CC BY
146. Фейнман, Р. Лейтон, Р. Сэндс, М, Фейнмановекие лекции по физике, электродинамика [Текст]. - М,: Мир, 1966. - С. 343.
7. Бронштейн, II.II. Семендяев, К.А. Справочник по математике [Текст]. - М.: Наука, 1986. - С. 544.
8. Матвеев, А.Н. Электричество и магнетизм [Текст]. - М,: Высшая школа, 1983. -С. 463.
9. Эйхенвальд, A.A. Теоретическая физика, электромагнитное поле [Текст]. - М.-Л.: ГНТИ, 1931. - С. 368.
10. Эйхенвальд, A.A. Избранные работы [Текст]. - М,: Гос.-издат. технико-теоретической литературы, 1956. - С. 266.
11. Беккер, Р. Теория электричества [Текст]. - Т. II. Электронная теория. - Л.-М.: Гос.-издат. технико-теоретической литературы, 1941. - С. 391.
12. Власов, A.A. Макроскопическая электродинамика [Текст]. - М,: Гос.-издат. технико-теоретической литературы, 1955. - С. 228.
13. Фриш, С.Э. Тиморева, A.B. Курс общей физики [Текст]. - Т. II. . - М,: Гос. изд. физ.-мат. литературы, 1962. - С. 514.
УДК 521.3
А.Э. Байдин
О ВЕКОВЫХ И ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ В ТРОЙНЫХ
ЗВЁЗДНЫХ СИСТЕМАХ
В работе теоретически проанализированы возмущения возникающие в тройных звезд-ных системах. Рассмотрен метод определения возмущенных орбит. Изучены возмущения тройной звезды ADS 440.
Ключевые слова: визуально-двойные звезды, тройные звезды, возмущенные орбиты, спекл-интерферометрические наблюдения.
А.Е. Baydin
ABOUT AGE-OLD AND PERIODIC INDIGNATIONS IN THREEFOLD
STAR SYSTEMS
In this work htrturbations of triple stars are investigated. The method of determination of the perturbed orbits is developed. The method was used for calculatijn of real orbit ADS 440. Keywords: visual binary stars, triple stars, perturbed orbits, interferometric observations.
В исследовании кратных звёзд можно выделить следующие актуальные задачи [1]: 1) встре-чаемость кратных звёзд, поиск тесных двойных в известных парах; 2) определение периодов внешних и внутренних пар, отношений расстояний, ориентации орбит (относительно друг друга, плоскости Галактики и др), отношений масс; 3) исследование стабильности; 4) исследование воз-мущений. Целью работы является изучение движений кратных звёзд с учётом возмущений.
Отличительной особенностью тройных звёздных систем является расположение звёзд в них (рис. 1): имеется двойная тесная пара и третья, значительно удалённая от нее, компонента. Поэтому задачу описания движений тройной системы можно разложить на две: 1) движение тесной пары в поле более удалённой компоненты; 2) движение широкой пары с учётом двойственности одной из компонент. Удалённая компонента вносит возмущения в движение тесной пары, поэтому её движение отличается от кеплеровского. Эти возмущения исследуются в работе.
Рассмотрим задачу трёх тел. Для тройных звёзд (подобная ситуация в теории Луны) удобно рассматривать движение звезды-спутника тесной пары относительно главной компо-
X у 2
ненты (система координат ' ' ) и движение удалённой звезды относительно цен-
X' У '2'
тра масс тесной пары ( ' ' ). Декарто-
X у £
вые координаты звезды-спутника ( ),
х' у' £ '
удаленной компоненты (л>*>* ). Уравнения движения в этих координатах [2]:
Ж X
И? ~
Ж2 X' Ж2
(
1 1
—+ —
Л
V т0
тл
1 У
др дх
1
1
Рис. 1
V то + т
т,
2 У
дР дх'
где полная силовая функция
Р = к2
т0 т1
тт
2
т1т2
г г г
01 02 12
Аналогичные уравнения получаются для
у У
и
Для дальнейших вычислений необходимо радиус-векторы
г г
' т ' п'
(1)
(2)
представить через
X У 2 X 'У '2'
координаты рассмотренных систем координат ( ) и ( )
г =
'02
Г01 = г
1+-2т.
т0 + т1 г'
-соб^) +
т
22 \ / г \
V т0 + т1 у
г12 =
1 --
2т0
т0 + т1 г
-СОБ^) +
т
22 \ / г \
V т0 + т1 у
(3)
и
где 5 - угол между векторами г
После подстановки (3) в (2) полную силовую функцию можно разложить, используя полиномы Лежандра [2]:
Р = к2
т0т1 (т0 + т1)т2 т0т1т2 г2
т0 + т1 г'
Р, (СОБ 5) + -
т0 т1т2(т0 -т1) г3
(т0 + т1)
Р, (СОБ 5) +...
г / -
(4)
В дальнейшем будут использоваться следующие обозначения: - истинная аномалия звезды-спутника, $ - истинная аномалия удалённой компоненты (обозначения со штрихом относятся к удалённой компоненте, без штриха к звезде-спутнику в тесной паре), ® - угловое расстояние периастра от восходящего узла (линия узлов - прямая, образованная пересечением плоскостей орбит, узел - точка пересечения орбиты одного тела с плоскостью орбиты другого), ® + ® -
£
£
г
долгота периастра, щ 3 + $ & + С + / - истинная долгота, М - средняя аномалия, Л = 3 + М - средняя долгота.
Первые два члена в (4) характеризуют невозмущенное движение, остальные - возмущения. В дальнейшем при анализе движения будем рассматривать только полиномы Лежандра второго
порядка р (с°8 ^) . Разложив третий член в (4) по элементам, характеризующим движение небесных тел в пространстве, используя решение для скоростей изменения элементов орбиты, полученное методом вариации произвольных постоянных, для вековых членов можно получить
— 3 п '2 т2
со = ■ 2
а = 0 ё = 0 I = 0 2 п то + т + т
2
X 3 п '2 т2 — 7 п '2 т2
& = ----2- X =----2
4 п т0 + т, + т2 4 п т0 + т, + т2 ...
0 1 2 и 0 1 2 , (5)
т X = —пТ
где 1 - угол между плоскостями орбит, р .
Величина & характеризует положение прямой, образованной пересечением плоскостей орбит в тройной системе. Элементы орбит двойных звёзд, определяющие положение орбиты в пространстве, имеют аналогичные обозначения, но характеризуют другие величины, поэтому в дальнейшем их обозначения будут дополнены нижними индексами: &л и 3 . Нельзя искать возмущения периастра, не учитывая возмущения по другим элементам. Так как для тройных систем
движение углового расстояния периастра от восходящего узла 3 и позиционного угла линии узлов & при малом 1 происходит почти в одной плоскости, то целесообразней рассматривать вековое возмущение долготы периастра
— т :•: — 3 п '2 т2
3 л =сс =& + сС = '"2
I = 0 то & =0 и 7 = 0
4 п т0 + т1 + т2
Так как 1 0 , то
Наличие не нулевого отрицательного значения х приводит к более медленному обращению тесной пары в сравнении со случаем, когда удалённая компонента отсутствует (период будет больше, среднее годичное движение меньше). Это можно пояснить, рассмотрев выражение для средней аномалии
М = п(Тг — Тр) = пТг +Х = пТ +Х Т +Х0 = (п + Х )Т +Х0 = п1Тг +Х0
Подобные формулы для средних аномалий получаются при решении других задач, например, если рассматривать приближение или удаление к наблюдателю визуально-двойной звезды. Учесть подобные эффекты, если лучевая скорость движения центра масс неизвестна, невозможно, они приводят только к незначительному изменению периода. Поэтому при рассмотрении тройных систем изначально в вычислениях этот член учитываться не будет, но его нужно учитывать для получения истинных значений масс.
Самое большое периодическое возмущение истинной долготы и радиус-вектора (эвекция)
дщ =15—ё 8т(А — 2Л'+ С ) 4 п
дг 15 п'
— =---ё ео8(Д — 2Л'+СС)
а 4 п , (7)
где истинная долгота щ = щ + дщ, радиус-вектор г = г +дг , то есть функции дщ и дг характеризуют только периодическое возмущение. Для тесной пары
дщ = дс,
Выражение (7) позволяет определить среднее движение и период данного возмущения
^ р =
I , ~ ev
nv = n - 2n + а> n.
(8)
Используя шестой каталог орбит [3], можно по вычисленным элементам невозмущенных орбит оценить возмущения в кратных системах. Рассмотрим тройную систему ADS 440. В таблице указаны элементы орбит широкой и тесной пары, вычисленные Докобо.
Таблица 1
ADS P, год a, " i, ° Od ° Tp,год e (d °
440 Aa,Ab 15.64 0.511 44.6 175.1 2000.76 0.174 106.8
440 AB 222.3 3.322 47.3 174.9 1859.4 0.293 146.3
Наклоны орбит * и позиционные углы линий узлов почти равны, поэтому угол между
плоскостями орбит (1) мал, эксцентриситеты довольно велики, при выводе формул взята точность до второго порядка по эксцентриситетам. Подставив значения из таблицы в (5), (6), (7) и (8),
предположив, что массы звёзд равны, получим: ф — 0,057 / год, О,— 0,028 ° год,
ф — 0,028°/год \5ттх\ — 0.023" |^тах| — 0.046рад — 2.63° пт — 19.8°/год Р^ — 18.2г 11 11' В работе исследуются возмущения тесных пар кратных звезд с использованием данных четвёртого интерферометрического каталога [4]. Для исследований применяется метод дифференциальных поправок, определяющий элементы орбиты и движение периастра, по наблюдаемым пози-д о
ционным углам ( к) и разделениям ук ), а также метод вычисления периодических возмущений большой полуоси, радиус-вектора и долготы периастра.
Разделения и позиционные углы можно рассматривать как функции шести элементов орбиты и времени:
0 = f(n TP, e, 1, Od , (, тк) и рк = g (n TP, a (d, Tk ),
TP
(9)
где n ^P - среднее движение, P - период, ^ p - эпоха прохождения периастра, e - эксцен-
триситет, a - большая полуось, 1 - наклонение орбиты,
Od
позиционный угол линии узлов,
TP
- угол между линией узлов и периастром (долгота периастра).
В рассматриваемом случае
(=(0 + ( (Tk - TP)
где
а
d 0
долгота периастра на эпоху
(0А
вековое движение периастра, усреднённое за период.
Для приращений функций при постоянстве времени для каждого из наблюдений Щ — /„Ап + /Тр АТр + /е Ав + /г М + /пАОа + Д Аф
а0 ^ ^фАф а ^дк
1
АОк — §п А„ + §тр АТр + § Ав + §а А« + g1 М + §ф0 Аф а0 ^ §фАфа ^ок
(10)
где
Pk (cal)
Ад,г dk(„hs) Ok(cal) Apk pk(obs) Pk(cal) Ok(obs) „ рИ"Ь,) - « 0
к(оь$') к(са1) гк Ик:(оЬв') ук(са1) к(оь$) и нк(оЬв') — данные наблюдений к(са1) и - вычисленные по элементам орбиты (первым приближениям или элементам на каждом
шаге рекурсии) позиционные углы и разделения, Sek , SP -
относительно
величины, имеющие высший порядок
АТ
Ап, р, Ае, Аа, М , АО и Аф . Для работы метода дифференциальных попра-
£
вок необходимо, чтобы дк и О не имели значительных отклонений от нуля, что требует наличия хороших первых приближений. Первые приближения можно взять из шестого каталога орбит [3] или вычислить по одному из методов, не использующих первое приближение [5, 6].
Частные производные , Тр , •/е, ^ , , , ® , , Тр , , , , ® опре-
деляются из основных уравнений, описывающих кинематику двойных звёзд [5]:
Ек - е ът{Ек ) - п(Тк - Тр) = 0 (11)
tg(ук /2)) = V(1 + e)/(1 - e)tg(Ek /2)
Рк =
(13)
a(1 - e2) cos(Vk + (d )
1 + ecosУк cos(&k-Qd), (14)
(d = (da + ®d (Tk - Tp)< \
d d 0 k p (в случае учета движения периастра). (15)
Система 2N -уравнений (10) с восьмью неизвестными решается методом наименьших квадратов (N - число наблюдений). Для решения необходимо N — 4. Ставится задача нахождения минимума выражения
N
Е [w(k (Pks(k/°eY + wp (Zfk/°P)2] k=1 , (16)
где Wek и Wpk - веса наблюдений или функции весов, °'в и °р - среднеквадратичные отклоне-
о > 5"
ния. Для фотографических (в Пулковском каталоге [7] для пар, у которых у .) и интерферо-
метрических наблюдений измерения позиционного угла и разделения равнозначны, поэтому в и
°р из (16) можно исключить и приравнять веса наблюдений разделений и позиционных углов.
Веса наблюдений Wek Wpk можно определить методом, предложенным Харткопфом и др. [8].
Рассмотрим кратную звезду ADS 440. В четвёртом каталоге интерферометрических наблюдений двойных звёзд [4] имеется 16 наблюдений тесной пары. Орбита ранее определялась в работе [6] по 14 наблюдениям, наиболее точный результат был получен самым неточным методом - геометрическим [9], что говорило о необходимости учёта возмущений при определении орбиты. Элементы орбиты, вычисленные геометрическим методом, близки к современным, определённым Докобо [3]. В результате вычислений получались большие несвойственные для интерферометри-ческих наблюдений ошибки позиционных углов, причиной которых являются периодические возмущения. Это следует из того, что учёт вековых возмущений не привел к значительному уменьшению среднеквадратичной ошибки (табл. 2). Элементы орбиты рассчитаны методом дифференциальных поправок по разделению и позиционному углу (16), в первом случае без учёта движения периастра, во втором - с учётом. Вековое возмущение периастра не совпадает с предсказанным теоретически (6), что связано с малой длиной наблюдённой дуги (один полный оборот). _Таблица 2
ADS 440 Aa,Ab
№ P, год a, " i, ° ^d ° Tp,год e (d ° ® , °/г. °
1 15.705 0.5056 43.53 175.75 2000.67 0.176 103.97 - 2.56 0.0126
2 16.009 0.5075 43.99 175.35 2000.68 0.178 104.65 0.353 2.51 0.0130
Среднеквадратичные ошибки, вычисленные по элементам орбиты, полученной Докобо: = 2°.95 ао = 0".012
и
о
Обычно при определении периодических возмущений вычисляют элементы невозмущенной орбиты, в дальнейшем по невязкам определяют периодические возмущения или, используя наблюдения, находят периодические возмущения интересующих величин. Стандартный подход определения периодических возмущений в данном случае не применим, так как период этого возмущения примерно равен времени наблюдения пары. В работе периодические возмущения истинной долготы, вычисленные с помощью (7) и элементов невозмущенной орбиты Докобо, были включены в уравнения (10) и с их учётом определялись элементы орбиты.
= 2-63с
Амплитуда периодического возмущения (7) l maxi , вековой член
3 d = 0,028° / год
и с учетом выражения
Ь - 23 ' = n(T - T ) - 2n '(T - T ') + 2( - 23 '
, (17)
X-2X'+3 = n(T -Tp)-2n'(T -Tp ') + 23 -23)' = n(T -Tp)-2n'(T -Tp ') + 2з, -2з,
получаем закон изменения долготы периастра
- T ) - 2n '(T - T ') + 2т - 23 ')
(18)
3, = 3,о + 0 028(T - Tp) + 2.63 sin(n(T - Т) - 2n '(T - Tp ') + 2з,о - 2(о')
где p , n , ^0 и ®d0 - элементы орбит, вычисленные Докобо.
Подставляем (18) в (10), в итоге получаем задачу, аналогичную (16). Результаты вычислений ADS 440 представлены в табл. 3.
Величина ®d ®d в (18) при определении элементов орбиты была изменена - вместо _40
было взято значение _ 108 . Это может быть связано с неточным определением долготы периастра широкой пары или влиянием возмущений, которые не были учтены в процессе работы.
_Таблица 3
A] DS 440 Aa,Ab
P, год a, " i, ° ^ ° Tp, год e 3d ° ® p "
15.865 0.510 44.00 175.92 2000.81 0.166 106.69 2.365 0.012
Вековые возмущения тесных пар в кратных системах составляют ~10-2-10-3 / год . При современной точности наблюдений их можно рассматривать, если наблюдениями охвачено несколько оборотов. Амплитуда некоторых периодических членов достигает нескольких градусов, поэтому они должны учитываться при вычислении орбит.
В работе теоретически предсказаны, а затем рассчитаны возмущения тройной звезды ADS 440. Исследования показали, что у тесной пары имеется периодическое возмущение большой ам-
l^rnaxl = 0.046рад = 2.63° ..
плитуды 1 1 , что подтверждено с помощью теоретических расчетов и при
обработке наблюдений этой пары.
Библиографический список
1. Tokovinin A. Statistics of multiple stars. in: Proc. IAU Coll. 191, ed. C. Scarfe & C. Allen. Rev. Mex. Astron. Astrof., Con. Ser., 2004, v. 21, p. 7-14.
2. Брауэр, Д. Методы небесной механики [текст] : [пер. с англ. В.К. Абалакин] / Д. Брауэр, Дж. Клеменс. -М. : Мир, 1964. 516 с.
3. Hartkopf W.I., Mason B.D. Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2009. Electronic version http://ad.usno.navy.mil/wds/orb6.html.
4. Hartkopf W.I., Mason B.D., Wycoff G.L. Fourth Catalog of Interferometric Measurements of Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001 (updated 2009).
5. Куто, П. Наблюдения визуально-двойных звёзд [текст] : [пер. с франц. А.М. Черепащук] / П. Куто. - М. : Мир, 1981. - 240 с.
6. Байдин, А.Э. Метод определения элементов орбиты визуально-двойной звезды для эллиптического и гиперболического движения. // Электронный журнал "Исследовано в России". - 2007. - С. 480-490. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2007/044.pdf.
7. Киселёв, А.А. Каталог относительных положений и движений 200 визуально-двойных звёзд по наблюдениям в Пулкове на 26" рефракторе в 1960-1986 гг. [текст] / А.А. Киселёв, О.А. Калиниченко, Г.А. Плюгин, Н.А. Шахт, О.В. Кияева, Б.А. Фигаро, О.П. Быков ; Главная астрономическая обсерватория АН СССР. - Л. : Наука, 1988. - 40 с.
8. Hartkopf W.I., McAlister H.A., Franz O.G. Binary star orbits from speckle interferometry. II. Combined visual/speckle orbits of 28 close systems. Astron. J. v. 98, p. 1014-1039, 1989.
9. Байдин, А.Э. Постановка лабораторной работы "Расчёт невозмущенных орбит визуально-двойных звёзд по пяти и более наблюдениям" // Методика преподавания астрономии: сборник статей / под ред. Румянцева А.Ю.). - Магнитогорск: МаГУ, 2005.
Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2010 г. (государственный контракт № П539). © А.Э. Байдин, 2010
УДК 521.3
Л.В. Смирнова
ДВИЖЕНИЕ РАССЕЯННЫХ СКОПЛЕНИЙ ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ГАЛАКТИКЕ ПОД
ВЛИЯНИЕМ ПОЯСА ГУЛЬДА
В статье рассматривается движение рассеянных скоплений в локальной системе связанной с центром Пояса Гульда. Находиться взаимосвязь между физическими и динамическими параметрами скоплений.
Ключевые слова: рассеянные скопления, пояс Гульда, динамика Галактики.
L.V. Smirnova
MOVEMENT OF SPARSE CONGESTIONS IN A ROTATING GALAXY UNDER THE
INFLUENCE OF GULD'S BELT
Open cluster moving in the galactic plane, in curvilinear system of coordinates, shall consider the motion of the cluster under the action of a gravitational field for the Gould belt. We determined correlation between physical and dynamic parameter of the cluster.
Key words: open cluster, Gould belt, dynamics of the Galaxy.
Введение
Для исследования динамики Галактики особую роль играет вычисление орбит различных объектов: звезд, скоплений и ассоциаций. Многими авторами предпринимались попытки вычислить орбиты рассеянных скоплений в различных моделях гравитационного поля Галактики; так, в работе [1] вычисляется орбиты нескольких скоплений на основе потенциала Миямото Нагаи. Одна из проблем вычисления орбит была связана с отсутствием данных, в основном по собственным движениям скоплений и лучевым скоростям. В настоящее время существует каталог DAML [2], содержащий данные о рассеянных скоплениях, такие как лучевая скорость и собственные скорости скоплений, а также некоторые физические характеристики скоплений (металичность, избыток цветности, возраст). Этот каталог уже использовался для расчета орбит скоплений в нескольких моделях потенциала Галактики, например работа [3].
Часть рассеянных скоплений принадлежат поясу Гульда [4,5]. Это ближайший звездно-газовый комплекс в нашей Галактике, подобные структуры являются областями активного звездообразования и существуют в других галактиках [6]. Изучение динамики Местной системы звезд и пояса Гульда в частности является актуальной задачей, так как эти звездные системы выделяются из окружающего фона звезд целым рядом интересных особенностей. Исследование пояса Гульда во вращающейся системе координат было произведено Олано [7] для газа и звезд, входящих в систему.
В данной работе рассчитаны орбиты скоплений в локальной системе координат, связанной с центром пояса Гульда, представленного в виде эллипсоида. Произведен анализ зависимости кинематических и физических характеристик скоплений. Основные уравнения
Для построения орбит скоплений необходимо задать динамическую модель Галактики. В литературе известен ряд динамических моделей (см., например, [8,9]). Была выбрана модель Мия-
