О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О существовании счетного множества устойчивых и неустойчивых инвариантных торов у систем из областей Ньюхауса с гетероклиническими касаниями

С. В. Гонченко, О. В. Стенькин, Л. П. Шильников

НИИ Прикладной математики и кибернетики 603005, Россия, Нижний Новгород, ул. Ульянова, 10 E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Получено 12 декабря 2005 г.

Пусть Cr -гладкий, r ^ 5, двумерный диффеоморфизм f имеет негрубый гетероклинический контур, содержащий несколько седловых периодических и гетероклинических траекторий, причем среди последних есть негрубые, в точках которых инвариантные многообразия соответствующих сёдел пересекаются нетрансверсально. Предположим, что контур содержит по крайней мере две такие седловые периодические траектории, что седловая величина (модуль произведения мультипликаторов) одной из них меньше 1, а другой — больше 1. Тогда, как показано в работе, в любой окрестности, в Cr-топологии, диффеоморфизма f в пространстве Cr-гладких диффеоморфизмов существуют области (области Ньюхауса с гетероклиническими касаниями), в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество устойчивых и неустойчивых замкнутых инвариантных кривых. Для случая трехмерных потоков этот результат означает существование областей Ньюхауса, в которых плотны потоки со счетным множеством устойчивых и неустойчивых двумерных инвариантных торов.

Ключевые слова: негрубый гетероклинический контур, область Ньюхауса, замкнутая инвариантная кривая.

S. V. Gonchenko, O. V. Sten’kin, L. P. Shilnikov

On the existence of infinitely many stable and unstable invariant tori for systems from Newhouse regions with heteroclinic tangencies

Let a Cr-smooth (r > 5) two-dimensional diffeomorphism f have a non-transversal heteroclinic cycle containing several saddle periodic and heteroclinic orbits and, besides, some of the heteroclinic orbits are non-transversal, i.e. at the points of these orbits the invariant manifolds of the corresponding saddles intersect non-transversally. Suppose that a cycle contains at least two saddle periodic orbits such that the saddle value (the absolute value of product of multipliers) of one orbit is less than 1 and it is greater than 1 for the other orbit. We prove that in any neighbourhood (in Cr-topology) of f in the space of Cr-diffeomorphisms, there are open regions (so-called Newhouse regions with heteroclinic tangencies) where diffeomorphisms with infinitely many stable and unstable invariant circles are dense. For three-dimensional flows, this result implies the existence of Newhouse regions where flows having infinitely many stable and unstable invariant two-dimensional tori are dense.

Keywords: nontransversal heteroclinic cycle, Newhouse region, invariant circle.

Mathematical Subject Classifications: 39Axx, 39B05

Введение

Хорошо известно, что негрубые многомерные динамические системы, в отличие от негрубых двумерных векторных полей, могут образовывать открытые области в пространстве гладких систем. Среди таких объектов особое место занимают так называемые области Ньюхауса, в которых плотны системы, имеющие седловые периодические траектории, инвариантные устойчивое и неустойчивое многообразия которых пересекаются нетрансверсально в точках некоторых го-моклинических орбит. В этом случае говорят также, что такие системы имеют гомоклинические касания.

Одним из фундаментальных свойств областей Ньюхауса является то, что они существуют в любой окрестности (в Сг-топологии с г ^ 2) любой системы с гомоклиническим касанием. Это динамическое явление было открыто Ньюхаусом [20] в случае двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму, обладающему следующими свойствами: а) существует седло-вая неподвижная (периодическая) точка О с мультипликаторами А и 7, где 0 < |А| < 1 < |71, такими, что седловая величина а = |А71 отлична от единицы; б) устойчивое Ш5(О) и неустойчивое Ши(О) инвариантные многообразия касаются по некоторой гомоклинической траектории квадратичным образом.

Позднее этот результат Ньюхауса был распространен и на многомерный случай [5, 21, 22]. Причем, также как и в [20], существование областей негрубости было установлено в случае трансверсальных конечно-параметрических семейств [5]. Естественно, что такие области, как в пространстве динамических систем, так и в пространстве параметров, получили название областей Ньюхауса.

Одной из важных особенностей поведения систем в областях Ньюхауса является сосуществование грубых периодических траекторий различных типов. Так, в случае двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков) при условии, что а < 1, в областях Ньюхауса плотны системы, имеющие одновременно счетное множество седловых и счетное множество устойчивых периодических траекторий [19] (если а > 1, — то вполне неустойчивых). В многомерном случае (размерность фазового пространства для отображений ^ 3 и для потоков ^ 4) могут сосуществовать также и седловые периодические траектории разных индексов (с разными размерностями устойчивых многообразий) [3].

Другая принципиальная особенность областей Ньюхауса состоит в том, что в них плотны системы со счетным множеством периодических траекторий любого порядка вырождения, а также системы со счетным множеством гомоклинических касаний любого порядка [4, 16, 15, 2]. При этом, в многомерном случае периодические траектории могут иметь уже несколько мультипликаторов, лежащих на единичной окружности (подробнее см. в [3, 15]). Однако, в случае двумерных диффеоморфизмов (трехмерных потоков) при условии, что а = 1, у систем из соответствующих областей Ньюхауса все негрубые периодические траектории будут иметь лишь один мультипликатор, равный по модулю единице, либо +1, либо -1.

Области Ньюхауса существуют также и вблизи систем с негрубыми гетероклиническими контурами: здесь в отличие от гомоклинического случая имеется уже несколько седловых периодических траекторий и соответственно несколько гетероклинических орбит. На рис. 1 представлены два примера двумерных диффеоморфизмов с негрубыми гетероклиническими контурами: в первом случае (рис. 1а) показан контур «общего типа», второй же случай (рис. 1б) отвечает контуру «простейшего типа». Основному случаю (коразмерности один) отвечает контур, в котором ровно одна гетероклиническая траектория негрубая — в ее точках соответствующие устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание —, а также седловые величины всех седел отличны от единицы. Случай, когда все седловые величины одновременно меньше или

Рис. 1. Два примера двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром, содержащим а) несколько седловых неподвижных точек, б) две седловые неподвижные точки.

больше единицы, в принципиальном плане не отличается от гомоклинического. Однако, если контур содержит хотя бы две седловые периодические траектории, у одной из которых седло-вая величина меньше, а у другой больше единицы, — мы называем такие контура контурами смешанного типа — возникает новое явление, которое было установлено в [6] для случая двумерных диффеоморфизмов. Именно, вблизи любого двумерного диффеоморфизма с негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа существуют области Ньюхауса, в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых, счетное множество устойчивых и счетное множество вполне неустойчивых периодических траекторий.

Это утверждение справедливо и для общих однопараметрических семейств [6]. Характерной особенностью соответствующих интервалов Ньюхауса является то, что в них плотны значения параметра, при которых диффеоморфизм семейства имеет контур «исходного типа»: он содержит те же седловые неподвижные точки, близкие грубые гетероклинические траектории и новую (многообходную) гетероклиническую траекторию, в точках которой соответствующие устойчивое и неустойчивое многообразия имеют квадратичное касание. В подобной ситуации естественно говорить об областях (интервалах) Ньюхауса с гетероклиническими касаниями. Отметим, что в этих областях плотны также диффеоморфизмы с гомоклиническими касаниями, а следовательно, и с негрубыми периодическими траекториями указанных выше вырождений. Однако, из того, что в окрестности исходного контура наблюдается как сжатие, так и растяжение площадей, естественно ожидать, что в таких областях Ньюхауса с гетероклиническими касаниями могут существовать периодические траектории «нейтрального типа» устойчивости, например, с двумя мультипликаторами на единичной окружности. А тогда понятно, что в этом случае можно надеяться, что в таких областях Ньюхауса будут плотны диффеоморфизмы со счетным множеством замкнутых инвариантных кривых.

Соответственно, это влечет, что у трехмерных потоков со знакопеременной дивергенцией могут существовать области Ньюхауса, в которых плотны потоки со счетным множеством двумерных инвариантных торов (как мы покажем, устойчивых и неустойчивых). Эти результаты показывают, что системы со знакопеременной дивергенцией могут обладать «смешанной динамикой», которая сочетает в себе определенные элементы диссипативного (асимптотически устойчивые и неустойчивые периодические траектории) и консервативного (бесконечное множество инвариантных торов и периодические траектории с мультипликаторами е±г^) поведения. При

этом, как мы покажем, одним из характерных (типичных) свойств такой «смешанной динамики» является то, что в совокупности траектории различных типов неотделимы друг от друга — в их замыкании могут лежать, например, нетривиальные гиперболические множества.

Решению этих проблем посвящена данная работа1.

1. Основные результаты

В статье будут изучаться динамические свойства двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром. В общем случае такой контур содержит несколько грубых седловых периодических траекторий, O\,... ,On, и гетероклиниче-ских орбит, Г12,...,Гп-in и Гп1, таких, что Гй+1 С Wu(O*) П Ws(O*+1) , i = 1,...,n — 1, и Гп1 С Wu(On) П Ws(O1) , i = 1,..., n — 1, и, кроме того, среди указанных пересечений есть нетрансверсальные (рис. 1а). Будем рассматривать случай, когда среди седловых траекторий O1,..., On, входящих в контур, есть по крайней мере две такие, что у одной из них седловая величина меньше единицы, а у другой — больше единицы. Такой контур будем называть негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа.

В работе будет доказана следующая

Основная теорема. В пространстве Cr-гладких, r ^ 5, двумерных диффеоморфизмов в любой окрестности (в Cr-топологии) любого диффеоморфизма с негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа существуют области Ньюхауса, в которых плотны (образуют множество второй категории) диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество устойчивых и счетное множество неустойчивых замкнутых инвариантных кривых. Кроме того, замыкание каждого из указанных множеств содержит седловые периодические траектории O1,..., On, входящие в контур.

Отметим, что теорема будет верна и в более вырожденных ситуациях. Например, если контур содержит хотя бы одну седловую периодическую траекторию, у которой седловая величина равна единице (заметим, что наличие негрубой гетероклинической орбиты здесь, по-прежнему, существенно). Понятно, что сколь угодно малым возмущением можно добиться, что эта седло-вая величина станет либо больше, либо меньше единицы, так, что для полученного контура будут выполняться условия основной теоремы. Могут быть, конечно, и более вырожденные ситуации. Например, исходный диффеоморфизм может сохранять площадь, или исходный диффеоморфизм может быть обратимым (reversible). Однако, в обоих этих случаях области Ньюхауса из основной теоремы, по методу доказательства, отвечают близким диффеоморфизмам, которые, однако, не наследуют структур исходных диффеоморфизмов (не являются, вообще говоря, ни сохраняющими площадь, ни обратимыми соответственно). Тем не менее, как установлено в работе [18], и в классе обратимых двумерных диффеоморфизмов существуют области Ньюхауса со смешанной динамикой (в которых плотны диффеоморфизмы, имеющие одновременно счетное множество седловых, асимптотически устойчивых и, автоматически, вполне неустойчивых, а также эллиптических (в симплектической категории) периодических траекторий).

Представим теперь общую схему доказательства основной теоремы.

Во-первых, существование областей Ньюхауса (с гетероклиническими касаниями) было установлено ранее, в работе [6]. Именно, там было показано, что вблизи двумерных диффеоморфизмов с негрубыми контурами смешанного типа могут существовать области Ньюхауса трех

'Основные результаты этой работы были представлены также на Международной Конференции, посвященной 100-летию А. А. Андронова, и частично опубликованы в трудах этой конференции [14].

классов. Причем, области Ньюхауса первого класса (именно те, о которых идет речь в теореме, и которые мы называем также областями Ньюхауса с гетероклиническими касаниями) существуют в любой окрестности любого такого диффеоморфизма и характеризуются тем, что в них

1) плотны диффеоморфизмы, имеющие гомоклинические касания к любой из точек О 1,..., Оп;

2) плотны (образуют множество второй категории) диффеоморфизмы, имеющие счетное множество седловых, устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий2. Основная теорема, таким образом, представляет еще одно характеристическое свойство областей Ньюхауса первого класса: 3) в них плотны диффеоморфизмов со счетным множеством замкнутых инвариантных кривых.

Далее, собственно для доказательства существования замкнутых инвариантных кривых, мы рассматриваем вполне самостоятельную задачу изучения основных бифуркаций периодических траекторий в случае диффеоморфизмов с так называемыми простейшими негрубыми гетероклиническими контурами смешанного типа. Каждый такой диффеоморфизм имеет только две неподвижные грубые седловые точки и две гетероклинические траектории, одна из которых негрубая (рис. 1б).В работе [6] были исследованы бифуркации в случае трансверсальных однопараметрических семейств с целью нахождения устойчивых и вполне неустойчивых периодических траекторий. В настоящей работе мы будем рассматривать уже двухпараметрические семейства общего положения с целью исследования бифуркаций рождения замкнутых инвариантных кривых (инвариантных торов в случае потоков). Соответствующие результаты будут представлены в параграфах 2, 3 и 4.

В заключительном пятом параграфе мы доказываем основную теорему. При этом, принципиальным шагом здесь является доказательство того, что в окрестности любого негрубого гете-роклинического контура существуют контура простейшего типа.

2. Построение отображения первого возвращения

Рассмотрим Сг-гладкий двумерный диффеоморфизм /0, имеющий простейший негрубый гетероклинический контур С смешанного типа. Пусть О1 и О2 — седловые неподвижные точки, принадлежащие С, и Г12 С Ши(О1) П Ш5(О2) и Г21 С Ши(О2) П Ш5(О1) — гетероклинические траектории контура С. Для определенности полагаем, что инвариантные многообразия Ши(О1) и Ш5(О2) пересекаются трансверсально в точках траектории Г12, а Ши(О2) и Ш5(О1) имеют квадратичное касание в точках траектории Г21. Таким образом, С = {О1, О2, Г12, Г21}. Пусть Аг и 7г — мультипликаторы точек Ог такие, что |Аг| < 1, |7г| > 1, г = 1,2 . Обозначим через аг седло-вую величину точки Ог,т.е. аг = |Аг7г|. Поскольку данный контур является контуром смешанного типа, это означает, что выполняется одно из условий: либо а1 < 1 < ст2, либо ст2 < 1 < а1.

Рассмотрим достаточно малую фиксированную окрестность и контура С = {01 ,О2,Г 12,Г21}. Она представляет собой объединение двух окрестностей и1 и и2 неподвижных точек О1 и О2 и конечного числа тех окрестностей точек гетероклинических траекторий Г12 и Г21, которые лежат вне и1 и и2.

Обозначим через Т01 (^), I = 1,2, ограничение диффеоморфизма /м на окрестность и,

т. е. Т01 (^) = / . Соответствующие отображения Т01 (^) и Т02 (^) называются локальными

и1

2Заметим, что, в отличие от областей Ньюхауса первого класса, диффеоморфизмы из областей второго и третьего

классов не имеют никаких гомоклинических траекторий к некоторым из точек 01,..., Оп, а также они не имеют гете-

роклинических контуров, содержащих точки О1,..., Оп. Кроме того, области Ньюхауса первого класса существуют

вблизи любого диффеоморфизма с негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа, тогда как области Нью-хауса второго и третьего классов могут существовать только лишь вблизи определенного вида таких диффеоморфизмов. Подробнее об этом см. в [6].

отображениями. Хорошо известно [8, 7], что на и можно ввести такие Сг 1-координаты (ж г, уг) (также гладко зависящие от ^), что отображение Т01 (^) запишется в следующем виде

жг = Аг (^)жг + /г(жг ,уг,^)ж2уг, (21)

Уг = Тг(^)уг + 0г(жг,уг,^)жгу2, ( . )

В этом случае при всех достаточно малых ^ точка О г (^) будет лежать в начале координат (жг = 0,уг = 0), а уравнения многообразий Ш£с(Ог(^)) и Ш0с(Ог(^)) будут иметь вид уг = 0 и жг =0 соответственно.

Рассмотрим снова диффеоморфизм /0 . По условию, точка О1 является а-предельной для траектории Г12 и ш-предельной для траектории Г21 ; также, точка О2 — а-предельная для Г21 и ш-предельная для Г12 . Соответственно, счетное множество гетероклинических точек (как точек траектории Г12, так и Г21) лежат на Шг0с(Ог) и Ш0с(Ог). Выберем две пары таких гетероклинических точек, именно, точки М—(0, у-) £ и1 и М+(ж+, 0) £ и2 траектории Г12, а также точки М-(0, у-) £ и2 и М+(ж+, 0) £ и1 траектории Г21. Для определенности, будем полагать, что ж+ > 0, у- > 0 . Очевидно, существуют такие натуральные числа п1 и п2, что /П1 (М-) = М+ и /П2 (М-) = М+. Рассмотрим достаточно малые окрестности П+ С иг и П- С иг точек М+ и М- соответственно. Тогда для всех достаточно малых ^ будут определены глобальные отображения Т12 Ы = /п : П- ^ и2 и Т21 (^) = //П2 : П- ^ и1.

Обозначим координаты (2.1) как (ж0 г, у0г) на П+ и (ж1г, у1г) на П- соответственно. Тогда отображение Т12 (^) может быть записано в следующем виде (как отрезок ряда Тейлора в окрестности точки ж11 = 0, у11 = у- (^))

ж02 — ж+(^) = а12 (^)ж11 + 612 (^)(у11 — у1 (^)) + • • • (2 2)

У02 = С12 (^)жИ + ^12 (^)(У11 - У-(^))+ ••• ( . )

где коэффициенты а12,..., ^12 , вообще говоря, зависят от параметров ^; кроме того, ж+(0) = = ж+ , у-(0) = у- . Заметим, что точки (ж+(^), 0) и (0,у-(^)) являются точками пересечения (грубой) гетероклинической траектории Г12(^) с П+ и П- соответственно. Так как Ши(О1) и Ш*(О2) пересекаются трансверсально в точке М+ при ^ = 0, то ^12(0) = 0. Отметим также, что якобиан /12 = а12^12 — 612с12 отображения Т12(0), вычисленный в точке М-, отличен от нуля, поскольку Т12 — диффеоморфизм.

Аналогично, отображение Т21 (^) = /п : П- ^ и1 может быть записано в следующем виде (как отрезок ряда Тейлора в окрестности точки ж12 = 0, у12 = у-(^))

ж01 — ж+(^) = Й21 (^)ж12 + 621 (^)(у12 — у-Ы) +

+102(^)(у12 — у2 (^))2 + • • • (2 3)

у01 = ^1 + С21 (^)ж12 + ^21 (^)(у12 — у-(^))2 + ( . )

+111(^)ж12 (у12 — у- (^)) + 103 Ы(у12 — у- Ы)3 + • • •

где коэффициенты а21 ,...,103, вообще говоря, зависят от ^; ж+(0) = ж+,у-(0) = у- (кроме того, коэффициент у- (^) зависит от ^ так, что второе уравнение из (2.3) не содержит линейных членов по у12). Заметим, что ^21 (0) = 0, так как Ши(О2) и Ш5(О1) касаются квадратичным образом в точке М+, и /21 = —621 (0)с21 (0) = 0 в силу того, что Т21 — диффеоморфизм. Также обращаем внимание на то, что в правых частях отображения (2.3) явно выписаны некоторые дополнительные нелинейные члены (с коэффициентами 102(^), 111 (^) и 103 (^)), поскольку они будут важны в дальнейшем.

Заметим, что параметр ^1 входит во второе уравнение системы (2.3) аддитивно. Это отражает тот факт, что ^1 является параметром расщепления многообразий Ш“(О2(^)) и Ш5(О1 (^))

в точке М+ (действительно, при ^1й21 > 0 кривые Т21(Шис(О2)) и Шг5ос(О1) не пересекаются, а при ^1^21 < 0 они имеют две точки трансверсального пересечения).

Как было показано в [8, 7], отображение (^) : П+ ^ П - при всех достаточно больших к

и малых ^ может быть записано в виде

жи = Аг (^)к ж0 г (1 + к (ж0 г ,уп ,^)), (24)

у0г = 7г(^)_к уи (1 + 7г_к9гк (ж0г,уш^)),

где 7-1 = таж{7-1, Аг}, а функции и равномерно ограничены по к вместе со своими производными до порядка (г — 2).

Из (2.4) вытекает, что множество точек на П+, которые под действием итераций диффеоморфизма // попадают в П- состоит из счетного множества полосок ст0г = П+ П Тщ^П-, к = = ^1 + 1,.... Соответственно, под действием отображений Т0к полоски ст^ преобразуются в

полоски = Тщ(ст0г), принадлежащие П-. Полоски ст™ и ст^,1 накапливаются при к ^ к Ш/0с(Ог) и Ш^ДОг) соответственно. Будем считать, что окрестности П+ и П- достаточно малы и выбраны так (см. [6]), что они, для некоторых достаточно больших целых к 1 и к2, содержат целиком все полоски с номерами ^ кг, и не пересекаются с полосками с номерами, меньшими кг.

Мы будем изучать в семействе / бифуркации однообходных периодических траекторий из и. Любая такая траектория имеет только по одной точке пересечения с каждой из окрестностей П+ и П-, I = 1,2. Пусть Л — некоторая однообходная периодическая траектория, и пусть р+ и р- — точки ее пересечения с П+ и Пг соответственно. Тогда существуют некоторые целые г ^ й1 и ] ^ А:2 такие, что

Р+ £ СТ01 , Р- £ ст!1 , Р+ £ ст02 , Р- £ ст)2 •

Более того, имеют место следующие соотношения

Р- = Т01 (Р+) , Р+ = Т12(Р-) , Р- = ТУР+) , Р+ = Т21 (Р2-) •

Таким образом, точку Р+ можно рассматривать как неподвижную для отображения первого возвращения Т) (^), которое, в свою очередь, может быть представлено в форме следующей суперпозиции локальных и глобальных отображений (рис. 2)

Т) = Т21 ■ Т02 ■ Т12 ■ Т01 : СТ01 ^ П+ (2.5)

Соответственно, изучение бифуркаций однообходных периодических траекторий в семействе // естественным образом сводится к исследованию бифуркаций неподвижных точек отображений первого возвращения Т) (^) для всевозможных достаточно больших г и ] . При этом, формулы (2.2), (2.3) и (2.4) позволяют найти явный вид отображений Т)(^) в исходных координатах. Кроме того, поскольку окрестность контура С достаточно мала (соответственно, малы значения локальных координат), то при достаточно малых ^ мы можем легко оценить якобиан J(Т)) в (возможной) неподвижной точке отображения Т), представив его как произведение якобианов отображений-сомножителей из (2.5). Именно, из (2.2),(2.3) и (2.4) получаем, что

^(Т))|~ Аст*ст), (2.6)

где А = ^(Т21 (0))J(Т12(0))| есть модуль произведения якобианов глобальных отображений Т21 и Т12, вычисленных (при ^1 = ^2 = 0) в гетероклинических точках М- и М+ соответственно. Таким образом,

А = |621 С21 ||й12^12 — 612 с121 = °-

ЪМ)

Рис. 2. Геометрическая структура отображения первого возвращения Ту

Поскольку (ст1 — 1)(ст2 — 1) < 0, то, очевидно, при различных г и ] модуль якобиана | J(Т))| может быть как меньше единицы, так и больше. Более того, даже при фиксированных подходящих целых г и ] модуль якобиана | J(Т))| может принимать произвольные положительные значения, включая 1, при варьировании, например, ст1 и ст2. Однако, удобно контролировать соответствующие изменения величины модуля якобиана с помощью нового параметра ^2. Его можно ввести, например, следующим образом. Рассмотрим функционал

V(/) = —

1псг2 1п 0\ ’

(_ми) д^2

и определим параметр ^2 таким образом, чтобы

/0, №(/о)=0.

дЯ-2

В частности, положим

№ = V (//) — V (/0)

(очевидно, что если взять непосредственно ^2 = ст1(//) — ст1(/0) или ^2 = ст2 — ст2(/0), то соотношения (2.8) будут выполнены). Нетрудно убедиться, что параметр ^2, заданный посредством (2.9), является эффективным управляющим параметром, изменение значений которого приводят к изменению значений | J(Т))|. Действительно, соотношения (2.6) в этом случае могут быть переписаны как

(2.7)

(2.8) (2.9)

1п|/(Т^)| . . 1п(т2 , 1пу1 . .( , ^ 1пА

1п ст1

1п ст1 1п ст1

1п ст1 ’

(2.10)

что показывает, во-первых, чувствительную зависимость ^| от ^2, и во-вторых, поскольку ^ > 0, неизбежность смены знака у 1п | J(Т))| при сколь угодно малых изменениях ^2 и подходящих г и ■] (например, таких, что рациональные числа хорошо аппроксимируют щ).

Следующая лемма показывает, что отображения Ту при всевозможных достаточно больших і и і допускают в соответствующих координатах некоторое стандартное представление в виде отображений, близких к отображению Эно.

Лемма 1. («Рескейлинг лемма»). Пусть (|ц1 < |ц21 < £) — достаточно малая

окрестность начала координат на плоскости параметров (ц, ц2) и пусть Ь > 1 — некоторое число. Тогда для всех достаточно больших і и і в существуют области параметров , накапливающиеся при і, і ^ то к отрезку /5(ц = 0, |ц21 < £) оси ц2, такие, что при (ц1, ц2) є отображение Ту (ц1, ц2) может быть записано в некоторых координатах (X, У) в одном из следующих видов, в зависимости от значения | Т(Ту)|.

1) Если |/(Ту )| ^ Ь, то для Ту имеет место представление:

В указанных формулах Д1 = а12^12 — 612С12 и многоточиями обозначены асимптотически малые при г, ^ ^ то коэффициенты. Также новые координаты (X, У) и параметры М1, М1 могут принимать при больших г и ^ значения, которые в пределе, г, ^ ^ +то, покрывают все конечные величины (по конструкции, значения параметров М2 и М2 покрывают в пределе либо интервал (0, Т] — в ориентируемом случае, либо интервал [—Т, 0) — в неориентируемом).

Замечание 1. Оба отображения, (2.11) и (2.16), асимптотически Сг-2-близки к стандартному отображению Эно. Однако, в случае отображения (2.11) мы вычисляем также два малых члена ЙА^А^,ХУ и У3, поскольку они существенно влияют на

динамику при значениях параметра М2, близких к +1 или —1. В отображении (2.16) соответствующие члены не представлены явно, поскольку, по соглашению, здесь | М21 < 1.

Замечание 2. Как было показано выше, см. формулу (2.10), якобиан отображения Ту даже при фиксированных г и ] может существенно зависеть от ^2 и соответственно он может быть как больше, так и меньше единицы, на разных подинтервалах из

X = У,

У = М1 - М2 X - У2 + ЙАІА2 ХУ + д7Г*7- У3 + є у

(2.11)

где

М1 = ^12^21 Ц + (с21 Ж+ + ... )А2 - (^ + ... )71 * 712*72?

М2 = Ь>21 С21А1 (1 + ... )А17* А2т2 ,

(2.12)

(2.13)

(2.14)

||£у (Х,У,М1 ,М2 )УСг-2 = о(|7Г 72-' I + |А1 А2|). (2

2) Если | Т(Ту)| > Т, то (обратное к Ту) отображение Т-1 может быть записано в виде:

(2.15)

У = X, X = = М1 - М2 у - х2 + є у

(2.16)

где

(2.17)

М2 = - (621С21А1П1 (1 + ... )АГ7Г*АГУ72Г, І|є*у (.X ,У ,МЬМ2)УС г-2 = 0(А1 А2).

(2.18)

(2.19)

/5. В этом случае формулы (2.11) и (2.16) относятся к одному и тому же отображению Ту, но представленному для разных значений ц2: по условию, тех, где |/(Ту)| ^ Ь и | /(Ту )| > Ь соответственно.

Замечание 3. Для диссипативного случая (а1 < 1 и ст2 < 1), поскольку |/(Ту)| ^ 0 при і, і ^ то, из леммы 1 вытекает, что отображение первого возвращения Ту в некоторых рескейлинг-координатах будет асимптотически Сг Г2-близко к «отображению параболы»3:

X = У, У = М - У2

где М = -

ц + С21А2Х+ - 71 *Уі + ... ^21

Доказательство леммы 1. Очевидно, нам достаточно доказать только пункт 1) леммы. Действительно, пункт 2) в этом случае получается почти автоматически. Дело в том, что в случаях |Т(Ту )| > Т > 1 мы можем рассматривать диффеоморфизм /— 1 вместо /0, который будет также, очевидно, диффеоморфизмом с простейшим негрубым контуром смешанного типа. Поэтому для соответствующего представления отображения Ту1 получится формула, аналогичная (2.11), в которой, однако, уже нет нужды учитывать явно асимптотически малые члены. Соответственно, это приводит нас к представлению (2.16) для отображения Ту.

Зафиксируем некоторые достаточно большие г и ^. Согласно (2.4), для любой пары точек М(ж01 , у01) £ СТ01 и Т01М(ж11 ,у11) £ а*11 их координаты у01 и ж11 однозначно определяются, как Сг Г1-гладкие функции координат ж01 и у11. Поэтому мы можем использовать переменные (жо1 ,уи) в качестве координат на полоске СТ01. Аналогично, можно использовать переменные (ж02, у12) в качестве координат на полоске а02.

Тогда, в силу (2.4), (2.2) и (2.3), отображения Т^Т01 : (ж0Ьуп) ^ (Ж02,уц) и Т21 Т0у2 : (Ж02, у12) ^ (ж01, У11) могут быть представлены следующим образом

ж02 — ж+ = а12 А1ж01(1 + 7- *Р1* (ж01 ,Уи)) + 612^11 — У Г)+

+0(А1*ж01 + |А1ж01(У11 — У Г)| + (У11 — У Г)2)>

7-У У12 (1+ Ъ У Фу (ж02 ,У12 )) = С12 А1ж01(1 + 7- *Рн(ж01 ,Уп)) + ^12(У11 — УГ) +

+О(А2*ж01 + | А1ж01 (у11 — У ! )| + (у11 — У ! )2)

и _

ж01 — ж+ = а21 А2ж02 (1 + 7ГуРу (ж02,У12)) + &21 (У12 — УГ ) + ^02 (У12 — УГ)2 +

+0(А2У ж02 + |А2 ж02 (у12 — У2 )| + |(У12 — У2 )3|),

7Г*У11 (1 + 7Г*Ф1*(ж01 ,у 11)) = ^ + С21А1ж02 (1 + 7ГУ Л,1у (ж02,У12)) +

+^21 (У12 — УГ )2 + 1цА1ж02 (У12 — УГ )(1 + 72"У Фу (ж02, У12 )) +

+103 (у12 — у2 )3 + 0(А2у ж02 + |А2ж02(у12 — у2 )2| + (у12 — у2 )4).

Зґ

Отметим, что в [10] аналогичный результат был получен в предположении о возможности достаточно гладкой линеаризации седловых отображений Т01 и Т02. Мы видим, что это предположение является излишним, хотя в [10] утверждалось о его необходимости для осуществления рейскелинга.

В новых координатах (£, п), где

Ж01 - Ж+ = ^1 х02 - ж+ = ^2)

У11 - У Г = П1 У12 - УГ = П2.

(2.20)

эти отображения перепишутся, очевидно, следующим образом: Т12Т01 — как

€2 = Й12А1ж+(1 + ...) + Й12А1 (1 + ... )^1 + 612(1 + ... )П1 + ^ С^1, П1),

7ГУ (П2 + УГ )(1+ Ъ У Фу (^2 + ж+,П2 + УГ )) = С12 А1 ж+(1+ ... )+ (2.21)

+С12А1 (1+ ... )& + ^12 (1+ ... )п1 + ^2у (€ьп1);

и Т21Т02 — как

€ 1 = а21 А2ж+(1 + ... ) + а21 А2(1 + ... )^2 + 621 (1 + ... )п2 + 102 (1 + ... )п?2 + ^ (^2, П2),

7Г *(п 1 + У Г )(1 + 7Г *91г(^ 1 + ж+,п 1 + уГ ) = р + С21 А2ж+(1+ ...)+ (222)

+С21 А2(1 + ... )^2 + ^21 (1 + ... )п2 + 111 А2(1 + ... )^2^2 +

+гпж+А2(1+ ... )П2 +103 (1+ ... )п3 + ^4у (€2, П2);

где многоточиями в (2.21) и (2.22)обозначены асимптотически малые при г, ^ ^ то коэффициенты (независящие от € и п). Заметим, что при выводе формулы (2.21) мы учитывали, что А2* ^ А17г*, А2у ^ А^^Гу. Также мы выписали «остаточные члены»

(€1,П1) = °(|а17Г *|€2 + |А1 €1П1| + П2),

^ (€1>П1) = °(|а17Г %2 + |А1 €1П1| + П2),

^ (€2 ,П2) = 0(|А272 |€2 + |А2€2П2| + |п1|),

^ (€2,П2) = 0(|А272 |€2 + |А2€2П2| + |п41),

обозначения которых не будут меняться ниже по тексту (но указанные порядки малости будут сохраняться).

Подставим в левую часть второго уравнения из (2.21) выражение для €1 из первого уравнения системы (2.21); а также в левую часть второго уравнения из(2.22) — выражение для € 1 из первого уравнения системы (2.22). Далее, продифференцируем по п2 обе части полученного второго уравнения системы (2.22). Поскольку ^21 = 0, уравнение, полученное в результате дифференцирования, будет однозначно определять п2 как гладкую функцию переменных £2 и п 1:

П2 = ^(€2 ,_1) = 0(|717112 + |А2 |у).

Легко видеть, что если мы запишем схематично уравнения (2.21) и первое уравнение (2.22) в виде

6 = Р1(€1,П1), П1 = Р2(П2,€1), € 1 = Р3(€2 ,П2)

(мы можем это сделать, так как гі12 = 0), то система

П2 = ^(6,П1 )> 6 = Р1 (^1,П1), П1 = Р2(П2 ,£1), £1 = Рз(£2 ,П2),

будет иметь единственное решение (£*,£*, п*, п2), где

£*,п* = 0(|71 711 * + |А2|у), £*,п * = 0(|721- у + |А 1 Iі).

По конструкции, следующий сдвиг начала координат:

£Г™ = а - £2, пГ™ = п 1 - п*, £Геад = 6 - £2, пГ™ = П2 - п2,

приводит систему (2.21) и (2.22) к виду

£2 = а 12А1 (1+ ... )£1 + 612(1+ ... )п1 + ^у (£ 1, п 1), 7Гу (п2 + 7Гу Л2(£1,пьп2)) = С 12 А1 (1+ ... )£1 + й 2 (1+ ... )Щ + V#

(2.23)

(2.24)

£ 1 = а21 А2(1 + ... )€2 + 621 (1 + ... )п2 + 102(1 + ... )п2, +^

7Г *(_1 + 7Г гЛ1(€2,П2, _ 1)) = [Р + С21 А2ж+ — 7Г *УГ + ... ] +

+С21 А2(1 + ... )€2 + ^21 (1 + ... )п2 + 111А2(1 + ... )€2п2 +

+/03(1 + ... )п2 + ^ (€2,п2),

соответственно, где функции Л1;2 — равномерно ограничены при г, ^ ^ +то вместе со своими производными, и

^1 (€2, П2, 0) = 0, Л2(€1,П1, 0) = 0;

_ , . _ \ . (2.25)

&1 = п 1 (А20(€2) + 0(|п 1| + |П2о) , ^2 = П2 (А10(€1) + 0(|П2| + |П10) .

При этом заметим, свободные члены, как в уравнениях в (2.23), так и в первом уравнении из (2.24), отсутствуют, также как нет линейных членов по п2 во втором уравнении из (2.24). Кроме того, все свободные члены во втором уравнении из (2.24) заключены в квадратные скобки. Очевидно, что мы можем ввести новую координату

>Г" = 41 + 0 ьащ +...)й+о(аьг‘й. л;&ч1)]

таким образом, что правая часть второго уравнения системы (2.23) не будет зависеть от € 1, а сама система примет следующий вид

6 = ^-А1(1+ •• 06+ 612(1+ ...)т + 'Ф13{£,1,гц),

°12 (2.26)

72Г2 (П2 + 7Г2 М£ъП1 ,П2)) = Й12П1 + 0(П12 ),

и

где Д1 = (а12гі12 - 612с12) — это якобиан отображения Т12, вычисленный в точке М1 . При этом, система (2.24) перепишется в виде

£ 1 = а21 А2(1+ ... )£2 + 621 (1+ ... )п2 + І02 (1 + ... )пі + ^ (£2, п1),

7Г і(=1 + 7Г гЛ1(£2,п2, = 1)) = [^ + С21А2Х+ - 7Г * УГ + ... ]+

(2.27)

+С21А2(1 + • • • )£2 + “Т^"621 (1 + . . . )7і г\\ї]2 + С?21 (1 + • • • )^?2 +

«12

+111А2 (1+ ... )£2п2 + ^03 (1+ ... )п3 + ^ (£2,п1 )п2)

с некоторыми новыми функциями Л1 и Л2, которые удовлетворяют (2.25).

Рассмотрим второе уравнение системы (2.26) при £1 = 0. При больших і оно однозначно определяет п1 как функцию п2:

VI = , (л 1----+ 0{\ъъ\~г)-

«12(1 + ...)

Обозначим через 5(£1,п1) правую часть первого уравнения из (2.26). Введем новую координату

£Г™ = £2 - 5 (0, Ф(п2)).

Тогда (новая) £2 будет зануляться при £1 = 0. Таким образом, после этой замены координат, уравнения (2.26) и (2.27) примут вид

72 3 (п2 + 72 3 М£1 ,п1>п2 )) = «12 п1 + 0(пі2 );

£ 1 = а21 А2(1 + ... )£2 + 621 (1 + ... )п2 + ^02(1 + ... )п2 + ^3 (£2> п2),

7Г *(=1 + 7Г *^1(£2 ,п2, = 1)) = [^ + С21А2Х+ - 7Г *УГ + ...]

+с21 А2 (1 + ... )£2 + Р*3 п2 + «21 (1 + ... )п2 +

(2.28)

(2.29)

+111А2(1 + ... )£2п2 + 103(1 + ... )п3 + ^4 (£2, п2),

где Ру = °(|7Г*А1| + |72_у А2|).

Теперь, как мы делали раньше, снова сдвинем координаты €1, €2, п1 и п2 на некоторые малые

величины порядков 0(|7Г^| + |7Гуа2|), 0(|7Г*А?*| + |7ГуА2А1 ^ °(|7Г*АІ72"21 + |7Г 2уА2|) и 0(|7Г * А1|

+ |72 у А21) соответственно так, чтобы в последнем уравнении из (2.29) отсутствовал линейный по п2 член, а в остальных отсутствовали свободные члены.

Теперь мы перемасштабируем координаты

€1 = а1и1 П1 = €2 = а2и2 П2 = в2 ^2,

где

7Г*72~ 2у 7Г ^Г3'

А = -^НН1 + ...); /?2 = -тЬг-(1+•••);

«21«12 «21 «12

_ Ъ21Ъ'Ъ3 ,л , ^ _ А1Ь21\\ъгЪ3 п ^

1 — —тг~й—( +•••); а2 —-------------—-------(1 + • • • )•

«21«12 «21«12

Тогда уравнения (2.28) и (2.29) перепишутся следующим образом (здесь мы учитываем, что Н1 = 0(_1), Н2 = 0(П2)):

П2 = «1 + 0(7і *72 3 7і г«2,7і *72 23 «1 «1),

«2 + °(7Г3 7Г г72Г 3 NN + N1 + |7Г3 «1|)) = «1 + °(7Г г7Г 23 «і);

(2.30)

+0(А2г|А2 7ГгтГ3 7Г3|«2 + |тГ гтГ3 А1 а2«2«2 | + 7Г 2г7Г 23 |с-213),

V 1 + 0(7Г37Г г7Г3| =11(|^21 + |72|ГV 1 + |А 1 «21)) = М1 - М2«2 - г)2- (2.31)

1 1 162 1Д 1 лілІ/і , , ^03 -* -3/, I Л.т-,3

где

«21 «12 «21 «12

+0(А2г|А27Г |и2 + |7Г г72Г 3 А1 а2«2|«| + 7Г 2г 72г 23 «2);

М2 = —621с21 (а12«12 - 612с12)(1 + ... )А17і *А272 3 ,

М1 = -

р + С21А2Х+ - 7і *Уі + ... «22«217і2г72

Подставим значения для и2 и г>2, заданные формулами (2.30), в правую часть системы (2.31). Тогда отображение Ту перепишется в следующем виде

иі — ^12 АіА2иі + ^і(1 + ...) - ^12^2152171 *72 Зг,і + °(І7і *72 3| + іаіа2і)>

=1 = М1(1+ ...) - М2 (1+ ... )«1 - «2(1+ ...)- (2.32)

^^А^щг-і + -^~Ъ1Ъ1у1 + °(І7Г*72"31 + 1А1А21)-«21«12 «21 «12

Заменой координат

«21 Аі «12

и = щ, V = Щ=±\\\32(1 + ... )пі + г>ь

мы зануляем линейный по и1 член в правой части первого уравнения. Соответственно, отображение (2.32) приводится к виду

и = У(1+...)- (кХ1Ъ2ЪгЪ]У2 + °(\ъгъ3\ + \К4\),

V = М1{1+ ...)-М2( 1+ ...)и+ Ц^\\\{у-У2{1+ ...)- (2.33)

«12

_ АіЛ.іЛ|ГЛ/++<,{\ъ‘ъЧ + ічаіі).

«21 «12 «21 «12

Новый линейный по V член во втором уравнении может быть немедленно уничтожен посредством малого сдвига координат на константу порядка О (А1А2). Тогда после дополнительного перемасштабирования координат вида и = игаеад(1 + ...), V = РГеад(1 + ...), система (2.33) приводится к следующему виду

и = V - 517Г V V2 + о(|7Г*Т2Г| + |А1А21),

1 2|

V = М1 - М2и - V2 - ЗДА2UV + 53ТГЧ'3 V3 + о(|^Гг7^ | + |А1 АЦ

где

1цЪ2іАі _ 2^2іДі «21«12 «12

Бз — ^03

«21 «12

Р + С21А2Х+ - 7! гУ! + ... «12«217і2гТ23 .

(2.34)

МГе™ = -621С21Д1А17*А272(1 + ...), (2.35)

Далее, преобразование координат вида

X = и - 517ГЧГ3(V - М1),

Г = V + 517Г V М2и + о(7Г г7Г3),

приводит систему (2.34) к X = г,

Г = М1 (1 + 517Гг72Г3М2) - М2X - Г2 + 53Г3+ (2.36)

+(2517Г VМ2 - ЗД А2)ХГ + о(|7Гг72Г| + |А1А21),

где, согласно (2.35),

32Х\Х32 — 25'і71 *7г 3^2 = ^^— [2а2і«21 — 2/02С21 — іцбгі] А|А^(1 + ...),

Теперь полученные уравнения совпадают с (2.11). Лемма доказана.

3. Бифуркации неподвижных точек обобщенного отображения Эно

Лемма 1 дает определенный стандартный путь изучения бифуркаций однообходных периодических траекторий в семействе /МЬМ2. Именно, зная соотношения (2.12) и (2.13) между исходными параметрами (^1 ,^2) и рескейлинг-параметрами (М1 ,М2), нам достаточно исследовать бифуркации неподвижных точек отображения (2.11) и затем «спроектировать» их на исходные отображения первого возвращения Ту (при всевозможных достаточно больших г и ]).

Рассмотрим двумерное отображение следующего вида

X = У , У = М1 - М2Х - У2 + КХУ + <5У3. (3.1)

Оно называется обобщенным отображением Эно и было введено в [12, 1], как нормальная форма отображений первого возвращения в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклини-ческим касанием при а = 1. Если положить в (3.1) К = КА1А^ и 5 = 57Г*72у, то отображение (3.1) будет отличаться от (2.11) только лишь отсутствием членов еу, которые не являются существенными [12], если К = 0 и г ^ 5. Последнее требование означает, по лемме 1, что отображение (3.1) по крайней мере С3-близко к исходному отображению (2.11), и эта близость вполне достаточна (при больших г и ^) для целей исследования бифуркаций. Однако, существенным моментом здесь является то, что К = 0 (соответственно К = 0). Действительно, в противном случае отображение (3.1) будет иметь вид

X = У , У = М1 - М2Х - У2 + 5У3. (3.2)

Это отображение (отображение Эно с малым консервативным членом) имеет постоянный якобиан J = М2 и, следовательно, демонстрирует вырожденные бифуркации точек с мультипликаторами е±*^. Это уже не так, если К = 0. Бифуркации неподвижных точек отображения (3.1) в случае, когда коэффициенты К и 5 малы, были изучены в в [12, 1] — в основном, для случая М2 > 0. Случай произвольных К, 5 и М2 анализировался в [13]. Здесь мы приведем некоторые наиболее важные результаты, чтобы использовать их в дальнейшем.

На плоскости параметров (М1;М2) обобщенное отображение Эно (3.1) имеет три бифуркационные кривые, отвечающие существованию негрубых неподвижных точек, — это кривые Ь+,Ь 2 и Ь1^. Отображение (3.1) имеет неподвижную точку с мультипликатором +1 при (М1 ,М2) е Ь+; с мультипликатором -1 при (М1;М2) £ Ь2; и с мультипликаторами е±*^ («сложный фокус») при (М1, М2) £ Ь^, где 0 < ^> < п. Уравнения этих кривых имеют следующий вид

Ь+: М1 = -(1+4М2)2(1 + 0(Д)),

1~ '■ М\ = 3(1+4М2)2(1 + 0{Щ) , (3.3)

М1 = (сов2^ - 2 008 ^)(1 + О(К)) , М2 = 1 - КА1А2 С08 ^(1 + 0(|К| + |<51)) .

Заметим, что уравнение кривой Ь^ представлено в параметрическом виде (где параметром является угловой аргумент ^, 0 < ^ < п, мультипликатора «сложного фокуса»).

Рис. 3. Элементы бифуркационной диаграммы для обобщенного Эно в полуплоскости М2 > 0 в случае Д < 0.

Для первой ляпуновской величины4 сложного фокуса при (М1, М2) £ имеет место следующая формула [12]

Я

«1 =

16(1 — 008 ^)

(1 + 0(|Я| + |<э |)).

(3.4)

Это означает, что в случае Я < 0 при пересечении кривой из сложного фокуса рождается устойчивая замкнутая инвариантная кривая (см. рис. 3). Случай Я > 0 отвечает соответственно рождению неустойчивой инвариантной кривой.

На полуплоскости М2 > 0 можно также указать четыре бифуркационные точки, В ++, В ,

В2п/3 и Вп/2 такие, что отображение (3.1) имеет неподвижную точку с мультипликаторами, соответственно, VI = v2 = +1, v1 = ^ = —1, V1,2 = е±г2п/3 и V1,2 = е±т/2. Первые три точки являются невырожденными (в смысле [17]), если Д = 0. Неподвижная точка с мультипликаторами v1,2 = е±т/2 будет невырожденной, если Д = 0 и Д = 2^ [13].

Особый интерес для нас представляет бифуркационная точка В .Дело в том, что в её малой окрестности, в случае Д = 0, есть области параметров М1 и М2, где устойчивая и неустойчивая замкнутые инвариантные кривые сосуществуют. На рис. 4 представлена бифуркационная диаграмма для потоковой локальной нормальной формы (так называемая нормальная форма Хорозова-Такенса [23, 9]) в случае Д < 0. Здесь устойчивый и неустойчивый предельный циклы сосуществуют при значениях параметров М1 и М2 из областей «4» и «5» (закрашеные области на рис. 4), окружающих точку В . В случае Д > 0 нормальная форма Хорозова—Такенса получается из предыдущей посредством обращения времени (конечно, и в этом случае также существуют области параметров, где одновременно система имеет как и устойчивый, так и неустойчивый предельный циклы). Можно показать, что в «4» и «5» существуют «подобласти» вблизи

4Заметим, что двумерное отображение вблизи неподвижной точки с мультипликаторами в±1^, где 0 < ф < п и ф = п/2, 2п/3, может быть приведено к локальной нормальной форме вида

ТО :

вг^ (то + С21ТО2ТО*) + 0(|то|4),

где то и то* — комплексные координаты (то* сопряжено с то). Тогда первая ляпуновская величина С1 определяется как Сг1 = йв^21.

Рис. 4. Элементы бифуркационной диаграммы вблизи точки Е~

точки В такие, что при соответствующих значениях параметров уже отображение (3.1) имеет одновременно как устойчивую, так и неустойчивую инвариантную кривые. Будем обозначать эти области как Бзис.

Таким образом, для обобщенного отображения Эно при условии К = 0 мы всегда можем найти на полуплоскости М2 > 0 параметров (М1 ,М2) три области Б3, Ви и Бзис такие, что отображение имеет устойчивую неподвижную точку при (М1, М2) £ Б3, вполне неустойчивую неподвижную точку при (М1, М2) £ Би, а также устойчивую и неустойчивую инвариантные кривые при (М1 ,М2) £ Бзис.

4. О структуре бифуркационного множества однообходных периодических траекторий в семействе f^1^2

Теперь мы можем воспроизвести основные элементы бифуркационной однообходных периодических траекторий семейства //1/2. Для этого будем использовать формулы (2.12) и (2.13), связывающие исходные параметры (^1;^2) с рескейлинг-параметрами (М1,М2) отображения (3.1), а также учтём, что

К = КА1А2, < = (4.1)

в случае отображения Ту. Таким путём мы можем спроектировать бифуркационные кривые Ь+, Ь- и , см. формулу (3.3), заданные на плоскости параметров (М1, М2), на соответствующие кривые Ь+, Ь- и Ь, определенные уже на плоскости исходных параметров (р1; р2). Отметим, что, по построению, неподвижная точка отображения (2.11) отвечает однообходной периодической траектории периода (г+] + п1 + п2)) диффеоморфизма //1/2, а замкнутая инвариантная кривая отображения (2.11) соответствует периодической замкнутой кривой Су, состоящей из (г+^+п1 +п2) компонент связности: пусть С» = Су Пст»1 — компонента связности кривой Су, принадлежащая полоске ст»1, тогда инвариантность кривой Су означает, что ///+,/+”'1+”'2 (С») = = Ту (С».) = С».

Рассмотрим сначала случай диффеоморфизма /0, у которого оба глобальных отображения Т12 и Т21 одновременно ориентируемые или неориентируемые. В этом случае, очевидно, для счетного множества г и ] отображения первого возвращения Ту будут также ориентируемыми. По лемме 1, у рескейлинг-формы (2.11) (или (2.16)) таких отображений будет М2 > 0 (или М2 > 0), и здесь имеет место следующая лемма.

Лемма 2. На Б$ существуют счетное множество бифуркационных кривых Ьу, Ьу и Ьу. При этом,

1) кривые Ьу и Ьу накапливаются к отрезку 1$ при г, ] ^ то;

2) кривые Ьу накапливаются к точкам отрезка 1$ так, что для любой точки (0, ^2) £ 1$ существуют последовательности {гп(^2)1 и {.?п(р2)} целых чисел такие, что соответствующие им кривые Ь^у накапливаются к точке (0, ^2) при гп ^ то и ]п ^ то.

Доказательство.

Установим сначала соотношения между параметрами М2 и ^2 (а также М2 и ^2). Поскольку М2 > 0 (М2 > 0), из (2.13) (соответственно из (2.18)) имеем, что

М2 = Аст^;а) , (М2 = Асту*сту), (4.2)

где А = |&21 С21 А1(1+ ... )|, А = |&21 С21А11—1 (1 + ...), <71 = |Аг7г|, 1 = 1,2, и многоточиями обозначены коэффициенты, асимптотически малые при г, ^ ^ то. В этом случае М2 > 0. Учитывая

(2.7) и (2.8), соотношения (4.2) можно переписать в виде

М2 = АстГЯ"0+/2) , (4 3)

М2 = Асту(*у>0+/2)) , (.)

Заметим, что уравнения (3.3) определяют также бифуркационные кривые Ь + и Ьу отображения (2.11) или соответственно (2.16) (на плоскости параметров (М1, М2)) с точностью до асимптотически малых при г, ] ^ то членов. Тогда, учитывая соотношения (4.3),(2.12) и (2.17), мы можем записать уравнения кривых Ь+ и Ьу, в исходных параметрах (р1; р2), в следующем виде

ЬЦ 1‘ 1 = Ті ’Уі - С21 ^2Х2 + Н--------------------------------------------------77^,-—Ъ Ъ

4^12 ^21

г- - и + , эд + Аг^^’ЖЦ....)

ьа : № = Ъ У\ - С2іЛ72ж+ + Гу---------—2—-----------71 72 7

4«12Й21

(4.4)

где Гу = о(|А2і + І7Г*І). Эти кривые определены на при всех достаточно больших і и і и, очевидно, при і, і ^ то накапливаются к отрезку 1§(^1) = 0, |р21 ^ 5 оси р2.

Что касается кривых Ту, то они для некоторых і и і могут не принадлежать Б§. Действительно, формулы (4.3) и (3.3) показывают, что выполнены следующие соотношения для параметра р2 на кривой ТЦ

1 - ЯАІА2 = ЛтУ0+№) .

Отсюда находим, что . , .

№ = ^ “ ио + . о_1 + 0(\\\32) (4.5)

Так как |р2| < 5, то равенство (4.5) может быть выполнено только лишь для таких і и і, для которых

| — щ | < $

Последнее неравенство имеет бесконечно много целочисленных решений в г и ] для любого £. Это значит, что в 5$ содержится счетное множество кривых Ьу. Более того, из формулы (4.5) следует, что каждая точка (0,^2) £ 5$ является предельной для множества кривых Ьу. Действительно, пусть гп и ^п будут целочисленными последовательностями, такими, что гп/?п будет стремиться к (^2 + ^о). Тогда из (4.5) следует, что кривые Ь^у накапливаются к точке (0,^2) при п ^ то. Это завершает доказательство леммы 2.

Формулы (2.12) и (2.13) позволяют нам построить на плоскости параметров (^ 1, ^2) не только бифуркационные кривые Ь+, Ьу и Ьу для достаточно больших г и ^, но также и соответствующие области Бу, Бу и Буис. Здесь, например, Б|уис с 5$ — область, при значениях параметров (^1 ,^2) из которой диффеоморфизм //1/2 имеет одновременно устойчивую и неустойчивую периодические инвариантные кривые. Как мы определили область Буис, она прилегает к точке Ву- £ Ьу. Из леммы 2 непосредственно вытекает, что в 5$ имеется бесконечно много областей Буис, и, в частности, верно следующее утверждение.

Лемма 3. На плоскости параметров (рьр2) в любой окрестности начала координат существует счетное множество областей Буис, накапливающихся к (0,0) при г ^ то и ] ^ то таких, что диффеоморфизм //ь/2 имеет при (р1; р2) £ Буис устойчивую и неустойчивую периодические замкнутые инвариантные кривые.

Лемма 3 верна и в том случае, когда у диффеоморфизма /0 ровно одно из глобальных отображений, Т12 или Т21, является неориентируемым. При этом, если хотя бы одна из седловых неподвижных точек, 01 или 02, имеет один отрицательный и один положительный мультипликатор, то мы выберем числа г и ] подходящей четности. В оставшихся случаях (ровно одно из отображений Т12 или Т21 имеет отрицательный якобиан, и мультипликаторы точек 01 и 02 одного знака), используя конструкцию из [6], мы находим в семействе /М1 последовательности или ^пто значений параметра р1 такие, что соответствующий диффеоморфизм /М1 имеет негрубый гетероклинический контур (смешанного типа) либо а) с ориентируемым двухобходными глобальным отображением Т21 = Т21 Т»2Т12Т01Т21 ; либо б) с ориентируемым двухобходными глобальным отображением Т12 = Т12Т(п1 Т21 Т^Т^. Очевидно, что лемма 3 будет верна и в этом случае.

5. Доказательство основной теоремы

Пусть диффеоморфизм д имеет гетероклинический контур, который содержит грубые сед-ловые периодические траектории Р1,..., Рп и гетероклинические орбиты Ги+1, Гп1 такие, что Гй+1 с Ши(Р*) П (Р*+1) , Гп1 с Ши(Рп) П (Р1) , г = 1,..., п — 1. Без ограничения общности, мы можем предположить, что все указанные пересечения трансверсальны и только одно из них нетрансверсально, например, пусть многообразия Ши(Рп) и Ш 3(Р1) касаются. Более того, мы можем считать, что Ши(Рп) и (Р1) касаются в точках гетероклинической траектории

Гп1 квадратичным образом. Пусть данный контур будет контуром смешанного типа. Покажем, что в этом случае вблизи д существует диффеоморфизм с простейшим негрубым гетероклиниче-ским контуром смешанного типа.

Пусть д — некоторое целое число такое, что точки периодических траекторий Р1,..., Рп являются неподвижными точками отображения д9 . Выберем по одной из точек, 0*, г = 1,..., п , из каждой траектории Р* и рассмотрим для отображения д гетероклинический контур, состоящий из неподвижных точек 01,..., 0п и гетероклинических траекторий Г^+1 с Г^+1 , Гп1 с Гп1 (точки траекторий Г^+1 диффеоморфизма д9 — это соответствующие точки траекторий Г**+1, взятые через д итераций д). Тогда, по построению, диффеоморфизм д9 имеет гетероклинический контур такой, что траектории Г^+1, г = 1,..., п — 1, являются грубыми (многообразия Ши(0*)

и Шу(0* + 1) пересекаются трансверсально в точках траекторий Г**+1), а траектория Гп1 — негрубая: в её точках многообразия Ши(0п) и Шу(01) имеют квадратичное касание.

По условию теоремы, седловые величины по крайней мере двух точек из множества {01 ,...,0п} расположены по разные стороны от единицы. Рассмотрим случай, когда этими точками являются 01 и 0п . Так как пересечение многообразий Ши(0*) и Шу(0* + 1) , г = = 1,... ,п — 1, трансверсально, то в силу Сг-А-леммы найдется гетероклиническая траектория Г1п , Г1п с и, в точках которой будут трансверсально пересекаться многообразия Ши(01) и Шу(0п). Таким образом, контур С = {01, 0п, Г1п, Гп1} является, по построению, простейшим негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа.

Теперь рассмотрим случай, когда седловые величины точек 01 и 0у , ] £ {2,..., п — 1} , лежат по разные стороны от единицы. Выберем сначала некоторую грубую гетероклиническую траекторию Гу с и, в точках которой которой трансверсально пересекаются Ши(01) и Шу(0у). Пусть М+ £ Ш13)С(01) П Ши(0п) — некоторая точка траектории Гп1, и пусть П+ — её некоторая малая окрестность. Обозначим через компоненту связности множества Ши(0п) П п+, содержащую точку М+ . Как вытекает опять из Сг-А-леммы, к кривой будут накапливаться (в Сг-топологии) кривые из множества Ши(0у) П П+. Таким образом, мы можем расщепить исходное гетероклиническое касание так, что некоторая кривая тк (с большим к) будет квадратично касаться отрезка Шгу)с(01) П П+ . Соответственно, новый диффеоморфизм д9 будет иметь имеет негрубую гетероклиническую траекторию Гук, в точках которой квадратично касаются многообразия Ши(0у) и Шу(01). Таким образом, контур С = {01, 0у, Г1у, Гуп} является, по построению, простейшим негрубым гетероклиническим контуром смешанного типа.

Теперь наши результаты, полученные в параграфах 2—4, могут быть применены к областям Ньюхауса с гетероклиническими касаниями. Существование таких областей было установлено в [6]. Здесь мы только отметим следующее характеристическое свойство этих областей, обозначим их через А*, на котором будет основано доказательство.

В А* плотны диффеоморфизмы с простейшими негрубыми гетероклиническими контурами, содержащими неподвижные точки 01 и 02, близкие к точкам 01 и 02 исходного контура.

Теперь основная теорема легко вытекает из наших результатов при помощи процедуры вложенных областей. Действительно, пусть д0 £ А*. Выберем сколь угодно близкий к д0 диффеоморфизм д1 £ А*, который имеет простейший негрубый гетероклинический контур смешанного типа. Согласно лемме 3, в любой окрестности диффеоморфизм д1 существует область ^1 с А* такая, что любой диффеоморфизм из ^1 имеет устойчивую и неустойчивую инвариантные кривые. Далее, находим внутри ^1 новый диффеоморфизм д2, который имеет простейший негрубый гетероклинический контур смешанного типа. Опять по лемме 3, существует окрестность V2 с ^1 такая, что любой диффеоморфизм из v2 имеет уже две устойчивых и две неустойчивых инвариантных замкнутых кривых, и т.д. Таким образом, получаем последовательность вложенных областей

V! Э ^2 Э ... ^ Э ... (5.1)

таких, что любой диффеоморфизм из ^ имеет одновременно п устойчивых и п вполне неустойчивых инвариантных замкнутых кривых. Это завершает доказательство теоремы.

Замечание 4. Бесконечная последовательность (5.1) может быть дополнена вложенными областями, отвечающими существованию устойчивых, вполне неустойчивых и седловых периодических траекторий. Таким образом, получаем, что в областях А* плотны диффеоморфизмы, которые имеют одновременно бесконечное множество

устойчивых, вполне неустойчивых и седловых периодических траекторий, а также устойчивых и вполне неустойчивых замкнутых инвариантных кривых. Заметим, что такие диффеоморфизмы будут образовывать в Д* множество второй категории, поскольку оно определяется процедурой счетного пересечения открытых и всюду плотных множеств.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке грантов РФФИ 04-01-00487 и 05-01-00558, гранта Президента России по поддержке ведущих научных школ No.9686.2006.1, а также гранта CRDF No. RU-M1-2583-MO-04. Авторы благодарят Д.В.Тураева за полезные замечания.

Список литературы

[1] Гонченко С. В., Гонченко В. С. О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями // Труды МИАН, 2004, т. 244, с. 84-114.

[2] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Гомоклинические касания произвольного порядка в областях Ньюхауса // Proc. of Int. Conf., dedicated to 90-th Anniversary of L. S.Pontryagin (August, 31 - September, 6, 1998, Moscow), V 6 ’’Dynamical systems“ (в кн. “Итоги науки и техники, современная математика и ее приложения; тематические обзоры”, 1999, т. 67, с. 69— 128.)

[3] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Динамические явления в многомерных системах с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, т. 330, №2, с. 144— 147.

[4] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О моделях с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре //ДАН СССР, 1991, т. 320, №2, с. 269—272.

[5] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. О существовании областей Ньюхауса вблизи систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре (многомерный случай) // Докл. Росс. Акад. Наук, 1993, т. 329, №4, с. 404—407.

[6] Гонченко С. В., Тураев Д. В., Шильников Л. П. Об областях Ньюхауса двумерных диффеоморфизмов, близких к диффеоморфизму с негрубым гетероклиническим контуром // Труды МИАН, 1997, т. 216, с. 76—125.

[7] Гонченко С. В., Шильников Л.П. О модулях систем с негрубой гомоклинической кривой Пуанкаре // Известия Росс. Акад. Наук. Серия математическая, 1992, т. 56, №6, с. 1165—1197.

[8] Гонченко С. В., Шильников Л.П. Об инвариантах 0,-сопряженности диффеоморфизмов с негрубой гомоклинической траекторией // Укр. мат. журнал, 1990, т. 42, №2, с. 153—159.

[9] Хорозов Е. И. Версальные деформации эквивариантных векторных полей для случаев симметрии порядка 2 и3 // Труды семинаров им. И. Г. Петровского, 1979, вып. 5, с. 163—192.

[10] Colli E. Infinitely many coexisting strange attractors // Ann. Inst. Poincare, 1998, V. 15, №5, p. 539— 579.

[11] Gonchenko M.S. On the structure of 1:4 resonances in Henon maps // Int. J. Bifurcation and Chaos, 2005, V. 15, №11.

[12] Gonchenko S.V, Gonchenko VS. On Andronov-Hopf bifurcations of two-dimensional diffeomorphisms with homoclinic tangencies // Preprint No 556, WIAS, Berlin, 2000.

[13] Gonchenko V Kuznetsov Y., Meijer H. Generalized Henon map and bifurcations of homoclinic tangencies // SIAM Journal on Appl. Dyn. Sys., 2005, V. 4, p. 407—436.

[14] Gonchenko S. V, ShilnikovL. P., Stenkin O. V On Newhouse regions with infinitely many stable and unstable invariant tori. Proceedings of the Int. Conf. “Progress in Nonlinear Scienc”, dedicated to 100th Anniversary of A. A. Andronov (July 2-6), V 1 “Mathematical Problems of Nonlinear Dynamics” // Nizhni Novgorod, 2002, p. 80—102.

[15] Gonchenko S. V., Shilnikov L. P., Turaev D. V. Dynamical Phenomena in Systems with Structurally Unstable Poincare Homoclinic Orbits // Chaos, 1996, V 6, №1, p. 15—31.

[16] Gonchenko S.V, Shilnikov L. P., Turaev D.V On Models with non-Rough Poincare Homoclinic Curves // Physica D, V 62, №1—4, p. 1 — 14.

[17] Kuznetsov Y. A. Elements of Applied Bifurcation Theory // New York: Springer-Verlag, 1995.

[18] Lamb J. S. W., Stenkin O. V Newhouse regions for reversible systems with infinitely many stable, unstable and elliptic periodic orbits // Nonlinearity, 2004, V. 17, p. 1217—1244.

[19] Newhouse S. E. Diffeomorphisms with infinitely many sinks // Topology, 1974, V. 13, p. 9—18.

[20] Newhouse S.E. The abundance of wild hyperbolic sets and non-smooth stable sets for diffeomorphisms // Publ. Math. IHES., 1979, V. 50, p. 101—151.

[21] Palis J., Viana M. High dimension diffeomorphisms displaying infinitely many sinks // Ann.Math.,

1994, V 140, p. 207-250.

[22] Romero N. Persistence of homoclinic tangencies in higher dimensions // Ergod. Th. & Dynam. Sys.,

1995, V. 15, p. 735-757.

[23] Takens F. Forced Oscillations and Bifurcations // Comm. Math. Inst. Rijksuniv. Utrecht, 1974, V. 2, p. 1 -111.