О свойствах оценки Хилла экстремального индекса для выборок с загрязнениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 519.27

О СВОЙСТВАХ ОЦЕНКИ ХИЛЛА ЭКСТРЕМАЛЬНОГО ИНДЕКСА ДЛЯ ВЫБОРОК С ЗАГРЯЗНЕНИЯМИ

И. В. Родионов1

В статье исследуется состоятельность и асимптотическая нормальность оценки Хил-ла экстремального индекса для выборки из последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин с асимптотически растущим аддитивным загрязнением. Кроме того, в статье разбираются случаи, когда возможно статистическое построение оценки.

Ключевые слова: экстремальный индекс, оценка Хилла, состоятельность, асимптотическая нормальность, аддитивное загрязнение.

In this paper we consider the consistency and asymptotic normality of the Hill estimator of the extreme value index for a sample from the sequence of independent and identically distributed random variables with asymptotically increasing additive pollution. In addition, the cases when the statistical construction of the estimator is possible are analyzed.

Key words: extreme value index, Hill estimator, consistency, asymptotic normality, additive pollution.

1. Введение. В настоящей работе исследуется состоятельность и асимптотическая нормальность оценки Хилла экстремального индекса [1, 2] в модели

Yi,n = Xi + mi,n, n = 1, 2,..., (1)

где Xi — последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, функция распределения которых F принадлежит области максимального притяжения Фреше с индексом 7; mi,n, 1 ^ i ^ n, n =1, 2,..., — аддитивное загрязнение, максимальная величина которого может расти вместе с n. Обозначим cn := max{|mi,n|, 1 ^ i ^ n}, будем считать, что асимптотика последовательности cn нам известна. Оценкой Хилла экстремального индекса 7 для модели (1) назовем статистику

1 к-1

7я) = т Е НУ(п-г)) - 4Y(n-k)), (2)

i=0

где (Y(!) ^ Y(2) ^ ... ^ Y(n)) — вариационный ряд выборки {Yi,n}n=i. Предположим, что функция распределения F имеет плотность, обозначим ее F'. В случае отсутствия загрязнения (сп = 0) теорема Фишера—Типпета—Гнеденко (см. [3, 4]) гласит, что для ап = F (1 /п) при х > 0 имеет место соотношение

/ max Yi,n \ Р bi^fi- <; х = ехр(-х-1^).

В настоящей работе показано, что в случае, если загрязнение mi,n существенно меньше an, оценка Хилла (2) сохраняет свойства состоятельности и асимптотической нормальности.

В литературе достаточно подробно изучена модель с трендом mi,n, сравнимым по величине с an, при этом доказан ряд предельных теорем типа теоремы Гнеденко. Так, модель (1) для почти периодического нормированного тренда mi/an рассмотрена в [5], для случая строго стационарной случайной последовательности Xi — в работах [6] и [7], а в [8] — та же модель, но с добавлением монотонного тренда.

В дальнейшем индекс n у Yi,n и mi,n будет опускаться. Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. Пусть для некоторой последовательности kn, такой, что kn/n ^ 0 при n ^ ж и кп —>■ оо, выполняется соотношение -тг^— —> 0 (или, что эквивалентно, существует е > 0, такое,

Y(n-kn)

1 Родионов Игорь Владимирович — м.н.с. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vecsell@rambler.ru.

что cn/an = O(k(n) 1 £)). Тогда оценка Хилла (2) сходится по вероятности к j при n ^ ж. Кроме того, если функция распределения F удовлетворяет условию

i-F(tx) _ 1/7 /

lim ^ * =x-VixPh~l Жт^) 7 Р

для всех x > 0, где р ^ 0 и A(t) — положительная или отрицательная функция с A(t) = 0, то

.1/2 р / при всех кп, таких, что у" "— —> 0 (или, что эквивалентно, — = 0[кп 2 для некоторого е > 0

Y(n-kn) а„ у j

при n ^ ж), верно соотношение

где N — стандартное нормальное распределение, kn ^ ж, kn/n ^ 0,n ^ж и

lim \/к~пА { ) = Л

п^ж \ kn

с конечным X.

Замечание 1. При использовании оценки Хилла, как и других оценок экстремального индекса, принципиальным моментом является выбор последовательности кп. В теореме приводятся основные условия выбора для состоятельности и асимптотической нормальности оценки. Более подробно с проблемой выбора можно ознакомиться, например, в классической монографии [1].

Замечание 2. В теореме 1, по сути, утверждается, что при выборе нормировочной последовательности ап и последовательности кп (см. [9]) с использованием эмпирической функции распределения, построенной по выборке Ук, ее результат остается в силе. Условие (3) дает возможность уже по выборке оценить степень загрязнения относительно выбранной кп.

Замечание 3. Пусть известно, что последовательность сп растет медленнее, чем и1. В этом случае в качестве последовательности кп можно взять любую медленно меняющуюся функцию, возрастающую к бесконечности при и ^ ж. Действительно, легко видеть, что в этом случае условие (3) выполняется.

Р

2. Состоятельность оценки Хилла. Заметим прежде всего, что если тт^— —► 0, то верно и

г(п-к„)

р

0. По теореме 2.2.1 из монографии [1] при п —оо, кп —>■ оо, кп/п —0

Х(п-кп)

-х(п-кп) - иЦт) 1 -rU'(-r)

k^ v kn '

^ N(0,1), (3)

где ^ Хф ^ • • • ^ — вариационный ряд выборки {Х{\™=1, II = (узр)^- Рассмотрим

и(£) и Так как ЫйЩ = *> то = = ап/кп. Далее, [/'(*) = ^¡¡¡^, поэтому

и'Цг) = ¿^{а^ ) • ^3 условия фон Мизеса для распределения Фреше ^Ит = поэтому Р'(ап/кп) =

+ ^тг22— ) • Таким образом, (3) преобразуется к виду

\пап/к„ )

1пап/кп

Х[п_кп)-ап/кп (4)

1ап/кп

р

Ясно, что условия у—— —> 0 и сп/ап = 0{к{п)~1~£) эквивалентны. Действительно, из (4) получаем

(п~кп)

X р

—► 1. Известно (см., например, [4]), что существует такая медленно меняющаяся функция

an/k„

что ап = _R(n)n7, отсюда ап/кп = о-пкп1 • Таким образом,

cn an/kn cn cnknR(n) „

lim-= lim----= lim 1 ---—-—- = 0,

kn) an/k„ anR(n/kn)

где все равенства понимаются в смысле равенства по вероятности. Отсюда следует, что если существует е > 0, такое, что — = 0{кй1+£), то Х<-"^к'> о т.е. загрязняющая последовательность может влиять

ап Сп

на предельное поведение оценки Хилла, в частности на ее состоятельность. Заметим, что не для всех г, 0 ^ г ^ кп, верно, что У(п-г) = Х(п-г) + Шг, где У(п-г) = У\. Для дальнейшего хода доказательства нам понадобится следующая лемма.

Лемма. Верно следующее утверждение:

У г, 1 ^ г ^ п, \У(г) - Х(г)\ ^ 3Сп.

Пусть У(^) = Х(г) + Шг, где У(^) = Уг. В дальнейшем будем говорить, что порядковая статистика У(^) соответствует порядковой статистике Х(г). Разберем случай г < й, другой случай разбирается аналогично. Пусть — У(г) > 2сп. Среди Х(п) ,Х(пп-\),... ,Х(г+1) по принципу Дирихле найдется такая порядковая статистика Х(г), которой соответствует порядковая статистика У(т), где ш < г. Но \У(4) — Х(г)\ ^ сп и \У(т) — Х(г) \ ^ сп. Так как У(т) < У (г), то по предположению — У(т) > 2сп. Но тогда Х(¡) ^ Х^), что неверно. Получили противоречие. Отсюда, поскольку \У(4) — Х(г)\ ^ сп, имеем \У(г) — Х^)\ ^ 3сп. Лемма доказана.

1 — Р

Обозначим 7я = ^ 1п(Х(га_^) — 1п(Х(га_д,)). Как известно (см., например, [1]), 7я —► 7 при п —

г=0

ж, кп ^ ж, кп/п ^ 0. Согласно лемме, при выполнении условий теоремы

kn 1

3Cn

+

3cn

i=0

X(n-i) X(n-kn)

+ o

cn

^ 6-

X(n-kn)J X(n-kn)

+ o

X(n-kn)

(5)

здесь мы воспользовались формулой ln(1 + x) = x + o(x) при x — 0.

Но

P

X,

(n-kn)

0, поэтому lim YH — Yh | =P 0. Отсюда

kn 1

1P

— HY(n-i)) - In(У(п-кп)) -»■ 7

k

i=0

Таким образом, состоятельность оценки (2) доказана.

3. Асимптотическая нормальность. Для оценки Хилла 7я верна следующая теорема. Теорема 2 [1]. Пусть функция распределения Е удовлетворяет следующему условию: для всех х > 0

Ит

YP

где y > 0, р ^ 0 и A(t) — положительная или отрицательная функция с lim A(t) = 0. Тогда

t—>оо

7^(7я - 7) ^ N (

1 — Р

7'

где kn — ж, kn/n — 0,n — ж и

с конечным X.

lim \/к~пА ( т- ) = А

n^^ \knj

Покажем, что 7^ — 7я) —► 0, тогда (см. [9]) 7^ — 7) —>■ N (jz^,^/2 J ■ Фактически нужно

показать, что

kn 1

kn 1

Е ln(Y(n-i)) — Y^ ln(X(n-i))

i=0

i=0

P

n kn

))) —-P 0.

c

c

n

n

c

n

X

1

0

и

6

вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2014. № 1

Из (5) получаем

л/кп

кП 1

kn 1

Y^ ln( Y(n-i) ) - Y^ ln(X(n-i) )

i=0

i=0

+ \fkn\In(Y{n_kn)) - lnX(ra_fcn)| < + о (ф^Л

X(n-k„) \X(n-kn )J

Но ^^ Д о, поскольку по условию теоремы упУ/ "--► 0. Таким образом, асимптотическая нор-

л(п-кп) *(п-кп)

мальность оценки (2) доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00050).

1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Fereira A., Haan L. de. Extreme value theory. An introduction // Springer Series in Operations Research and Financial Engineering. N.Y.: Springer, 2006.

2. Hill B.M. A simple general approach to inference about the tail of a distribution // Ann. Statist. 1975. 3. 1163-1174.

3. Fisher R.A, Tippet L.H.C. Limiting forms of the frequency distribution of the largest or smallest member of a sample // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1928. 24. 180-190.

4. Leadbetter M.R., Lingren G, Rootzen H. Extreme and related properties of random sequences and processes // Springer Statistics Series. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer, 1983.

5. Кузнецов Д.С. Предельные теоремы для максимума случайных величин // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005. № 3. 6-9.

6. Ольшанский К.А. Об экстремальном индексе прореженного процесса авторегрессии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 17-23.

7. Kudrov A.V., Piterbarg V.I. On maxima of partial samples in Gaussian sequences with pseudo-stationary trends // Liet. matem. rink. 2007. 47, N 1. 1-10.

8. Родионов И.В. Пуассоновская предельная теорема для высоких экстремумов временного ряда с сезонной составляющей и строго монотонным трендом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 1. 12-17.

9. Billingsley P. Convergence of probability measures. N.Y.: Wiley, 1968.

Поступила в редакцию 14.10.2011

УДК 517.5

СВОЙСТВА СМЕШАННЫХ МОДУЛЕЙ ГЛАДКОСТИ ФУНКЦИЙ С ЛАКУНАРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ФУРЬЕ

М. К. Потапов1, Б. В. Симонов2

В работе уточняются некоторые свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в пространствах Лебега со смешанной нормой.

Ключевые слова: смешанный модуль гладкости, лакунарные коэффициенты Фурье, смешанная норма.

Certain properties of the mixed moduli of smoothness of functions with lacunary Fourier coefficients are refined in the case of Lebesgue space with a mixed norm.

Key words: mixed modulus of smoothness, lacunary Fourier coefficients, mixed norm.

Свойства смешанных модулей гладкости изучались в ряде работ (см., например, [1-3]). В настоящей работе исследуются свойства смешанных модулей гладкости функций с лакунарными коэффициентами Фурье в смешанной норме.

1 Потапов Михаил Константинович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: mkpotapov@mail.ru.

2 Симонов Борис Витальевич — канд. физ.-мат. наук, доцент Волгоград. гос. техн. ун-та, e-mail: simonov-b2002@yandex.ru.