а2 + 2aia2 + 2b? + 2М2 - 4(ci + С2), S^ = (а? + a2)2(-2bib2 + 2a? - 4c?) + (b? + b2)2(2a?a2 + 2b2 - 4c2) + +4(c? + C2)2 + 2(a?b2 + 3a2bi)(a? + a2)(b? + 62)--4a?((a? + a2)(c? + C2) - 4b2(b? + b2)(c? + C2).
Затем вычислим S^, S^. Понятно, что данные формулы становятся все более громоздкими и для их нахождения лучше привлекать системы компьютерной алгебры (например, Maple), тем не менее мы получим конечный ответ.
После этого, применяя классические формулы Ньютона (см., например, [6, §53]) либо формулы (4.4), получаем многочлен P (t) = t4 + bit3 + b2t2 + b3t + b4 четвертой степени с нужными корнями. Его и исследуем на наличие вещественных корней на заданном промежутке и кратность.
В качестве более общего примера мы можем рассмотреть целые функции Qi, Q2, содержащие произвольные мономы степеней больше чем 2.
7. Заключение
Рассмотрена система уравнений вида (2.1), где функции fj(2) являются целыми функциями от п комплексных переменных с вещественными коэффициентами разложения в ряд Тейлора в точке 0. Для заданной целой функции ^>(2) с вещественными коэффициентами разложения в
точке 0 исследуется вопрос о числе вещественных корней системы (2.1) в области = {x € : а < <^(x) < b}, где x = Rez.
Для этого вводится понятие результанта (t) системы и функции используя понятие вычетных интегралов и степенных сумм корней системы в отрицательной степени. Показано, что если результант R^(i) не имеет кратных корней, то число вещественных корней системы (2.1) в области равно числу нулей результанта R^(t) на интервале (а, b). Приведен пример, показывающий, что данное утверждение вполне алгоритмизуемо.
Список источников
1. Айзенберг Л. А., Болотов В. А., Цих А. К. О решении систем нелинейных алгебраических уравнений с использованием многомерного логарифмического вычета. О разрешимости в радикалах // Доклады АН СССР. 1980. Т. 252, № 1. С. 11-14.
2. Быков В. И., Цыбенова С. Б. Нелинейные модели химической кинетики. М. : КРАСАНД, 2011. 387 с.
3. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 577 с.
4. Иохвидов И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. М. : Наука, 1974. 263 с.
5. Куликов В. Р., Степаненко В. А. О решениях и формулах Варинга для систем п алгебраических уравнений от п неизвестных // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 5. С. 200-214.
6. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. : Наука, 1971.
7. Кытманов А. М. О числе вещественных корней систем уравнений // Известия вузов. Математика. 1991. № 6. С. 20-23.
8. Кытманов А. М. Алгебраические и трансцендентные системы уравнений. Красноярск : СФУ, 2019. 354 с.
9. Кытманов А. М., Мышкина Е. К. Нахождение степенных сумм корней систем неалгебраических уравнений в Сп // Известия вузов. Математика. 2013. № 12. С. 36-50. https://doi.org/10.3103/S1066369X13120049
10. Кытманов А. М., Мышкина Е. К. О степенных суммах корней систем целых функций конечного порядка роста // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2014, Т. 14, № 3. С. 62-82. https://doi.org/10.1007/s10958-016-2748-7
11. Кытманов А. М., Мышкина Е. К. О вычислении степенных сумм корней одного класса систем неалгебраических уравнений // Сибирские электронные математические известия. 2015. Т. 12. С. 190-209. https://doi.org/10.17377/semi.2015.12.016
12. Кытманов А. М., Мышкина Е. К. Вычетные интегралы и формулы Варинга для алгебраических и трансцендентных систем уравнений // Известия вузов. Математика. 2019. №5. С. 40-55 https://doi.org/10.26907/0021-3446-2019-5-40-55
13. Кытманов А. М., Ходос О. В. Об одном подходе к определению результанта двух целых функций // Известия вузов. Математика. 2018. № 4. С. 49-59. https://doi.org/10.3103/s1066369X18040059
14. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. Т. 2. М. : Наука, 1968. 626 с.
102
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25
26
1
2
3
4
5
6
7
8
Тарханов Н. Н. О вычислении индекса Пуанкаре // Известия вузов. Математика. 1984. № 9. С. 47-50.
Чеботарев Н. Г. Собрание сочинений. М. ; Л. : АН СССР, 1949. Т.2. 417 с. Elimination Methods in Polynomial Computer Algebra / eds. Bykov V., Kytmanov A., Lazman M., Passare M. Dordreht : Springer science+business media, 1998. 254 p.
Jury E. I. Inners and stability of dynamic systems. New York ; London ; Sydney ; Toronto : Wiley, 1974. 308 p.
Khodos O. V. On Some System of Non-algebraic Equation in Cn // Journal SFU. Mathematics and Physics. 2014. Vol. 7, N 4. P. 455-465.
Krein M. G., Naimark M. A. The Method of Symmetric and Hermitian Forms in the Theory of the Separation of the Roots of Algebraic Equation // Linear Multilin. Algebra. 1981. Vol. 10, N 4. P. 265-308.
Kytmanov A. M., Khodos O. V. On localization of the zeros of an entire function
of finite order of growth // Journal Complex Analysis and Operator Theory. 2017.
Vol. 11. P. 393-416. https://doi.org/10.1007/s11785-016-0606-8
Kytmanov A. M., Khodos O. V. On the roots of systems of
transcendental equations // Probl. Anal. 2024. Vol. 13, N 1. P. 37-49.
https://doi.org/10.15393/j3.art.2024.14430
Kytmanov A. M., Khodos O. V. On the real roots of systems of transcendental equations // Journal SFU. Mathematics and Physics. 2024. Vol. 17, N 3. P. 326333.
Kytmanov A. A., Kytmanov A. M., Myshkina E. K. Residue Integrals and Waring's Formulas for Class of Systems of Transcendental Equations in Cn // Journal of Complex variables and Elliptic Equations. 2019. Vol. 64. P. 93-111. https://doi.org/10.1080/17476933.2017.1419210
Kytmanov A. M., Naprienko Ya. M. One approach to finding the resultant of two entire function // Complex variables and elliptic equations. 2017. Vol. 62. P. 269-286. https://doi.org/10.1080/17476933.2016.1218855
Passare M., Tsikh A. Residue integrals and their Melin transforms // Can. J. Math. 1995. Vol. 47. P. 515-529.
References
Ajzenberg L.A., Bolotov V.A., Tsikh A.K. On the solution of systems of nonlinear algebraic equations using the multidimensional logarithmic residue. On the solvability in radicals. Sov. Math. Dokl., 1980, vol. 21, pp. 645-648. Bykov V.I., Tsybenova S.B. Nonlinear models of chemical kinetics. Moscow, KRASAND Publ., 2011, 387 p. (in Russian)
Gantmakher F.R. Theory of Matrices. New York, Chelsea Pub. Co., 1959, 298 p. Iokhvidov I.S. Hankel and Toeplitz matrices and forms. Springer, 1982, 244 p. Kulikov V.R., Stepanenko V.A. On solutions and Waring's formulae for the system of n algebraic equations with n unknowns. St. Petersburg Mathematical Journal, 2015, vol. 26, no. 5, pp. 839-848. https://doi.org/10.1090/spmj/1361 Kurosh A.G. Higher Algebra. Central Books Ltd, 1972, 428 p. Kytmanov A.M. On the number of real roots of systems of equations. Soviet Math. (Iz. VUZ), 1991, vol. 35, no. 6, pp. 19-22.
Kytmanov A.M. Algebraic and trascendental systems of equations, Krasnoyarsk, Siberian Federal University Publ., 2019, 354 p. (in Russian)
9. Kytmanov A.M., Myshkina E.K. Evaluation of power sums of roots for systems of non-algebraic equation in Cn. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2013, vol. 57, no. 12, pp. 31-43. https://doi.org/10.3103/S1066369X131200499
10. Kytmanov A.M., Myshkina E.K. Power Series and Roots of Systems of Entire Functions of Finite Growths Order. Journal of Mathematical Sciences, 2016, vol. 213, no. 6, pp. 868-886. https://doi.org/10.1007/s10958-016-2748-7
11. Kytmanov A.M., Myshkina E.K. On calculation of power sums of roots for one class of systems of non-algebraic equations. Sib. Electr. Math. Reports, 2015, vol. 12, pp. 190-209. https://doi.org/10.17377/semi.2015.12.016 (in Russian)
12. Kytmanov A.M., Myshkina E.K. Residue inttegrals and Waring formulas for algebraic and transcendent systems of equations. Russian Mathematics (Izvestiya VUZ. Matematika), 2019, vol. 63, no. 5, pp. 36-50. https://doi.org/10.3103/S1066369X19050049
13. Kytmanov A.M., Khodos O.V. An approach to the determination oof the resultant of two entire functions. Russian Math. (Izvestiya VUZ. Matematika), 2018, vol. 62, no. 4, pp. 42-51. https://doi.org/10.3103/S1066369X18040059
14. Markushevich A.I. Theory of Functions of a Complex Variable. Vol. 2. Prentice-Hall, 1965, 333 p.
15. Tarkhanov N.N. Calculation of the Poincare index. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat., 1984, no. 9, pp. 47-50 (in Russian)
16. Chebotarev N.G. Work Collection. Moscow, Leningrad, AN SSSR, 1949, vol. 2, 417 p.
17. Elimination Methods in Polynomial Computer Algebra / eds. Bykov V., Kytmanov A., Lazman M., Passare M. Dordreht : Springer science+business media, 1998. 254 p.
18. Jury E.I. Inners and stability of dynamic systems. New York, London, Sydney,Toronto, Wiley, 1974, 308 p.
19. Khodos O.V. On Some System of Non-algebraic Equation in Cn Journal SFU. Mathematics and Physics, 2014, vol. 7, no. 4. pp. 455-465.
20. Krein M.G., Naimark M.A. The Method of Symmetric and Hermitian Forms in the Theory of the Separation of the Roots of Algebraic Equation. Linear Multilin. Algebra, 1981, vol. 10, pp. 265-308.
21. Kytmanov A.M., Khodos O.V. On localization of the zeros of an entire function of finite order of growth. Journal Complex Analysis and Operator Theory, 2017, vol. 11, pp. 393-416. https://doi.org/10.1007/s11785-016-0606-8
22. Kytmanov A.M., Khodos O.V. On the roots of systems of transcendental equations. Probl. Anal., 2024, vol.13, no. 1, pp. 37-49. https://doi.org/10.15393/j3.art.2024.14430
23. Kytmanov A.M., Khodos O.V. On the real roots of systems of transcendental equations. Journal SFU. Mathematics and Physics, 2024, vol. 17, pp. 326-333.
24. Kytmanov A.A., Kytmanov A.M., Myshkina E.K. Residue Integrals and Waring's Formulas for Class of Systems of Transcendental Equations in Cn. J. Compl. Var. Ellip. Eq, 2019, vol. 64, pp. 93-111. https://doi.org/10.1080/17476933.2017.1419210
25. Kytmanov A.M., Naprienko Ya.M. One approach to finding the resultant of two entire function. Comp. var. ellip. eq., 2017, vol. 62, pp. 269-286. https://doi.org/10.1080/17476933.2016.1218855
26. Passare M., Tsikh A. Residue integrals and their Melin transforms. Can. J. Math., 1995, vol. 47, pp. 515-529.
Об авторах Кытманов Александр Мечиславович, д-р физ.-мат. наук, проф., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, akytmanov@sfu-kras.ru, https://orcid.org/0000-0002-7394-1480
Ходос Ольга Вениаминовна,
канд. физ.-мат. наук, доц., Сибирский федеральный университет, Красноярск, 660041, Российская Федерация, khodos_olga@mail.ru
About the authors Alexander M. Kytmanov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, akytmanov@sfu-kras.ru, https://orcid.org/0000-0002-7394-1480
Olga V. Khodos, Cand. Sci. (Phys.Math.), Assoc. Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041, Russian Federation, khodos_olga@mail.ru
Поступила в 'редакцию / Received 29.02.2024 Поступила после рецензирования / Revised 25.04.2024 Принята к публикации / Accepted 06.05.2024
