Научная статья на тему 'Определение возмущённых орбит визуально-двойных звёзд по позиционным наблюдениям'

Определение возмущённых орбит визуально-двойных звёзд по позиционным наблюдениям Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
75
13
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Определение возмущённых орбит визуально-двойных звёзд по позиционным наблюдениям»

8. Маркс К. Капитал. Т. 1. М.: Политиздат, 1967. 10. Сурен Л. Валютные операции. Основы теории

С. 72-73. и практики: Пер. с нем. М.: Дело, 1998. С. 28,

9. Пилипенко И.В. Новая геоэкономическая мо- 49, 73.

дель развития страны // Навигут. Альманах. 11. Холопов А. Валютный курс как инструмент

2003. №4. С. 248-251. макроэкономического регулирования // МЭ и

МО. 2004. № 12. С. 25-33.

А.Э. БАЙДИН

Определение возмущённых орбит визуально-двойных звёзд по позиционным

наблюдениям

Методы определения орбит визуально-двойных звёзд разрабатываются с XIX века. Первые методы были графическими, то есть требовали построения видимого эллипса, например, метод Тиля-Иннеса-ван ден Боса [12, 13], Анрото-Стьюарта [5], Цвирса [5], Млодзеевского [12], или требовали наложения дополнительных условий на наблюдения - метод противоположных точек Данжона [13]. Это связано с тем, что в общем виде аналитическая обработка всех серий наблюдений представляет очень громоздкую задачу [2]. Современные методы определения орбит двойных звёзд связаны с обработкой наблюдений на коротких дугах широких пар, но требуют дополнительных данных - метод ПВД [9].

Число известных визуально-двойных звезд в настоящее время приближается к 100000 [14], число рассчитанных орбит много меньше. Обновлённый шестой каталог орбит визуальнодвойных звёзд [21] на 30 июня 2006 года содержит 2024 определённых орбит из 1888 систем (разные авторы получают различные результаты). Четверть века назад Куто [13] подчёркивал, что основные трудности в определении орбит связаны с ошибками наблюдений и для произвольного состава наблюдений двойной звезды никогда не удастся привлечь к определению её орбиты вычислительную технику. Двойные звёзды - единственный источник прямых методов определения масс звёзд. Для этого, кроме элементов орбиты, необходимо знать параллакс и собственное движение звезды. Параллакс является очень малой величиной, что затрудняет его точное определение, а определение собственного движения требует длительных наблюдений обеих звёзд относительно далёких звёзд фона, поэтому количество рассчитанных масс звёзд исчисляется десятками.

Точность оптических наблюдений в последние десятилетия растёт. Так, в каталоге Эйт-кена [25] (если исключить грубые ошибки в наблюдениях) разделение между компонентами в среднем определяется с погрешностью ±0".1, а компоненты с разделением меньше данной величины не измерялись. Дейч в статье “Роль и значение фотографической астрометрии” [1] для фотографических измерений двойных звёзд среднюю ошибку в определении расстояния между компонентами оценивает ±0".02. В современную эпоху среднеквадратичная ошибка фотографических наблюдений оценивается 0''.006-0''.020 (http://www.puldb.ru). Точность определения относительных положений компонент спекл-интерферометрическим методом достигает 0".003 [4]. Теребиж [16] в результате численного моделирования получил предельное разрешение телескопов умеренного размера 0".001-0".1. В настоящее время некоторые наблюдения за двойными ведутся из космоса с разрешением до 0".00001 [22]. Намечаются запуски космических аппаратов “SIM” NASA, “NGST” NASA, “KEPLER” ESA, “EDDINGTON” ESA [24], происходит переход к измерению углов с микросекундной точностью - проект “GAIA” ESA [24].

Повышение точности наблюдений требует создания новых точных методов определения орбит для различных случаев движения (это окружность, эллипс, парабола, гипербола) или различных случаев возмущенного движения - вековые и периодические возмущения. В общем виде можно дать любую функцию в(Т ), сильно отличающуюся от функций конических сечений при сильно возмущенном движении, и получить совершенно новый метод, главное, чтобы найденная функция хорошо описывала наблюдения. Например, Дейч [8] для исключения орбитального движения на коротких дугах использовал х = х0 + аАТ + ЬАТ2 и аналогично по второй координате. Большое количество имеющихся в наши дни данных также требует от новых методов высокой скорости обработки.

В настоящее время для некоторых двойных систем накоплено большое количество наблюдений высокой точности на дугах в несколько оборотов [22], что позволяет определять возмущенные орбиты. Можно найти около 500 систем, совершивших более оборота за двести лет наблюдений, в этом случае определяется вековое движение периастра. Но элементы возмущенного движения при определении орбит визуально-двойных звёзд рассматриваются в настоящее время очень редко.

До недавнего времени о возмущениях судили по различию предсказанных и наблюденных положений звёзд или по обработке наблюдений, произведённых в разные эпохи. В настоящее время появилась возможность вычислять орбиты аналитически, задавая в начальной модели движение по эллипсу и произвольные функции, описывающие вращение эллипса в пространстве (сделать графически это невозможно). Основные трудности данной модели: 1) при малом эксцентриситете орбиты одновременные операции n ± const и О + const слабо изменяют вид движения двойной системы; 2) при малых углах наклона одинаковое влияние на положение звезды-спутника имеют движение линии узлов и движение периастра. Появляются эти трудности из-за ошибок в наблюдениях или сильно-возмущённого движения, которое не описывается предлагаемой моделью (на идеальные смоделированные случаи эти трудности не распространяются).

Наличие возмущений в движении визуально-двойных говорит о присутствии невидимых тел (планет, звёзд слабой светимости) в данной системе. Поиск малых тел в звёздных системах вызывает большой интерес у исследователей. В работах Тутукова [18-20] рассматривается ряд факторов, свидетельствующих о существовании внесолнечных планетных систем, сообщаются основные успехи в данной области. Изучение звёзд, имеющих невидимые спутники, по оптическим наблюдениям ведётся в ГАО РАН (http://www.puldb.ru) [7, 23].

В современную эпоху исследованиям динамики и кинематики визуально-двойных звёзд уделяется большое внимание [4, 7-11, 15, 17, 21]. Некоторые звёзды вызывают особенный интерес. Например, элементы орбиты ADS 14636 (61 Cyg) определялись во многих работах [9-11], а А.Н. Дейч, О.Н. Орлова [8], Д.Л. Горшанов и др. [7] вычисляли параметры предполагаемых невидимых спутников этой двойной звезды.

В данной работе рассматривается метод определения возмущенной эллиптической орбиты. Исходными данными метода являются: Тк - эпоха наблюдения, дк - угол между прямой, соединяющей компоненты пары, и направлением на северный полюс мира. Количество наблюдений N > 8. Разделение между компонентами рк используется только для определения

большой полуоси. Искомыми величинами являются P - период, n - среднее движение, Tp -эпоха прохождения периастра, e - эксцентриситет, a - большая полуось, i - наклонение орбиты, Q - позиционный угол линии узлов, Q - вековое движение линии узлов, О - угол между линией узлов и периастром, (О - вековое движение периастра.

Основные уравнения.

Уравнение Кеплера, связывающее эксцентрическую аномалию (Ек) со средней аномалией (Мк = n(Tk - ТР ))

Ек - e sin(Ek ) - n(Tk - Tp ) * °. (1)

Знак приближённого равенства показывает, что точного равенства для наблюдательного материала при расчетах получить невозможно.

Уравнение, выражающее эксцентрическую аномалию через истинную аномалию (vk)

Ек = 2arctg (V(1 -e)/(1+e)tg (iv/ 2)). (2)

Формула связи наблюдаемых углов Qk видимого эллипса с истинными аномалиями истинного эллипса

vk = arctg (tg (вк - Q - ^ (Тк - Tp ))/ cos(i)) -О-О& (Тк - ТР ) . (3)

Уравнение (3) подставляется в (2), а (2) в (1). После этого (1) можно представить как функцию восьми переменных

рк(Тк,вк,пТР,еи°О,о,й)) * 0. (4)

При обработке уравнение (4) задаёт различный математический вес наблюдениям. По этой причине метод, основанный на нём, не даст минимально возможных невязок. Для исключения данного фактора уравнение (4) необходимо преобразовать

рк(Тк А,ПТр,е>ЬЯП,0,0)/(др /дв) * 0 , (5)

где дРк /дв - частые производные Рк(Тк,вк,п, Тр,е,г, О, С2,а,со) по в.

Уравнения (5) представляют систему N уравнений с восьмью неизвестными. Для её решения используется метод наименьших квадратов

N др2/ дп Л

к = 0;

I

к=1

N

I

к=1

N

I

^(др / дв)2

д к / дв)2

др2 / дО

(дРк / дв)2

др2 / дО

Л д^к2/ дТр

I------к-----р— = 0:

^(др / дв)2

I др2/ де 1 (дРк /дв)2

=0

I дРк2/ дг = 0, к=1 (дРк / дв)2 :

=0

. " дРк2/ до . " дРк2/ до п

=0; I,*г /ЯДч2 =0; I - к_______________________=0.

Шдр /дв)2

Шдр / дв)2

(6)

Система уравнений (6) решается методом касательных [6]. Точность определения элементов орбит задаётся в зависимости от поставленных задач и надёжности данных. В работе

(Т - Т )

V ру+1 Р

< 10 ;

(О1+1 -О ] )/ 2 ]+1

П+1 - п])/ ] < 1Г ;

(О ]+1 -О1 ^ < 10 5;

(й)]+1 -й)])/й)^ < 10-3.

Большая полуось находится из уравнений

Рк

(е]+1- е]) <10 -5; < 10-3;

(г]+1 - г] ^ < 10-5; (й]+1-й] ^ <10-5;

а(1 - е2) совС^к +Ю+СО (Тк - Тр ))

а =

1 + е соэ Ук сов(вк -О- О(Тк - Тр))

их квадратов I (1 -е2) сов(Ук +й +й(Тк -

к=1 Рк 1 + е соэ ук сов(вСк - О - О(Тк - Тр))

после применения метода наименьших квадратов

N (1 - е2) сов(Ук +й+й(Тк - Тр))

I

к=1

(1 - е 2) Сов(У к +й+й (Тк - Тр ))

1 + е ГОв Ук сов(вСк - 2 - 2(Тк - ТР ))

Р" у

где Ук и вск определены по найденным элементам орбиты и моментам наблюдений. Это сделано для того, чтобы исключить случайные ошибки наблюдений по вк при расчете большой полуоси.

Период обращения звезды спутника вокруг главного компонента Р = 2п / п .

Средние отклонения рассчитанных вск и рск от наблюдаемых вк и рк находились по

формулам а Р =

N

I (Рк -Рск )2/ N и ав =

к=1

I(вк-вск)2/N .

к=1

Модельные орбиты.

Программа с движением периастра. Начальные величины для расчета эталонной орбиты: N = 8; п = 2°/год ; Тр = 1910 год ; е = 0.35; а = 0".9; г = 50°; 2 = 65°; о = 140°;

со = 0.001°/год ; Т1 = 1855; Т2 = 1867; Т3 = 1889; Т4 = 1901; Т5 = 1922; Т6 = 1935;

Т7 = 1946; Т8 = 1966 . Программа определяет вк и рк . Первое приближение п = 0.6° / год;

2

Тр = 1900 год; е = 0.3; г = 35°; О = 50°; о = 120°; о) = 0°/год . Рассчитанные величины представлены в табл. 1 и обозначены (1). Точность определения элементов эталонной орбиты в данном случае связана с погрешностью эксцентрической аномалии (АЕк < 10 6 рад), определяемой при расчете эталонной орбиты, и также зависит от точности, задаваемой при работе метода касательных.

Программа с движением периастра и линии узлов. Начальные величины для расчета эталонной орбиты: N = 10; п = 8° /год; Тр = 1920 год; е = 0.5; а = 1".4 ; г = 45° ; О = 55° ;

О = -0.02°/год; о= 170°; о) = 0.03°/год ; Т = 1830; Т2 = 1845; Т3 = 1855; Т4 = 1889; Т5 = 1915 ; Т6 = 1927; Т7 = 1944; Т8 = 1965 ; Т9 = 1988 ; Т10 = 2005 . Первое приближение п = 6°/год; Тр = 1870 год; е = 0.4; г = 50°; О = 40°; О = 0°/год; о = 155°; о) = 0°/год . Рассчитанные величины в табл. 1 обозначены (2). Погрешность эксцентрической аномалии при расчете эталонной орбиты АЕк < 10~6 рад. Повышение точности определения элементов по

сравнению с первым примером связано с тем, что увеличилось число эталонных наблюдений и длина дуги.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Современные наблюдения дают невязки (о - с)в ~ 1° . Был произведён численный эксперимент: из точных эталонных данных (вк) с нечётными номерами (к) вычитался произвольный угол, а к чётным номерам он же прибавлялся. Отмечено, что для рассматриваемых десяти эталонных наблюдений ситуация резко ухудшается, когда угол начинает превосходить 2° . В табл. 1 рассчитаны элементы орбиты для этого случая (обозначено 3). Очевидно, что с увеличением числа наблюдений точность определения элементов орбит увеличивается. В настоящее время для многих звёзд число современных спекл-интерферометрических наблюдений приближается к ста, поэтому для звёзд, совершивших несколько оборотов, можно определить движение периастра и линии узлов с погрешностью менее ± 0.01°/год .

Таблица 1

Модельные орбиты________________________________________

Р, год тр , год а, " О, ° со, ° ав , °

п, °/год е г, ° О, °/год 0) , °/год ар, "

(1) 180.0002 1910.0000001 0.90000026 64.99999992 140.0000003 1.47х10-7

1.999998 0.3500003 50.0000002 - 0.0010009 7.28х10-8

(2) 45.000000001 1920.0000000 1.3999999996 54.99999993 170.0000001 4.50х10-8

7.9999999999 0.4999999998 45.000000015 -0.019999997 0.029999997 8.91х10-10

(3) 44.882 1919.8485 1.44433 51.5119 170.8445 5.57х10-2

8.0210 0.48884 55.1004 -0.02234 0.02245 8.60х10-2

Реальная орбита (51 Таи) 041823.14+213445.8 ИЯ 1331 МСА 14Аа ИБ 27176 Н1Р 20087 04184+2135 впервые разрешена Макалистером в 1975 г. Один из первых определил орбиту Балега в 1985 г., когда наблюдения охватывали 3/4 оборота, после чего в 1988 г. по 41 наблюдению орбита была уточнена [4]. Одно из последних определений, представленное в шестом каталоге [21], произведено Поурбаиксом (РоигЬа1х Б) в 2000 г. В настоящее время в четвёртом интерферометрическом каталоге имеется 77 наблюдений за период 1975.716 -1998.7776 гг. [22], равномерно распределенных вдоль двух оборотов эллипса видимого движения, что позволяет определить вековые возмущения периастра и линии узлов.

Первое приближение в работе определено геометрическим методом [3] (Табл. 2). Метод использует зависимость р(в), которая после применения метода наименьших квадратов даёт систему линейных уравнений, но полученные уравнения не содержат моментов времени наблюдений, которые определяются гораздо точней разделения и позиционных углов. Недостатки геометрического метода описаны Дейчем [12]. Для рассматриваемой двойной геометрический

метод даёт орбитальные элементы, хорошо согласующиеся с наблюдениями: среднеквадратичные ошибки ав = 3°.37 и а р = 6".36 х 10-3.

в р

Звезда вращается в обратном направлении. В работе положительная величина среднего вращения и вековых возмущений периастра и линии узлов определяется направлением отсчета позиционных углов. Элементы орбиты, вычисленные описанным методом, даны в табл. 2. Рассмотрены случаи: 1) Невозмущенная орбита; 2) Орбита с учетом движения периастра; 3) Орбита с учетом движения периастра и линии узлов. Для сравнения также определены среднеквадратичные отклонения а р и ав для всех рассмотренных случаев и для элементов орбиты,

представленных в шестом каталоге орбит Харткопфа и Мэйсона [21] (Табл. 2). Элементы орбиты, вычисленные автором и Поурбаиксом, имеют близкие значения, внешнее отличие связано с тем, что рассмотренный метод определяет наклонение и угол периастра так же, как в случае прямого движения [13], а Поурбаикс отсчитывал эти углы в обратном направлении.

Таблица 2

Элементы орбиты (51 Таи)_______________________________________

HR 1331 P, год Tp ,год a, " О, ° à, ° &в°

n, °/год e i , ° О, °/год à , °/год °Р ,*1° -3"

Геом 11.3426 1977.4566 0.1330 170.7730 209.6603 3.37

-31.7388 0.1642 53.1567 - - 6.36

(1) 11.3376 1966.4630 0.1334 172.1089 197.9973 2.22

-31.7527 0.1662 56.0858 - - 6.61

(2) 11.3304 1966.4759 0.1334 172.0995 197.5514 2.22

-31.7730 0.1661 56.1002 - 0.0225 6.60

(3) 11.3742 1966.4164 0.1333 166.6204 204.2256 2.13

-31.6506 0.1667 55.9593 0.2767 -0.3467 6.60

Pbx, [21] 11.35 1977.74 0.1329 350.7 339 2.40

- 0.167 125.5 - - 6.38

Предлагаемый метод определения орбит двойных звёзд позволяет обрабатывать произвольное количество наблюдений (N > 8), находить вековые возмущения периастра и линии узлов. В работе определена орбита HR 1331 (51 Tau). Элементы орбиты, определённые рассмотренным методом, хорошо согласуются с современными данными и не уступают в точности элементам орбиты шестого каталога [21]. Одинаковые среднеквадратичные ошибки для невозмущенного метода и метода, учитывающего движение периастра, можно объяснить малостью эксцентриситета орбиты. Метод с учётом движения периастра и линии узлов даёт в данном случае наилучшее согласие с наблюдениями.

В заключение автор выражает благодарность Николаю Ивановичу Перову за внимание к работе.

Библиографический список

1. Астрометрия и небесная механика // Проблемы исследования Вселенной. Вып. 7. М.-Л.: Производственно-полиграфическое объединение №1 Ленупрполиграфиздата, 1978.

2. Байдин А.Э. Линейный метод определения орбит двойных звёзд // Труды ГАИШ. 2005. Т. LXXVIII. С. 87.

3. Байдин А.Э. Постановка лабораторной работы “Расчёт невозмущенных орбит визуально-двойных звёзд по пяти и более наблюдениям” // Методика преподавания астрономии / Под ред. А.Ю. Румянцева). Магнитогорск: МаГУ, 2005. С. 66.

4. Балега И.И., Балега Ю.Ю. Интерферометрические орбиты восьми двойных звёзд // Письма в Астрон. журн. 1988. Т. 14. № 10. С. 927.

5. Воронцов-Вельяминов Б.А. Курс практической астрофизики. М.-Л.: Государственное изд-во техникотеоретической литературы, 1940.

6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1975.

7. Горшанов Д.Л., Шахт Н.А., Поляков Е.В., Киселёв А.А., Канаев И.И. Предварительные результаты обработки пулковского ряда фотографических наблюдений двойной звезды 61 Лебедя, измеренного на автоматической машине “Фантазия” // Известия ГАО. 2002. № 216. С. 100.

8. Дейч А.Н., Орлова О.Н. О невидимых спутниках двойной звезды 61 Лебедя // Астрон. журн. 1977. Т. 54. №2. С. 327.

9. Киселев А.А, Кияева О.В. Определение орбиты визуально-двойной звезды методом параметров видимого движения из наблюдений на короткой дуге // Астрон. журн. 1980. Т. 57. №6. С. 1227.

10. Киселев А.А, Романенко Л.Г. Динамическое исследование девяти широких визуально-двойных звёзд в окрестностях Солнца // Астрон. журн. 1996. Т. 73. №6. С. 875.

11. Кияева О.В. Использование далёких по времени наблюдений для уточнения орбиты визуальнодвойной звезды, полученной методом параметров видимого движения по короткой дуге // Астрон. журн. 1983. Т. 60. №6. С. 1208.

12. Курс астрофизики и звёздной астрономии. Т. II. М.: Физматгиз, 1962.

13. Куто П. Наблюдения визуально-двойных звёзд. М.: Мир, 1981.

14. Мэйсон и др. (Mason B.D., Wycoff G.L., Hartkopf W.I.) Washington Double Stars Catalogue. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001. (updated 2004).

15. Романенко Л.Г. Определение орбит широких двойных звёзд ADS 10759 (Psi Dra) и ADS 12815 (16 Cyg) методом параметров видимого движения // Астрон. журн. 1994. Т. 71. №6. С.875.

16. Теребиж В.Ю. Использование априорной информации при восстановлении изображений. Естественный предел разрешения // Астрон. журн. 1999. Т. 76. №1. С. 49.

17. Токовинин А. и др. (Tokovinin A., Balega Y. Y., Pluzhnik E. A., Shatsky N. I., Gorynya N. A., Weigelt G.) Fundamental parameters and origin of the very eccentric binary 41 Dra // Astron. and Astrophys. 2003. v. 409. p. 245.

18. ТутуковА.В. Пылевые диски около молодых звёзд в Орионе // Астрон. журн. 1995. Т. 72. №3. С. 397.

19. Тутуков А.В. Поиск планет около звёзд главной последовательности малой массы // Астрон. журн. 1995. Т. 72. №3. С. 400.

20. Тутуков А.В. Планеты и звёзды // Астрон. журн. 1998. Т. 75. №1. С. 113.

21. Харткопф, Мэйсон (Hartkopf W.I., Mason B.D.) Sixth Catalog of Orbits of Visual Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2003. (updated 2006).

22. Харткопф и др. (Hartkopf W.I., Mason B. D., Wycoff G. L.) Fourth Catalog of Interferometric Measurements of Binary Stars. Washington: U.S. Nav. Obs. 2001 (updated 2004).

23. Шахт Н.А. Исследование движения и определение кинематических параметров звёзд с невидимыми спутниками по наблюдениям в Пулкове. Результаты фотографических наблюдений 5 Близнецов // Известия ГАО. 1988. № 205. С. 5.

24. Шнейдер (Schneider J.). Extrasolar planets: Overview and future perspectives /Proceedings of International Conference “AstroKazan-2001” (Astronomy and geodesy in new millennium), September 24-29, 2001. Kazan State University: Publisher “DAC”, 2001. P. 313.

25. Эйткен (Aitken R.G.) The New General Catalogue of Double Stars within 120° of the North Pole. Washington: Carnegie Inst. 1932.

С.А. ТИХОМИРОВ

Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений

ранга 2 на пространстве P3. I

Многообразие M(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 с классами Черна ci=0 и c2=2 на P3 было впервые рассмотрено в работе Р. Хартсхорна [2]. В этой работе он доказал, используя так называемые замыкания Понселе, что M(0,2) имеет структуру расслоенного пространства со слоем — открытым подмножеством гладкой квадрики в P5 над 9-мерным многообразием так называемых регулюсов — гладких квадрик в P3 с выделенной системой образующих прямых. Дальнейшему изучению свойств пространства M(0,2) посвящена серия работ [3]-[7]. В частности, M.Нарасимхан и Г.Траутманн в статье [3] построили компактифика-

цию M(0,2) пространства M(0,2) в терминах замыканий Понселе и построили морфизм

ф: M (0,2) ^M(0,2)v, где M(0,2)v — нормализация замыкания пространства M(0,2) в схеме Ма-руямы полустабильных пучков на P3 с классами Черна c1=0, c2=2, c3=0. Кроме того, из результатов [2] и [3] непосредственно вытекает существование морфизма p: M (0,2) ^P20 такого, что p|M(o,2) — вложение. (Ниже в статье мы приводим конструкцию морфизма p.)

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.