О топологиях, порожденных p - компактными подмножествами Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES

On topologies generated by p-compact subsets Boljiev B. (Republic of Kyrgyzstan)

О топологиях, порожденных p — компактными подмножествами Болжиев Б. А. (Кыргызская Республика)

Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras - кандидат физико-математических наук,

Институт теоретической и прикладной математики НАН Кыргызской Республики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе на каждом топологическом пространстве строятся две топологии: одна образована всеми р — секвенциально открытыми

множествами и другая топология порождается дополнениями до р — компактных подмножеств, где р — является произвольным свободным ультрафильтром на множестве произвольной бесконечной мощности Т .

Abstract: in the article two topologies are constructed: the first one is produced by all p-sequentially open sets and the second topology is generated by complements to p-compact sets where p is any free ultrafilter on the set of any infinite cardinal Т .

Ключевые слова: р — секвенциально открытые, р — компактные подмножества. Keywords: p-sequentially open, p-compact sets.

В данной работе мы изучаем взаимоотношения между двумя топологиями на произвольном топологическом пространстве. Одна из этих топологий даёт р — секвенциальное пространство, впервые введённое А.П.Комбаровым [3], где р — является ультрафильтром на счётном множестве и позже это понятие получило своё дальнейшее развитие в виде sP — (псевдо) радиальных, оР — (псевдо) радиальных и voP — (псевдо)радиальных пространств в работе Л.Кочинаса [4]. Другой тип пространств, порожденный дополнениями до р — компактных подмножеств, был определён Дж.Дэбсом [1].

Все пространства, рассматриваемые здесь, предполагаются быть хаусдорфовыми. Символ Т зарезервирован за произвольным бесконечным кардиналом, Рт является Стоун-Чеховской компактификацией дискретного пространства Т и её СтоунЧеховский нарост Рт \ Т ассоциируется с множеством всех свободных ультрафильтров на Т .Впредь, символ р будет означать свободный ультрафильтр на

множестве Т , т.е. p £ Рт \т . Напомним некоторые определения, касающиеся понятий р — предельной точки, р — сходящейся т — последовательности и р — секвенциального пространства.

Бернштейн ввёл (см. [2]) понятия р — предельной точки и тесно связанного с этим понятие р — компактного пространства для произвольного свободного

ультрафильтра р на о, т.е. на дискретном пространстве множества натуральных чисел. Далее, А.П.Комбаров (см.[5]) ввёл и изучил понятия Р — секвенциальности и Р — компактности, а именно, сильно (слабо) Р — секвенциальные пространства и просто Р — секвенциальные пространства, где Р — произвольный набор

ультрафильтров, определенных на счётном множестве. В.Сакс (см.[3]) переносит понятие р — предела на направленности следующим образом: если p £ Рт \т и

European science № 2(12) ■ 6

(х : а <т) является т — последовательностью в X, тогда точка x является р — предельной точкой т — последовательности (х : а <т) и обозначается это как x = p — limxa, если для произвольной окрестности O точки x выполнено:

{а : *а £ O} £ Р и там же он определяет р — компактное пространство как пространство, в котором каждая т — последовательность обладает р — предельной точкой или, как ещё говорят в таком случае, т — последовательность р — сходится. Там же он отмечает, что всякое компактное пространство является р — компактным

при любом p £ /Зт \ Т . Следуя Комбарову [5], назовём топологическое пространство (X, <г) р — секвенциальным, известное по другой терминологии как р — псевдорадиальное пространство^], если для любого незамкнутого множества A с X найдётся точка x £ A, являющееся р — предельной точкой некоторой т —

последовательности (:а <т) с A.

Последующие результаты являются распространением результатов, полученных в [1], со счётного кардинала на произвольный кардинал.

ЛЕММА 1. Пусть (xa :а<т) и (уа :а<т) две т — последовательности в

(X,&) такие, что {а : xa = уа}£ p. Тогда p — limxa = p — limуа (если какой-либо из пределов существует).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {а : xa = уа } = A £ p. Предположим, что

x = p — lim xa и пусть O произвольная окрестность точки x, тогда

{а: Xа £ 0а}£ p . Поэтому {а : Уа£ 0а} ^ {а : ^ = Уа и

^'а £ 0} = B о{а: xa £ O} £ p . Таким образом, x = p — limуа.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть A, A два p — компактных подмножества в пространстве (X,&') . Тогда Д ^ Д является p — компактным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (xa : а <т) произвольная т — последовательность в A ^ A. Так как p является ультрафильтром на т . Тогда, по крайней мере, одно из двух множеств Wx = {а : xa £ A } и W2 = {а : xa £ A } принадлежит ультрафильтру p , скажем W . Полагая уа = z для некоторого z £ A, мы получим т — последовательность (уа :а<т) в A, которая имеет p — предельную точку x £ A, т.е. x = p — lim уа. В силу Леммы 1 получаем требуемое утверждение.

СЛЕДСТВИЕ 1. Конечное пересечение p — компактных подмножеств снова является p — компактным подмножеством.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если семейство {(Ху,& ),/£ C} состоит из произвольного

набора p — компактных подмножеств, тогда ^{X^, у £ C} является p — компактным.

Доказательство непосредственно следует из единственности p — предельной точки в хаусдорфовых пространствах.

7 ■ European science № 2(12)

Рассматривая в произвольном топологическом пространстве (X, О)

совокупность всех р — компактных подмножеств, как это было сделано в [1], но

только для счётного случая, мы получим, что эти множества вместе с X и 0 удовлетворяют всем аксиомам топологического пространства для замкнутых множеств. Таким образом, дополнения до p — компактных подмножеств вместе с X и 0 образуют некоторую топологию на X. Обозначим эту топологию символом р(о). Таким образом, подмножество O открыто в (X, р(о)), если только X \ O является р — компактным в (X, О) .

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. В р — компактном топологическом пространстве (X,о) каждое замкнутое подмножество является p — компактным.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A является замкнутым множеством в (X,о) в (X ,о) и (ха '.а < т) произвольная т — последовательность в A . Тогда найдётся точка x е X такая что x = р — lim xa, откуда немедленно получаем

x е [3{xa .акт}] 3 A и, следовательно, A является р — компактным.

СЛЕДСТВИЕ 2. В р — компактном пространстве (X, О) р(о) 3 О .

Мы покажем, что топология р(о) может быть сильнее, чем о .

Рассмотрим пространство Рт, в котором силу её компактности (р — компактности) каждое замкнутое множество является р — замкнутым и в этом пространстве мы найдём р — компактное незамкнутое множество, что и продемонстрирует тот факт, что р(о) на рт сильнее исходной топологии. Применим сейчас одну процедуру к пространству Рт, которая, в принципе, может быть применима в любом топологическом пространстве. Для произвольного подмножества A 3 Рт определим A' = A 3{x : найдётся т — последовательность (:а<т) 3 A такая, что x = р — limxa } . Предположим теперь, что для произвольного кардинала а < Р где Р <т+ мы уже определили Aa таким образом, что А 3 A„ для всех у1 < у2 < Р. Положим A^ = 3{Aa : а < Р} в случае, если Р является предельным ординалом и Ap = (A^ )' если Р = Р0+1. И наконец, положим A + = ^>{Aa :а <т}. Очевидным образом, верно следующее соотношение: A^+ = (A^+)'. Применив эту процедуру ко множеству A =т и полагая А = (А)' мы получим множество A^+ , которое окажется всюду плотным р — компактным подмножеством Рт, но не совпадающим с Рт, так как | A++ |< ехр(ехр(т)) =| Рт |. Итак, A++ является замкнутым в р(о), что и означает, что р(о) ФО.

В работе [6] автором было определено понятие р — секвенциально замкнутого множества как множества, которое содержит все свои р — предельные точки. Там же было определено понятие р — секвенциально открытого множества и доказано, что оба эти понятия являются взаимно дополни-тельными.

European science № 2(12) ■ 8

ЛЕММА 2. Каждое р — компактное подмножество является р — секвенциально замкнутым.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A является р — компактным подмножеством в топологическом пространстве (X,г) и (xa :а<т) является произвольной т — последовательностью в A. Тогда x = p — lim xa для некоторого и в силу

хаусдорфовости пространства единственного x е A. Поэтому A является р — секвенциально замкнутым.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Если x = p — limxa в пространстве (X,г), тогда x = p — lim xa также и в пространстве (X, p(<j)) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x = p — lim xa. Предположим, что x е O, где O е p(d). Очевидно, что A = X \ O является p — компактным и в силу леммы 2 можем заключить, что A является р — секвенциально замкнутым. Из теоремы 1 [6] мы получим, что x = p — lim xa и в пространстве (X, p(d)) .

СЛЕДСТВИЕ 3. Если (X,Г) является p — компактным, тогда (X, p(d)) тоже является p — компактным.

Ранее было упомянуто, что множество A^_+ можно построить для любого

подмножества A произвольного топологического пространства.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть A является произвольным подмножеством в пространстве (X, p(d)) . Тогда A^+ , построенное в пространстве (X, p(d)),

совпадает с замыканием A в (X, p(d)) .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения топологии p(d) следует, что [A] в (X, p(d)) совпадает с пересечением всех p — компактных подмножеств, содержащих A. Нетрудно заметить, что если (xa \а<т) является т — последовательностью в A^ + , тогда (ха \а<т) ^ Aa для некоторого (Х<Т+ и тогда (ха :а<т) ^ Aa+1 откуда немедленно заключаем p — компактность множества A^+ . Поэтому [A] с A^+.

Обратно, предположим, что мы доказали, что Ar с [A] для всех у < (X. Если а является предельным ординалом, тогда включение Aa с [A] выполнено очевидным образом. Если же а является изолированным ординалом, т.е. а =а0+1 для некоторого а0 и если x0 е Aa, тогда x0 = p — lim xa в пространстве (X, p(d)) для некоторой т — последовательности (xa : а <т) с A . Поэтому, если O является произвольной окрестностью точки x в пространстве (X, p(d)), тогда O О A 0 откуда следует x е [A]. Таким образом, A^+ с [A].

В работе [6] автором в произвольном топологическом пространстве (X,d) была определена топология (Г , состоящая из всех p — секвенциально открытых множеств

9 ■ European science № 2(12)

пространства (X,о). Напомним [6], что подмножество O в произвольном топологическом пространстве (X, О) называется p — секвенциально открытым, если из того, что x е O и x = p — lim xa следует [a: xa G O}e p . Отныне топологическое пространство (X, О ) будем называть p — секвенциальным лидером пространства (X, О) .

Исходя из аргументов, использованных при доказательстве предложения 4, ясно, что элементы топологии р(о) являются p — секвенциально открытыми и так как любое открытое множество является p — секвенциально открытым, а также в силу того, что найдутся открытые множества, чьи дополнения не являются p — компактными множествами, то мы получим следующий результат.

ТЕОРЕМА 1. В произвольном топологическом пространстве (X,о) выполнено:

оСОр и p(o) С0p .

Топологии о и О p совпадаю тогда и только тогда, когда пространство (X,о) является p — секвенциальным [6]. В общем же случае возможны раз-личные соотношения между о и p(o).

Рассмотрим случай, когда (X,о) является p — компактным пространством. В этом случае каждое его замкнутое множество является p — компактным пространством, так что р(о) 3 О и если же р(о) Ф О тогда, очевидным образом, найдётся незамкнутое p — компактное подмножество и это множество является p — секвенциально замкнутым. Нам известно, что если множество p — секвенциально замкнутое, но не является замкнутым, тогда исходное пространство не является p — секвенциальным [6]. В качестве примера p — компактного не p — секвенциального пространства годится любое компактное пространство тесноты превосходящей т , в частности, годится Рт . Если к тому же ещё p(o) = О, то ( X ,о) является p — секвенциальным p — компактным пространством.

ТЕОРЕМА 2. В p — компактном пространстве (X,о) справедливы следующие соотношения:

1) p(o) 3 0

2) p(o) = 0 тогда и только тогда, когда (X,о) p — секвенциально.

СЛЕДСТВИЕ 4. В p — компактном p — секвенциальном пространстве (X,о)

p(o) =0=0р.

СЛЕДСТВИЕ 5. В p — компактном не p — секвенциальном пространстве (X ,о) ос p(o), p(o) фо и p(o) =ор .

Рассмотрим случай не p — компактного пространства. Предположим, что О С р(о) в не p — компактном пространстве (X, о) . В этом случае каждое собственное замкнутое подмножество является p — компактным. В пространстве (X, О) найдётся т — последовательность (xa : а <т), у которой нет ни одной p — предельной точки и поэтому у каждой, а нам достаточно, некоторой точки x найдётся в (X, О) открытая

European science № 2(12) ■ 10

окрестность O такая, что B = {a: xa е X \ O} е p . Положим za = , если а е B

и при любом a g B пусть za = а для некоторого а е X \ O. Ясно, что т — последовательность (z :а<т) не обладает p — предельной точкой, но лежит в собственном замкнутом подмножестве X \ O и потому должна обладать p — предельной точкой. Получили противоречие. Таким образом справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 3. Не существует хаусдорфова не p — компактного пространства

(jX, ), в котором выполнялось бы условие, и с p(0.

Литература

1. Dabbs J. On Manes countably compact, countably tight, non-compact spaces. Comment.Math.Univ.Carolins, Vol.52 № 3(2011), 427-433.

2. Bernstein A. R. A new kind of compactness for topological spaces. Fund. Math. 66 (1970), 185-193.

3. Saks V. Ultrafilters invariant in topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V.241., 79-97.

4. Kocinac Lj. A generalization of chain-net spaces, Publ. Inst. Math. (Beograd), 44 (58) (1988), 109-114.

5. Комбаров А. П. Об одной теореме А.Х.Стоуна. Докл. АН СССР. 1983. Т. 270, 1. С. 37-40.

6. Boljiev B. On generating p-sequential spaces. Proceedings of V Congress of the TURKIC WORLD MATHEMATICIANS. Bishkek-2014. p.17-20.

Titanium dioxide in optoelectronic applications Kavchenkov A. (Russian Federation)

Диоксид титана в оптоэлектронных приложениях Кавченков А. С. (Российская Федерация)

Кавченков Александр Сергеевич / Kavchenkov Aleksandr - студент, кафедра электроники и электроэнергетики, физико-технический факультет, Петрозаводский государственный университет, г. Петрозаводск

Аннотация: в статье рассматривается технология получения диоксида титана при невысоких температурах для использования его в оптоэлектронных приложениях. Оптические свойства диоксида титана представляют большой интерес, так как его пленки имеют высокий коэффициент пропускания света, а также хорошую прозрачность. Эти особенности пленок диоксида титана можно использовать для удешевления технологии производства смарт-стекол.

Abstract: the article considers the technology of production of titanium dioxide at high temperatures for use in optoelectronic applications. The optical properties of titanium dioxide are of great interest because its film has high light transmittance and good transparency. These features films of titanium dioxide can be used to reduce the cost of production technology of smart glass.

Ключевые слова: титан, диоксид титана, TiO2, смарт-стекло, оптоэлектронное приложение, магнетронное распыление.

Keywords: titanium, titanium dioxide, TiO2, smart glass, optoelectronic application magnetron sputtering.

11 ■ European science № 2(12)