О‘TISH MATRITSASINING XOS VEKTORLARINI ANIQLASH VA YORDAMCHI MATRITSALARNI SHAKLLANTIRISH Текст научной статьи по специальности «Математика»

O'TISH MATRITSASINING XOS VEKTORLARINI ANIQLASH VA YORDAMCHI MATRITSALARNI SHAKLLANTIRISH

Mas'udjon Xikmatillayevich Eshmurodov

Samarqand davlat arxitektura-qurilish universiteti, katta o'qituvchisi [email protected]

ANNOTATSIYA

Fundamental matritsaning tashkil etuvchi bo'lgan xos vektorlarning elementlarini aniqlash uchun oddiy quvish va o'tish matritsasining algebraik to'ldiruvchilari yordamida o'tish matritsasining xos vektorlarining alohida elementlarini aniqlashga asoslangan yagona algoritm taklif etildi va u fundamental matritsaga teskari matritsaning elementlarini topishda ham foydalanildi.

Kalit so'zlar: Parabolik va Giperbolik tipdagi chiziqli tenglama, Fundamental matritsa, Notriviallik sharti.

(-2 -As - 2a0h)Vq,s + 2vl s = 0,

vp_l s + (-2 - As)vp s + vp+i s = 0 aaap p = l..N -1, (1) dagi tenglamalar vp,s

vN-l,s +(-2 )vNs = 0

noma'lumlarga nisbatan bir jinsli bo'lgani uchun, ularning qiymatlarini (1) sistemadan D'N+l determinantning r satri s -chi ustunining Ap,s algebraik

to'ldiruvchisi yordamida vps = csAp s o'zgarmas ko'paytuvchi cs aniqligida aniqlash

mumkin. Bu tasdiq chiziqli algebra [2,10,21,39] teoremalari bilan asoslanadi. cs ko'paytuvchining qiymati xos vektorning

N / \2 £ (vp, s ) = l

p=0 '

normalashtirish shartidan aniqlanadi.

D'N+l determinantning p -chi satri s -chi ustunini o'chirish orqali Asp

algebraik to'ldiruvchini tuzish mumkin. Lekin bu yo'l algoritmlash uchun murakkab. Shuning uchun biz D^+1 matritsaning xos vektorlarini tuzishning soddaroq variantini

taklif qilamiz. a0l ning qiymatidan qat'iy nazar, s = 0 da AN,0 =(-l)l+N+l • 2 va s > 0 da esa algebraik to'ldiruvchining

March, 2023

94

ISSN: 2181-1385

ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

A

N ,s

(-1)

N+1+s +1

(2 cos 6>s -2a0h)-2sln(s- 1)Ö<

sin Qs sin Qs

trigonometrik ifodasidan foydalanish mumkin.

Keyin, odatdagi quvish usuli yordamida qolgan AN,s algebraik

to'ldiruvchilarning qiymatlarini topamiz. Xususan, (1) sistemaning oxirgi satridan AN—1,s = (2 + \)Ans ga ega bo'lamiz.

(1) ning ikkinchi satridan p = N - 2..1 da Ap s = (2 + As) Ap+1 s - ap+2 s

2

formula kelib chiqadi. Birinchi satrdan Aq

2 + As + 2a0h

A1 s ni topamiz Biz

N

cs = 1 / J X Ak s ko'paytuvchiga muvofiq o'tish matritsasining s -chi xos vektorining

'k=q '

elementlarini normalashtiramiz.

Shunday qilib, V matritsaning barcha komponentlari bitta algoritm bilan aniqlandi. Endi

r _

V-1 =

V

0,0

v

0,1

v0, N-1

v

0,N

v

1,0

v

1,1

VN-1,0 VN-1,1

V VN,0 VN,1

V1,N-1 V1,N

VN-1, N-1 VN-1,N

VN,N-1 VN,N y

matritsaning tarkibiy qismlarini aniqlashga o'tamiz.

Ushbu matritsaning elementlarini topish uchun V matritsani teskarilash, masalan, satrning asosiy elementini tanlashga asoslangan usulidan foydalanish mumkin. Lekin biz V fundamental matritsaning elementlarini topishda yuqorida qo'llangan protseduradan foydalanishni ma'qul ko'rdik.

(2)

(3)

tenglikni hosil qilamiz.

(3) tenglik tomonlarini As elementga nisbatan, ya'ni s -chi satr bo'yicha ochib chiqamiz:

-1

A = v av

tenglikning tomonlarini chapdan V_1 ga ko'paytirish orqali

v -1A = Av -1

(V_1 A) = [(-2 - 2a0h) Vs~0 + v-,1, 2v-,0 - 2v-,1 + ^

V-p-1 - 2vs-p + 2v-,p+1,

Vs,N-2 2vs,N-1 + 2vs,N, Vs,N-1 2vs,N

March, 2023

95

ISSN: 2181-1385

ISI: G,967 I Cite-Factor: G,89 I SIS: 1,9 I ASI: 1,3 I SJIF: 5,771 I UIF: 6,1

(Л^1 X = (^sv-,0'

.^vs , p =

..^svs ,N-1, Asvs,N

Ushbu ikki satrning mos elementlarini taqqoslash

(-2- Л -2aoh ) v-,o + v-,1 = 0

2vs ,0 +(-2- Л ) vs,1 + vs ,2 = 0,

v

s, p

1 +( -2-Л ) vs ,p + vs ,p+1 = 0 агаР P = 2..N-1,

(4)

v

/s,N-1 +(-2- A ) vs ,N = 0

bir jinsli tenglamalar sistemasiga olib keladi.

(4) sistemaning asosiy determinanti quyidagi ko'rinishga ega:

dn+1 =

-2 - Л8 - 2a0h 2 o

1

-2- Л

0

1

o o

-2-Л, 1

oo oo oo

o o o

0 0 0 0 ... 1 -2- Л 1

0 0 0 0 ... 0 1 -2- Л

Determinant oxirgi qatorining algebraik to'ldiruvchilarini hisoblaymiz:

1, агар s = 0,

N+1

AN s =(-1)

N+1+s+1

(-2-Л, -2a0h)sînse^-2sin(sагар s> 0.

sine

sine

(2.14) sistemaga ko'ra algebraik to'ldiruvchilarni hisoblaymiz:

A'n-1,s = (2 + ) AN,s; uchun p = N - 2..1 A^ = (2 + Л, ) Ap+U - A

p+2,s

va

A:

A:

1,s

o,s

2 + Л + 2a h

so

, ( 2 + Л, ) 4s-A2s Ikkinchi satr A s = ---s natijani tekshirish uchun xizmat qiladi.

2

N / Ч2

c's = 1/J Z ( Ak s ) ko'paytuvchini qo'llab, A funksiya o'tish matritsasining s -chi

\ k=0 ,

xos vektori elementlarini normalashtiramiz: v-p = c'sA'p s.

Olingan natijalarni V_1v = E, VV-1 = E va VЛV-1 = A tengliklarni bajarilishi orqali tekshiramiz.

March, 2023

<

1

96

ISSN: 2181-1385

ISI: 0,967 | Cite-Factor: 0,89 | SIS: 1,9 | ASI: 1,3 | SJIF: 5,771 | UIF: 6,1

Shunday qilib, o'tish matritsasining ma'lum xos qiymatlarida biz V

fundamental matritsa va unga teskari Vmatritsasining elementlarini aniqlash algoritmini ishlab chiqdik. Bu bilan masalani yechishning tayyorgarlik qismi yakunlanadi va biz

dU a

-= —7 AU + F

dt h2

(5)

tenglamaga qaytamiz.

A = vAv_1 tenglikni hisobga olib, (5) tenglamani quyidagi ko'rinishda yozib olamiz:

— = V AV-1U + F dt h2

(6)

(2.15) ning ikkala tomonini chapdan V_1 ga ko'paytiramiz. Vaqtga bog'liq bo'lmagan elementlar bilan matritsani differensiallash va ko'paytirish amallarining o'rin almashtirish xossasini hisobga olib,

= 4 V "1V aV "1U + V "1F dt h2

ga ega bo'lamiz. Bu yerda V "VaV _1U = (v "V) a(v _1U) = EAU = aU. Bundan kelib chiqadiki, agar biz

U = (uQ, u1,..., uN) = V U =

f N N N A

I vöpuf, i v"u;p+1,..., I v-,X+1 ^ p=Q p=Q

p=Q

, p p

, (7)

yangi ustun-vektorni kiritsak, tenglama

dU a - -

-= ^AU + F

dt h

(8)

ko'rinishni oladi, bu yerda

_ _ _ _ *

F = ( fo, f1,..., fN) = V-1F =

N

N

N

1V0, pFp, ^ v1, pFp,..., ^ VN, pFp

I p=Q

p=0

p p''

p=Q

p p

F - F vektor-ustunning p - chi elementidir.

(8) dan quyidagi ut ga nisbatan alohida oddiy differensial tenglamani ajratib olishimiz mumkin:

du a Ä _ -T

dt h

LÜ + f .

(9)

March, 2023

*

*

97

(7) ga o'tish, shuningdek f da

¿u=i^+fUt) (10)

dt ix2 f ( ' ) ( )

va u (x,0) = u 0 (x) (11)

chegaraviy shartlardan funksiyalarning ishtirok etishi bilan bog'liq holda (9) tenglamaning ozod hadi murakkab ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Shuning uchun (9) tenglamani yechish uchun orqaga approksimatsiyalash sxemasidan foydalanish mumkin:

—n+1 _ — n 2 ^

u-uL. = a^utn+1 + fn+1, (12)

Tn h

bu yerda Tn - t vaqt qadamining n -chi o'zgarmas yoki o'zgaruvchan qiymati, uning qiymati fln+l, q0 (t) va j (t) funksiyalar, shuningdek ularning hosilalari

qiymatlarining o'zgarish oralig'iga ko'ra tanlanadi.

(12) dan i -tugun uchun rekursiv munosabat hosil bo'ladi:

T?n _i_ t ~fn+1

un+1 = Ui +Tji . . (13)

i 1 - a2IT / h2

in

U n = 0,1,... lar uchun amalga oshiriladi. Ushbu munosabatni birinchi qo'llash

uchun kiritilgan U ustun vektoriga muvofiq hisoblangan i = 0..Ndagi uf ning:

N

_A ^ * _ A Q

ui = Z vi pup qiymatlari kerak bo'ladi, bu yerda up qiymatlar

p=0 ,

u (l, t ) = (t) (14)

boshlang'ich shartdan olinadi.

(12) va (13) bog'lanishlar vaqt bo'yicha aniqlikning birinchi tartibini ta'minlaydi. Lekin (13) ifodani

—fl . ~rn+\

n;i+{ = ' lJ>—- (is)

i 1 - 0.5a2Ä^n / h2 ko'rinishda qabul qilish rn bo'yicha aniqlikning ikkinchi tartibli yaqinlashuvini (9) ta'minlaydi. Bu yerda

/^n+1 . rn 2 n —n

= i + f, + a 4 ui J' 2 h2 2

March, 2023

98

(13) va (14) formula bo'yicha hisob-kitoblar ga nisbatan natijaga olib

keladi. ui ga teskari o'tish u"+ = ZV u"+ formula bo'yicha amalga oshiriladi.

г p=0 ''p p

REFERENCES

1. Хужаев Ж.И. Алгоритм расчета трехмерного температурного поля хлопка-cbipsa // Вестник ТашГТУ. - Ташкент, 2014. - № 3 (87). - С. 36-39.

2. КМ Шаимов, МХ Эшмуродов, ИК Хужаев. Численный метод решения задач о движущихся точечных источниках тепла внутри области теплообмена//ТУИТ имени М.ал-Хоразми - Проблемы вычислительной и прикладной математики, Ташкент, 2020.-№1(25).-С. 59-68.

3. M Kh Eshmurodov, K M Shaimov, I Khujaev and J Khujaev. Method of lines for solving linear equations of mathematical physics with the third and first types boundary conditions/Journal of Physics: Conference Series 2131, 2021. -P.1-10.

4. M.X. Eshmurodov, K.M. Shaimov. Ixtiyoriy chiziqli chegaraviy shartlar uchun parabolik tenglamani yechishda to'g'ri chiziqlar usulini qo'llash algoritmi//Academic Research in Educational Sciences Volume 3 | Issue 11 | 2022. B. 124-133.

5. M.X. Eshmurodov. Wg'ri burchakli sohada issiqlik to'lqmlari tarqalishi masalani yechish. Academic Research in Educational Sciences Volume 4 | Issue 1 | 2023. B. 111115.

6. I. Khujaev, J Khujaev, M Eshmurodov and K Shaimov. Differential-difference method to solve problems of hydrodynamics. Journal of Physics: Conference Series 1333. 2019. -P. 1-8.

7. M.X. Eshmurodov. Yordamchi matrisalarni kiritish va ularning elementlarini aniqlash usullari. Academic Research in Educational Sciences Volume 4 | Issue 1 | 2023. B. 209214.

8. Fayziyev Nozim Asfandiyorovich. (2023). Teaching the Subject of Repetitive Algorithms Based on Multimedia Electronic Manuals. Eurasian Journal of Learning and Academic Teaching, 16, 42-45. Retrieved from Nozimjon Inyaz, [09.03.2023 09:27]

9. Nozim, Fayziyev. "Tarmoqlanuvchi algoritmlar mavzusini doir kompyuter imitasion modeli asosida takomillashtirish" Research And Education 1.2 (2022): 273-278.

10. Asfandiyorovich, Fayziev Nozim. "Basics of programming from the textbook of informatics and information technologies chapter python programming language methodology of multimedia." Galaxy International Interdisciplinary Research Journal 10.1 (2022): 778-781.

11. Xasanovich, Lutfillayev Mahmud, Ass Amrillayev Husniddin Ashrab O'g, and Ass Fayziyev Nozim Asfandiyorovich. "Development of Computer Simulation Model Develops Creative Thinking of the Student." JournalNX 7.03 (2021): 167-171.

March, 2023