О транзитивности отображений, ассоциированных с конечными автоматами из групп ASp Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.713.4 Б01 10.17223/2226308Х/9/45

О ПРОСТЫХ УСЛОВНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТАХ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБРАТИМЫХ АВТОМАТОВ НЕКОТОРОГО КЛАССА

А. О. Жуковская, В. Н. Тренькаев

Рассматривается класс сильносвязных автоматов, получаемых из некоторого инициального обратимого автомата с т состояниями, п входными и п выходными символами путём изменения его функции переходов в зависимости от ключа. Показывается существование простого условного эксперимента, идентифицирующего автоматы в этом классе и имеющего длину не более тп(т + 3)/2.

Ключевые слова: инициальный автомат, перестраиваемый автомат, обратимый автомат, сильносвязный автомат, идентификация автоматов, простые условные эксперименты.

Следуя [1], назовём перестраиваемым автоматом набор из восьми объектов Я = (Х,Б,У,К,ф,р,8о,81), где X = [хх,х2,... ,хп}, У = {уь у2,..., Уп}, S = {81,82, ...,8т} — множества входных символов, выходных символов и состояний соответственно; К = {к : к = \\kij || € {0,1}, г = 1,... ,п,^ = 1,... , т} — множество ключей; ф : X х S ^ У — функция выходов; ф : X х S х К ^ S — функция переходов, такая, что ф(х^ , к) = фк(xi, 8^) = 8^- (xi, 8^) для некоторых функций 8Р : X х S ^ S, Р € {0,1}. "

Автомат Я называется обратимым, если функция ф3(х) = ф(х,в) является биек-цией для любого 8 € S.

Обозначим через Ап,т множество всех инициальных обратимых перестраиваемых автоматов Я с фиксированными множествами X, S, У, К и следующими свойствами:

1) среди (р3(х), 8 € 51, нет одинаковых биекций; 2) при любом к € К автомат Як = (X, S, У, фк, ф) сильносвязен.

Теорема 1. Для любого автомата Я € Ап,т существует простой условный эксперимент длины не более пт(т + 3)/2, идентифицирующий автоматы в классе {Як : к € К}.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тренькаев В. Н. Реализация шифра Закревского на основе перестраиваемого автомата // Прикладная дискретная математика. 2010. №3. С. 69-77.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308Х/9/46

О ТРАНЗИТИВНОСТИ ОТОБРАЖЕНИЙ, АССОЦИИРОВАННЫХ С КОНЕЧНЫМИ АВТОМАТАМИ ИЗ ГРУПП ASp

М. В. Карандашов

Рассматривается вопрос определения свойства транзитивности автоматных отображений. Приводится общий критерий транзитивности автоматного отображения на словах длины к € N. Для автоматов из групп ЛБР предложен алгоритм проверки транзитивности. Сложность представленного алгоритма зависит от числа состояний автомата и не зависит от длины входного слова; приведена верхняя граница сложности алгоритма.

Ключевые слова: конечные автоматны, автоматные отображения группы ЛБр, транзитивность.

Под детерминированным автоматом будем понимать пятёрку объектов А = = (Б, X, У, 8, А), где Б — множество состояний; X — входной алфавит; У — выходной алфавит; 8 : Б х X ^ Б — функция переходов; А : Б х X ^ У — функция выходов. Для всех рассматриваемых в работе автоматов |Б|, IX|, |У| Е N и X = У = = {0,1,... ,р — 1}, р — простое.

Пусть X* обозначает множество всех конечных слов над алфавитом X. Действие функций 8 и А можно расширить на множество слов X* следующими рекуррентными правилами: 8(в,х • ад) = 8(8(в,х),ад), А(в,х • ад) = А(в,х) • А(8(в,ж),ад), х Е X, ад Е X*.

Автомат с выделенным начальным состоянием называют инициальным. Инициальный автомат будем обозначать через А8, где в — начальное состояние автомата. Каждый инициальный автомат А3 определяет отображение /л. : X* ^ У*, называемое автоматным, такое, что /л.(ад) = А(в,ад).

Автоматное отображение / называют транзитивным на словах длины к, если оно порождает одноцикловую перестановку на Xк. Отображение / транзитивно, если оно транзитивно на Xк для любого натурального к. Транзитивные отображения представляют значительный интерес в силу того, что применяются для решения как теоретических, так и практических задач. В частности, описаны семейства транзитивных автоматных отображений [1].

Будем называть состоянием с потерей [2] такое состояние в, что А(в,х^ = А(в,х2) для некоторых х1,х2 Е X, х1 = х2.

Теорема 1 [3]. Автоматное отображение /л. : X * ^ X* биективно на Xк тогда и только тогда, когда автомат А3 не содержит состояний с потерей, достижимых из в за к шагов.

Далее будем рассматривать только инициальные автоматы, порождающие биективные отображения. Следовательно, отображение /л. осуществляет перестановку множества X, которую будем обозначать

Действие инициального конечного автомата на входные последовательности можно описать с помощью бесконечного сбалансированного дерева [4]. Обозначим дерево, ассоциированное с действием автомата А8, символом Т(А8). Обозначим через Т(А8, к) мультимножество состояний автомата А, где состояние в' входит в Т(А8, к) ровно столько раз, со сколькими вершинами к-го яруса Т(А8) ассоциировано состояние в'.

Рассмотрим итерацию слова ад Е Xк автоматным отображением /л. . Пусть /л = ад1, /а3 (/ав (^)) = ад2, ..., = w и т — наименьшее из возможных.

Составим кортеж из перестановок ... ) и обозначим через Аг(Т(А8), w).

Лемма 1. Автоматное отображение /л. действует транзитивно на словах длины (к + 1), где к Е N тогда и только тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:

1) /л. действует транзитивно на словах длины к;

2) для всех w Е Xк композиция о о ... о к-1) элементов Аг(Т(А8)^) является одноцикловой перестановкой.

Заметим, что для каждого простого р существует циклическая группа перестановок (а+(р)), где а+(р) = (0 1 ... (р — 1)) — образующий элемент группы [5]. Инициальные автоматы, где с каждым состоянием связана перестановка из (ст+(р)), образуют группу АБР [6]. Важным является тот факт, что (ст+(р)) —абелева группа.

Тут и далее под автоматом будем понимать автомат из группы АБр.

Пусть автомат As действует транзитивно на словах длины к. Следовательно, Ar(T(As),w) является некоторым упорядочиванием мультимножества перестановок, ассоциированных с состояниями из T(As,k). Более того, в силу коммутативности перестановок из (o+(p)), композиции элементов из Ar(T(As), w) совпадают для всех возможных w, т.е. композиция элементов Ar(T(As),w) однозначно определяется мультимножеством T(As, k) и не зависит от выбора w. Следовательно, достаточно проверить, что композиция перестановок (в произвольном порядке), ассоциированных с состояниями из T(As, k), является одноцикловой.

Введём матрицы M и M, а также векторы Va и R. По таблице переходов конечного автомата A построим матрицу смежности M размера n х n. Значения элементов матрицы M вычисляются как мощности множеств {x : x G X, i(s^x) = Sj}, где — номера строки и столбца матрицы. Таким образом, i-я строка матрицы Mk описывает

T (Asi ,k).

Построим вектор Vr следующим образом. Как отмечено выше, с состоянием si автомата связана некоторая перестановка Ti из (a+(p)). Следовательно, в силу цикличности группы (a+(p)), Ti = 0 + (p)hi, hi = 0,... , (p — 1). Сопоставим i-му элементу вектора V-число hi. Положим Rk = Mk • V^, где i-й элемент есть степень перестановки a+(p), получаемой при композиции перестановок, ассоциированных с T(Asi, k). Таким образом, задача проверки транзитивности сводится к последовательному сравнению с нулём значений i-х ячеек Rk, k ^ 1.

Основной проблемой использования матрицы M является то, что количество попарно различных матриц Mk, k G N, бесконечно. Построим матрицу M из M следующим образом. Каждому элементу mij матрицы M сопоставим элемент fnij = mij mod p матрицы M.

Лемма 2. Пусть Rk = Mk • VT. Тогда rk = nf (mod p).

Заметим, что количество различных матриц M для фиксированных p и n конечно и равно pn . Составим на основе представленных результатов алгоритм проверки транзитивности автомата As. (алгоритм 1). Можно показать, что строки матрицы Mk не могут быть произвольными, а лишь такими, где сумма элементов строки кратна p.

Алгоритм 1. Алгоритм проверки транзитивности автомата

Вход: Конечный автомат Asi G ASp

Выход: true, если Asi транзитивен, false иначе

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Построить матрицу M и вектор V^ по автомату . Если i-й элемент V^ равен нулю, то

вернуть false. Положить k := 1, L := 0. Пока Mk £ L Rk := Mk ■ VCTT.

Если i-й элемент i?k сравним с 0 по модулю p, то

вернуть false. Добавить Mk в L, увеличить k на 1. Вернуть true.

Теорема 2. Максимальное число умножений матриц, требуемое для остановки алгоритма, ограничено сверху числом (р(п-1) — 1).

Полученная в теореме 2 оценка сложности является достижимой, что было подтверждено численными экспериментами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тяпаев Л. Б. Транзитивные семейства автоматных отображений // Дискретные модели в теории управляющих систем: IX Междунар. конф., Москва и Подмосковье, 20-22 мая 2015. Труды / отв. ред. В.Б.Алексеев, Д. С. Романов, Б.Р.Данилов. М.: МАКС Пресс, 2015. С. 244-247.

2. Гилл А. Введение в теорию конечных автоматов. М.: Наука, 1966. 272 с.

3. Карандашов М. В. Исследование биективных автоматных отображений на кольце вычетов по модулю 2к // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Издат. центр «Наука», 2014. С. 148-152.

4. Яблонский С. В. Введение в дискретную математику: учеб. пособие для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1986. 384 с.

5. Калужнин Л. А., Сущанский В. И. Преобразования и перестановки: пер. с укр. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1985. 160 с.

6. Алешин С. В. Конечные автоматы и проблема Бернсайда о периодических группах // Матем. заметки. 1972. Т. 11. №3. С. 319-328.