CC BY
18
Математические
структуры и моделирование 2017. №1(41). С. 26-29
УДК 514.12
О СВЯЗИ КОМПАКТНОСТИ И ПРИЧИННОСТИ
А.Н. Романов
доцент, к.ф.-м.н., e-mail: [email protected]
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Аннотация. В статье рассматривается связь между поведением причинной структуры пространства-времени и его топологией, а именно, уделяется внимание изучению причин наличия или отсутствия замкнутости множеств причинного прошлого и будущего в зависимости от условия компактности множеств, связанных с причинным будущим и прошлым точек пространства-времени. Приведён пример, когда наличие замкнутых некомпактных множеств пространства-времени, связанных с причинным будущим или прошлым какой-либо точки, влечёт за собой факт незамкнутости причинного прошлого и будущего некоторых точек.
Ключевые слова: пространство-время, компактность, причинность.
В данной статье мы рассмотрим некоторые вопросы, касающиеся связи свойства компактности замыканий причинных прошлого и будущего точек пространства-времени и замкнутости этих же множеств причинного прошлого и будущего точек. Общая идея состоит в том, что некоторая информация о поведении причинной структуры пространства-времени позволяет делать некоторые выводы о его топологической структуре.
Для начала приведем уже известное утверждение (см. [1], теорема 3.30): Пространство-время (M,g) глобально гиперболично тогда и только тогда, когда оно сильно причинно и (M, g') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех g' е C(M,g).
Здесь через C(M, g) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии M, глобально конформных метрике g :
g' е C(M,g) ^ g' = Qg
для некоторой гладкой функции Q : M ^ (0, то).
Это утверждение справедливо при довольно сильном условии сильной причинности пространства-времени. Мы же постараемся сделать некоторые выводы относительно более широкого класса пространств.
А именно, покажем, что если пространство-время (M,g) принадлежит классу A и если для некоторых точек p, s е M множество J+ П J— не замкнуто в M, а /+ П I— = 0, то тогда (замкнутое) множество c1(J+ П J-) не является компактным.
Для начала определим некоторый класс пространств, относительно которого выдвинуто приведённое утверждение. А именно, из всех пространств, допускающих незамкнутые множества причинного прошлого или будущего, выделим
определённый класс и обозначим его через В, разделив таким образом лоренце-вы многообразия на два непересекающихся класса: В и А (к этому классу отнесём все остальные пространства, не вошедшие в В). Класс В характеризуется следующим свойством. Пусть между точками р, в € М выполнены следующие соотношения: в € с/(3+), но в € Таким образом, любую окрестность иа точки в € М можно достичь направленной в будущее причинной кривой 7, выходящей из р, однако, сама точка в остаётся недостижимой. Допустим теперь, что имеет место следующая ситуация: существует настолько малая окрестность из точки в, что для того, чтобы достичь её направленной в будущее причинной кривой, выходящей из р, необходимо, чтобы, во-первых, эта кривая 7 целиком находилась бы в некотором (фиксированном) компактном множестве К, а во-вторых, её риманова длина (измеренная в любой заранее выбранной римановой метрике), была бы больше любого наперёд заданного положительного числа N. Другими словами, чтобы «подойти» достаточно близко к точке в, причинная кривая 7 должна совершить достаточно большое количество «оборотов» во множестве К.
Если такая ситуация имеет место в некотором многообразии (М, д), то будем относить его к классу В, в противном случае будем считать данное лорен-цево многообразие относящимся к классу А.
В двумерном случае все пространства из класса В являются не хронологическими, то есть содержат замкнутые времениподобные кривые.
В качестве примера приведём цилиндр с выколотой точкой:
М = 1Л х 5 = {¿,0}\ (0,0).
Допустим, что причинная структура этого пространства-времени обладает следующим свойством (конкретная запись метрики нам не важна): при приближении к множеству {£ = 0} конусы будущего наклоняются так, что причинные кривые могут лишь асимптотически приближаться к точкам {£ = 0}, но достичь их не могут. Тогда если в € {£ = 0}, то для некоторых точек р € М выполнены соотношения: в € с/(3+), но в € 3+. Такое пространство-время как раз является пространством класса В.
В качестве гипотезы можно выдвинуть предположение, что к классу В относятся лишь многообразия, не являющиеся причинными, то есть содержащие замкнутые причинные кривые. Однако это утверждение требует отдельного доказательства.
Теперь перейдём к доказательству основного утверждения, которое было сформулировано выше. Допустим, что множество с/(7+ П ) компактно. Так как множество П не замкнуто, то существует точка д € с/(3+ П такая, что д € П . В этом случае д € (случай д € доказывается аналогично).
Рассмотрим последовательность точек {дп} с П такую, что при п ^ то, дп ^ д, то есть сходящуюся к д (сходимость в исходной топологии многообразия М). Таким образом, для последовательности {дп} имеем:
р ^ дп, дп ^ д.
28
А.Н. Романов. О связи компактности и причинности
Так как p ^ qn, то для каждого номера n существует причинная кривая Yn, идущая из p в qn. Продолжим Yn до непродолжаемой причинной кривой. Так как qn ^ q, то любая окрестность точки q содержит все точки qn, начиная с некоторого n. А так как qn е Yn, то q является точкой накопления последовательности причинных непродолжаемых кривых {Yn}. Отсюда следует (см. [1], предложение 2.18), что существует причинная непродолжаемая кривая y, являющаяся предельной для последовательности {Yn}, и такая, что q е y. Выберем параметризацию y так, что y : ^ M и y(0) = q, причём уменьшение
параметра t кривой y соответствует движению по ней в прошлое.
Рассмотрим часть кривой y, идущую в прошлое от точки q : y0]. Заметим, что для любой точки a е y0] выполняется соотношение: a е cl(J+).
Действительно, так как y — предельная кривая последовательности {Yn}, то существует подпоследовательность {Ym} С {Yn} такая, что для любой точки a е y каждая её окрестность Ua пересекает все, за исключением конечного числа, кривые из {Ym}. Взяв точки rm такие, что для всех номеров m выполнены соотношения rm е {Ym},rm е Ua, получим сходящуюся к a последовательность rm : rm ^ a. Если выполнено ещё соотношение rm е J+ то получим, что a е c/(J+). В данном случае включение rm е J+ выполняется всегда. В самом деле, если rm е J+, то это означает, что кривая y (вместе с кривыми Ym) покинула область c/(J+). Однако выйти из c/(J+) y может лишь через точку p, так как все Ym «фокусируются» в p (по их определению), а y — предельная кривая для последовательности {Ym}. Но такого быть не может, так как это означало бы существование отрезка (лежащего на кривой y), соединяющего точки p и q и являющегося частью причинной кривой (y — причина), что противоречит выбору точки q : q е J+.
Таким образом, мы показали, что для любой точки a е y0], a принадлежит множеству c/(J+) : a е c/(J+). Ясно, что выполнено также включение a е c/(J+ П J-) (так как из соотношений a ^ q, q << r следует соотношение a << r, то есть a е int J-).
В результате имеем: часть кривой y, идущая в прошлое от точки q, целиком находится во множесте c/(J+ П J-), которое по сделанному предположению является компактным. Таким образом, имеет место явление захвата.
По построению кривой y (см. [1], предложение 2.18), последовательность {Ym} сходится к y равномерно на любом компактном множестве из IR в случае, если кривые y и Ym параметризованы длиной дуги, вычисленной относительно (полной) римановой метрики.
Так как ни для какого значения параметра t ^ 0 кривая y не покидает множества c/(J+ П J-), а последовательность {Ym} сходится к y равномерно на любом компактном множестве из IR (то есть кривые {Ym} «повторяют» движение Y), то получаем следующую ситуацию: если взять достаточно малую окресность Uq точки q, то длины кривых {Ym}, достигающих этой окресности, с необходимостью должны быть больше любого наперёд заданного положительного числа N. Однако это означает, что пространство-время (M, g) принадлежит классу B, в то время как по условию (M, g) принадлежит классу A.
Полученное противоречие опровергает сделанное предположение о том, что множество с/(3+ П компактно, и тем самым доказывает наше утверждение.
Литература
1. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. M. : Мир, (1985).
2. Романов А. Отображения пространства-времени и условия причинности // Тезисы докладов конференции по Анализу и Геометрии. Новосибирск : ИМ СО РАН, 2004. 219 с.
ABOUT COMPACTNESS AND CAUSALITY A.N. Romanov
Ph.D. (Phys.-Math.), Associate Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University
Abstract. The article discusses the relationship between the behavior of the causal structure of space-time and its topology, namely, attention is paid to the study of the causes of the presence or absence of a causal closure sets of the past and the future depending on the conditions of compactness sets associated with past and future causal space-time points. An example, when the presence of closed non-compact sets of the space-time associated with the cause of future or past of any point entails the fact of not closed causal past and the future of some points, is given.
Keywords: space-time, compactness, causality.
Дата поступления в редакцию: 27.01.2017
