О точности определения временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 550.053.510.2+550.053.681.3(571.16)

О ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО ОЦЕНКАМ ИХ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

В.П. Иванченков, А.И. Кочегуров, О.В. Орлов

Томский политехнический университет E-mail: kai@cc.tpu.edu.ru

Рассматриваются результаты исследований точности определения временного положения сейсмических сигналов фазочастотными методами. Приводятся аналитические выражения для дисперсии оценок временного положения сигналов для случая коррелированных и некоррелированных значений фазочастотных характеристик участков сейсмической трассы. Отдельно анализируется ситуация, когда форма регистрируемых сигналов неизвестна.

Ключевые слова:

Временное положение сейсмических сигналов, фазочастотные методы, фазочастотная характеристика, функция групповой задержки.

Key words:

Time position of seismic signals, phase-frequency methods, phase-frequency characteristic, function of group delay.

В [1,2] предлагаются фазочастотные методы для определения временного положения сейсмических сигналов, основанные на анализе фазочастотных характеристик (ФЧХ) регистрируемых записей.

В данной работе исследуется точность оценок, получаемых фазочастотными методами, причем считается, что в общем случае значения ФЧХ являются коррелированными. Построение фазовых алгоритмов основано на теореме запаздывания, согласно которой ф5(а,т)=фж(а)-ат, где временное положение сигнала т является параметром ФЧХ сигнала. Будем рассматривать лишь случай сильного сигнала, то есть величина отношения сигнал/помеха у(о)>>1 на частоте а.

Для модели участка сейсмотрассы

x(t;т)=s(t-т)+n(t), являющейся аддитивной смесью сильного сигнала s(t) и гауссовой помехи п(0, оптимальная оценка временного положения по коррелированной выборке ФЧХ составляет [3]:

Т opt — *

j V (т)[фх (œ)-фS (œ)]dœ IV (œ)dœ

V(œ) — IR '(œ,œ')œ' dœ',

(1)

(2)

где R(a,a) - положительно определенная матрица, составленная из элементов межчастотной корреляционной функции ФЧХ смеси; Q - анализируемая полоса частот; ф/ю) и ф^(ю) - ФЧХ смеси и сигнала.

Нетрудно показать, что дисперсия оценки (1) имеет вид

-1

D (т opt ) —

jjR 1(œ,œ)œœ'dœ dœ

В частном случае, когда значения ФЧХ статистически независимы, корреляционная матрица имеет диагональный вид

R(œ,œ') —

Y (œ)

S(œ -œ'),

(3)

где 8(а-а ) - дельта-функция.

Подстановка (3) и (2) в (1) дает выражение для оптимальной оценки при некоррелированной выборке ФЧХ смеси

¡Г2(а)[фх (а)-ф8 (а)] а?а

~ (4)

IY2(œ)œ2 dœ

или в дискретном виде

m

XY2(œk )œk M(œk )

Xy2k h

(5)

где Дф(ак)=фх(ак)-ф!(ак); ш=0./Да; Да - шаг дискретизации по частоте.

Дисперсия оценки (5) составляет

-1

D (т opt ) —

XY2(œk)œ

Сравнение (1) и (4) показывает, что для случая сильного сигнала наличие корреляции значений ФЧХ в выборке смеси приводит лишь к изменению весовых коэффициентов при оптимальной обработке.

Для случая слабого сигнала найти оптимальную оценку временного положения сигнала удается только при некоррелированных значениях ФЧХ. Такая оценка получена в [1] и определяется путем максимизации функции правдоподобия вида

ln Г(т) — X Y(œk ) cos(A ф (œk ) + œkT ).

(6)

Если в выражении (6) принять все у(ак)>>1 (сильный сигнал), то можно считать, что

_ к—1

opt

к—1

k —1

С08(Дф(ю*) + ткт) и 1-^(Дф«) + акт)2. (7)

Подставляя (7) в (6) и решая уравнение правдоподобия

дТ1п Г(т)

дт

= 0

нетрудно получить выражение (5), определяющее оптимальную оценку при сильном сигнале.

Таким образом, при отсутствии корреляции между значениями в выборке ФЧХ, оптимальная процедура оценки временного положения слабого сигнала, является оптимальной и для сильного сигнала. Тогда дисперсию оценки для слабого сигнала можно приблизительно записать

т "1-1

& (т орг) '

Х^2(Ю*)Ю

1п Г(т) = X С0Б(Дф(юк) + юкт).

(9)

Найдем дисперсию оценки временного положения слабого сигнала для равновесного алгоритма (9). При переходе к равновесной обработке максимальные потери в суммарном отношении сигнал/помеха могут быть охарактеризованы параметром п [4]

Птах =

(

т

= Х (V* -<Ук-Г )2

(10)

где (дъ)2 - суммарное отношение сигнал/помеха, накапливаемое при равновесном фазочастотном алгоритме (9).

Сопоставляя (10) и (8), нетрудно получить выражение для дисперсии оценки временного положения слабого сигнала, определяемой фазочастотным алгоритмом с равновесной обработкой

т

4? (Vк -Тк-Г )2

0(т )>

2 2 пдх?«,

(11)

или, переходя к общепринятым обозначениям,

- 4

-0(торг) ~ 2 Г’ (8)

пдх?«

т

где дX =Х1у2(«к) - суммарное отношение сиг-

к =1

нал/помеха; - среднеквадратическая ширина спектра сигнала.

Как отмечалось в [1], получить оптимальную оценку временного положения слабого сигнала при коррелированных значениях ФЧХ не удается. Однако, сопоставляя выражения (1), (4), (5) и (6), можно предположить, что наличие корреляции значений ФЧХ, как и в случае сильного сигнала, не изменит существенно саму процедуру оценки и при слабом сигнале, а лишь приведет к изменению весовых коэффициентов. Тогда процедуру оценки временного положения сигнала, реализуемую путем максимизации выражения (6), можно считать универсальной для слабого и сильного сигналов, причем оптимальность оценок обеспечивается надлежащим выбором весовых коэффициентов.

На практике получить оптимальные оценки временного положения с помощью фазочастотных алгоритмов не удается, так как распределение отношения сигнал/помеха в анализируемой полосе частот П, формирующее весовые коэффициенты в (9), как правило неизвестно. Поэтому можно говорить только о некоторых квазиоптимальных оценках, определенных, например, с помощью фазочастотных алгоритмов с равновесной обработкой. Функция правдоподобия для таких алгоритмов имеет вид [3]:

Как и следовало ожидать, переход к равновесной обработке снижает точность получаемых оценок. Однако, при практически используемом числе частотных компонент т, это снижение не является очень значительным. Так, при т=1, максимальные потери составляют п,шх=1,58; а при т=20 соответственно Птах=1,754. В тоже время, ценность фазочастотных алгоритмов с равновесной обработкой (9) заключается в том, что в данном случае можно находить оценки временного положения сигналов с высокой точностью без знания формы сигналов.

Следует отметить, что на точность оценок, получаемых фазочастотными методами, также существенное влияние оказывает надежность расчета ФЧХ участков сейсмотрассы. Это связано с тем, что ФЧХ в общем случае является многозначной функцией

ф™ «)=фр(ю)+2Ч ’

(12)

где ф11ст(юк) и фр(юк) - истинное и расчетное значение ФЧХ; 4 - целое число.

Для устранения неоднозначности ФЧХ (определения I для каждого к в (12)) в настоящее время известен ряд процедур развертывания фазы, которые можно объединить в три подхода.

1. Метод Шафера

Основная идея данного метода заключается в сравнении главных значений ФЧХ на двух соседних частотах (юк,юк-1) и, в зависимости от результата сравнения, смещение отдельных значений ФЧХ на величину, кратную 2 п. Примером конкретной реализации метода Шафера может служить алгоритм развертывания фазы, предложенный в [5]:

фисш « ) = фисш (Юк-1) + ф (« ) -фр (« -1)] + А’

где

А =

0’ \фр «к ) -фр (Ю*-!^ <п

2п’ (фр«)-фр (Ю-1)) ^-п;

(фр «) -ф„ (Ю-1))

-2п,

фист (Ю1)=фр (Ю1); к = 2, т.

к =1

к=1

к=1

а б

ф(ю), отн. ед.

в

Рис. 1. Развертывание фазочастотной характеристики методом Шафера: а) амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ); б) развернутая ФЧХ (истинная); в) расчетная ФЧХ

На рис. 1 приведена иллюстрация развертывания фазы по Шаферу. Видно, что в данном случае удалось получить истинный фазовый спектр. Основным недостатком данного метода является то, что в процессе его реализации невозможно отделить скачки фазы, обусловленные природой процесса, например распространением сигнала через контрастные слои, от скачков, связанных с расчетом ФЧХ в области главных значений функции агС£. И в том и в другом случае ФЧХ будет развернута одинаковым образом, если эти скачки превышают величину п.

2. Метод численного интегрирования

групповой задержки

В этом подходе избавиться от многозначности ФЧХ позволяет переход в область производных

Фист (Кк ) = Фист (К -1) + Дф(К X где приращение

Дф(юк) = /(Ф'Р К X Фр (ю -Л Д®=к-к-1)

может быть вычислено одним из методов численного интегрирования, например, методом трапеций; к=2,т; ф11ст(ю1) - заданное начальное условие.

При этом

фрК) = К РК) =

В'(к )Л(юк) - Л'(юк )В(юк) Л2(тк) + В\юк) ’

где Л(ак) и В(юк) - соответственно реальная и мнимая части ^дискретного преобразования Фурье (ДПФ); к=2,т; 1гр(ак)=фр(юк) - групповая задержка на частоте юк, определяющая задержку максимума огибающей на этой частоте.

Данный метод позволяет полностью развернуть ФЧХ сигнала, однако погрешность метода существенно зависит от величины шага интегрирования Дю. К сожалению, невозможно заранее определить, какой должна быть величина т для ДПФ, чтобы точно развернуть фазу. Особенно большие погрешности могут накапливаться при восстановлении ФЧХ, если на какой-либо частоте юк наблюдалось высокое значение производной. На рис. 2 приведены истинная ФЧХ и ФЧХ, развернутая по методу численного интегрирования групповой задержки для АФЧХ, представленной на рис. 1, а. Из рис. 2 видно, как с ростом частоты накапливается погрешность.

Дополнительным преимуществом метода численного интегрирования групповой задержки является то, что переход в область производных позволяет реализовать эффективные алгоритмы определения временного положения сигнала непосредственно на основе анализа статистик групповой задержки. Оптимальная оценка в этом случае находится из функции правдоподобия вида [6]:

т

1п 1(Т) =^Р(юк ) СОБ(юк Мр (юк ) + юкт) (13)

к=1

где в(юк) = ^( к) - отношение сигнал/помеха в Ик

области производных [7]; Ик =-

- отношение

частоты экстремумов помехи к частоте экстремумов сигнала; Д4р(юк)=Д4Дюк)-Д/Дюк) - отклонение групповой задержки смеси от групповой задержки сигнала на частоте юк.

0

п

2п

з К Ю, рад

-2л

-Зп

ч а

N б

\

ф(ю), отн. ед.

Рис. 2. Развертывание фазочастотной характеристики методом: а) Шафера; б) численного интегрирования групповой задержки

Дисперсия оценки по аналогии с (8) для слабого сигнала составляет

4

В (Т опт ) !

пРК

(14)

где в2 =Хв2(®к) - суммарное отношение сиг-

к=1

нал/помеха в области производных.

Переход к равновесному суммированию в (13) (в(юк)=1 для к=1,т), как и в случае анализа значений ФЧХ (14), увеличивает дисперсию оценки [5]:

В(т ),

т

4^Ык -л/к-Г)2

к=1___________________

(15)

Сопоставляя (8) и (14), (11) и (15), нетрудно увидеть, что алгоритмы определения временного

положения сигналов, основанные на анализе групповых задержек, обеспечивают более низкую точность, чем ранее рассмотренные фазочастотные алгоритмы. Однако эти алгоритмы используют априорную информацию только о форме ФЧХ и не требуют развертывания ФЧХ во всей анализируемой полосе частот.

3. Объединенный метод с адаптацией

величины шага интегрирования

В [8] предложен алгоритм развертывания фазы, в котором построена числовая схема, объединяющая информацию из групповой задержки и главных значений ФЧХ. Так, для определения величины I для каждого к в формуле (12), авторы предлагают использовать следующее соотношение:

!ФК)-фрК)+2п4|<порог<п, (16)

где ф(юк) - значение ФЧХ на частоте юк, восстановленное по методу численного интегрирования групповой задержки; к=1,т.

Целое значение 1к, при котором неравенство (16) выполняется, принимается за истинное. Если ни при каком значении 1к для частоты юк неравенство не выполняется, шаг Дю=юк-юк-1 уменьшается до тех пор, пока не будет найдена согласованная оценка !к. Адаптация шага интегрирования по частоте, соответствующая области резкого изменения ФЧХ, позволяет восстановить истинную фазу в ситуациях, когда возможно неоднозначная интерпретация поведения ФЧХ. Например, неясно направление движения АФЧХ. Кроме того, объединенный метод не зависит от погрешности интегрирования, так как ф(юк) в формуле (16) используется только для нахождения величины 1к, а истинная фаза определяется как фист(юк)=фр(юк)+2п1к.

В качестве примера на рис. 3, а, приведена АФЧХ сложного сигнала, а на рис. 3, б, ФЧХ, развернутая по объединенному методу. Из рисунков видно, что с помощью данного метода удалось точно восстановить истинную ФЧХ сигнала, которую затруднительно построить другими методами.

В объединенном методе особое внимание следует обратить на процедуру уменьшения шага по частоте

п

ю

к

0

а б

Рис. 3. Развертывание фазочастотной характеристики комбинированным методом: а) амплитудно-фазочастотная характеристика; б) фазочастотная характеристика

Дю. При ДПФ для уменьшения шага по частоте необходимо увеличивать длительность сигнала. В такой ситуации анализируемый участок сейсмотрассы может быть дополнен нулями. Однако значения ФЧХ в этом случае будут коррелированными. Кор-релированность значений ФЧХ, как показано выше, приведет к изменению весовых коэффициентов в алгоритмах обработки, которые на практике найти сложно. Однако, учитывая, что сама процедура обработки не меняется, переход к алгоритмам с равновесной обработкой позволяет избежать возникших трудностей и получить оценки временного положения сигналов с достаточно высокой точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванченков В.П., Кочегуров А.И. Определение временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик // Геология и геофизика. - 1988. - № 9. -С. 77-83.

2. Иванченков В.П., Вылегжанин О.Н., Орлов О.В., Кочегуров А.И. Методы фазочастотного анализа волновых полей и их применение в задачах обработки данных сейсморазведки // Известия Томского политехнического университета. - 2006. -Т. 309. - № 7. - С. 65-70.

3. Иванченков В.П., Кочегуров А.И. Фазочастотные алгоритмы оценки местоположения пространственно- временных сигналов в условиях априорной неопределенности // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 9. -С. 100-104.

4. Поиск, обнаружение и измерение параметров сигналов в радионавигационных системах / Под ред. Ю.М. Казаринова. -М.: Советское радио, 1975. - 296 с.

При проведении сейсморазведочных работ методом вертикального сейсмического профилирования (ВСП) скорости продольных волн оценивают по времени первого вступления на наблюденном волновом поле с ближнего пункта возбуждения (ПВ) [1, 2]. Так как анализ проводится по одно-

Проведенный анализ способов развертывания ФЧХ показал, что каждый из них наряду с несомненными достоинствами, имеет и недостатки. В целом, предпочтение следует отдать методу Шафера, т. к. он прост в реализации, а возникающие погрешности при развертывании ФЧХ в анализируемой полосе частот можно контролировать путем анализа исходной записи.

Таким образом, фазочастотные методы обеспечивают достаточно высокую точность оценок временного положения сигналов даже при наличии корреляции в выборке ФЧХ сейсмической записи.

5. Долгополов Д.В., Пасторов А.И. О разделении двух наложившихся импульсов // Применение ЭВМ в сейсмологической практике. Методические работы ЕССН. - М.: Наука, 1985. -С. 86-91.

6. Кочегуров А.И., Быстров В.Н. Определение временного положения сложных сигналов в среде с дисперсией и поглощением // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. -2002. - Т. 45. - № 3-4. - С. 50-54.

7. Гольдин С.В. Смещение нулей и экстремумов сейсмических сигналов под воздействием помех // Геология и геофизика. -1964. - № 10. - С. 130-144.

8. Tribolet J.M. A new phase unwrapping algorithm // IEEE Transaction on acoustics, speech and signal processing. - 1977. - V. 25 (2). - P. 170-177.

Поступила 13.11.2009 г.

кратному наблюдению, полученному с помощью перестановки приемников и многократного возбуждения, и наблюденное поле осложнено помехами, оценка интервальных скоростей обычно обладает значительными погрешностями. Последующие процедуры обработки полей ВСП (приведение

УДК 550.8.053:519.2

КОРРЕКЦИЯ СКОРОСТНОГО ЗАКОНА ПО ДАННЫМ НЕПРОДОЛЬНОГО ВЕРТИКАЛЬНОГО СЕЙСМИЧЕСКОГО ПРОФИЛИРОВАНИЯ

Д.Ю. Степанов, М.С. Речкин

Томский политехнический университет E-mail: w00x@sibmail.com

Предложен алгоритм коррекции скоростного закона по данным непродольного вертикального сейсмического профилирования. Рассмотрены модели ошибок в определении статических поправок, показано, что данный алгоритм позволяет минимизировать влияние погрешности определения статических поправок и тем самым повысить точность оценки интервальных скоростей.

Ключевые слова:

Вертикальное сейсмическое профилирование, интервальные скорости, статическая поправка.

Key words:

Vertical seismic profiling, interval velocities, static correction.