О σ-СВОЙСТВАХ В КОНЕЧНОЙ ГРУППЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

УДК 512.542

О о-СВОЙСТВАХ В КОНЕЧНОЙ ГРУППЕ С.В. Путилов

ФГБОУ ВО «Брянский государственный университет имени академика И.Г. Петровского»

Рассматриваются только конечные группы. Доказываются следующие теоремы: 1) Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной силовской подгруппы S группы G в G есть а-разрешимая подгруппа D и G = MD, то G — с-разрешимая группа; 2) Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной силовской подгруппы S группы G в G есть с-нильпотентная подгруппа D и G = MD , то G — с-нильпотентная группа.

Ключевые слова: конечная группа, силовская подгруппа, а-разрешимая группа, а-нилъпотентная группа.

Исследования, проведенные здесь относятся к актуальному, активно развивающемуся направлению в теории конечных групп, связанному с а-свойствами. Полученные результаты продолжают исследования работы [2] известных белорусских математиков.

Все используемые обозначения и определения соответствуют [1-3]. Пусть Р — множество всех простых чисел. Тогда а = [aili Е I] — некоторое разбиение множества Р на попарно непересекающиеся подмножества ai(i Е I), т.е. Р =UiEI Щ и а^ П aj = 0 для всех i ^ j . В [3] группа G называется а- примарной, если n(G) Ç а^ для некоторого i Е I. Далее <5а и — соответственно класс всех а-разрешимых конечных групп и класс всех а-нильпотентных конечных групп.

Определение 1. Группа G называется а-разрешимой, если каждый ее главный фактор является а-примарной группой.

Группа G будет разрешимой тогда и только тогда, когда она а-разрешима для минимального разбиения а: Р = [2] U [3] U [5] U ■■■ . Если же группа G разрешима, то она о-разрешима для любого разбиения о.

Определение 2. Группа G называется а-нильпотентной, если G равна прямому произведению а-примарных групп.

Группа G будет нильпотентной тогда и только тогда, когда она а-нильпотентна для минимального разбиения а.

Лемма 1. Если для каждой максимальной подгруппы M из любой ненормальной силовской подгруппы S группы G в G есть о-разрешимая(о-нилъпотентная) подгруппа D и G = MD, то G = SK где К — о-разрешимая(о-нилъпотентная) подгруппа группы G.

Доказательство. Пусть G = MD. Так как M с 5, то G = SD. Тогда найдется в D подгруппа К Ç D такая, что G = SK. Очевидно, что в случае, когда ненормальная силовская подгруппа S будет циклической простого порядка, то группа G будет а-разрешимой (а-нильпотентной). Лемма 1 доказана.

Лемма 2 [3, теорема 1.1]. Классы <5а и являются наследственными тотально локальными формациями, и они также являются тотально локальными классами Фиттинга. Поэтому эти классы будут наследственными, насыщенными формациями Фиттинга.

Лемма 3 [2, теорема 1]. Пусть для каждой силовской подгруппы Р группы G и любой максимальной подгруппы V из Р существует такая а-разрешимая подгруппа Т , что VT = G. Тогда G — а-разрешимая группа.

Лемма 4 [2, теорема 2]. Пусть для каждой силовской подгруппы Р группы С и любой максимальной подгруппы V из Р существует такая о-нильпотентная подгруппа Т, что УТ = в. Тогда в — о-нильпотентная группа.

Лемма 5. Если К — минимальная нормальная о-примарная подгруппа группы С, в которой выполняются условия теоремы 1(теоремы 2), то фактор-группа в /К наследует условия теоремы 1(теоремы 2).

Доказательство. Пусть 5 Е п(С) и Б — ненормальная силовская 5-подгруппа в С. Если делится на |5|, то без ограничения общности можно считать, что Б £ К. Так как по лемме 1 в С есть <г-разрешимая(а-нильпотентная) подгруппа Б такая, что С = ББ, то С = КБ. Тогда в/К = КБ/К = Б /Б П К, откуда в/К — а-разрешимая(а-нильпотентная) группа. Значит, С /К наследует условия теоремы 1(теоремы 2).

Пусть не делится на |5| и БК/К — ненормальная силовская 5-подгруппа факторгруппы С/К. Рассмотрим максимальную подгруппу МК/К группы БК/К, где М —максимальная подгруппа в Б. Тогда по условию теоремы 1(теоремы 2) в С есть а-разрешимая(а-нильпотентная) подгруппа Б и С = МБ. Следовательно, С/К = МБ /К = (МК/К)(БК/К). Так как БК/К = Б/(Б П К), то БК/К — о-разрешимая (а-нильпотентная) подгруппа в С/К. Значит, группа С/К наследует условия теоремы 1 (теоремы 2). Лемма 5 доказана.

Лемма 6 [1, лемма 1.2.12с)]. Пусть А и В — подгруппы группы С. Если А £ С £ с и С £АВ, то С = С ПАВ = А(С П В).

Теорема 1. Если для каждой максимальной подгруппы М из любой ненормальной силовской подгруппы Б группы С в С есть о-разрешимая подгруппа Б и С = МБ, то С — о-разрешимая группа.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа С — контрпример минимального порядка. Если в группе С все силовские подгруппы нормальные, то группа С нильпотентна и все доказано. Если в группе С все силовские подгруппы ненормальные, то по лемме 3 группа С о-разрешимая. Значит, в группе С есть нормальные силовские подгруппы и в группе С есть ненормальные силовские подгруппы. По лемме 2 и лемме 5 в группе С может быть только одна нормальная силовская подгруппа. Пусть А — нормальная силовская подгруппа в группе С. Без ограничения общности можно считать, что А — минимальная нормальная подгруппа в группе С. Так как | С/А | < | С | и по лемме 5 фактор-группа С/А наследует условия теоремы, то по индукции группа С/А о-разрешимая. Тогда из замкнутости класса <5а относительно расширений получим, что С — о-разрешимая группа. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Если для каждой максимальной подгруппы М из любой ненормальной силовской подгруппы Б группы в в в есть о-нильпотентная подгруппа Б и в = МБ , то в — о-нильпотентная группа.

Доказательство. Пусть теорема неверна и группа С — контрпример минимального порядка. Если в группе С все силовские подгруппы нормальные, то группа С нильпотентна и все доказано. Если в группе С все силовские подгруппы ненормальные, то по лемме 4 группа С о-нильпотентная. Значит, в группе С есть нормальные силовские подгруппы и в группе С есть ненормальные силовские подгруппы. По лемме 2 и лемме 5 в группе С может быть только одна нормальная силовская подгруппа. Пусть В — нормальная силовская подгруппа в группе С. Ясно, что в группе С подгруппа В будет единственной минимальной нормальной подгруппой. Так как по лемме 5 фактор-группа С/В наследует условия теоремы и | С/В | < | С |, то по индукции группа С/В о-нильпотентная. Поскольку по лемме 2 класс Ыа всех о-нильпотентных конечных групп является насыщенной формацией, то Ф (С) = 1. Тогда С = ВР , где Р —максимальная подгруппа в группе С. Теперь по лемме 6 будет Сс(В) = Сс(В) П ВР = В(Сс(В) П Р). Пусть Сс(В) П Р = Рг Ф 1. Тогда Рг < С и Рг Ф В, что противоречиво. Значит, Сс(В) = В. Пусть Б — ненормальная силовская подгруппа в группе С и М — её максимальная подгруппа. Тогда С = МБ, где группа Б а-нильпотентная. Так как |В| делит

|D|, то В Я: D. Тогда по определению а-нильпотентной группы D Я CG(B) = В. Следовательно, G = MB с G, что противоречиво. Значит, группа G о-нильпотентная. Теорема 2 доказана.

Список литературы

1. Huppert B. Endliche Gruppen I: - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag. - 1967. - 793 s.

1. Каморников С.Ф., Тютянов В.Н. О двух проблемах из «Коуровской тетради» // Тр. ИММ УрО РАН. - 2021. - Т. 27. - № 1. - С. 98-102.

2. Скиба А.Н. О о-свойствах конечных групп I // ПМФТ (Проблемы физики, математики и техники). - 2014. - № 4(21). - С. 89-96.

Сведения об авторе

Путилов Сергей Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, алгебры и геометрии Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского, e-mail: [email protected].

ON g-PROPERTIES IN A FINITE GROUP S.V. Putilov

Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky

Only finite groups are considered. The following theorems are proved: 1) If for every maximal subgroup M of any non-normal Sylow subgroup S of group G in G there exists a c-solvable subgroup D and G = MD, then G is a c-solvable group; 2) If for every maximal subgroup M of any non-normal Sylow subgroup S of group G in G there exists a c-nilpotent subgroup D and G = MD, then G is a c-nilpotent group. Keywords: finite group, Sylow subgroup, a-solvable group, a-nilpotent group.

References

1. Huppert B. Endliche Gruppen I: - Berlin; Heidelberg; New York; Springer Verlag, 1967. - 793 s.

2. Kamornikov S.F., Tyutyanov V.N. On two problems from the «Kourov notebook» // Tr. IMM UrO RAS. - 2021. - V. 27. - № 1. - P. 98-102.

3. Skiba A.N. On o-properties of finite groups I // PMFT (Problems of physics, mathematics and engineering). - 2014. - № 4(21). - P. 89-96.

About author

Putilov S.V. - PhD in Physical and Mathematical Sciences, Associate professor of the Department of Mathematical analysis, algebra and geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, e-mail: [email protected].