О точном решении одной задачи гидроразрыва Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.375

А.А. Папин

О точном решении одной задачи гидроразрыва*

A.A. Papin

About Exact Solution of one Problem of Hydraulic Fracturing

Рассмотрена осесимметрическая задача о течении вязкой и идеальной жидкостей в плоской круговой трещине. Получены аналитические зависимости параметров трещины от данных задачи.

Ключевые слова: гидравлический разрыв, вязкая жидкость, идеальная жидкость, трещина, аналитическое решение.

БО! 10.14258^^(2013)1.2-05

The axially simmetric problem about a current of viscous and ideal liquids in a flat circular crack is considered. Analytical dependences of parameters of a crack on task data are received.

Key words: hydraulic fracturing, viscous fluid, perfect liquid, crack, analytical solution.

Введение. В математическом отношении задача о разрыве горных пород при помощи жидкости (гидроразрыв) в общем случае представляет собой весьма сложную проблему, требующую совместного решения уравнений гидродинамики, фильтрации и теории упругости (теории разрушения). Изучение задач такого типа было начато в работе [1], в которой была дана физическая постановка задачи и получено приближенное решение при следующих основных предположениях: давление жидкости в трещине заменялось статически эквивалентным, действующим на части поверхности трещины, берега которой плавно смыкаются; жидкость заполняет лишь часть трещины, при этом глубина проникновения жидкости в трещину оказывается неизвестным параметром; размер трещины определяется из условия С.А. Христиа-новича [1] без учета сил сцепления. Появившееся затем значительное число работ (подробная библиография имеется в [2, 3]) в методологическом плане в основном исследовано в [1]. Как отмечено в [4], в рамках условия С.А. Христиановича отказаться от неполного проникновения жидкости в трещину нельзя; сделать это можно, если учесть силы сцепления [5] и вызванное последними неплавное смыкание поверхностей трещины. В случае полного заполнения жидкостью трещины задача рассматривалась, например, в работах [4-7]. В то же время, как показывают расчеты, проведенные в [1, 8], при тех условиях, при которых гидроразрыв осуществляется на практике, величина сил сцепления пренебрежимо мала. Это отмечено и в работе [9], в которой проведен чис-

*Работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Минобрнауки №1.3820.2011 и гранта РФФИ (проект №13-08-01097).

ленный анализ задачи в случае неполного проникновения жидкости в трещину. В этой работе, однако, априори предполагалось, что величина проникновения жидкости в трещину мало отличается от радиуса трещины, а давление, как ив [1, 2], заменялось статически эквивалентным.

Модели гидроразрыва на основе неньютоновских жидкостей рассматривались в [10, 11]. Трехмерные задачи изучались в [12].

Цель настоящей работы состоит в постановке корректных задач о гидроразрыве горных пород на основе простейших моделей линейной теории упругости и динамики идеальной и вязкой жидкостей. Показано, что при движении вязкой жидкости в трещине могут реализовываться два типа течений: с полным заполнением трещины жидкостью и со свободной границей. В классе гладких решений возможна априорная классификация этих течений, а именно: если в начальный момент времени (момент страгивания трещины) имеет место полное проникновение жидкости в трещину, то и в последующий промежуток времени (возможно, что этот промежуток весьма мал) жидкость полностью заполняет трещину. В противном случае жидкость лишь частично заполняет трещину. Изучение второго типа течений приводит к вопросу об определении неизвестного параметра из работы С.А. Христиановича [1] (глубина проникновения жидкости в трещину). В данной работе этот вопрос решается постановкой разрывных начальных условий, которые моделируют начальный скачок трещины. Постановка разрывных начальных условий естественна еще и потому, что сам технический метод воздействия на горную породу основан именно на разрыве последних. Такой подход позволяет получить функциональное

соотношение на искомый параметр и сформулировать для определенного вида течений условие, гарантирующее наличие свободной границы или ее отсутствие. Детально рассматривается движение при полном заполнении трещины жидкостью: выводятся уравнения движения кончика трещины, а также рассматриваются задачи о развитии трещины при заданном расходе или давлении нагнетаемой жидкости.

1. Разрыв непроницаемых горных пород вязкой жидкостью

1.1. Постановка задачи. Для описания течения жидкости в трещине используется уравнение гидродинамики в приближении Буссинеска [13]. Основным здесь является предположение о постоянстве давления и малости массовых сил и ускорений частиц жидкости в направлении оси, нормальной к плоскости трещины. Для осесимметрического течения жидкости в плоской круговой трещине раскрытия 2ш и радиуса Д эти предположения приводят к тому, что давление р является лишь функцией пространственной переменной г и времени причем [4, 9]

где

др и

— = -12 /х—г>г о, ог ю

(1)

где и{г, £) - радиальная скорость жидкости; /х -вязкость; го - радиус скважины, через которую жидкость подается в трещину. Осреднение по г уравнения неразрывности приводит к соотношению вида [9]

^ + =°’ Р = гш(г’*)- (2)

Если гу(£) - глубина проникновения жидкости в трещину (г/ < К], то из кинематического и динамического условий на свободной границе следует, что

<%п ди , . , .

— =и(г),г), р + 2/х—= 0, г = ф). (3)

Система (1)-(3) дополняется граничной задачей теории упругости [14], описывающей процесс развития плоской осесимметрической трещины под действием горного давления Р и давления р{г,Ь), приложенного на части берегов трещины 0 < г < г/ < Р. Решение указанной задачи, полученное в предположении о малости инерциальных членов, имеет вид [15]

си (г, Ь) = к

_____________ [ УР{х, у)

(£2 _г2)1/2 у (£2 _у2)1/2

йу, (4)

к = 4(1 — 1/2)/'кЕ, а радиус трещины Д(£) опреде-ляется из условия С.А. Христиановича [14]

1/2

,А-|*У' = [ -

\2) У (Д2_г2)1/2“'>

гр(г, £)

-г1г,

р(г,г) =

р(г, £) — Р, го < г < г/

—Р, г/ < г < Д,

Е - модуль Юнга; V - коэффициент Пуассона; К - критическое значение коэффициента интенсивности напряжений; 7гК - модуль сцепления горной породы, который связан с плотностью поверхностной энергии 7 известной зависимостью 7 Е = 7г К2 (1 — г/2).

1.2. Классификация течений. В дальнейшем будем считать, что радиус скважины пренебрежимо мал по сравнению с начальным радиусом трещины (го << Д), а в момент разрыва давление жидкости в скважине совпадает с давлением на трещине: р{г,€) = р^) =р{го,€), го < г < 'г/, т.е.

р(г,0)=р1(0) г0 < г < щ = г](0). Условие (5) представим в виде

(6)

Б(Р) = пК[^

1/2

Р(Д

■2 _ г?)1/2 =

УР('У,*)

(Д2 _у2)1/2

йу.

Откуда при 4 = 0 с учетом (6) имеем Р1(0)

Р(Ро,г]о) = (Р2о-г2о)1/2-

Р{г0,тУ

(7)

Разрешая (7) относительно 770/^0, получим 2

|1) =!-[!- (Р + 7гК(2До)-1^К1(0)]:'. (8)

Из (8) следует, что в случае, когда Р1(0) незначительно превышает величину а = Р-\-тгК(2Р)~2, значения г/о и До отличаются также незначительно. Если же Р1(0) >> а, то щ « До- Следует отметить, что последнее условие принято в [14]. Остановимся подробнее на случае щ = До-Тогда </ = £>1(0) — Р = 'кК{2Р)~1/2 и, согласно (5), с^о = ы(г, 0) = кд(Р2 — г2)1/2. Предположим теперь, что в последующий момент времени Ь > 0 происходит такой рост трещины, что в процессе движения имеется свободная поверхность гу(£) < Д(£), и тем самым течение жидкости в трещине описывается уравнениями (1)—(3). Кроме того, будем считать, что единственным нулем функции ш{г,Ь) является точка г = Д(£), т.е. справедлива оценка

г(г,г)(р

2 _ „241/2

(9)

где а (г, t) - ограниченная положительная для всех г < Д и t функция. В области течения жидкости го < г < r/(t) вместо из введем новую искомую функцию J по формуле

Ф)

Легко видеть, что эта функция удовлетворяет уравнению

ЯТ ЯТ

(10)

dJ d.J

- + „(,,()-= о

и начальному условию

•То(г) = .]{г, 0) = ^цк[(К20 - г2)3/2 - (і?д -??о)3/2]-

(П)

при г < 770- Решение задачи (10), (11) имеет вид J(r,t) = .7о(£), го < С < 770, где параметр £ определяется из решения задачи Коши

dr(t)

dt

Тем самым для раскрытия ги(г,£) при го < г < щ имеем

, .4 ( .4 <9.7од£ <9£

Ро(0 = чЧ{Я20 - е2)1/2, ??о = До.

Но, согласно уравнению (3),

?? = 'По + / u(r)(t),T)dT,

т.е.

P(v,t) = kqrjo (Д2 - г?2)1/2 —

Qr 'r=vW

Если величина ^ не обращается в нуль при г = гу(£) (что при достаточно гладкой функции и имеет место хотя бы на малом промежутке времени), то р = 0 при 'г/о = До- Отсюда, в силу (9), получим гу(£) = Д(£), что противоречит исходному предположению гу(£) < Д(£). Таким образом, если в начальный момент времени имело место полное проникновение жидкости в трещину и раскрытие с1ъз удовлетворяет (9), то и в дальнейшем жидкость полностью проникает в трещину. Как отмечалось выше, задача при полном заполнении рассматривалась в работах [2, 3].

Однако, в работах [1, 2, 9, 14] в рамках этой же модели изучались задачи, в которых предполагалось неполное проникновение жидкости в трещину. Из вышеизложенного следует, что такая ситуация возможна лишь в том случае, когда в момент разрыва справедливо неравенство г\о < До, а следовательно, и неравенство Р1(0) >

Р + 7г/г(2До)-1/2. Последнее, по-видимому, возможно в том случае, когда разрывающая жидкость имеет значительную вязкость, не позволяющую ей проникнуть в носик трещины и полностью его заполнить, а давление, необходимое для полного заполнения трещины, больше давления разрыва горной породы.

2. Разрыв непроницаемых горных пород идеальной жидкостью

2.1. Постановка задачи. Предполагая, как и в разделе 1.1, малость массовых сил и ускорений в направлении оси, нормальной к плоскости трещины, получим, что давление жидкости р является функцией лишь переменных г, В силу этого уравнения движения идеальной несжимаемой жидкости принимают вид

<1и\ ди\ ди\ ди\ др

-Ж = Ж + и'7^ + и>717 = -д;{-р)' (12)

(13)

где и 1, М2 - компоненты вектора скорости й{г, г, £).

Плотность жидкости р без ограничения общности считаем равной единице. Условия непротека-ния через стенки трещины и условия на свободной границе имеют вид

дги дги

1Й +М1 ~дг ТИ2'г,г’^ ’ ^ = Т'ПМ), (14)

=и1(г],г), р[ф),г] = о. (15)

При полном заполнении трещины жидкостью второе условие в (15) игнорируется, а первое (условие в особой точке г = Д(£)) - необходимо для выделения единственного решения. Поскольку первая компонента скорости и\ зависит, в силу (12), лишь от г, £ и, следовательно, и2 - линейная функция от г , то вводя вместо новую искомую функцию г>(г, £) по формуле = —XV, уравнения (12)—(14) представим в виде

du\

dt

dp dr ’

(16)

д д

~£ + 0^ІРи і)=°> р = гт(г,г), (17)

д

у = - — (ги і), и2 = -гу(г,г). (18)

аг

Система (4), (5), (16)—(18) является еще довольно сложной для исследования. Преследуя цель перенести основную тяжесть вычислений с гидродинамической части задачи (уравнения Эйлера) на упругую (условие С.А. Христиановича и решение Снеддона), будем в дальнейшем искать поле скоростей в виде

, . . . и{€) у{€)

и1(г,і) = -у(і) -|-—, м2 =--г——.

Кроме того, считая течение достаточно медленным, отбросим в интеграле Коши-Лагранжа квадрат скорости. Тогда получим следующее представление для давления жидкости

т

р(г,Ь) =р(го,£) — и' 1п----г/(г — г о). (19)

г о

Здесь и далее штрих означает дифференцирование по времени.

2.2. Преобразование уравнений. В области течения жидкости Г2(£) = {го < г < ??(£), \г\ < т(г,Ь)} формулы (4), (5) с учетом (19) и при постоянном горном давлении Р можно представить в виде

/г_1«;(г, £) = qC — а\и' — а^у', (20)

/ 2 \ 1/2

^ ^ 4 V1 ~~ Д^ ) - к К (2Н)~1/2 = гли'+ до%',

где (1=0,1).

ч = Р1^)-Р, Р1^) =р(г0,г),

у™ / /г2 2 \ 1/2

г

{ Р) [ ^ [(^2-х2)1/2

аг{г,г1,Е) = у (е2 _г2)1/2 у ------^------<&+

Г Г0

(£:

2 _ ^.2^1/2

(£2 _ г2)1/2

-dx,

go(v,R) = ^ J(R2 ~r2)1/2dr,

aiiv,R) = ~^J

dr.

С учетом (20) объем жидкости в трещине есть

V

У»М = 4 */„(*,<)<& =

Го

= 47г/г[(/С,о — Ь\и — Ъоу ], (21)

где (1=0,1).

п 71

Со = rC(r,t)dr, Ъг(К,г]) = / rai(r,t)dr.

■ 'г0 -1

Г о

Объемный приток жидкости в трещину <5° и объем Vго связаны отношением

д° =

dV° л d (■

= at / РУХ^)

dt

= 4-7Г

из которого, используя (15) и (18), выводим два следующих равенства

dV

r0W(t)ui(ro,t) = Q(t), ~^Г = (3(^ (22)

где

4irkQ = Q°, AirkV = V°, W(t) =k-1uj(r0,t).

Отметим, что раскрытие в точке г = го равно (1=0,1)

W(t) = q(R - r0) - BiU1 - Bov1, Bi = aj(r0, г?, R).

В дальнейшем величины Q, V, W будем называть соответственно приведенным расходом, объемом и максимальным раскрытием трещины.

Задача 1. По заданному расходу Q требуется определить радиус трещины R, положение свободной границы г), скорость и и давление жидкости р, которые при t > 0 удовлетворяют следующей системе уравнений

Ь = qiu + qo~v ,

(23)

= <?(*), (м + го^Щг) = <3(г), (24)

Т

р(г, £) = £>!.(£) — м'1п----г/(г — го), (25)

го

Р{'П^)= 0, ^=г;+-. (26)

dt 'г/

Задача 2. По известному давлению р\ жидкости в скважине требуется определить функции Д, ?у, и и р, удовлетворяющие уравнениям (23), (25), (26) и уравнению

— = (и + г0у)\У(г). dt

Здесь V и IV определены формулами (21), (22).

Сформулируем начальные условия. Считаем, что момент времени Ь = —0 соответствует начальной стадии разрыва, когда трещина находится в предельно равновесном состоянии. В этот момент радиус трещины равен До, давление в скважине р° - критическое и начинает поступать жидкость с расходом (^о- Будем считать, что распределение давления в трещине при Ь = —0 мало отличается от значения давления в скважине, т.е. р(г, 0) = £>1(0) = р°. Тогда необходимо, чтобы и' = и = V1 = 0 при Ь = —0. Из второго уравнения в (24) в этом случае получим г>(—0) = Qo/roW(—0), а из условия разрушения (23) следует, что Я(—0) = 0. Если пренебречь величиной го/Д, то последнее

равенство приводит к следующим известным зависимостям

Р1(-0) = Р+ттК(2К0)-1/2, ]¥(-0) = ттК 1^-

У(-0) =

пкСо

(2Д0)5

(27)

Таким образом, при £ = —0 задаются следующие начальные условия

Д(-0) = Д0, и(—0) = и (—0) = V (—0) = О,

^ _ г0И/о(—0)'

Прежде чем сформулировать условия в конечной стадии разрыва при t = 0, преобразуем уравнения (23)-(27). Проинтегрировав второе уравнение в (24) по времени, разрешим полученное равенство и (23) относительно и' и г/

и' = ^(до^Р - ЪоБ) ее Д(У, Д,77,Р1), (28)

у'= ^К{Ъ18-Ч1Р) = Ь{У,Р,г1,р1), (29)

где

I

А = - лЬо, Р = дСо(Д) -Уо~ I Я№т

о

и в дальнейшем предполагается, что Д ф 0. Используя далее (25), (28) и (29), получим соотношение, связывающее V, £>1,11, 77:

Р\ = /11п — + /2(??-го). (30)

го

В момент Ь = +0 будем предполагать, что скачки давления, расхода и объема жидкости равны нулю, а фронт жидкости занимает исходное положение, т.е.

[р\] =Р1(+0) -_Р1(-0) = о, [V] = [77] = [<2] = 0.

Тогда уравнение (30), разрешенное относительно радиуса трещины, определяет Д(+0) в момент Ь = +0 и значения функций м'(+0) и г/(+0) в этот момент времени. Тем самым определены производные м'(+0), г/(+0), которые должны быть отличные от нуля. В самом деле, если по-прежнему считать и' = ги' = 0, то в силу (30) получим р 1 = р(0,г) =0, го < г < г), т.е. давление в трещине падает до нуля и, следовательно, трещина должна смыкаться. Относительно и и» считаем, что м(+0) = 0, г>(+0) = С>о/го\У(+0), где И^+О) вычисляется по формуле (22) при Ь = +0.

Коэффициенты Со, Ьг, В{, <?*, г = 0,1, входящие в уравнение (23), (24), могут быть вычислены явно. Ввиду громоздкости выкладок здесь они

не приводятся. Предположим, что г о <С г/ < Д и ограничимся лишь старшими членами в представлениях для названных коэффициентов. Тогда

Во =

Вл

Д1п —,

го

Ьо = ,

Со

71 V 1 V , 1 2ш 1

»= зд, Я = 1Пд, Ь< = з'>Ш"п-

Поэтому

/1

1п-5-

го

-1

Р1 - -Р +

тгК

(2Д)!/2

2<тв

= —г

77

8 ЗУ 1 7г^

2 7г77 ’ г]3 в(2г7)1/2'

и условие (30) принимает вид

ЗУ

2~'

IV

= 0, (31)

где

Р = Р— IV’

— (г? ~ Г о) 7Г?7

г2 = *.

В начальный момент времени тгК/\¥ = 1 и (31) определяет Д(+0) как решение уравнения

2г3 — г2 + (Р — а) г + а = 0, £ = +0.

Если корень последнего уравнения лежит в интервале (0,1), то справедливо неравенство Д(+0) > гу(+0) = г/о, т.е. имеется начальный отрыв жидкости от носика трещины. Так, если пренебречь величиной Р(+0), то легко проверить, что для отрыва достаточно, чтобы радиус зародышевой трещины был близок к радиусу трещины.

Опишем возможную схему решения задачи 1. Разрешая уравнение (31) относительно Д, получим зависимость Д от 77 и <3. Выразим и и V из (24), (26):

Г]

Г] - го

Г]

о_г

ЗУ'

(32)

■ го'П

г] - г о

Объединяя (28), (32), получим уравнение для

ф)

Г]

—Г)-г] \ = /2(77, Д),

(И [г] — го \ЗУ

'п'{0) = Щтт, ??(0) = 7?о,

решив которое, найдем г)(£), а затем Д(£), у{1), и{ф). После этого давление на скважине найдем из (28)

2в<т.

Замечание (полное заполнение трещины). Вывод уравнений движения полностью заполненной трещины аналогичен приведенному в разделе 2.2. При этом, так как свободная граница отсутствует, уравнение (15) игнорируется (первое уравнение в (15) заменяется на условие Д' = «1(Д,£), необходимое для выделения единственного решения). Начальные условия, сформулированные в разделе 2.2 при Ь = —0, полностью переносятся на данный случай. Коэффициенты Со, Ъг, В*, <?*, г = 0,1, вычисляются как и в разделе 2.2 (просто нужно положить ц = Д). После аппроксимации последних приходим к следующей системе уравнений

(|»2г) [«--(р+щЬ+а^.

, 8 2 У 7Г К

П ~ /2 = ^ а~~№~ (2Д)!/2’

г>/ и Я

Л =« + —, и + г0У = —,

I

шк2 = зу, у = у0 + у д(т)йт. (33)

о

Последнее соотношение устанавливает зависимость между радиусом трещины, приведенным максимальным раскрытием и общим приведенным объемом жидкости в трещине. Оно может быть использовано для определения радиуса по раскрытию, если только условия на скважине смоделированы таким образом, что в процессе движения имеет место полное заполнение трещины жидкостью. Соотношение (33) можно использовать также для определения коэффициента интенсивности напряжений.

Библиографический список

1. Желтов Ю.П., Христианович С.А. О гидравлическом разрыве нефтеносного пласта // Изв. АН СССР. ОТН. - 1955. - №5.

2. Желтов Ю.П. Деформация горных пород. — М., 1966.

3. Желтов Ю.П. Механика нефтегазоносного пласта. — М., 1975.

4. Зазовский А.Ф. Распространение плоской круговой трещины гидроразрыва в непроницаемой горной породе // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1973. - №2.

5. Баренблатт Г.И. О равновесных трещинах, образующихся при хрупком разрушении // ПММ.

- 1959. - Вып. 23.

6. Сарайкин В.А. Квазистатический рост трещин под действием равномерного давления // ФТПРПИ. - 1981. - №5.

7. Песляк Ю.А. Развитие трещины в горном массиве при нагнетании в нее жидкости // ПМТФ. - 1975. - №3.

8. Баренблатт Г.И., Христанович С.А. О модуле сцепления в теории трещин // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. — 1968. - №2.

9. Abe Н., Mura Т., Keer L.M. Groroth rate of penny-shaped crack in hjdraulic bracturing of rocks // J.Geophys. Res. - 1976. - V. 81, №29.

10. Линьков A.M. Аналитическое решение задачи о гидроразрыве для неньютоновской жидкости // ФТПРПИ. - 2013. - №1.

11. Mitchell S.L., Kuske R., Peirce A.P. An asymptotic framework for finite hydraulic fractures including leak-off //A SIAM J. Appl. Math. — 2007.

- V. 67, №2.

12. Гарипов T.T. Математическое моделирование задач пороупругости и проблема гидроразрыва: дис. ... канд. физ.-мат. наук. — М., 2005.

13. Ломизе Г.М. Фильтрация в трещиноватых породах. - М., 1951.

14. Баренблатт Г.И. О некоторых задачах теории упругости, возникающих при исследовании механизма гидравлического разрыва нефтяного пласта // ПММ. - 1956. - Т. 20, №20.

15. Снеддон И. Преобразование Фурье. - М., 1955.