О связи периодов состояний и периодов выходов автономных автоматов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В силу конечности множества I найдется индекс sq е I, равный некоторому полученному ранее индексу s Это дает цикл sps ... s в графе Gp. Теорема доказана.

Теперь приведем класс правильных семейств функций, не удовлетворяющих условию Теоремы 4.

Будем называть функции f и g вида Gn ^ G ортогональными, если для любого x е Gn либо f(x) = 0 либо g(x) = 0.

Лемма

Пусть семейство p = {fj, f2, ..., fn} попарно ортогональных функций таково, что для любого i, 1 < i < n, функция f не зависит существенно от x Тогда семейство Р является правильным.

Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой выполнения условия правильности семейства Р = {fj,f2, ...,fn}.

Приведем пример семейства Р = {fj,f2,...,f} попарно ортогональных функций, удовлетворяющее условию леммы и такое, что граф существенной зависимости G является полным.

Р

Действительно, возьмем произвольное собственное подмножество L с H, 0 Ф L Ф H, и рассмотрим соответствующую характеристическую функцию вместе с ее отрицанием:

L (x)

0;

x е L x £ L

L (x )

0, x е L

1, x £ L

Определим семейство Р = {fj, f,, ..., f} формулами

fj = L (x2 ) L (x3 )••• L (x„_j ) L (xn ) gj

f2 = L (x3 )L (x4 У" L (xn )L (xj ) g,

fn = L (xj ) L (x2 ) " L (xn-2 ) L (xn-j ) gn

Здесь gj, g2, ..., gn - произвольные элементы группы G, а коэффициенты перед ними суть произведения характеристических функций. Нетрудно видеть, что для любого i, j < i < n, функция f зависит существенным образом от всех переменных кроме xi.

Полученное семейство Р= {fj, f2, ..., fn} является правильным, удовлетворяет условию леммы и имеет полный граф существенной зависимости G_.

Р

Таким образом, в работе показано, что для любого фиксированного числа переменных доля функций, для которых правильность семейств равносильна отсутствию циклов в графах существенной зависимости, стремится к j с ростом порядка группы. Также приведено простое достаточное условие построения правильных семейств функций над абелевыми группами с богатой цикловой структурой в графе существенной зависимости.

Библиографический список

j. Шеннон, К. Теория связи в секретных системах / К. Шеннон // Работы по теории информации и кибернетике. - М., Ш3. - С. 333-369.

2. Носов, В.А. О построении классов латинских квадратов в булевой базе данных / В.А. Носов // Интеллектуальные системы. - !999. - Т. 4. - Вып. 3-4. - С. 307-320.

3. Носов, В.А. Построение параметрического семейства латинских квадратов в векторной базе данных / В.А. Носов // Интеллектуальные системы. - 2004. - Т. 8. - Вып. j-4. - С. 5П-528.

4. Носов, В.А. Латинские квадраты над абелевыми группами / В.А. Носов, А.Е. Панкратьев // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. Т2. - Вып. 3. - С. 65-7!.

5. Применко, Э.А. Об условиях регулярности конечных автономных автоматов / Э.А. Применко, Э.Ф. Скворцов // Дискретная математика. - j990. - Т. 2. - Вып. j. -С. 26-30.

6. Denes J., Keedwell A.D., Latin squares and their applications, Budapest, j974, 547 p.

О СВЯЗИ ПЕРИОДОВ СОСТОЯНИЙ И ПЕРИОДОВ ВЫХОДОВ АВТОНОМНЫХ АВТОМАТОВ

В.А. НОСОВ, каф. МаТИС, мех.-мат. факультет МГУ им. М.В. Ломоносова

Всюду под термином автомат будем понимать автономный автомат A(X, Y, ф,f), где X- множество состояний автомата, Y - множество выходных символов, ф - функция переходов, f - функция выходов. Функционирование автомата определяется в дискретном времени следующими соотношениями: x(t + j) = ф^О), t = 0Д, ... (j)

y(t) = fx(t)), (2)

где x(t), y(t) - состояние автомата и выходной символ в такте t, соответственно.

В процессе функционирования автомата для начального состояния x0 определены две последовательности состояний

xs = Ф^Д, s = 0Д, ..., (3)

и выходных символов

У* = Ax), s = 0Д, .... (4)

М4

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Будем рассматривать только регулярные автоматы, т.е. автоматы, у которых функция ф является биективной. В этом случае обе последовательности (3), (4) будут периодическими для любого начального состояния x0; при этом, если T и R - периоды последовательностей (3) и (4), то R делит T.

Нашей задачей будет установление связей между периодами состояний и периодами выходов определенных классов автоматов. Для практических приложений важно установить, имеет ли место случай R < T. Другой важной задачей является установление связи с известной задачей минимизации автомата, которая, в свою очередь, равносильна задаче определения классов эквивалентных состояний.

Всюду в дальнейшем будем считать, что автомат A(X, Y, ф, f обладает одноцикловой структурой, т.е. период последовательности состояний (3) совпадает с мощностью множества состояний

X. Положим \х\ = T. В этом случае порядок отображения ф (в групповом смысле) равен T.

Обозначим через С(ф) циклическую группу порядка T, порожденную функцией перехода

ф. Пусть Jf) - группа инерции функции выхода f т.е. множество биективных отображений g множества X на себя, относительно которых функция f инвариантна, т.е. справедливы соотношения для всех x е X

fx) = fgx). (5)

Справедлива

Теорема 1

Пусть автомат A(X, Y, ф, f обладает одноцикловой структурой и \х\ = T. Тогда выполнено:

a) если R - период выходной последовательности, то фR е Jf);

b) R - наименьший делитель T, такой, что фR е Jf).

Если ф1 е J(f) для некоторого l, то ф е Jf) для некоторого к, где k \ T, т.к. из ф1 е Jf) следует С(ф1) с Jf). Но ^(ф1) с Jf1, T)), где (l, T) - наибольший общий делитель l, T. Значит, можно ограничиться степенями фк, где к \ T.

Пусть имеем соотношение фк е Jf) и k\T. Тогда для любого x е X имеем

АФ) = fx). (6)

Рассмотрим произвольное x0 в качестве начального состояния и образуем последовательность

x = ф^Д, s = 0,1, ....

Из (6) получаем

АФ) = Ax) илиДфф*) = АФ). (7)

Отсюда получаем ys+k = y, s = 0,1, ..., и, значит, к кратно периоду выходной последовательности R, т.е. к = Ri.

Пусть теперь R - период выходной последовательности. Тогда имеем y+R = ys, s = 0,1, ... илиАУ+лгД = fyxQ), s = 0,1, ....

В силу одноцикловости ф для любого x0 последовательность ф-'фД пробегает все множество X; значит, f^x) = fx) для всех x е X. Отсюда Ф е J(f).

Пусть теперь R - не наименьший делитель T, что выполнено ф е Jf). Это значит, что существует к - делитель T, такой, что фк е J(f) и к < R. Согласно установленному, из фк е J(f) следует, что к кратно R, т.е. к > R, что противоречит допущению.

Следствие

Пусть автомат A(X, Y, ф, f) обладает одноцикловой структурой. Тогда имеет место сокращение периода (R < T) в том и только том случае, когда функция выхода f имеет нетривиальную группу инерции в группе С(ф).

Действительно, период выхода R равен минимальному делителю T = \ X \, такому, что ф е Jf. Ясно, что ф Ф e тогда и только тогда, когда R < T.

Рассмотрим вопрос нахождения преобразований множества состояний, которые не меняют выходов автомата для случая одноциклового автомата.

Определение

Биекция ю: X ^ X множества состояний в себя автомата A(X, Y, ф, f называется автоморфизмом автомата, если выполняются соотношения Atf’x) = f^-tox) для всех s = 0,1, ..., x е X. (8)

Ясно, что автоморфизмы автомата образуют группу, называемую группой автоморфизмов.

Напомним, что состояния x0' и xQ" автомата A(X, Y, ф, f называются эквивалентными, если они производят одинаковые выходные последовательности, т.е.

Лфф') = Лфф'') при всех s = 0,1, .... (9)

Пусть ю - автоморфизм автомата A. Тогда согласно определению состояния x и rax эквивалентны для любого x е X. Обратно, если ю такая биекция X в себя, что для любого x е X состояния x и юx эквивалентны, то ю - автоморфизм автомата. Значит, задача определения группы автоморфизмов равносильна задаче классификации эквивалентных состояний.

Теорема 2

Пусть A(X, Y, ф, f - произвольный одноцикловый автомат. Пусть R - период выходных

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

145

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

символов. Тогда эквивалентные состояния образуют области транзитивности группы С(фД. При этом число классов эквивалентности равно [С(ф): ^(фД] - индексу группы G^) в группе G^) и равно R, а каждый класс эквивалентности содержит по [G^):1] = T/ R состояний.

Пусть состояния х0' и х0" эквивалентны. Тогда имеем по определению

Лф"(Хо')) = ЛфХХо'')), s = 0,1, ....

Поскольку автомат A(X, Y, ф, f) одноцикловый, то существует k, такое, что х” = ф*х0'. Следовательно, выполнено соотношение

Л = Лф^Хо ')) = Лф^фЧ ')) = У**> s = 0,1 ....

Отсюда следует, что k кратно периоду выхода R, т.е. k = k1R и, следовательно, х0 ' ' = (фДих0 '.

Обратно, пусть х0 ' и х0 ' ' таковы, что х0' ' = фа\' для некоторого k1. Тогда х0 ' и х0 ' ' будут эквивалентны, т.к.

У' ' =Хфхо'') = fV(^1Rro')) = ^ф^ф^') =f^sCol) = У.'.

Значит, эквивалентные состояния получаются одно из другого с помощью преобразования из группы G(фR). Отсюда получаем, что число состояний в классе эквивалентности равно [G(фR):1]

- порядку группы G^), т.е. T/ R, T = \х \, а число классов эквивалентности равно ^(ф)^(фД]

- индексу группы G(фR) и равно R.

Следствие 1

Одноцикловый автомат A(X, Y, ф, f имеет эквивалентные состояния тогда и только тогда, когда имеет место сокращение периода выходных символов.

Следствие 2

Группа автоморфизмов одноциклового автомата A(X, Y, ф, f) есть прямое произведение групп подстановок классов эквивалентных состояний и имеет порядок

(Tij , т = \х\, (11)

где R - период выходов.

Следствие 3

Минимальный автомат A (X, Y, ф, f ) для одноциклового автомата A(X, Y, ф, f) имеет R состояний, где R - период выходных символов.

Специализируем теперь рассматриваемые автоматы, чтобы облегчить получение информации о группе инерции функции выхода f.

Определение

Автомат A(X, Y, ф, f) будем называть ячеечным, если X = Em, т.е. множество состояний есть множество n-мерных наборов (х1, ..., хп), где х. е [0,1, ..., m - 1], i е 1,n . При этом \x\ = mn.

Теорема 3

Пусть ячеечный автомат A(Enm, Y, ф, f) одноцикловый. Тогда функция выхода f имеет нетривиальную группу инерции в группе G^) тогда и только тогда, когда f имеет нетривиальную группу инерции в группе G(фm ).

Пусть f имеет нетривиальную группу инерции в группе G^), т.е. существует R, что фк е J(f), фR Ф е. Согласно замечанию в доказательстве Теоремы 1 считаем, что R|mn, R < mn.

Поскольку R делит mn, то R = s1 ... sn, где s. - делитель m, 1 < s. < m. Из того, что R < mn следует существование номера i, такого, что s < m. Пусть для определенности s1 < m. Обозначим P = m / s i е 1, n . Тогда R делит число s1s2 ... sp ...pn = s1mn-1, где 1 < s1 < m.

Если теперь фR е J(f), то и ф® е J(f) для любых целых t. Согласно доказанному, существует t, такое, что Rt = mn-1k, 1 < k < m. Значит, ф = (ф ) е J (f ) . При этом ф Ф е , т.к. порядок ф равен mn.

Обратное утверждение очевидно.

Следствие

Для одноциклового ячеечного автомата A(Enm, Y, ф, f) период выхода сокращается тогда и только тогда, когда функция выхода f имеет не-

n-1

тривиальную группу инерции в группе G(фm ).

Замечание

Если m - простое число, то f имеет нетривиальную группу инерции в группе G(фm ) тогда и только тогда, когда ф” е J(f), т.е. f (х) = f (ф” х) для всех х е X.

Определение

Функция f на множестве Enm называется равномерной, если существует d | m, d > 1, такое, что каждое значение функции принимается кратное d число раз.

Теорема 4

Если функция выходов f одноциклового ячеечного автомата A(E”, Y, ф, f) не является равномерной, то группа инерции f в группе G(ф) тривиальна. Если функция выходов f является равномерной, то существует ф, такое, что f имеет нетривиальную группу инерции в группе G^).

Пусть f имеет нетривиальную группу инерции в G(ф). Тогда по предыдущему f имеет нетривиальную группу инерции в G(фm ). Значит, существует k, 1 < k < m, k | m, такое, что ф” k е J(f) или f (х) = f (ф” k (х)) для всех х е E”. Тогда значения fi^) совпадают в d = (m / k) > 1 точках, т.е. функция f - равномерная.

146

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

Пусть f - равномерная функция. Значит, существует d | m, d > 1, что значения f принимаются кратное d число раз. Рассмотрим подстановку S множества Enm, которая состоит из mn / d циклов длины d и в состав каждого цикла входят только элементы Enm, на которых f принимает одинаковые значения. Согласно предположению о равномерности f такая подстановка S существует.

Теперь рассмотрим подстановку ф множества Enm, определенную равенством ф = m tfS х х (фт k = S), где k = m / d. Ясно, что ф - одноцикловая подстановка множества Enm. Имеем по построению фm k е J(f), т.к. значения f совпадают

mn 1 -k

на циклах подстановки ф .

Рассмотрим сначала ячеечные автоматы при m = 2. В этом случае функция переходов ф задается семейством булевых функций

ф = fi(Xv ..., Xn), ...,..., xn))

от n переменных. Пусть ф имеет «треугольный» тип, т.е.

f = fX)

f2 = f2(Xl, X2)

fn = fn(X1, ..., Xn). (12)

Индукцией по n легко доказывается [2]

Теорема 5

Отображение ф вида (12) биективно тогда и только тогда, когда оно представляется в виде

У = xi + hi

У 2 = x2 + h2(X1)

Уп = Xn + hn(X1, ..., Xn-1), (13)

где h1 - константа.

Теорема 6

Отображение ф вида (13) является одноцикловым тогда и только тогда, когда h1 = 1 и вес функций h ..., hn нечетен.

Доказательство легко осуществляется индукцией по n.

Следствие

Пусть ф - одноцикловое преобразование вида (13). Тогда ф2 (x1 ...xn) = (x1 ...xn-1 xn).

Следствие

Пусть A(Em, Y, ф, f) - одноцикловый ячеечный автомат с функцией перехода вида (13). Тогда период выходов сокращается (существуют эквивалентные состояния) тогда и только тогда, когда функция выходаfix ..., xn) зависит от xn не существенно. (В этом случае период выхода R равен 2‘, где i - максимальный номер существенного переменного функции выходаДт ..., xn).)

Пусть теперь m - произвольное натуральное число. В этом случае функция переходов ф задается семейством f), i е 1, n, функций m-значной логики. Пусть семейство f), i е 1, n, может быть представлено в виде (13) (как функции m-значной логики). Теорема 6

Отображение ф множества Enm в себя вида (13) является одноцикловым тогда и только тогда, когда выполнены условия

(hp m) = 1, (|h2|, m) = 1, ..., (|hn|, m) = 1, где

\h\ = E hta-,x-1)

xj , —,x(-1

(сумма натуральных чисел по модулю m).

Доказательство аналогично Теореме 6. Следствие

В условиях Теоремы 6’ справедливо

ф""' (X1, ..., xn) = (xv ..., xn-l, xn + |hn|).

Для некоторых случаев функций m-значной логики данный результат можно упростить.

Представление функций m-значной логики вида (13) будем называть псевдобулевым, если существуют константы a, b из {0, 1 ..., m - 1}, булевы функции g2, ..., gn, функции p1, ..., pn-1, где Р : {0, 1, ..., m - 1} ^ {0, 1}, i е [1, n - 1], такие, что выполнены равенства

hp?) = a + (b - а^СрДх)) h3(xv x2) = a + (b - a)g3(p1(x1), pp)

hn(X1, ..., О = a + (b - ^gJP^ ... , Pn-1(x И-1)). (14) Теорема 7

Пусть отображение ф множества Enm в себя имеет вид (13) и выполнено псевдобулево представление (14). Тогда ф является одноцикловым в том и только том случае, когда выполнены условия (h1, m) = 1, ((b - a), m) = 1, (q1, m) = 1, ... ,

(<?„_!, m) = 1, (C(g2), m) = 1, ... , (C(gn), m) = 1, где gt = |{p,'1(1)}|, i = 1,n -1,

C(g) - коэффициент Фурье функции g i = 2, n , определяемый равенством

C(g (xl,-X))= E (-1)^(x,,-,x")- g (x1,...,X)

(сумма действительная, N(x1, ..., xj - число нулей в наборе (x1, ..., xn)).

Доказательство осуществляется индукцией по n.

Следствие

В условиях Теоремы 7 справедливо

n-1

ф“ (X1, ..., xn) = (X1, ..., xn-l, xn + (b - a) q1 ... qn-1C(gn)).

Таким образом, предложен класс преобразований, для которых эффективно решается вопрос

x...x

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007

147

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ И ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

о сокращении периода выхода и о наличии эквивалентных состояний в одноцикловом автомате.

Замечание 1

Для вычисления коэффициентов Фурье существуют эффективные алгоритмы, основанные на быстром преобразовании Фурье.

Замечание 2

Использованное свойство отображения ф, для которого ф” fa ..., xn) = fa ..., xn1, xn + c) может выполняться не только у одноцикловых преобразований треугольного вида. Рассмотрим отображение ф : E3 ^ E3 вида

f = X2 f2 = X1 + 1

f = x1 + x2 + X3 + x1x2 (15)

Данное преобразование регулярно и одноцикловое, причем выполнено

ф4^, x2, X3) = x1, x2, x3) для всех (x1, x2, x3).

Рассмотрим вопрос о сложности рассмотренных задач для булевских автоматов, т.е. множества состояний и выходов кодируются двоичными наборами, а функции переходов и выходов задаются двоичными функциями. Как обычно, проблему называем NP-трудной, если из существования для нее разрешающего алгоритма полиномиальной сложности следует P = NP и NP-полной, если при этом она принадлежит классу NP. Для проблем П1, П2 мы пишем П1 * П2, если из полиномиальной разрешимости П следует полиномиальная разрешимость П1. В целях избежания неоднозначности толкования все задачи приводятся в единой стандартной форме.

1. Регулярность семейства булевских функций.

Дано: Семейство из n булевских функций ф = f ...,f) от n переменных (x1, ..., xn), каждая из которых задана в КНФ.

Вопрос: Верно ли, что ф задает биекцию множества E ?

n

2. Одноцикловость булевского отображения.

Дано: Биективное булевское отображение ф : En ^ E заданное семейством формул ф = f), i е 1, n, в базисе (+, v, •, -).

Вопрос: Верно ли, что ф является одноцикловым?

3. Существование эквивалентных состояний одноциклового булевского автомата.

Дано: Автономный автомат A(E”, Y, ф, f), где ф - одноцикловое отображение En в себя, заданное семейством n булевых функций f), i е 1, n, f - булева функция n переменных. Все функции заданы формулами в базисе (+, v, •, -).

Вопрос: Верно ли, что автомат A имеет эквивалентные состояния?

Теорема 8

Задачи 1, 2, 3 являются NP-трудными. Пустьf(x1, ..., xj - произвольная индивидуальная задача «выполнимость КНФ». Образуем функцию

f * (x0, Д^... xn )= Х0 f fa... xn )v x0,

где x0 - новое переменное. Функция f строится по функции f за полиномиальное время от длины задания f.

Рассмотрим отображение ф : E+1 ^ E+1

вида

(xo, x1, ..., xn) ^ (f (x0, x1, ..., xn), xp ..., xn). (16)

Отображение ф регулярно тогда и только тогда, когда функция f(x1, ..., xn) = 0 (т.е. задача невыполнима).

Действительно, рассмотрим два произвольные набора x0' и x” из E. Если они различаются на координатах (x1, ..., xn), то их образы при отображении ф различны. Если же x1' = x1", ..., xn' = = xn '' , то f (xo', x/, ..., x/) = f (xo", x/', ..., xn"), если

fx1 ' , ..., xn') = 1 и f (X0, x^. x'n )Ф f ^ x^. x'n ) ,

если f(x1 , ..., xn ) = 0. Если существует полиномиальный алгоритм проверки регулярности булевского отображения, то, применяя его к отображению (16), получаем полиномиальный алгоритм решения задачи «выполнимость». Поскольку задача «выполнимость» NP-полна, получаем противоречие.

Доказательство NP-трудности задач 2,3 аналогично.

В работе [3] представлен ряд NP-трудных задач теории автоматов, которые относятся к определению эквивалентных состояний, установлению цикловых структур и связи периодов состояний и выходов.

Библиографический список

1. Носов, В.А. Критерий регулярности булевского неавтономного автомата с разделенным входом / В.А. Носов // Интеллектуальные системы. - 1998. - Т. 3. - Вып. 3-4.

- С. 269-280.

2. Носов, В.А. Специальные главы дискретной математики: учеб. пособие / В.А. Носов. - М., 1990.

3. Алексеев, В.Б. NP-полные задачи и их полиномиальные варианты. Обзор / В.Б. Алексеев, В.А. Носов // Обозрение промышленной и прикладной математики. - 1997.

- Т 4. - Вып. 2. - С. 165-193.

4. Клосс, Б.М. Определение регулярности автомата по его каноническим уравнениям / Б.М. Клосс, В.А. Малышев // ДАН СССР - 1967. - Т 172. - № 3. - С. 543-546.

5. Huffman D.A. Canonical Forms for Information Lossless Finite-State Logical Machines. IRE Trans. Circ. Theory, 1959, v.6, p.41-59.

148

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2007