CC BY
7
S , и что в равномерном пространстве (X , Б) Т -последовательность (ха )а<т p -сходится к х для любого p е P и таким образом (ха )а<т является sP -последовательностью Коши в (X, U), не обладающее p -предельной точкой в X для любого p е P. Поэтому (X, U) не является sP --секвенциально полным. Совмещая этот результат с предложением 3, мы получим следующую теорему.
Теорема 1. Пусть P замкнуто в т . Тогда пространство (X, s) является квази P -компактным если и только если (X, U) является sP -секвенциально полным в любой равномерности U , совместной с S .
ж
А. П. Комбаров [3] показал, что слабая w -компактность эквивалентна счетной
ж
компактности, которая, в свою очередь, эквивалентна w -компактности или квази
ж ж
w -компактности. Ясно, что sw -последовательность Коши совпадает с обычной последовательностью Коши, и мы получим следующее следствие:
Следствие 2. Топологическое пространство (X, s) является счетно компактным тогда и только тогда, когда оно является секвенциально полным в любой равномерности, совместной с S .
Следствие 3. Топологическое пространство (X, s) является p -компактным если и только если оно p -секвенциально полно в любой равномерности, совместной с S .
Литература
1. Bernstein A. R. A new kind of compactness for topological spaces, Michigan Math.J. 15 (1968), р. 313-320.
2. Borubaev A. A. Uniform topology. Bishkek, 2013, 337 p.
3. Kombarov A. P. Compactness and sequentiallity with respect to a set of ultrafilters, Moscow Univ. Math. Bull. 40 (1985), 15*18.
4. Saks V. Ultrafilters invariant in topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V.241, р. 79-97.
5. Savchenko I. A. Convergence with respect toultrafilters amd the collective normality of products, Moscow Univ. Math. Bull. 43 (1988), р. 45-47.
О некоторых свойствах р - секвенциальных пространств
Болжиев Б. А.
Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras Asanbekovich - кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР), г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в данной статье изучаются свойства р — секвенциальных пространств для произвольного свободного ультрафильтра р на множестве мощности Т Ключевые слова: р — секвенциальное пространство, р — компактное пространство, тихоновское пространство, ультрафильтр.
Одним из важных понятий в общей топологии является понятие секвенциального пространства и актуальной остаётся задача, касающаяся его различных обобщений. Одно из важных таких обобщений принадлежит А. П. Комбарову [2]. В этой работе он определяет различные виды Р — секвенциальности, а именно, сильно (слабо) Р — секвенциальные пространства, где Р — произвольный набор ультрафильтров, определенных на счётном множестве. Позже понятия сильно (слабо) Р — секвенциальных пространств и радиального пространства позволили Л. Кочинасу
ввести и изучить sP — (псевдо)-радиальные, wP — (псевдо)-радиальные, VwP — (псевдо)-радиальные , а также пространства соответствующего им типа компактности, точнее говоря, sP — компактные и wP — компактные пространства, где Р с ßt \т для любого дискретного пространства мощности т . Здесь ßt \ Т, являющееся Стоун-Чеховским наростом дискретного пространства мощности т, ассоциируется со множеством всех свободных ультрафильтров на т .
В данной работе мы будем рассматривать случай Р = {р}, т. е. случай, когда P состоит только из одного ультрафильтра, скажем, p на т , и естественно считать, что элементы ультрафильтра p могут иметь мощность, меньшую чем т . В дальнейшем, каждый бесконечный кардинал будет ассоциироваться с начальным ординалом той же мощности. Как было отмечено ранее, Л. Кочинас определил sP — (псевдо)-радиальные, wP — (псевдо)-радиальные, VwP — (псевдо)-радиальные пространства, которые все совпадают друг с другом в случае, когда P состоит из одного ультрафильтра. Однако мы предпочитаем здесь называть такие пространства p — севенциальными пространствами, которые были определены А. Комбаровым в
[2] для случая счётного т . Пусть p е ßт \ т и (xa : а < т) является т — последовательностью в топологическом пространстве (XX, d), тогда, следуя В. Саксу [1], назовём точку X Е X p — предельной точкой т — последовательности (Xa :а<т), обозначаемое как x = p — limxa, если для любой окрестности W точки x выполняется {а : xa Е W} Е p . Мы также можем говорить в таком случае, что т — последовательность (xa :а <т) p — сходится к точке x или обладает p — предельной точкой x .
Для каждого A с X определим следующее множество p(A) = A О {x Е X : что для некоторой т — последовательности (xa :а<т) с A выполнено: x = p — limxa} .
Определение 1. Топологическое пространство (X,g) называется p — секвенциальным, если p(A) = [A] для любого A с X.
Можно определить p — секвенциальность следующим эквивалентным способом: топологическое пространство (X, d) называется p — секвенциальным, если для любого незамкнутого A с X найдутся точка x 0 A и некоторая т — последовательность (xa : а <т) с A, такие что x = p — lim xa.
Определение 2 [1]. Топологическое пространство (X,d) называется p — компактным, если каждая т — последовательность (xa :а <т) обладает p — предельной точкой.
В статье [1] было доказано, что каждое компактное пространство является p — компактным, и что класс p — компактных пространств является мультипликативным и наследуется по замкнутым подмножествам.
Определение 3. Подмножество О с X в топологическом пространстве (X, 7) называется p — секвенциально открытым, если из того, что X Е O и x = p — lim xa для некоторой т — последовательности (xa : а < т) следует, что [а: xa е O} е p .
Непосредственно из определения 3 следует, что конечное пересечение p — секвенциально открытых множеств является p — секвенциально открытым, и объединение любого числа p — секвенциально открытых множеств снова является
p — секвенциально открытым, можно заключить, что множество 7 , состоящее из
всех p — секвенциально открытых множеств, образует топологию на X . Учитывая также, что любое открытое множество является p — секвенциально открытым, мы приходим к следующему результату.
Предложение 1. (X, 7 ) является топологическим пространством и 7 с 7
Определение 4. Подмножество A с X в топологическом пространстве (X, 7) называется p — секвенциально замкнутым, если и только если A = p(A).
Предложение 2. Подмножество A с X в топологическом пространстве (X, 7) является p — секвенциально замкнутым тогда и только тогда, когда X \ A является p — секвенциально открытым.
Доказательство. Пусть A является p — секвенциально замкнутым и X & A, тогда X еО = X \ A. Предположим, что X = p — lim xa для некоторой т — последовательности (xa : а < т). Так как p является ультрафильтром, тогда найдётся W е p такое, что (xa : а е W) с О, иначе [а: xa е A} е p, что в свою очередь означало бы, что x Е A. Поэтому О является p — секвенциально открытым.
Пусть теперь О является p — секвенциально открытым и x = p — lim xa для некоторого x и некоторой т — последовательности (xa : а < т) с A. Предполагая x е О, получим [а: xa е О} е p и тогда (xa : а < т) ф A, что противоречит нашему предположению. Следовательно, A является p — секвенциально замкнутым множеством.
Предложение 3. Топологическое пространство (X, 7) является p — секвенциальным тогда и только тогда, когда 7 = 7 .
Доказательство. Необходимость. Пусть О не является открытым множеством в (X, 7). Тогда найдутся x Е О и некоторая т — последовательности (xa :а<т) с X \ О такие, что x = p — lim xa. Ясно, что О не является p — секвенциально открытым множеством. Итак, 7 = 7 .
Достаточность. Пусть теперь 7 = 7 , т. е. каждое p — секвенциально открытое множество является открытым. Если A не является замкнутым, тогда О = X \ A не
является открытым и, следовательно, не является p — секвенциально открытым множеством, что, в свою очередь, означает, благодаря Предложению 2, что A не является p — секвенциально замкнутым. Поэтому для некоторой точки xg A и некоторой т — последовательности (xa :а<т) с A выполнено: x = p — limxa, что и доказывает p — секвенциальность пространства (X, d).
Предложение 4. Пусть (X, d) является p — секвенциальным пространством, и (Y, S) является её расширением. Тогда Sp |X = d.
Доказательство. Пусть O Е Sp |X, тогда O = G n X для некоторого p — секвенциально открытого в (Y, S) множества G . Так как X плотно в Y, то из того что x = p — lim xa для x Е O и некоторой т — последовательности (Ха :а <т) с X следует, что x = p — lim xa в (Y, S) тоже. Теперь легко найти W е p такое, что (xa : а е W) с G, откуда немедленно следует (xa : а Е W) с O, что означат p — секвенциальную открытость O в пространстве (X, d). Из Предложения 3 получаем, что O Е S.
В обратную сторону, пусть O Е S. Тогда найдётся H Е S, для которого H П X = O. Учитывая, что H ESp , получаем: d с S^ |х, что и завершает доказательство.
Теорема 1. Пространство (X, dp) является p — секвенциальным для любого
топологического пространства (X, d) .
Доказательство. Пусть A не является замкнутым подмножеством пространства (X, dр ), что в силу Предложения 2 означает, что A не является p — секвенциально
замкнутым в (X, d). Поэтому найдутся x 0 A и некоторая т — последовательности (xa :а<т) с A такие, что x = p — lim xa в (X,d) . Если O является открытой окрестностью точки x в (X, d ), тогда O является и p — секвенциально открытым в (X,d), что, в свою очередь, влечёт: x = p — limxa в (X, dp ). Следовательно, (X, dp ) является p — секвенциальным пространством.
Следствие 1. Пусть (X, d) будет p — компактным пространством. Тогда (X, dр ) является p — компактным p — секвенциальным пространством.
Доказательство. Нам остаётся доказать только p — компактность пространства (X, dр ). Но это немедленно следует из p — компактности пространства (X, d) и
Теорема 2. Каждое тихоновское p — секвенциальное пространство обладает p — компактным p — секвенциальным расширением.
Доказательство. Пусть (Y, S) является произвольным компактным расширением тихоновского p — секвенциального пространства (X, d) . Так как каждое компактное пространство является p — компактным [1], тогда из Предложения 4 и Следствия 1 следует, что (X, d) является подпространством p — компактного p —
секвенциального пространства (F, S ) . Очевидно, что p — компактность и p — секвенциальность наследуется по замкнутым множествам, поэтому если мы возьмём замыкание X в пространстве (F, S ) , то мы получим желаемое расширение.
Литература
1. Saks V. Ultrafilters invariant in topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V. 241, с. 79-97.
2. Комбаров А. П. Об одной теореме Стоуна. ДАН СССР 270 (1983), с. 38-40.
