CC BY
13
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-717-725 УДК 517.977
О СУЩЕСТВОВАНИИ НЕУПРЕЖДАЮЩЕГО СЕЛЕКТОРА НЕУПРЕЖДАЮЩЕГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
©Д. А. Серков1'2', А. Г. Ченцов1 '2>
ФГБУН «Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук» 62990. Российская Федерация, г. Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16 3' ФГАОУ ВО «Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина» 620002, Российская Федерация, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19 Е-таЛ: [email protected], serkovSimm.uraii.ru
Аннотация. В работе изучаются условия, при которых многозначное отображение имеет неупреждающий селектор: в случае неупредаемости, порожденной линейно упорядоченным по включению семейством, показано, что у многозначного неупреждающего отображения со свойствами непустоты и компактности множеств-значений существует неупреждающий (однозначный) селектор. Ключевые слова: многозначное отображение; неупреждающий селектор
Введение
Свойство неупреждаемости играет важную роль в теории дифференциальных игр в связи с построением идеализированных разрешающих стратегий. В ранних работах идеализированные стратегии — квазистратсгии — определялись в виде операторов на функциональных пространствах управлений или траекторий со свойством физической осуществимости или неупреждаемости (см. [1-4] и др.). С другой стороны, в некоторых конструкциях, приводящих к неподвижным точкам операторов программного поглощения [5], естественным образом возникают нсупреждающис многозначные отображения (МО) и, как следствие, многозначные квазистратегии. Вопрос о селекции МО с сохранением свойства неупреждаемости для отображений на пространствах обобщенных управлений рассматривался в [6], где существенно использовалась специфика управлений-
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-00410).
В настоящей работе изучается вариант достаточно общей постановки такого рода: в случае неупреждаемости, порожденной линейно упорядоченным по включению семейством, показано, что неупреждающее МО со свойствами непустозначности и компактности множеств-значений имеет (однозначный) неупреждающий селектор.
1. Определения
Используется стандартная теоретико-множественная символика (кванторы, связки, 0 — пустое множество); = — равенство по определению. Принимаем аксиому выбора. Семейством называем множество, все элементы которого — множества.
Пусть X = 0 и ^е Р(Х х X) — отношение (нестрогого) частичного порядка на X. Назовем пару (X, ^) частично упорядоченным множеством (ЧУМ). Всякое линейно упорядоченное подмножество ЧУМ назовем цепью.
Фиксируем непустые множества Т, X и У, а также непустые множества Т е Р(Р(Т)), п е Р(Ут) и X е Р(Xх).
Определим неупреждаемость элементов а е Р(Х)п, в е Xп в виде требований, соответственно:
((^11 А) = Ш| А)) ^ ((аМ | А) = (а(и2) | А)) Ушъш2 е П,УА еТ, (1) (Ш1 А) = (и21 А)) ^ ((вы I А) = (в М I А)) Уш1,ш2 е У А е Т. (2)
Обозначим N подмножество всех неупреждающих МО из Р(Х)п.
Пусть Н е Р(Ы) и а е Р(Х)п. Определим подмножества из Xй :
и°н = а е XQ I Уш, Ш е Н У А е Т ((ш I А) = (Ш | А)) ^ ((! (ш) | А) = (! (Ш) | А))}, (3)
п0н [а] = Щ аШ П ПН. (4)
Иными словами, пН — множество всех неупреждающих на Н отображений из Xп, в (4) определяются (однозначные) неупреждающие на Н селекторы заданного МО а и, наконец, п^[а] есть множество всех неупреждающих селекторов МО а. Заметим, что в приложениях семейство Т , как правило, предполагается линейно упорядоченным в ЧУМ (Р(Т), С).
Пусть на множестве X введена топология Тх■ Полагаем тогда, что множество X е Р (Xх) оснащено топологией , индуцированной топологией Тихонова ®т (Тх) на произведении г т X. Аналогично, используя Т^ , вводим на множестве Xп топологию Тихонова Т^п : Т^п = ®п(т^ ).
2. Основные результаты
Лемма 1. Пусть Тх — Т2 -топология, в е Р(Х)п и для всякого ш е П значение в(ш) не пусто и компактно в (X, т^). Тогда при любом Н С П множество п°н[в] компактно в (Xп, т^п).
Доказательство. Выберем и зафиксируем в Е Р'(X)п, удовлетворяющее условиям леммы. Выберем произвольно Н С П.
1. По теореме Тихонова [7, Теорема 3.2.4] в силу непустоты и компактности в(ш) при любом ш Е П множество Пп в(ш) компактно в (Xп, ). Таким образом, с учетом (4) для доказательства утверждения достаточно установить замкнутость множества и°н в (Xп, п). С этой целью покажем, что множество Xп \ и°н открыто в пространстве
X).
2. Если Xп = и°н, то утверждение очевидно. Пусть а Е Xп \ пН. Тогда существуют ш1,ш2 Е П и А Е Р'(Т) такие, что
(А Е Г)&(шг,ш2 Е Н)&(Ш | А) = (ш2 | А))&((а(шг) | А) = (а(ш2) | А)). (5)
Обозначим для краткости к1 = а(ш\), к2 = а(ш2). Так как (к1 | А) = (к2 | А), к1,к2 Е X существует £ Е А такой, что к1(£) = к2(£). Тогда, так как (X, тх) есть Т2 -пространство, существуют 0х1,0х2 Е тх такие, что к1(£) Е 0х 1, к2(£) Е 0Х2 и
Ох 1 П Ох2 = 0- (6)
Определим множества 021,022 Е Р^) вида
О= [к Е X | к(£) Е 0х1}, 022 = [к Е X | к(£) Е 0х2}. (7)
Из определений следует, что 021,022 Е Т2, Ь,1 Е 021, к2 Е 022■ Определим теперь множество 02п Е п) вида
02п = [5 Е Xй | (5(Ш1) Е 021)&(5(Ш2) Е 022)}. (8)
Заметим, что из к1 = к2 следует неравенство ш1 = ш2, а значит определение (8) корректно. По построению имеем
а Е 02п Е т2п. (9)
Проверим, что кроме того выполняется равенство 02п П пН — 0. Предположим противное: нашлось 7 Е 02п такое, что
7 Е пН. (10)
Из включения 7 Е 02п получаем (см. (8)) 7(Ш1) Е 021, 7(ш2) Е 022. Следовательно (см. (7)), выполнены включения 7(ш1)(£) Е 0х1, 7(ш2)(£) Е 0х2. Значит (см. (6)), выполняется неравенство 7(ш1)(£) = 7(ш2)(£), из которого в силу £ Е А следует неравенство (^(ш1) | А) = (^(ш2) | А), противоречащее (10). В самом деле, по выбору ш1, ш2 имеем (см. (5)) ш1,ш2 Е Н и Ш | А) = (ш2 | А), а тогда из (10) должно следовать (см. (3)) равенство (7(ш1) | А) = (^(ш2) | А). Итак, выполняется 02п П пН = 0 и, следовательно (см. (9)), в силу произвольного выбора а множество Xп \ пН является открытым в (Xй, Т2п).
Таким образом, установлено, что множество пН замкнуто в (Xй, Т2п). Этим завершается доказательство.
Теорема 1. Пусть Тх — Т2 -топология, Т — цепь в ЧУМ (Р(Т), с). Пусть а Е N таково, что для всякого ш Е П значение а(ш) не пусто и компактно в , Тг). Тогда пП[а] — непустой компакт в ^п, Тг«).
Теорема, в частности, утверждает (см. (3), (4)), что всякое МО, удовлетворяющее указанным требованиям, обладает (однозначным) неупреждающим селектором.
Доказательство. Выберем и зафиксируем а Е N, удовлетворяющее условиям леммы. Определим семейство На Е Р'(Р'(П)) в виде На = {Н Е Р(П) \ п°н[а] = 0}. Отметим, что это семейство не пусто, так как синглетоны П, очевидно, содержатся в нем. Схема доказательства утверждения следующая: сначала мы покажем, пользуясь леммой Цорна, что в На существует максимальный элемент, а затем убедимся, что он совпадает с П.
1. Пусть (Н8)зез некоторая цепь в ЧУМ (На, с). Положим Н = и3^Н3 и проверим, что Н Е На. Из условий, наложенных на а, следует, что при всяком в Е Б для а и Н3 выполняются условия леммы 1. Следовательно, при всяком в Е Б множество п°нд [а] компактно в пространстве ^п, Тг«). Из хаусдорфовости топологии Тх и определения топологии следует, что Т^« есть Т2 топология и, следовательно, всякое компактное в ^п, Тг«) множество замкнуто. То есть (Н3)3^ — семейство замкнутых множеств в (^п, Тг«). Кроме того, так как (Н3)3^ — цепь, то (см. (4)) семейство (пНз [а])3^, также образует цепь в ЧУМ (Р'(^п), с). В частности, это семейство центрировано. В силу теоремы Тихонова [7, Теорема 3.2.4] из непустоты и компактности а(ш) при любом ш Е П следует компактность в пространстве (Zn, Тг«) множества пш6п а(ш), содержащего (см. (4)) все множества семейства (пНз[а])3^. Следовательно, пНе [а] = 0
Покажем ш1,ш2 Е Н и
содержащего (см. (4)) все множества семейства (п0
Покажем, что П^пНз[а] С пН[а], то есть Н Е На. Пусть в Е П^пНз[а], А ЕТ,
(Ш1 \ А) = (Ш2 \ А). (11)
Так как Н есть объединение элементов цепи (H3)3&s, найдется индекс в Е Б такой, что ш1,ш2 Е Н3. Из выбора в имеем соотношения
в Ер| п0нз [а] С пНДа].
0
Из (11), (4) и последнего выражения получаем (в(ш1) \ А) = (в (ш2) \ А) .С учетом произвольного выбора ш1, ш2 имеем (см. (4)) в Е пН[а]. Так как в выбиралась произвольно, получим вложение П3е^ пН3 [а] С па[Н], а значит и включение Н Е На. Принимая во внимание вложения Н3 С Н, очевидно, справедливые при всех в Е Б, заключаем, что Н есть верхняя грань (Н3)3^ в ЧУМ (На, с). Так как цепь (H3)3&s выбиралась произвольно, мы можем воспользоваться леммой Цорна: обозначим Н произвольно выбранный максимальный элемент в ЧУМ (На, с).
2. Покажем, что Н = П. Предположим противное: существует ш Е П \Н. Положим
А = {В ЕТ\Зш Е Н : (ш \ В) = (ш \ В)}.
(12)
Возможны два взаимоисключающих случая:
a. А = 0
b. А = 0
Выберем произвольно в Е пН^[а] и покажем, что в каждом из этих случаев, изменив значение функции в разве что для аргумента Ш, можно получить новую функцию [3, удовлетворяющую включению
33 Е }Н (13)
которое означает, что Н и {Ш} Е На и, следовательно, противоречит свойству максимальности элемента Н в ЧУМ (На, С).
Случай а. Так как в этом случае посылка условия неупреждаемости (см. (2)) выполняется лишь когда ш1,ш2 Е Н или ш1 = ш2 = Ш, то уже сама функция в, очевидно, удовлетворяет включению (13).
Случай Ъ. Напомним, что по условию теоремы Т — цепь в ЧУМ (Р(Т), С). Следовательно, всякое подсемейство из Т также есть цепь в ЧУМ (Р(Т), С).
Определим отображение [£в}б€А Е а(ш)А следующим образом:
— для всякого В Е А выберем (см. (12)) произвольно шв Е Н, удовлетворяющую (шв | В) = (Ш | В) ;
— в силу условия неупреждаемости (см. (1)) имеем равенство (а(ш) | В)= (а(шв) | В); кроме того, по выбору [3 выполняется включение в(шв) Е а(шв); значит, пользуясь аксомой выбора, можно назначить £в Е X, удовлетворяющий требованию
(£в Е а(ш))&((£в | В) = ([(шв ) | В)) У В Е А. (14)
Итак, для всякого В Е А мы определили £в Е а(ш). Напомним, что как подсемейство цепи Т, семейство А образует цепь в ЧУМ (Р(Т), С). Таким образом, отображение [£в}вел можно рассматривать как направленность, определенную на А со значениями в (ш) . По условию теоремы (ш) — компактное множество в топологическом пространстве (X, Т2), следовательно, существует предельная точка £ Е а(ш) направленности [£в}в&А: для любых В Е А, 0 Е т2, 3 Е 0 найдется В' Е А такое, что
(В С В')&(£в' Е 0). (15)
Используя элемент 3, переопределим функцию [3:
[(() «С = Ш, ( Е П (1б)
С = ш,
Так как ш Е Н функция [ наследует (см. (16)) неупреждаемость [3 на множестве Н:
3 Е п%[а]. (17)
Воспользуемся этим и проверим неупреждаемость в на множестве Н и [ш}.
Выберем произвольно и зафиксируем СъС2 Е Н и {ш} и Е Е Т, для которых выполняется равенство
«1 | Е) = ((2 | Е). (18)
Опустим для краткости два простейших (с учетом (17)) случая (£1 ,(2 Е Н или £1 = (2 = ш) и рассмотрим один с точностью до обозначений оставшийся вариант:
«1 Е Я)&(<2 = ш). (19)
Из (18), (19) вытекает
«1 \ Е) = (ш \ Е) (20)
и по определению А (см. (12)) имеем включение Е Е А.
Покажем, что для всякого Ь Е Е направленность {£б(¿)}вел стационарна не позже (в смысле порядка на ЧУМ (Р(Т), с)), чем с элемента £е(Ь). В самом деле, пусть Г Е А и Е с Г. Тогда в силу определений для элементов ше ,шр Е Н верны равенства (ш \ Е) = (шЕ \ Е), (шр \ Г) = (ш \ Г) и, стало быть, равенство
(шр \ Е) = (ше \ Е). (21)
Из (14), (17) и (21) получаем
(£р \ Е) = (в(шр) \ Е) = (в(ше) \ Е) = (£е \ Е).
Ввиду произвольного выбора Г отсюда следует
£р (Ь) = £е (Ь) УЬ Е Е, У Г Е А, Е с Г. (22)
По определению топология Тг задает поточечную сходимость элементов Z, то есть для всякой предельной точки £ направленности {£б}веА в (Z, Тг) и любого Ь Е Т значение £(Ь) определяется как предельная точка направленности {£б(¿)}вел в (X,Тх). Тогда из (15), (22) и хаусдорфовости топологии Тх следует, что для всякой предельной точки £ направленности {£б }веА выполняется
£(ь) = £е(Ь) УЬ Е Е, (23)
в частности, для £ из (23) получим
(£ \ Е) = (£е \ Е). (24)
Из (16), (17), (20) и (1,ше Е Н имеем
(в(6) \ Е) = (в«1) \ Е) = (в(ше) \ Е). (25)
Тогда из (25), (14), (24), (14) и (19) получаем, соответственно, равенства
(£«1) \ Е) = (в(ше) \ Е) = (£е \ Е) = (| \ Е) = (в(Н) \ Е) = (в(&) \ Е). (26)
Итак (см. (18), (26)), имеем импликацию
((С1 \ Е) = (С2 \ Е)) ^ ((в(С1) \ Е) = (в(С2) \ Е)).
Так как множество Е и элементы £1, (2 выбирались произвольно, установлено включение (13). И, значит, Н и {Н} Е На.
Мы показали, что предположение Н = П влечет противоречие с максимальностью Н в ЧУМ (На, с), то есть имеет место другая альтернатива: Н = П. Значит, П Е На, иными словами, пП[а] = 0. Компактность множества пП[а] в ^п, Тг«) сразу следует из леммы 1. Доказательство завершено.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Roxin E. Axiomatic approach in differential games // Journal of Optimization Theory and Applications. 1969. Vol. 3. № 3. P. 153-163.
2. Ryll-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion // Advances in Game Theory. Princeton: Princeton University Press, 1964. 691 p.
3. Varaiya P., Lin J. Existence of saddle points in differential games // SIAM Journal on Control. 1969. Vol. 7. № 1. P. 141-157.
4. Elliott R.J., Kalton N.J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion // Journal of Differential Equations. 1972. Vol. 12. № 3. P. 504-523.
5. Ченцов А.Г. Об игровой задаче на минимакс функционала // Доклады Академии наук СССР. 1976. Т. 230. № 5. С. 1047-1050.
6. Ченцов Л.Г. Селекторы многозначных квазистратегий в дифференциальных играх. Свердловск, 1978. 22 с. Деп. в ВИНИТИ, № 3101-78.
7. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.
Поступила в редакцию 18 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 21 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г. Конфликт интересов отсутствует.
Серков Дмитрий Александрович, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела динамических систем; Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, профессор кафедры вычислительных методов и уравнений математической физики, e-mail: [email protected]
Ченцов Александр Георгиевич, Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, член-корреспондент РАН, главный научный сотрудник отдела управляемых систем; Институт радиоэлектроники и информационных технологий, Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина, г. Екатеринбург, Российская Федерация, профессор кафедры вычислительных методов и уравнений математической физики, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Серков Д.А., Ченцов А.Г. О существовании неупреждающего селектора неупреждающего многозначного отображения // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 717-725. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-717-725
724
,H. A. CepKOB. A. R MemioB
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-717-725
ON THE EXISTENCE OF A NON-ANTICIPAT IN G SELECTION OF NON-ANTICIPATING MULTIVALUED MAPPING
D. A. Serkov1-2), A. G. Chentsov1'2)
1! Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch, Russian Academy of Sciences, 16, S. Kovalevskoy St., Yekaterinburg 620219. Russian Federaton Ural Federal University named after B.N. Eltsin, 19, Mira St., Yekaterinburg 620002, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. The existence of a non-anticipating selection of a non-anticipating multifunction is considered. For the case ordinary used in applications, it is shown that every non-anticipating multifunction with non-empty compact values has a non-anticipating selection.
Keywords: non-anticipating multifunction; non-anticipating selection
REFERENCES
1. Roxin E. Axiomatic approach in differential games. Journal of Optimization Theory and Applications, 1969. vol. 3, no. 3, pp. 153-163.
2. Ryll-Nardzewski C. A theory of pursuit and evasion. Advances in Game Theory. Princeton, Princeton University Press, 1964, 691 p.
3. Varaiya P., Lin J. Existence of saddle points in differential games. SI AM Journal on Control, 1969, vol. 7, no. 1, pp. 141-157.
4. Elliott R.J., Kalton N.J. The existence of value in differential games of pursuit and evasion. Journal of Differential Equations, 1972, vol. 12, no. 3, pp. 504-523.
5. Chentsov A.G. Ob igrovoy zadache na minimaks funktsionala [On the game problem on minim ax of a functional). Doklady Akademii nauk SSSR - Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1976, vol. 230, no. 5, pp. 1047-1050. (In Russian).
6. Chentsov A.G. Selektory mnogoznachnykh kvazistrategiy v differentsial'nykh igrakh [Selections of Multivalued Strategies in Differential Games]. Sverdlovsk, 1978, 22 p. (In Russian).
7. Engelking R. General Topology. Warszawa, PWN, 1985, 752 p.
Received 18 Aprl 2018
Reviewed 21 May 2018
Accepted for press 26 June 2018
There is no conflict of interests.
The work is supported by the Russian Fund for Basic Research (project № 18-01-00410).
Serkov Dmitrii Aleksandrovich, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, the Russian Federtion, Doctor of Physics and Mathematics, Leading Researcher, ; Institute of Radioelectronics and Information Technologies of Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Yekaterinburg, the Russian Federation, Professor, e-mail: [email protected]
Chentsov Aleksandr Georgievich, N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, the Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Corresponding Member of RAS, Chief Researcher; Institute of Radioelectronics and Information Technologies of Ural Federal University named after the first President of Russia B.N. Yeltsin, Yekaterinburg, the Russian Federation, Professor, e-mail: [email protected]
For citation: Serkov D.A., Chentsov A.G. O sushchestvovanii neuprezhdayushchego selektora neuprezhdayushchego mnogoznachnogo otobrazheniya [On the existence of a non-anticipating selection of non-anticipating multivalued mapping]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 717-725. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-717-725 (In Russian, Abstr. in Engl.).
