О циклических подгруппах группы gl_k(f) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2001, Том 3, Выпуск 4

УДК 519.4

О ЦИКЛИЧЕСКИХ ПОДГРУППАХ ГРУППЫ СЬк{Р) В. Н. III оку ев

В заметке дается описание циклических подгрупп полной линейной группы ОЬ]г(Р) степени к над алгебраически замкнутым полем Р характеристики нуль при условии, что характеристические корни матриц, порождающих эти подгруппы, являются попарно различными.

Пусть 67./,.( /•') — полная линейная группа степени к над алгебраически замкнутым полем Р характеристики нуль, и £ СЬк(Р) и рассмотрим характеристическое уравнение

хк - аххк^г -----</•/, = 0 (1)

матрицы и. Согласно теореме Гамильтона — Кэли матрица и является корнем своего характеристического полинома, т. е.

ик = а^у^1 + а2ик^2-----аки°, (2)

где ак = с^ (и), и0 — единичная матрица (порядка к). Отсюда имеем

ип = гци^1 + а2ип^2-----акип~к (п ^ к, п е М, ак ф 0), (3)

т. е. линейное однородное рекуррентное уравнение порядка к.

Воспользуемся следующим результатом автора ([2], с. 65, теорема 10.7). Если корни «1, «2, • • •, «з уравнения (1) простые (т. е. попарно различные), то решение линейного однородного рекуррентного уравнения порядка к

ип = агип-1 + а2ип-2-----аки„^к (п > к. чк ф 0),

с коэффициентами а-, из алгебраически замкнутого поля характеристики нуль определяется по формуле

к

у^ п Щ-1 ~ 8цик-2 + Si2Uk-3-----Ь (~1)к > ^

^ 4 - а!)(щ - а2) ■ ■ ■ («г - а;г-1)(«г - «г+О • • • («г - СИ к) ' ""

и ~ - ~п

© 2001 Шокуев В. Н.

О циклических подгруппах группы (1 /. ¡х. (/•')

4-51

где л-,-,- — элементарный симметрический многочлен степени / от о |. о-_>.....|.

1*/'+1 • • • • ? О-А;-

Применяя это к рассматриваемому случаю, приходим к следующему предложению:

Если характеристические корни о |. о-_>.....о/,, матрицы и е 67, /,.( /•' ) простые, то для любого натурального числа и ^ /.: элемент и" циклической под-групиы (и) группы СЬ^(Р) определяется формулой

ип = у- ап (ц ~ + ----+ ( 1) 1Ц )

^ г («г - ах) . . . («г - - «¿-1-1) . . . («г - «¡0

Чтобы найти представление для ьГп в виде (4) при любом натуральном п ^ />:. достаточно заметить, что ьГп = {¡Г1 )". и изложенное относительно матрицы и повторить для матрицы ьГ1 (обратной к матрице и). При этом составление характеристического уравнения матрицы ьГ1 может быть заменено на следующие выкладки: ввиду того, что <1е1 (и) = а^ Ф 0 из (2) следует рекуррентное уравнение

(и-1)» = -а^а*-!^-1)*-1 + а* Ч-гС«"1)"-2 " • • • -а^ 1а1(и-1)п"*:+1 + а*1ип"*, а^1 # 0

которое решаем описанным в [2] путем.

Можно воспользоваться и тем, что ьГп = (ии обращение матрицы ип найти из формулы (4) (если вычисление ьГп связано с практической задачей, то предварительно должны быть вычислены матрицы и2, и3,..., 1).

Для малых значений к можно получить полное описание циклических подгрупп (и) групп СЬк(Р) без ограничений на характеристические корни матриц и, исходя из формулы (4); при к = 2 и к = 3 подробные выкладки содержатся в заметках автора [3, 4].

Литература

1. Кострикин А. И. Введение в алгебру.—М.: Наука, 1977.—496 с.

2. Шокуев В. Н. Гауссовы коэффициенты: Учебное пособие.—Нальчик: Изд-во КБГУ, 1988.—98 с.

3. Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы ОЬз(Р) // Известия КБНЦ РАН.— 2001.—№ 2 (6).—С. 75-77.

4. Шокуев В. Н. Циклические подгруппы группы СЬгС-Р) // Известия КБНЦ РАН.— 2001.—№ 2 (7).—С. 72-74.

г. Нальчик

Статья поступила 22 декабря 2001 г.