Научная статья на тему 'О точности определения временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик'

О точности определения временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик Текст научной статьи по специальности «Геофизика»

CC BY
104
18
Поделиться
Ключевые слова
временное положение сейсмических сигналов / фазочастотные методы / фазочастотная характеристика / функция групповой задержки

Аннотация научной статьи по геофизике, автор научной работы — Иванченков Виктор Павлович, Кочегуров Александр Иванович, Орлов Олег Викторович

Рассматриваются результаты исследований точности определения временного положения сейсмических сигналов фазочастотными методами. Приводятся аналитические выражения для дисперсии оценок временного положения сигналов для случая коррелированных и некоррелированных значений фазочастотныххарактеристикучастков сейсмической трассы. Отдельно анализируется ситуация, когда форма регистрируемых сигналов неизвестна.

The results of studying the accuracy of defining time position of seismic signals by phase-frequency methods have been considered. The analytic forms for dispersion of estimating time position of seismic signals for the case of correlated and uncorrelated values of phase-frequency characteristics of seismic trace sections were introduced. The situation when the form of recorded signals is unknown, is separately analyzed.

Похожие темы научных работ по геофизике , автор научной работы — Иванченков Виктор Павлович, Кочегуров Александр Иванович, Орлов Олег Викторович,

Текст научной работы на тему «О точности определения временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик»

УДК 550.053.510.2+550.053.681.3(571.16)

О ТОЧНОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННОГО ПОЛОЖЕНИЯ СЕЙСМИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ ПО ОЦЕНКАМ ИХ ФАЗОЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

В.П. Иванченков, А.И. Кочегуров, О.В. Орлов

Томский политехнический университет E-mail: kai@cc.tpu.edu.ru

Рассматриваются результаты исследований точности определения временного положения сейсмических сигналов фазочастотными методами. Приводятся аналитические выражения для дисперсии оценок временного положения сигналов для случая коррелированных и некоррелированных значений фазочастотных характеристик участков сейсмической трассы. Отдельно анализируется ситуация, когда форма регистрируемых сигналов неизвестна.

Ключевые слова:

Временное положение сейсмических сигналов, фазочастотные методы, фазочастотная характеристика, функция групповой задержки.

Key words:

Time position of seismic signals, phase-frequency methods, phase-frequency characteristic, function of group delay.

В [1,2] предлагаются фазочастотные методы для определения временного положения сейсмических сигналов, основанные на анализе фазочастотных характеристик (ФЧХ) регистрируемых записей.

В данной работе исследуется точность оценок, получаемых фазочастотными методами, причем считается, что в общем случае значения ФЧХ являются коррелированными. Построение фазовых алгоритмов основано на теореме запаздывания, согласно которой ф5(а,т)=фж(а)-ат, где временное положение сигнала т является параметром ФЧХ сигнала. Будем рассматривать лишь случай сильного сигнала, то есть величина отношения сигнал/помеха у(о)>>1 на частоте а.

Для модели участка сейсмотрассы

x(t;т)=s(t-т)+n(t), являющейся аддитивной смесью сильного сигнала s(t) и гауссовой помехи п(0, оптимальная оценка временного положения по коррелированной выборке ФЧХ составляет [3]:

Т opt — *

j V (т)[фх (œ)-фS (œ)]dœ IV (œ)dœ

V(œ) — IR '(œ,œ')œ' dœ',

(1)

(2)

где R(a,a) - положительно определенная матрица, составленная из элементов межчастотной корреляционной функции ФЧХ смеси; Q - анализируемая полоса частот; ф/ю) и ф^(ю) - ФЧХ смеси и сигнала.

Нетрудно показать, что дисперсия оценки (1) имеет вид

-1

D (т opt ) —

jjR 1(œ,œ)œœ'dœ dœ

В частном случае, когда значения ФЧХ статистически независимы, корреляционная матрица имеет диагональный вид

R(œ,œ') —

Y (œ)

S(œ -œ'),

(3)

где 8(а-а ) - дельта-функция.

Подстановка (3) и (2) в (1) дает выражение для оптимальной оценки при некоррелированной выборке ФЧХ смеси

¡Г2(а)[фх (а)-ф8 (а)] а?а

~ (4)

IY2(œ)œ2 dœ

или в дискретном виде

m

XY2(œk )œk M(œk )

Xy2k h

(5)

где Дф(ак)=фх(ак)-ф!(ак); ш=0./Да; Да - шаг дискретизации по частоте.

Дисперсия оценки (5) составляет

-1

D (т opt ) —

XY2(œk)œ

Сравнение (1) и (4) показывает, что для случая сильного сигнала наличие корреляции значений ФЧХ в выборке смеси приводит лишь к изменению весовых коэффициентов при оптимальной обработке.

Для случая слабого сигнала найти оптимальную оценку временного положения сигнала удается только при некоррелированных значениях ФЧХ. Такая оценка получена в [1] и определяется путем максимизации функции правдоподобия вида

ln Г(т) — X Y(œk ) cos(A ф (œk ) + œkT ).

(6)

Если в выражении (6) принять все у(ак)>>1 (сильный сигнал), то можно считать, что

_ к—1

opt

к—1

k —1

С08(Дф(ю*) + ткт) и 1-^(Дф«) + акт)2. (7)

Подставляя (7) в (6) и решая уравнение правдоподобия

дТ1п Г(т)

дт

= 0

нетрудно получить выражение (5), определяющее оптимальную оценку при сильном сигнале.

Таким образом, при отсутствии корреляции между значениями в выборке ФЧХ, оптимальная процедура оценки временного положения слабого сигнала, является оптимальной и для сильного сигнала. Тогда дисперсию оценки для слабого сигнала можно приблизительно записать

т "1-1

& (т орг) '

Х^2(Ю*)Ю

1п Г(т) = X С0Б(Дф(юк) + юкт).

(9)

Найдем дисперсию оценки временного положения слабого сигнала для равновесного алгоритма (9). При переходе к равновесной обработке максимальные потери в суммарном отношении сигнал/помеха могут быть охарактеризованы параметром п [4]

Птах =

(

т

= Х (V* -<Ук-Г )2

(10)

где (дъ)2 - суммарное отношение сигнал/помеха, накапливаемое при равновесном фазочастотном алгоритме (9).

Сопоставляя (10) и (8), нетрудно получить выражение для дисперсии оценки временного положения слабого сигнала, определяемой фазочастотным алгоритмом с равновесной обработкой

т

4? (Vк -Тк-Г )2

0(т )>

2 2 пдх?«,

(11)

или, переходя к общепринятым обозначениям,

- 4

-0(торг) ~ 2 Г’ (8)

пдх?«

т

где дX =Х1у2(«к) - суммарное отношение сиг-

к =1

нал/помеха; - среднеквадратическая ширина спектра сигнала.

Как отмечалось в [1], получить оптимальную оценку временного положения слабого сигнала при коррелированных значениях ФЧХ не удается. Однако, сопоставляя выражения (1), (4), (5) и (6), можно предположить, что наличие корреляции значений ФЧХ, как и в случае сильного сигнала, не изменит существенно саму процедуру оценки и при слабом сигнале, а лишь приведет к изменению весовых коэффициентов. Тогда процедуру оценки временного положения сигнала, реализуемую путем максимизации выражения (6), можно считать универсальной для слабого и сильного сигналов, причем оптимальность оценок обеспечивается надлежащим выбором весовых коэффициентов.

На практике получить оптимальные оценки временного положения с помощью фазочастотных алгоритмов не удается, так как распределение отношения сигнал/помеха в анализируемой полосе частот П, формирующее весовые коэффициенты в (9), как правило неизвестно. Поэтому можно говорить только о некоторых квазиоптимальных оценках, определенных, например, с помощью фазочастотных алгоритмов с равновесной обработкой. Функция правдоподобия для таких алгоритмов имеет вид [3]:

Как и следовало ожидать, переход к равновесной обработке снижает точность получаемых оценок. Однако, при практически используемом числе частотных компонент т, это снижение не является очень значительным. Так, при т=1, максимальные потери составляют п,шх=1,58; а при т=20 соответственно Птах=1,754. В тоже время, ценность фазочастотных алгоритмов с равновесной обработкой (9) заключается в том, что в данном случае можно находить оценки временного положения сигналов с высокой точностью без знания формы сигналов.

Следует отметить, что на точность оценок, получаемых фазочастотными методами, также существенное влияние оказывает надежность расчета ФЧХ участков сейсмотрассы. Это связано с тем, что ФЧХ в общем случае является многозначной функцией

ф™ «)=фр(ю)+2Ч ’

(12)

где ф11ст(юк) и фр(юк) - истинное и расчетное значение ФЧХ; 4 - целое число.

Для устранения неоднозначности ФЧХ (определения I для каждого к в (12)) в настоящее время известен ряд процедур развертывания фазы, которые можно объединить в три подхода.

1. Метод Шафера

Основная идея данного метода заключается в сравнении главных значений ФЧХ на двух соседних частотах (юк,юк-1) и, в зависимости от результата сравнения, смещение отдельных значений ФЧХ на величину, кратную 2 п. Примером конкретной реализации метода Шафера может служить алгоритм развертывания фазы, предложенный в [5]:

фисш « ) = фисш (Юк-1) + ф (« ) -фр (« -1)] + А’

где

А =

0’ \фр «к ) -фр (Ю*-!^ <п

2п’ (фр«)-фр (Ю-1)) ^-п;

(фр «) -ф„ (Ю-1))

-2п,

фист (Ю1)=фр (Ю1); к = 2, т.

к =1

к=1

к=1

а б

ф(ю), отн. ед.

в

Рис. 1. Развертывание фазочастотной характеристики методом Шафера: а) амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ); б) развернутая ФЧХ (истинная); в) расчетная ФЧХ

На рис. 1 приведена иллюстрация развертывания фазы по Шаферу. Видно, что в данном случае удалось получить истинный фазовый спектр. Основным недостатком данного метода является то, что в процессе его реализации невозможно отделить скачки фазы, обусловленные природой процесса, например распространением сигнала через контрастные слои, от скачков, связанных с расчетом ФЧХ в области главных значений функции агС£. И в том и в другом случае ФЧХ будет развернута одинаковым образом, если эти скачки превышают величину п.

2. Метод численного интегрирования

групповой задержки

В этом подходе избавиться от многозначности ФЧХ позволяет переход в область производных

Фист (Кк ) = Фист (К -1) + Дф(К X где приращение

Дф(юк) = /(Ф'Р К X Фр (ю -Л Д®=к-к-1)

может быть вычислено одним из методов численного интегрирования, например, методом трапеций; к=2,т; ф11ст(ю1) - заданное начальное условие.

При этом

фрК) = К РК) =

В'(к )Л(юк) - Л'(юк )В(юк) Л2(тк) + В\юк) ’

где Л(ак) и В(юк) - соответственно реальная и мнимая части ^дискретного преобразования Фурье (ДПФ); к=2,т; 1гр(ак)=фр(юк) - групповая задержка на частоте юк, определяющая задержку максимума огибающей на этой частоте.

Данный метод позволяет полностью развернуть ФЧХ сигнала, однако погрешность метода существенно зависит от величины шага интегрирования Дю. К сожалению, невозможно заранее определить, какой должна быть величина т для ДПФ, чтобы точно развернуть фазу. Особенно большие погрешности могут накапливаться при восстановлении ФЧХ, если на какой-либо частоте юк наблюдалось высокое значение производной. На рис. 2 приведены истинная ФЧХ и ФЧХ, развернутая по методу численного интегрирования групповой задержки для АФЧХ, представленной на рис. 1, а. Из рис. 2 видно, как с ростом частоты накапливается погрешность.

Дополнительным преимуществом метода численного интегрирования групповой задержки является то, что переход в область производных позволяет реализовать эффективные алгоритмы определения временного положения сигнала непосредственно на основе анализа статистик групповой задержки. Оптимальная оценка в этом случае находится из функции правдоподобия вида [6]:

т

1п 1(Т) =^Р(юк ) СОБ(юк Мр (юк ) + юкт) (13)

к=1

где в(юк) = ^( к) - отношение сигнал/помеха в Ик

области производных [7]; Ик =-

- отношение

частоты экстремумов помехи к частоте экстремумов сигнала; Д4р(юк)=Д4Дюк)-Д/Дюк) - отклонение групповой задержки смеси от групповой задержки сигнала на частоте юк.

0

п

2п

з К Ю, рад

-2л

-Зп

ч а

N б

\

ф(ю), отн. ед.

Рис. 2. Развертывание фазочастотной характеристики методом: а) Шафера; б) численного интегрирования групповой задержки

Дисперсия оценки по аналогии с (8) для слабого сигнала составляет

4

В (Т опт ) !

пРК

(14)

где в2 =Хв2(®к) - суммарное отношение сиг-

к=1

нал/помеха в области производных.

Переход к равновесному суммированию в (13) (в(юк)=1 для к=1,т), как и в случае анализа значений ФЧХ (14), увеличивает дисперсию оценки [5]:

В(т ),

т

4^Ык -л/к-Г)2

к=1___________________

(15)

Сопоставляя (8) и (14), (11) и (15), нетрудно увидеть, что алгоритмы определения временного

положения сигналов, основанные на анализе групповых задержек, обеспечивают более низкую точность, чем ранее рассмотренные фазочастотные алгоритмы. Однако эти алгоритмы используют априорную информацию только о форме ФЧХ и не требуют развертывания ФЧХ во всей анализируемой полосе частот.

3. Объединенный метод с адаптацией

величины шага интегрирования

В [8] предложен алгоритм развертывания фазы, в котором построена числовая схема, объединяющая информацию из групповой задержки и главных значений ФЧХ. Так, для определения величины I для каждого к в формуле (12), авторы предлагают использовать следующее соотношение:

!ФК)-фрК)+2п4|<порог<п, (16)

где ф(юк) - значение ФЧХ на частоте юк, восстановленное по методу численного интегрирования групповой задержки; к=1,т.

Целое значение 1к, при котором неравенство (16) выполняется, принимается за истинное. Если ни при каком значении 1к для частоты юк неравенство не выполняется, шаг Дю=юк-юк-1 уменьшается до тех пор, пока не будет найдена согласованная оценка !к. Адаптация шага интегрирования по частоте, соответствующая области резкого изменения ФЧХ, позволяет восстановить истинную фазу в ситуациях, когда возможно неоднозначная интерпретация поведения ФЧХ. Например, неясно направление движения АФЧХ. Кроме того, объединенный метод не зависит от погрешности интегрирования, так как ф(юк) в формуле (16) используется только для нахождения величины 1к, а истинная фаза определяется как фист(юк)=фр(юк)+2п1к.

В качестве примера на рис. 3, а, приведена АФЧХ сложного сигнала, а на рис. 3, б, ФЧХ, развернутая по объединенному методу. Из рисунков видно, что с помощью данного метода удалось точно восстановить истинную ФЧХ сигнала, которую затруднительно построить другими методами.

В объединенном методе особое внимание следует обратить на процедуру уменьшения шага по частоте

п

ю

к

0

а б

Рис. 3. Развертывание фазочастотной характеристики комбинированным методом: а) амплитудно-фазочастотная характеристика; б) фазочастотная характеристика

Дю. При ДПФ для уменьшения шага по частоте необходимо увеличивать длительность сигнала. В такой ситуации анализируемый участок сейсмотрассы может быть дополнен нулями. Однако значения ФЧХ в этом случае будут коррелированными. Кор-релированность значений ФЧХ, как показано выше, приведет к изменению весовых коэффициентов в алгоритмах обработки, которые на практике найти сложно. Однако, учитывая, что сама процедура обработки не меняется, переход к алгоритмам с равновесной обработкой позволяет избежать возникших трудностей и получить оценки временного положения сигналов с достаточно высокой точностью.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванченков В.П., Кочегуров А.И. Определение временного положения сейсмических сигналов по оценкам их фазочастотных характеристик // Геология и геофизика. - 1988. - № 9. -С. 77-83.

2. Иванченков В.П., Вылегжанин О.Н., Орлов О.В., Кочегуров А.И. Методы фазочастотного анализа волновых полей и их применение в задачах обработки данных сейсморазведки // Известия Томского политехнического университета. - 2006. -Т. 309. - № 7. - С. 65-70.

3. Иванченков В.П., Кочегуров А.И. Фазочастотные алгоритмы оценки местоположения пространственно- временных сигналов в условиях априорной неопределенности // Известия высших учебных заведений. Физика. - 1995. - Т. 38. - № 9. -С. 100-104.

4. Поиск, обнаружение и измерение параметров сигналов в радионавигационных системах / Под ред. Ю.М. Казаринова. -М.: Советское радио, 1975. - 296 с.

При проведении сейсморазведочных работ методом вертикального сейсмического профилирования (ВСП) скорости продольных волн оценивают по времени первого вступления на наблюденном волновом поле с ближнего пункта возбуждения (ПВ) [1, 2]. Так как анализ проводится по одно-

Проведенный анализ способов развертывания ФЧХ показал, что каждый из них наряду с несомненными достоинствами, имеет и недостатки. В целом, предпочтение следует отдать методу Шафера, т. к. он прост в реализации, а возникающие погрешности при развертывании ФЧХ в анализируемой полосе частот можно контролировать путем анализа исходной записи.

Таким образом, фазочастотные методы обеспечивают достаточно высокую точность оценок временного положения сигналов даже при наличии корреляции в выборке ФЧХ сейсмической записи.

5. Долгополов Д.В., Пасторов А.И. О разделении двух наложившихся импульсов // Применение ЭВМ в сейсмологической практике. Методические работы ЕССН. - М.: Наука, 1985. -С. 86-91.

6. Кочегуров А.И., Быстров В.Н. Определение временного положения сложных сигналов в среде с дисперсией и поглощением // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. -2002. - Т. 45. - № 3-4. - С. 50-54.

7. Гольдин С.В. Смещение нулей и экстремумов сейсмических сигналов под воздействием помех // Геология и геофизика. -1964. - № 10. - С. 130-144.

8. Tribolet J.M. A new phase unwrapping algorithm // IEEE Transaction on acoustics, speech and signal processing. - 1977. - V. 25 (2). - P. 170-177.

Поступила 13.11.2009 г.

кратному наблюдению, полученному с помощью перестановки приемников и многократного возбуждения, и наблюденное поле осложнено помехами, оценка интервальных скоростей обычно обладает значительными погрешностями. Последующие процедуры обработки полей ВСП (приведение

УДК 550.8.053:519.2

КОРРЕКЦИЯ СКОРОСТНОГО ЗАКОНА ПО ДАННЫМ НЕПРОДОЛЬНОГО ВЕРТИКАЛЬНОГО СЕЙСМИЧЕСКОГО ПРОФИЛИРОВАНИЯ

Д.Ю. Степанов, М.С. Речкин

Томский политехнический университет E-mail: w00x@sibmail.com

Предложен алгоритм коррекции скоростного закона по данным непродольного вертикального сейсмического профилирования. Рассмотрены модели ошибок в определении статических поправок, показано, что данный алгоритм позволяет минимизировать влияние погрешности определения статических поправок и тем самым повысить точность оценки интервальных скоростей.

Ключевые слова:

Вертикальное сейсмическое профилирование, интервальные скорости, статическая поправка.

Key words:

Vertical seismic profiling, interval velocities, static correction.