CC BY
13
УДК 539.3
О трансформации напряженно-деформированного состояния около вершины трещиновидного разреза при численном моделировании циклического нагружения образца
А.П. Шабанов, М.М. Шакиртов
Сибирский государственный университет путей сообщения, Новосибирск, 630082, Россия
С использованием численного моделирования исследовалось изменение напряженно-деформированного состояния области, примыкающей к вершине трещиновидного разреза в образце, изготовленном из циклически упрочняющегося материала. Показано, что форма пластической зоны, возникшая на первом полуцикле первого цикла нагружения, на втором цикле резко изменяется. Ее размеры сокращаются примерно на 80 %, а граница приобретает вид, близкий к окружности. В процессе дальнейшего циклического нагружения ни форма, ни размеры пластической зоны не претерпевают заметных изменений. При этом напряжения в точках образца, расположенных в пластической зоне, изменяются по знакопеременному циклу с возрастающей амплитудой независимо от характеристик цикла внешней нагрузки.
Ключевые слова: трещиновидный разрез, циклическое нагружение, циклически упрочняющийся материал, зона пластических деформаций
Stress-strain state variation at the tip of a crack-like slit in numerical simulation
of cyclic loading of a specimen
A.P. Shabanov and M.M. Shakirtov
Siberian Transport University, Novosibirsk, 630082, Russia
Numerical simulation has been performed to study the change of the stress-strain state in the zone adjacent to the tip of a crack-like slit in a specimen made of cyclically hardening material. It is shown that the plastic zone shape formed in the first half-cycle of the first loading cycle changes drastically in the second cycle. The size of the plastic zone reduces by about 80%, and the boundary assumes a nearly circular shape. During further cyclic loading neither the plastic zone shape nor its size change significantly. In so doing, stresses in the specimen points lying within the plastic zone change by a reversed cycle with the increasing amplitude independently of the external loading cycle characteristics.
Keywords: crack-like slit, cyclic loading, cyclically hardening material, plastic deformation zone
1. Введение
Известно, что при циклическом иагружеиии конструкций, изготовленных из абсолютно хрупких материалов, не возникают и не развиваются усталостные трещины. Экспериментально показано, что образцы, выполненные из таких материалов, в процессе усталостных испытаний или не разрушаются вообще, или разрушаются на первом цикле при росте нагрузки [1]. Таким образом, наличие пластических свойств материала образца является обязательным условием развития усталостных трещин. Существенно, что в процессе циклического нагружения практически весь образец дефор-
мируется упруго и лишь весьма незначительная его часть, непосредственно примыкающая к вершине трещины, испытывает пластическое деформирование [24]. Вид пластической зоны, распределение напряжений и деформаций внутри нее определяют траекторию [5] и скорость роста усталостной трещины [6, 7], а следовательно, остаточный ресурс конструкции. Анализ напряженно-деформированного состояния пластической области, примыкающей к вершине трещины, позволяет установить и некоторые механические характеристики материала, в частности параметр вязкости разрушения [8]. Для нагруженного образца с трещиной существуют многочисленные исследования, посвященные изучению
© Шабанов А.П., Шакиртов М.М., 2016
формы пластической зоны и анализу напряженно-деформированного состояния внутри нее [2-4, 9-11 и др.]. Однако эти исследования были проведены для случая, когда внешняя нагрузка на образец прикладывалась статически и не менялась во времени.
Вместе с тем известно, что в процессе циклического нагружения материала выше предела текучести проявляются такие его свойства, как циклическое упрочнение или циклическое разупрочнение [2, 3, 12]. В частности, если материал обладает свойством циклического упрочнения, то при жестком одноосном нагружении, чтобы удлинить образец на одну и ту же величину, от цикла к циклу необходимо прикладывать все большую нагрузку. Вполне очевидно, что, поскольку распределение напряжений внутри пластической зоны, расположенной вблизи вершины трещины, весьма неоднородно, эффекты циклического упрочнения в разных точках рассматриваемой зоны будут проявляться по-разному. По этой причине на каждом последующем цикле нагружения должно произойти перераспределение напряжений в области образца, примыкающей к вершине трещины, в результате чего форма и размеры пластической зоны должны изменяться. Целью настоящей работы является исследование процессов изменения напряженно-деформированного состояния внутри зоны пластического деформирования в ходе циклического нагружения образца, содержащего трещиновидный разрез.
2. Численная модель
В работе выполнено численное моделирование осевого растяжения прямоугольной пластинки размерами 100 х200 мм. Пластинка содержит центральный разрез, ориентированный вдоль длинной стороны. Длина разреза 21 = 100 мм, ширина 0.2 мм. Концы разреза имеют форму окружности радиусом р = 0.1 мм. Механические характеристики материала пластинки: диаграмма растяжения моделировалась как билинейная функция с модулем продольной упругости Е = 200 ГПа, модулем линейного упрочнения материала Е1 = 1.25 ГПа, пределом текучести а 02 = 355 МПа, коэффициентом Пуассона V = 0.3. Материал подчиняется изотропному упрочнению, тем самым учтено его циклическое упрочнение [12, 13]. Пластинка нагружается по длинной стороне растягивающими напряжениями а^, циклически меняющимися во времени от 0 до 20 МПа (рис. 1).
Задача решается численно с использованием метода конечных элементов с учетом появления больших упру-гопластических деформаций в предположении, что образец находится в условиях плоского напряженного состояния. Расчеты выполнялись с использованием расчетного комплекса COSMOS пакета SolidWorks. Поскольку пластинка имеет две оси симметрии, для оптимизации расчетов рассматривается ее четверть, расчетная схема которой представлена на рис. 2. Узкий разрез обуславливает значительную концентрацию напряжений в его вершине. Необходимость детального исследования очень малой по отношению к габаритным размерам образца области, непосредственно примыкающей к вершине разреза, определяет построение конечно-элементной сетки с элементами, размеры которых в разных областях образца должны различаться в несколько раз. Для этой цели был использован прием создания вложенных областей [14], границы которых представляли собой концентрические окружности. Размеры конечных элементов в соседних областях различаются в 2-4 раза. Таким способом было создано пять областей локализаций с различными размерами конечных элементов (рис. 3). При этом по контуру вершины разреза располагалось около 80 элементов с размером порядка 0.002 мм. На наш взгляд, такая конечно-элементная модель (в отличие от других видов сеток, созданных для исследования аналогичных задач [7, 11, 15]) позволяет с большей детализацией исследовать область образца, примыкающую к вершине трещиновидного разреза.
3. Оценка точности
Особой проблемой при создании любой расчетной модели является обеспечение приемлемой достоверности получаемых результатов. Для оценки достоверности численного расчета обычно используется сравнение с известным теоретическим решением задачи, имея которое находят, например, напряжения в какой-либо точке образца. Затем та же задача решается численно, в результате чего в той же точке образца определяются напряжения, которые сравниваются с точным решением. Однако таким способом оценить погрешность численной реализации упругопластической задачи довольно сложно, поскольку ее точного решения, выраженного через простые соотношения, как правило, не существует. Вместе с тем имеется исключение: формула, полу-
Рис. 1. Изменение во времени нагрузки, действующей на расчетную модель
Рис. 2. Расчетная схема модели
Рис. 3. Вид конечно-элементной модели: общий вид (а), увеличенная область, примыкающая к вершине разреза (б), и вид вершины разреза (в)
ченная Г. Нейбером при решении задачи об антиплоском сдвиге прямоугольной пластины с эллиптическим боковым вырезом [16]. Материал пластины, рассматриваемый в этой работе, являлся упругим, но имел нелинейную диаграмму растяжения во всем диапазоне нагрузок. Результат решения Нейбера — зависимость, которая связывает коэффициенты концентрации при линейном и нелинейном деформировании образца с концентраторами:
ке2 = кс к/ , (1)
где ке = /е//пот — коэффициент концентрации напряжений в предположении, что материал образца деформируется линейно; /е — напряжения, рассчитанные в вершине концентратора в предположении, что материал образца подчиняется закону Гука во всем диапазоне нагрузок вплоть до разрушения; кс=///пот и к/ = ///пот — коэффициенты концентрации соответственно для напряжений / и деформаций /, если материал деформируется нелинейно; /пот, /пот — соответственно средние (номинальные) напряжения и деформации, действующие в ослабленном сечении образца. Заметим, что в рассматриваемом нами случае в этом сечении сучетом ослабления за счет разреза /пот = 2-20 = = 40 МПа, т.е. уровень внешней нагрузки таков, что номинальные напряжения меньше предела текучести, сле-довательн°., СТПот = £/„от-
Экспериментальные исследования растяжения прямоугольной пластинки с круглым отверстием, выполненной из алюминиевого сплава Д16Т, выше предела текучести показали, что соотношение Нейбера в этом случае выполняется практически идеально [17]. Это обстоятельство позволяет полагать, что соотношение (1) справедливо и для упругопластического деформирования образцов, имеющих концентраторы напряжений произвольного типа [18].
Выразив коэффициенты концентрации через напряжения и деформации, перепишем соотношение (1) в следующем виде:
(
Л2
Е/
или
/е =4Е///. (2)
Равенство (2) позволяет оценить точность численного решения упругопластической задачи с концентраторами напряжений. Левая часть — это упругие напряжения, которые могут быть получены с использованием известных соотношений, например формулы Нейбера [19]:
"е = ке/пот = (1 + ) "погт
для нашей задачи
/е = 40 - (1 + 2^/50/0.1) = 1829 МПа.
В правую часть соотношения (2) подставим данные численного расчета упругопластической задачи. В конце первого полуцикла первого цикла нагружения, когда уровень внешней нагрузки на образец достиг максимального значения (ст^ = 20 МПа), для модели, представленной на рис. 2, численно были определены величины напряжений и деформаций в точке, совпадающей с вершиной трещиновидного разреза: / = 412 МПа, / = 0.035. Тогда
л/Е/ё = л/2.1-105 - 412 -0.035 = 1740 МПа. Сравнивая теперь левую и правую часть равенства (2), получаем погрешность
|(1829 -1740)/1829| -100 % = 4.87 %. Таким образом, можно предположить, что погрешность численного решения рассматриваемой упругопласти-ческой задачи не превышает 5 %.
4. Результаты расчета
В процессе численного расчета моделировалось на-гружение образца в течение 15 циклов. Каждый цикл внешней нагрузки состоит из двух полуциклов (рис. 1). Прямой полуцикл начинался, когда уровень внешней нагрузки ст^ был равен нулю, а заканчивался, когда нагрузка достигала максимального значения ст^ = 20 МПа. Обратный полуцикл начинался при максимальном значении внешней нагрузки и заканчивался, когда нагрузка вновь становилась равной нулю. В конце каждого полуцикла параметры напряженно-деформированного состоя-
ния области, примыкающей к вершине трещиновидного разреза, сохраняли в памяти компьютера.
Проанализируем значения эквивалентных напряжений, рассчитанных по критерию Мизеса, в конце прямого полуцикла каждого цикла нагружения. Результаты расчетов приведены в табл. 1, в которой представлены числовые значения эквивалентных напряжений в точках образца на продолжении трещиновидного дефекта (в точках на оси х, для которых у = 0, рис. 2). Для удобства анализа результатов начало координат было помещено в вершине дефекта (рис. 2). В конце прямого полуцикла первого цикла нагружения в области, примыкающей к вершине дефекта, сформировалась зона пластического деформирования, граница которой располагается на расстоянии х = 0.530 мм от вершины разреза. В процессе дальнейшего циклического нагруже-ния происходит значительное изменение напряженно-деформированного состояния точек образца, непосредственно примыкающих к вершине разреза. При этом в некоторых точках образца напряжения увеличиваются, в других — уменьшаются. По этой причине,
очевидно, должна изменяться геометрия пластической зоны, сформированная в первом цикле нагружения. Но поскольку для циклически упрочняющихся материалов в процессе циклического нагружения предел текучести увеличивается [2, 3] и для каждой точки образца после первого цикла будет свое значение предела текучести, то для определения границ зоны пластического деформирования по данным табл. 1 были построены графики распределения эквивалентных напряжений на продолжении разреза (рис. 4). Все приведенные на этом рисунке кривые пресекаются в одной точке: на расстоянии 0.072 мм от вершины разреза, при этом а = = 385 МПа. Следовательно, эквивалентные напряжения в этой точке в конце прямого полуцикла каждого цикла нагружения не изменяются. Это означает, что предел текучести, установленный в этой точке в конце прямого полуцикла первого цикла нагружения как а02 = 385 МПа, при дальнейшем нагружении меняться не будет. Таким образом, граница пластической зоны, сформированная в конце прямого полуцикла первого цикла нагружения (х = 0.530 мм), на втором цикле нагружения устанавли-
Таблица 1
Значения эквивалентных напряжений (в МПа) на продолжении трещиновидного разреза, полученные при моделировании циклического нагружения образца
Номер цикла Полуцикл х, мм
0.000 0.010 0.030 0.050 0.070 0.090 0.100 0.200 0.300 0.400 0.530 0.595 0.659
1 Прямой 407 402 396 389 384 380 378 366 361 356 354 306 276
Обратный 422 414 403 393 387 381 379 117 75 81 100 62 45
3 Прямой 463 446 424 405 393 383 366 363 359 356 354 305 276
Обратный 476 456 431 409 394 383 365 115 75 81 100 63 46
5 Прямой 511 484 447 417 399 379 350 360 358 356 353 305 275
Обратный 522 492 452 409 400 379 350 113 74 81 100 63 46
7 Прямой 553 515 466 426 402 367 340 358 357 355 353 304 275
Обратный 562 522 470 428 403 366 342 112 74 82 101 63 46
9 Прямой 589 542 482 433 404 358 333 356 356 355 353 304 275
Обратный 597 548 485 434 405 358 335 111 75 82 101 64 46
10 Прямой 605 554 489 436 405 354 330 356 356 355 353 304 275
Обратный 613 560 492 438 405 356 333 111 75 82 101 64 46
11 Прямой 621 566 495 439 406 351 327 355 356 355 352 304 275
Обратный 628 571 498 440 406 353 331 111 75 82 101 64 47
12 Прямой 635 577 501 441 406 348 325 355 355 354 352 305 275
Обратный 642 582 503 442 406 350 329 111 74 82 101 64 47
13 Прямой 649 587 506 443 405 346 323 354 355 354 352 304 275
Обратный 655 591 509 444 405 348 327 111 75 82 101 64 47
14 Прямой 662 596 511 445 403 343 321 354 355 354 352 304 275
Обратный 668 601 513 446 403 346 325 110 75 82 102 64 47
15 Прямой 674 605 516 446 402 341 320 353 355 354 352 304 274
Обратный 680 609 518 447 401 344 325 110 75 82 102 64 47
Рис. 4. Распределение эквивалентных напряжений на продолжении разреза после первого полуцикла первого (1), второго (2), седьмого (7) и пятнадцатого цикла нагружения (15)
вается на расстоянии х = 0.072 мм и при дальнейшем циклическом нагружении не меняет своего положения.
На рис. 5 представлены распределения напряжений /х, /у и в точках образца на продолжении трещи-новидного разреза в конце прямого полуцикла соответственно первого, десятого и пятнадцатого циклов нагружения. Горизонтальной штриховой линией показано значение напряжений, равное пределу текучести материала при статических испытаниях /0 2 = 355 МПа. Вертикальной штриховой линией отмечено положение границы пластической зоны, образованной после первого полуцикла первого цикла нагружения, что соответствует расстоянию х = 0.530 мм от вершины разреза.
а, МПа
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 х, мм
Щ
400
200
0.8 х, мм
а, МПа
400-1
200-
0.6 0.8 х, мм
Рис. 5. Распределение напряжений на продолжении трещино-видного разреза в конце прямого полуцикла первого (а), десятого (б), пятнадцатого цикла нагружения (в)
Рис. 6. Изменение напряжений /у в вершине трещиновид-ного дефекта при циклическом нагружении
Анализируя рис. 5, можно сделать следующее заключение. От цикла к циклу напряжения /у и в вершине разреза увеличиваются, как это и должно быть для циклически упрочняющегося материала. В конце прямых полуциклов первого цикла / ^ = 411 МПа, десятого цикла /= 605 МПа, пятнадцатого цикла /= 674 МПа.
Кроме этого, несмотря на то что цикл внешней нагрузки является пульсирующим и всегда положительным, цикл изменения напряжений /у в точке, непосредственно расположенной в вершине разреза, является знакопеременным с постоянно увеличивающейся амплитудой (рис. 6). Если на этом графике через точки максимумов напряжений /у провести линию (пунктир на рис. 6), то абсолютные значения напряжений, рассчитанных в точках минимумов, также будут располагаться на этой линии. Этот факт хорошо иллюстрирует теорию Орована [20].
На рис. 7 представлены границы пластических зон, определенных после первых полуциклов первого и последующих циклов нагружения. Можно считать, что граница пластической зоны, сформированная в первом цикле нагружения, соответствует классическим представлениям [21], как если бы это было обычное статическое нагружение. В частности, поскольку модуль линейного упрочнения материала (Е1 = 1.25 ГПа) меньше модуля упругости материала (Е = 200 ГПа) в 160 раз, то материал близок к идеально пластичному и форма пластической зоны близка к представлениям Дагдейла о тонкой пластической зоне [22], вытянутой в продолжении разреза. Однако в конце первого полуцикла вто-
Рис. 7. Границы пластических зон около вершины трещино-видного дефекта после первого полуцикла первого (1) и второ-го-пятнадцатого цикла нагружения (2-15)
рого и последующих циклов иагружеиия пластическая зона резко уменьшается, занимая не более 20 % области, сформированной в первом цикле нагружения. Ее форма становится близкой к кругу с центром в вершине разреза. Заметим ее очевидное сходство с зоной пластических деформаций, введенной Ирвином [23, 24]. Используя формулу Ирвина, можно определить радиус этой окружности, который для наших значений равен
r = lai/(2ст2.2) = 50 • 202/(2 • 3552) = 0.079 мм. Численный расчет определил границу пластической зоны на расстоянии 0.072 мм от вершины разреза. Это величина отличается от теоретического значения на 10 %. Хорошее совпадение между расчетом и теорией Ирвина получается и в случае, когда на рассматриваемый образец действует внешняя нагрузка ai = 100 МПа: r = 1.98 мм (теория), 1.95 мм < r < 2.06 мм (численный расчет).
5. Выводы
При моделировании циклического нагружения образца с трещиновидным разрезом, выполненного из циклически упрочняющегося материала, зона пластического деформирования существенно отличается по форме и размерам от зоны пластического деформирования, полученной при статическом нагружении образца. Геометрия границы области пластического деформирования после второго и последующих циклов нагру-жения близка к окружности. Зона пластического деформирования материала, расположенная около вершины разреза, составляет примерно 20 % от площади первоначальной зоны пластического деформирования, сформированной на первом цикле нагружения, и в процессе циклического нагружения меняется незначительно.
Для оценки размеров пластической зоны около вершины усталостной трещины в пластичных материалах в качестве первого приближения можно использовать формулу Ирвина.
Цикл изменения напряжений ay в точках, расположенных в непосредственной близости от вершины тре-щиновидного разреза, является знакопеременным с увеличивающейся амплитудой.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 16-08-00483.
Литература
1. Роней М. Усталость высокопрочных материалов // Разрушение. Т. 3. - М.: Мир, 1976. - С. 473-527.
2. Коцаньда С. Усталостное растрескивание металлов. - М.: Металлургия, 1990. - 623 с.
3. Головин С.А., Пушкар А. Микропластичность и усталость металлов. - М.: Металлургия, 1980. - 240 с.
4. Партон В.З., Морозов Е.М. Механика упругопластического разрушения. - М.: Наука, 1974. - 416 с.
5. Yates J.R., Zanganeh M., Tomlinson R.A., Brown M.W., GarridoF.A. Crack paths under mixed mode loading // Eng. Fract. Mech. - 2008. -V. 75. - P. 319-330.
6. Голуб В.П., Плащинская А.В. О влиянии концевой пластической зоны на рост усталостных трещин в изотропных пластинках при одноосном растяжении-сжатии // Теоретическая и прикладная механика. - 2003. - Вып. 38. - С. 91-96.
7. Antunes F. V., Chegini F.G., Branco R., Camas D. A numerical study of
plasticity induced crack closure under plane strain conditions // Int. J. Fatigue. - 2015. - V. 71. - P. 75-86.
8. Лукьянов В.Ф., Фомин В.Н. Инженерный метод расчета параметра
вязкости разрушения // Проблемы прочности. - 1972. - № 2. -С. 55-59.
9. ВитвицкийП.М., ПанасюкВ.В., Ярема С.Я. Пластические дефор-
мации в окрестности трещин и критерии разрушения (обзор) // Проблемы прочности. - 1973. - № 2. - С. 3-18.
10. Paris P.C., Tada H., Donald J.K. Service load fatigue damage—a historical perspective // Int. J. Fatigue. - 1999. - V. 21. - P. 35-46.
11. Li H., Chandra N. Analysis of crack growth and crack-tip plasticity in ductile materials using cohesive zone models // Int. J. Plasticity. -2003. - V. 19. - P. 849-882.
12. Махутов Н.А., Фролов К.В., Гаденин М.М. и др. Научные основы повышения малоцикловой прочности / Под ред. Н.А. Махуто-ва. - М.: Наука, 2006. - 623 с.
13. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. - М.: Наука, 1969. -420 с.
14. Шакиртов М.М., Шабанов А.П., Корнев В.М. Построение диаграмм разрушения для пластин с трещиновидным дефектом на основе необходимых и достаточных критериев // ПМТФ. - 2013. -Т. 54. - № 2. - С. 163-170.
15. Subramanyaa H.Y., Viswanath S., Narasimhan R. Constraint effects on multiple void interaction in pressure sensitive plastic solids // Eng. Fract. Mech. - 2009. - V. 76. - P. 1049-1073.
16. Нейбер Г. Теория концентрации напряжений в призматических стержнях, работающих в условиях сдвига, для любого нелинейного закона, связывающего напряжения и деформации // Механика: Сб. переводов. - 1961. - № 4. - С. 117-130.
17. Ахметзянов М.Х. Исследование концентрации напряжений в пластической области при помощи фотоупругих покрытий // Изв. АН СССР. Отд. техн. наук. Механика и машиностроение. - 1963. -№ 1. - С. 159-162.
18. Вейс В. Анализ разрушения в условиях концентрации напряжений // Разрушение. Т. 3. - М.: Мир, 1976. - С. 263-302.
19. Neuber G. Kerbspannunglehre: Grunglagen fur Genaue Spannungsrechnung. - Berlin: Springer-Verlag, 1937.
20. Физическое металловедение. Вып. 3. Дефекты кристаллического строения. Механические свойства металлов и сплавов / Под ред. Р. Кана. - М.: Мир, 1968. - 484 с.
21. Броек Д. Основы механики разрушения. - М.: Высшая школа, 1980. - 368 с.
22. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. - No. 2. - P. 100-108.
23. Irwin G.R. Fracture // Handbuch der Physic. - Berlin: Springer-Verlag, 1958. - V. 6. - P. 551-590.
24. Irwin G.R. Plastic Zone near a Crack and Facture Toughness // Proc. 7th Sagamore Ordnance Materials Research Conf. - Syracuse Univ. Press, 1960. - P. IV-63-IV-78.
Поступила в редакцию 01.03.2016 г., после переработки 15.11.2016 г.
Сведения об авторах
Шабанов Александр Петрович, к.т.н., доц., доц. СГУПС, shabanov@211.ru Шакиртов Максим Маратович, асп. СГУПС, legion-mpf@yandex.ru
