О циркуляции вихрей и скорости перемещения дорожки Кармана Текст научной статьи по специальности «Физика»

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том II 1971

№ 4

УДК 532.526.048.3

О ЦИРКУЛЯЦИИ ВИХРЕЙ И СКОРОСТИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ДОРОЖКИ КАРМАНА

Г. М. Фомин

Получены формулы, связывающие скорость перемещения вихревой дорожки Кармана, циркуляцию вихря и частоту образования вихрей (число Струхаля) с шириной и шагом дорожки. При выводе этих формул в качестве вспомогательной схемы использована схема струйного течения с параллельными „стенками". Предположение о том, что коэффициент донного давления в следе Рсл — — позволяет вычислить значения коэффициентов, входящих в указанные формулы. Эти значения хорошо согласуются с экспериментальными результатами.

Сложное, вихревое течение (фиг. 1), образующееся за плохо обтекаемыми телами, теоретически схематизируют обычно либо в виде двойного ряда точечных вихрей (дорожки Кармана), либо в виде следа, ограниченного свободными вихревыми слоями (струйное течение).

(а

6)

:

Фиг. 1

X

Между скоростью перемещения вихревой дорожки И, циркуляцией вихря 7, шириной дорожки А и ее шагом I существует зависимость

и = Й1 х, (1)

где

таЛ

Карман получил, что при выполнении условия Шх = -^= дорожка с „шахматным" расположением вихрей будет устойчивой. Для коэффициента лобового сопротивления тела сх теория вихревых дорожек дает следующее выражение:

Сх X Ш8 х £

(1 — 2х Ш х)

(2)

Здесь скорость невозмущенного потока и характеристический размер тела Л известны. Условие устойчивости вихревой дорожки и соотношение (1) дают две связи между параметрами вихревой дорожки, однако две величины, и и Л (или 7 и /), необходимо определять из опытов, т. е. метод определения лобового

сопротивления тел, основанный на схеме с образованием двойной вихревой дорожки, до сих пор является незавершенным.

В противоположность этому по теории Кирхгофа определяются все параметры течения. В схеме, предложенной Кирхгофом, предполагается существование за телом поверхностей разрыва скорости в виде бесконечно тонких вихревых слоев, причем застойная зона за телом расширяется до бесконечности, а давление в следе рсл считается равным давлению на бесконечности рж. Однако величина лобового сопротивления тел в идеальной жидкости, определенная по схеме Кирхгофа, оказывается значительно меньшей полученной в опытах. Поэтому возникло стремление так видоизменить схему струйного течения, чтобы она давала результаты, близкие реальным. Таким видоизменением является схема струйного течения с параллельными „стенками" (см. фиг. 1, б), по которой давление в следе считается свободным параметром, причем рСл<СРоо и вихревые слои переходят в параллельные плоские „стенки", образуя спутный след постоянной ширины йсл.

Используя такую схему, Рошко [1] определил для различных плохо обтекаемых тел зависимость коэффициента сх от свободного параметра рсл. Он выразил также относительную ширину застойной зоны Асл = -^г через этот пара-

сх

метр. Весьма важным I оказывается то обстоятельство, что отношение К = '

Лсл

для тел с различными по форме поперечными сечениями оказывается одинаковым (при одном и том же значении /7СЛ), _т. е. если известна величина рсл, для различных тел всегда можно найти сх и Асл.

Таким образом, в видоизмененной схеме струйного течения неопределенном (свободным) оказывается один параметр, в то время как в схеме вихревых дорожек их два. Поскольку обе схемы служат для объяснения одного и того же явления—возникновения лобового сопротивления тел в идеальной жидкости — можно сопоставить результаты, получаемые по обеим теориям, и тем самым свести число неопределенных параметров вихревой дорожки также до одного. В дальнейшем покажем, что, сделав дополнительное предположение о величине коэффициента давления в следе рсл, задачу можно решить до конца.

Будем считать, что величина коэффициента лобового сопротивления сх одного и того же тела будет одинаковой, независимо от того, определяем ли мы ее по теории вихревых дорожек или по теории струйного течения. Заметим также, что ширина спутного следа Лсл за телом равна ширине Л дорожки Кармана за тем же телом. Для случая невязкой жидкости Биркгоф [2], [3] доказал,

Фиг. 3

что, если свободные вихревые слои отстоят друг от друга на расстоянии Лсл, среднее поперечное расстояние Л между образующимся в результате свертывания этих слоев вихрями будет всегда равно Лсл. Этот вывод хорошо подтверждается экспериментами. Так, опыты Рошко, в которых ему удалось создать течение со срывом струй, дали для кругового цилиндра Лсл=1,18, а для пластинки, перпендикулярной потоку, Лсл = 1,69. В опытах с вихревыми дорожками Карман и Рубах получили для кругового цилиндра среднее значение Л = Л/<2 =1,20, а для пластинки Л = 1,72.

Определив по выражению (2) отношение с^/Л и приравняв его величине К = сх/Асл, находимой для различных значений (фиг. 2), получаем квадратное уравнение относительно :

(2y.th r.-~ 1) — хШх 1 х у. = 0,

решая которое, находим

и Ш V.

^ = к~ ’

где

х — -х? АТх (2х Ш х — 1)

** = 2х Ш х — 1 •

Второй корень (со знаком „+“ перед радикалом) дает для и/о^ величину больше единицы, что противоречит физической картине явления.

Коэффициент зависит от х и К. Условие устойчивости вихревых дорожек

дает для х значение 0,8815. Величина К есть функция от рсл (см. фиг. 2) и является единственным неопределенным параметром, от которого зависят пара-

метры вихревой дорожки. На фиг. 3 приведены графики зависимостей и ч1у1Х

от Рсл-

(3)

(4)

(5)

По (1) и (4) находим циркуляцию вихря дорожки Кармана

1 = (6)

Для частоты образования вихрей за плохо обтекаемым телом получаем:

<7>

Тогда число Струхаля образования вихрей можно представить следующим образом:

8Ь=(1-А,—(8)

Рассматривая струйное течение с параллельными „стенками", Эпплер [4] сделал следующий вывод: лишь при значении коэффициента донного давления рсл =— 1 замена реального течения теоретическим является вполне обоснованной. Во многих случаях опыты дают поразительное совпадение величин рсл со значением р — — 1. Результаты измерений рсл за различными телами можно найти в работах [1], [4] и др.

При Рсл = ~— 1 и -л = 0,8815 получаем:

и/»т =0,191; 7 = 0,541^/; БЬ = 0,809 А\1. (9)

Для кругового цилиндра экспериментальные величины близки к зна-

чению 0,191: тщательные опыты Фейджа и Иогансена [5] дали и1ьов = 0,20) Тайлер [6] получил = 0,196. При рсл = — 1 и % = 0,8815 можно получить для

кругового цилиндра значение //<2 = 4,13, которое хорошо согласуется с результатами опытов. Тогда число Струхаля будет: 5Л1Ц =0,196.

Экспериментальные работы, в которых измерялась частота образования вихрей за круговыми цилиндрами, довольно многочисленны, а результаты измерений весьма стабильны: у Рошко [1] число БЬ равно 0,206; у Фейджа и Иоган-сона [5]—0,187, у Тайлера [6]—0,196, у Петрова и Штейнберга [7] — 0,195. Результаты измерений числа БЬ даны для докритических чисел Яе.

Отличие экспериментальных значений от величины 0,196 составляет не более 5%.

Подобное сравнение можно сделать для пластинки, перпендикулярной потоку, и для других плохо обтекаемых тел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рошко А. О вихревом следе и сопротивлении плохо обтекаемых тел. „Механика", сб. переводов и обзоров № 1 (35). М. — Л., Изд. иностр. лит. 1956.

2. Birkhoff Q. D. A new theory of vortex streets proceedings. Nat. Acatemy of Sciences, v. 38, 1952.

3. Birkhoff G. D. Formation of vortex streets. Journ. of Applied Physics, v. 24, No. 1, 1953.

4. E p p 1 e r R. Beitrage zur Theorie und Anwendung der unstetigen Stromungen. Journ. Rational Mechanics and Analysis, v. 3, No. 5, 1954.

5. F age A., Johansen F. C. The structure of vortex sheets. ARC R & M, v. 1143. 1927.

6. Tyler. Vortex formation behind obstracles of various. Philosop. Mag., v. 11, 1931.

7. П e т p о в Г. И., Штейнберг Р. И. Исследование потока за плохо обтекаемыми телами. Труды ЦАГИ, вып. 482, 1940.

Рукопись поступила 16/XII 1969 г.