CC BY
27
Для случая k = 2 доказана
Теорема 2. Число висячих вершин функционального графа равно 22n — 3n.
Получены необходимые и достаточные условия принадлежности набора циклу длины не более двух.
Теорема 3 (необходимое условие). В графе функционирования для цикла длины не более двух вида (а, в) ^ (y, $) ^ (а, в) выполнены условия 7 = в, $ = а, где а, в, 7, $ — наборы длины n.
Теорема 4 (достаточное условие). Если в наборе X = (х0,... , Xn-l, y0,... , yn-l) для всех i = 0,... , n — 1 выполняются условия
1) если Xi — ° то y(i-1) mod n — y(i+l) mod n — 0;
2) если yi — 1, то X(i-1) mod n — X(i+l) mod n — 1,
и при этом Xj = yj для некоторого j, то X принадлежит циклу длины два.
ЛИТЕРАТУРА
1. Григоренко Е. Д., Евдокимов А. А., Лихошвай В. А., Лобарева И. А. Неподвижные точки и циклы автоматных отображений, моделирующих функционирование генных сетей // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2005. №14. С. 206-212.
2. Evdokimov A. A. and Kutumova E. O. The discrete model of the gene networks regulatory loops with the threshold functions jj Proc. 7th Int. Conf. on bioinformatics of genom regulation and structure. Novosibirsk, June 20-27, 2010. P. 155.
3. Харари Ф. Теория графов М.: Наука, 2003.
УДК 519.1T
О Т-НЕПРИВОДИМЫХ РАСШИРЕНИЯХ СВЕРХСТРОЙНЫХ ДЕРЕВЬЕВ
Д. Ю. Осипов
Рассматривается один из способов построения оптимального расширения графа — Т-неприводимого расширения (ТНР). Приводится способ построения всех неизоморфных ТНР для подкласса сверхстройных деревьев — равнолучевых звезд.
Ключевые слова: граф, Т-неприводимое расширение, сверхстройные деревья, равнолучевые звезды.
Все понятия и определения взяты из работы [І].
Определение 1. Расширением n-вершинного графа G называется граф H с (п + 1) вершинами, такой, что граф G вкладывается в каждый максимальный подграф графа H.
Простейшим примером расширения графа является его тривиальное расширение — соединение с одноэлементным графом (т. е. к графу G добавляется новая вершина, которая соединяется ребром с каждой вершиной графа G).
Возникает вопрос о получении такого расширения графа G, которое не содержит «лишних» ребер. Один из способов — конструкция минимального расширения графа [2], другой — его Т-неприводимого расширения [3].
Определение 2. Минимальным расширением графа G называется его расширение с минимальным количеством ребер.
В общем случае при построении минимального расширения возникает необходимость добавлять ребра в исходный граф, т. е. менять всю систему, моделируемую графом. Но иногда технически важно найти решение следующей задачи: построить оптимальное расширение данного графа, сохраняя его первоначальную конструкцию (т. е. не меняя связей внутри него). Существует следующая процедура:
— построить тривиальное расширение исходного графа;
— удалять из полученного графа рёбра до тех пор, пока выполняется свойство расширения.
Полученные графы назовем Т-неприводимыми расширениями. Для произвольного графа количество неизоморфных ТНР неизвестно.
Покажем примеры ТНР для некоторых классов графов. Для п-вершинной цепи единственным ТНР является (п + 1)-вершинный цикл. Для п-вершинного цикла единственным ТНР является тривиальное расширение исходного цикла.
На рис. 1 представлен граф, имеющий два неизоморфных ТНР.
а
б
Рис. 1. Граф С (а) и два его неизоморфных ТНР (б и в)
в
Существует следующая нерешенная задача: для произвольного дерева построить все неизоморфные ТНР. Данная задача не решена и для произвольного сверхстрой-ного дерева. Все неизоморфные ТНР для произвольной пальмы найдены в работе С. Г. Курносовой [4]. В настоящей работе найдены все неизоморфные ТНР для ещё одного подкласса сверхстройных деревьев — равнолучевых звезд.
Определение 3. Граф называется равнолучевой звездой с т лучами, каждый из которых состоит из п вершин, если V = |^о, ^{,..., ,... , ^т,... , ^т), а = г^+1 :
і = 1,... , п — 1; і = 1,..., т} и (г>0^ : і = 1,... , т}, где г>0 — центр равнолучевой звезды.
Теорема 1. Пусть граф Б^ — равнолучевая звезда с т лучами, каждый из которых состоит из п вершин (п ^ 2). Тогда единственным ТНР для Б^ является граф, полученный из тривиального расширения графа Б^ удалением ребер _1, і = 1,... , т, где и — вершина, добавленная при построении тривиального расширения графа Б^.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 2009.
2. Абросимов М. Б. Минимальные расширения объединения некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. 2001. №4. С. 3-11.
3. Салий В. Н. Доказательства с нулевым разглашением в задачах о расширениях графов // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2003. №6. С. 63-65.
4. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и её приложений. 2004. №6. С. 113-125.
