О свойствах интеграла типа Коши с фиксированной точкой в ядре в пространстве С1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

РАЗНОЕ

УДК 517. 55

В. Ф. Милованов

О СВОЙСТВАХ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ С ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ В ЯДРЕ В ПРОСТРАНСТВЕ С1

166 Интеграл типа Коши с фиксированной точкой в ядре исследуется

———' в предположении, что фиксированная точка принадлежит внешности

круга радиуса единица. Установлены области неаналитичности и области аналитичности исследуемого интеграла. Область неаналитичности естественным образом разбивается на две подобласти, в каждой из которых этот интеграл вычисляется по определенным формулам. Неаналитические функции, представимые интегралом типа Коши с фиксированной точкой в ядре удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям. С помощью метода линейных дифференциальных операторов установлена связь интегралов с фиксированной точкой в ядре с интегралом типа Коши.

The Cauchy-type integral with a fixed point in the kernel is in the assumption that fixed point is on the exterior of a circle of RADIUS one. Set fields non-analyticity and the analyticity of the integral. Area non-analyticity naturally splits into two subareas , each of which the integral is calculated according to a specific formula. Non-analytical functions, which have integral Cauchy type with a fixed point in the kernel satisfies a certain differential equations. Using the method of linear differential operators is link integrals with a fixed point in the kernel with integral Cauchy type.

Ключевые слова: интеграл типа Коши, фиксированная точка, ядро, область аналитичности, область неаналитичности, линейный оператор.

Key words: integral Cauchy type, fixed point, the kernel, area analyticity, area non-analyticity, the linear operator.

В работе [1] получена обобщенная интегральная формула Коши в случае полной n-круговой области D. Пусть

z(1) = (z™,..., z^),..., z(i) = (z1i >,..., z«), z(1) = 2Д..., z™), z(i) = (Zli),..., z«) -

фиксированные по произволу точки из области D.

Если функция f(z) (n ^ 2) аналитична в области D и функция f(z) и все ее частные производные до порядка X (X = 0, 1, 2, ...) включительно непрерывны в D u S, то для L = 0, 1, 2, X; I = 0, 1, 2, z е D

f(z)=J M d®e J Lr^(LAbAb (r_-))X R 0))d7 CO

. 1 . ,(1 -t) _it l где u = (t ——)zv +- e zv..

r1(T) rv (t)

Эта формула выражает значения функции f(z) в области D через значения интегро-дифференциального оператора L^A(F0(7, R, 0)) на S.

© В. Ф. Милованов, 2015

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2015. Вып. 10. С. 166— 168.

О свойствах интеграла типа Коши с фиксированной точкой в ядре в пространстве С1

В случае поликруга справедливо аналогичное интегральное представление, если ту(т) = Я. На основе интегрального представления для поликруга можно построить интеграл типа Коши с фиксированными точками в ядре. Для случая одного комплексного переменного рассмотрим следующее определение.

Определение 1.1. Интегралом типа Коши с фиксированной точкой в ядре назовем интеграл вида

р* ^ г ??

О 77" 7 » 3

2 ; ? (2) 2жг о \?\=1? — и

где и = е3 г + (1 — е3)го,го е О—, а функция Д?) удовлетворяет условию Липшица.

Для функций двух комплексных переменных интеграл с фиксированной точкой в ядре изучался в работе [2]. Рассмотрены свойства аналитичности и неаналитичности этих интегралов в единичном бицилиндре. Также исследован интеграл в зависимости от поведения фиксированной точки в пространстве С2. Изучение интеграла типа Коши с фиксированной точкой в ядре для функций одного комплексного переменного проводилось в работах [3] и [4]. В данной статье интеграл типа Коши с фиксированной точкой в ядре исследуется в предположении, что точка Хо е ^ = {| г | >1}. Установлены области неаналитичности и области аналитичности исследуемого интеграла. Область неаналитичности естественным образом разбивается на две подобласти D+ и D*. Неаналитические функции Р и Р*, представимые интегралом типа Коши с фиксированной точкой в ядре в областях 0+ и О*, удовлетворяют некоторым дифференциальным уравнениям. С помощью метода линейных дифференциальных операторов [5] установлена связь интегралов с фиксированной точкой в ядре с интегралом типа Коши.

Интеграл Р* в областях 0+ = {^|<1} и D*,

О* = {М 12о1соза— |2о| 2 1} _

I2—2о!

неаналитическая функция, а в области К = С1\( О + + и О *) — аналитическая, при этом имеют место следующие формулы:

Б' = Г е/—1 /— (и )ёе +1 е/—1 f + (и

о е2 есЛИ л

е е2 1

Б' = Г е/—1 f— (и )ёе +1 е/—1 f + (и )йе +1 е/—1 f— (и )с1е,

0 е е2

если ъ е В*, 2о е О—, где

1 ГЛ?Ь (и)'1 и \<1 з + (1 з)

I—а? = \ и = е г+(1—е)2о,

2жг* ?— и I f (и),| и |> 1

167

В. Ф. Милованов

е = (| z || Zo|cosa- | z0 |2 --J(| z || z0 ||cosa- |z0||2)2 - (|z0|2 -1)| z ~ z0 |2) 1 | z - z0| , = (l z || Z01 cosa-1 Z012 || Z01| cosa-1 z01|2)2 -(| z012 -1)| z-Z02

S2 = ( I I )

| Z - Z0| .

Интеграл (2) с фиксированной точкой в ядре связан с интегралом типа Коши соотношением

yF* + S(z - Z0)FZ + S{z - z,) F = f + (z).

Список литературы

1. Баврин И. И. Операторы в выпуклых областях и интегральные представления // Доклады Академии наук СССР. 1974. Т. 215, № 4. С. 769 — 771.

2. Милованов В. Ф. О некоторых интегральных представлениях с фиксированной точкой // Математический анализ и теория функций : республиканский сб. трудов. 1978. Вып. 9. С. 54 — 64.

3. Нелаев А. В. К теории квазианалитических функций // Там же. 1974. Вып. 4. С. 49— 55.

4. Гуляев А. В. О свойствах интегралов Коши — Баврина // Там же. 1976. Вып. 6. С. 45 — 61.

5. Хвостов А. Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова методом однородных дифференциальных операторов первого порядка // Доклады Академии наук СССР. 1969. Т. 186, № 3. С. 522 — 525.

Об авторе

Владимир Федорович Милованов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: wfmil1@mail.ru

About the author

Dr Vladimir Milovanov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: wfmil1@mail.ru