О существовании граничных значений у решений эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.223

О СУЩЕСТВОВАНИИ ГРАНИЧНЫХ ЗНАЧЕНИЙ У РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В. П. Михайлов

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН,

Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8.

E-mail: [email protected]

Приведён некоторый обзор результатов, связанных с существованием граничных значений у решений эллиптических уравнений.

Ключевые слова: эллиптические уравнения, классические и обобщённые решения, предельные значения на границе, теоремы существования.

Пусть Q — некоторая область в R™, п ^ 2, а функция и(х) € C2m(Q) и является в Q классическим решением линейного эллиптического уравнения

Lu = f(x), xeQ, (1)

порядка 2т ^ 2. Для простоты будем считать функцию и(х) и коэффициенты уравнения (1) вещественнозначными функциями. Возникает вопрос: не является ли функция и(х) не только решением в Q уравнения (1), но и решением некоторой краевой задачи для этого уравнения (граничные условия при этом тоже естественно считать линейными и с вещественными коэффициентами). А для ответа на этот вопрос следует прежде всего выяснить, существуют ли в каком-то смысле понимаемые пределы соответствующих линейных комбинаций взятого решения и его производных при приближении к границе области и имеет ли место утверждение о единственности соответствующим образом понимаемой краевой задачи. Конечно, аналогичные вопросы возникают не только для классических решений уравнения (1), но и для обобщенных (например, из W™) решений этого уравнения.

Под предельным значением на границе мы будем понимать Lp-предельные значения, р ^ 1. А это для случая ограниченной области Q с границей dQ класса С2 означает следующее. Обозначим через г(х) расстояние от точки ж € Г до границы dQ:

r(x) = min \х — у\.

y&dQ

Существует столь малое ёо, что для всех ё € (0, <$о] подмножество Qg = = Qn{r(x) >5} точек х области Q, отстоящих от границы dQ на расстоянии большем, чем ё, является областью с границей dQ$. При этом можно считать, что при произвольном ё € (0, <$о] для любой точки xq € dQ существует единственная точка xs поверхности dQs, отстоящая от точки xq на расстояние, равное ё, \хо — х$\ = ё,

Xs=xs(xо) = х0 - ёи(х0), (2)

Валентин Петрович Михайлов (д.ф.-м.н., проф.), ведущий научный сотрудник, отдел математической физики.

где 1у(хо) — вектор внешней по отношению к области <5 единичной нормали к дС2 в точке Хо. Соответствие (2) точек хо € дС} и х& € дС,)$ есть взаимно однозначное отображение класса С1 поверхности дС} на поверхность дС,)$, причём обратное к (2) отображение задаётся формулой

Хо = х& + 5щ{х&), (2')

где щ(х$) — вектор внешней по отношению к единичной нормали к поверхности дС,)$ в точке х&. Заметим, что щ(х$) = и(хо) при хо € дС2, х$ € дС,)$, \х0 — х&\ =5.

Это построение для случая шара С} = {|ж| < 1} приводит к шару = = {|ж| < 1 — 5}, для полупространства С} = {(х\, Х2 ■ ■ ■, хп-\) = х' € Мга_1, хп > 0} аналогичное построение приводит к полупространству €,)$ = {(V € К™-1, хп > 5}, а для полосы С} = \х' £ Мга_1,0 < хп < 1} при 5 € (0,1/2) — к полосе = {%' € К™-1,5 < хп < 1 — 5}.

Пусть в области С} задана функция II (х) € С(С}) (или II (х) € И^1^), р ^ 1, в любой области С,)', содержащейся в С,) вместе с замыканием). Будем говорить, что функция и(х) имеет Ьр-предел на дС,), если существует такая функция Н(х) € Ьр(дС{)) (Ьр-иредел на дС} функции 11(х)), что имеет место равенство

1ш1 \\и(хб(х0)) - Нх0)\\Ьр(дС1) = 0.

Большая часть результатов, о которых пойдёт речь в настоящей работе,

уже опубликована в работах А. К. Гущина и моих [1-10], при этом рассматри-

вается лишь самый простой случай, когда р = 2; значительно более сложный случай, когда р ф 2, рассматривается А. К. Гущиным [11].

Пусть сначала уравнение (1) является уравнением второго порядка

п гг

- ^2 {а^{х)иХ1)х. + ^(н{х)иХ1 + а{х)и = /(ж), х е(^>, (3)

i,j=l г=1

где а^(х) = aji{x) € С1(0), = 1,2,..., гг, а(х) € С {О), а функция /(ж) при

рассмотрении классического решения (и(х) € С2 (О:)) принадлежит С {С2) и при некотором 9 < 3 выполняется неравенство

[ /2(х)гв(х)с1х < оо. (4)

■>с>

От функции /(ж) будем требовать её измеримость в С} м выполнение при некотором в < 3 неравенства (4), если нас интересует обобщённое из решение и(х) уравнения (3), то есть, если функция и(х) принадлежит Ил21(<5/) в любой области С}', С}' £ С}, ж удовлетворяет при любой финитной в С} функции г>(ж) € Ил21(<5) равенству

Как для классического, так и для обобщённого решения и(х) уравнения (3) введём непрерывную по ё € (0, ёо] функцию

М(ё) = [ и2(х)с13х.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1. Для того чтобы классическое или обобщенное из И^1 решение и(х) уравнения (3) имело Ь2-предел на границе дС,), необходимо и достаточно, чтобы функция М(ё) была ограниченной:

вир М(ё) = вир / и2(х)с13х < оо. (5)

ЕҐОЛіІ йеГО.йп] JдQя

<5е(0,<50] <5е(0,<50]

Теорема 2. Для того чтобы классическое или обобщенное из Ил21 решение и(х) уравнения (3) имело Ь2-предел на границе дС,), необходимо и достаточно, чтобы функция \Чи\2г(х) была интегрируемой по С}:

/ \Чи\2г(х)с1х < оо. (6)

Для аналитической функции одного комплексного переменного в круге (а следовательно, и для двумерной гармонической функции в круге) теорема 1 была установлена Ф.Риссом [12], а теорема 2 — Дж. Литтлвудом и Р. Пэли [13], см. также [14-16].

Условие (4) на правую часть /(х) уравнения (3) существенно для справедливости этих утверждений. Для случая, когда С} есть шар в М™, <3 = {|ж| < 1} функция

8|ж|2 1п(1 — |ж|2) 8|ж|2 (1 — 1п2(1 — |ж|2))

(1 — |ж|2)2(1 + 1п2(1 — |ж|2)) (1 — |ж|2)(1 + 1п2(1 — |ж|2))2

4п1п(1 — |ж|2)

(1 — |ж|2)(1 + 1п2(1 — |ж|2)) ’ ’

принадлежит С°°(\х\ < 1), для любого в < 3

/ /о {х)гв(х)с1х = / /о (ж)(1 — \х\)в(1х = оо, JQ ■) Ы<1

/<3 J\X\<l

но несмотря на то, что

/ /о(ж)г3(ж)с?ж = / /о (ж)(1 — \х\)3с1х < оо,

■)с> ^\х\<1

уравнение

А и = /о (ж), |ж| < 1,

не имеет ни классических, ни обобщённых решений (все такие решения принадлежат С°°{\х\ < 1)), у которых существует £2-предел на граничной сфере {|ж| = 1}.

Утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, справедливы для гармонических функций в простейших областях и для случаев более общих граничных операторов. В частности, имеют место следующие предложения.

Теорема 3. Пусть и(х) —гармоническая в шаре {|ж| < 1} функция. Для существования Ь2-предела на границе функции

ди . - .

7-—г + IIU = (VU, V) + UU, Ж < 1,

д\х\

где вектор v = ж/|ж|, \v\ = 1, а ц — постоянная, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

f / ди \2

sup / ( )dSx< оо,

<5е(0,<50] J\x\ = l-S^9\x\J

которое эквивалентно условию

Теорема 4. Пусть и(ж) — функция, гармоническая в полупространстве {{х\, Ж2, • • •, хп-\) = х' € Мга_1, хп > 0}. Для существования Ь2-предела на границе {х' € Жа~1,хп = 0} функции

ди ,

+ /ли, х ем , хп > 0,

дхп

где ц, — постоянная, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

1хп> О

которое эквивалентно условию

/ \Vu,Xn\2xndx < оо, Jxn> 0

SUP / ( м— ) dx1 < оо

—А V (JXrt '

й€(0,<5о] Jхп=& 9хп

Для случая, когда порядок 2т уравнения (1) больше, чем 2 (2т > 2), результаты более скромные. Прежде всего, областями, в которых изучаются решения, здесь являются либо шар, либо полупространство (или полоса) в М”, да и уравнения рассмотрены весьма частного вида. Это полигармоническое уравнение в шаре:

Ати = 0, |ж| < 1. (7)

В п-мерной полосе П = {ж' € Мга_1,0 < хп < 1} рассмотрено метагармониче-ское уравнение

С(А)и = 0, ж € П, (8)

в котором функция G(z) является многочленом степени m ^ 1, G(z) = ао + + a\Z + • • • + amzm, где ао, а\, ..., am — постоянные, а в двумерной полосе П7 = {х\ € М1, 0 < Х2 < 1} уравнение

-гт ( д д \ms / д - д \ms ,

П(а^ + А-л;) (а^ + Л>&7) “ = °- * = (*1.^)6П, (9)

8=1

в котором As — попарно различные комплексные числа, Im As > 0; ms ^ 1 — целые числа, т\ + m2 + • • • + rrik = т ^ 1; s = 1,2,..., к.

Для решения и(х) уравнения (7) при т = 1 (для гармонических функций) имеют место теоремы 1 и 2, но при т > 1 ни одно из этих утверждений места не имеет. Условие Ьг-ограниченности (5), конечно, является необходимым для существования Ьг-предела решения и при т > 1, но достаточным условием при т > 1 оно не является. Вот соответствующий пример в двумерном (п = 2) случае.

Функция

СО

uq{x 1, Ж2) = uq(t cos (р, т sin Lp) = (1 — г2) ^ akrk COS kip, \х\ = г < 1,

к= 1

при ак = у/к, к ^ 1, является бигармонической в круге {|ж| < 1}, условие Ьг-ограниченности (5) для неё выполнено, но Ьг-предела на окружности {|ж| = 1} она не имеет.

Что же касается условия (6) теоремы 2, то для существования Ьг-предела на границе у решения уравнения (7) в случае m > 1 это условие, напротив, не является необходимым, но является достаточным. Пример того, что это условие не является необходимым, доставляет (при п = 2) функция uq(Ж1,Жг) при ак = \Jk/\n(k + 1), к ^ 1. В этом случае эта функция, конечно, тоже является бигармонической в круге {|ж| < 1}, имеет нулевой 1у2-предел на граничной окружности {|ж| = 1}, но условие (6) для неё не выполняется:

/ |V-uo|2(l — \x\)dx = 00.

J |ж| < 1

Достаточность условия (6) для существования Ьг-иредела на границе решения уравнения (7) при любом m ^ 1 содержится в следующей теореме.

Теорема 5. Если решение и(ж) уравнения (7) удовлетворяет условию (6), то оно имеет Ь2-предел на границе.

Доказательство теоремы 5 вытекает из следующих далее (теоремы 6 и 7) необходимых и достаточных условий существования Ьг-пределов на границе у решений уравнения (7). Теоремы 6 и 7 (а следовательно, и теорема 5) справедливы при любой размерности п ^ 2. Однако мы, чтобы не загромождать изложения, ограничимся формулировкой теорем 6 и 7 только в двумерном случае. Дело в том, что в формулировке (конечно, и в доказательстве) этих утверждений существенную роль играет громоздкое разложение в ряды Фурье по сферическим функциям, которое при п = 2 является разложением в обычные ряды Фурье по тригонометрическим функциям углового переменного.

Итак, пусть п = 2 и пусть и(х) = и(х 1,^2) = и(г сое <р, г вт <р) = и(г,<р), 0^г<1,0^(/?^27г, есть решение уравнения (7).

В пространстве £2(0, 27т) рассмотрим при любом целом N ^ 1 проекционный оператор Р/У) действующий на произвольную принадлежащую £2(0, 27т) функцию

Можно проверить, что для всех Н € К1 и всех /(<£>) € 1у2(0, 27т) имеет место неравенство

(рассматриваемый же в L2(0,27r) этот оператор, будучи ограниченным для каждого h Є (0,1), не является ограниченным в совокупности по Л, Є (0,1): его норма в этом случае неограниченно возрастает при h —ї 0).

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 6. Пусть и(х), \х\ < 1 —решение уравнения (7) (при п = 2 и(х) = и(х\,Х2) = u(r cos ip, г sin <р) = и(г,р)). Для существования L2-предела на границе функции и(х) необходимо и достаточно, чтобы эта функция удовлетворяла условию (5), то есть была Ь2-ограниченной, и удовлетворяла условию

Теорема 7. Пусть и(х), \х\ < 1 —решение уравнения (7) (при п = 2 и(х) = и(х\,Х2) = u(r cos (р, г sin<р) = и(г,(р)). Для существования L2-предела

f(<fi) = у + ^2(ak cos kip + bk sin kip)

k=1

следующим образом:

2 N

шлт = £ (afc cos k<p + bk sin kip), \\Pn/\\ь2(о,27г) < ІІ/Ік2(о,27г)-

k=N

Аналогично, в пространстве \¥2 1 (0, 27т), которое можно рассматривать как множество обобщённых функций

f(v) = у + ^ (afc cos kip + bk sin kip),

k= 1

полученное В результате пополнения 1^(0, 27г) по норме

рассмотрим при любом h ф 0 оператор

f(ip + h) -2 f(ip) + f(ip-h) 2h

lim sup||Pwu(r, • )||l2(o,27t) =0. TV—)>00 r<i

на границе функции и(х) необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию (5), то есть была Ь2-ограниченной, и удовлетворяла условию

Для решений уравнения (8) (и уравнения (9)) в полосе П справедливы теоремы, аналогичные теоремам 6 и 7.

Обозначим через Р/у при произвольном N > 0 проекционный оператор в пространстве действующий по следующему правилу. Для любой

функции /(ж') = /(жі,ж2,... ,хп-і) Є РгО^"-1), преобразование Фурье которой

где оператор (м есть оператор умножения на характеристическую функцию множества {ІУ < |£'| < 2ІУ}:

Определим ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОГО (П — 1)-МЄрНОГО ВеКТОра Л/ = (ІІ\, ІІ2, ■ ■ ■, Кп-\),

\Н\ /0, оператор

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 8. Для того чтобы решение и(х) уравнения (8) имело Ь2-предел на границе, необходимо и достаточно, чтобы оно было Ь2-ограниченным

lim sup \\Thu(r, • )llw-i(0 2.) = °-

/і—О Г<1 2 V > >

функция (Р/у/)(ж;) определяется следующим образом:

то есть

Pn = F-'CnF,

(Th'f)(x')

f(x' + hr) — 2 f(x') + f(x' — h')

W\

Можно проверить, ЧТО ДЛЯ всех N Є М™ 1 И всех / Є р2(^га *)

ІІ-^і'/ІІИ'2_1(Мп_1) ^ 11/11ь2(Кп_1)-

и чтобы выполнялось условие

lim sup \\PNu( • ,Жп)||ь2(К"-1) = О-

N-> oo0<Xn^So

Теорема 9. Для того чтобы решение и(х) уравнения (8) имело Ь2-предел на границе, необходимо и достаточно, чтобы оно было Ь2-ограниченным

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 01-01-00988-а) и гранта президента РФ для поддержки ведущих научных школ (HHI-1542.2003.1).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. В. 77. Михайлов, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка” // Диффер. уравн., 1976. Т. 12, №10. С. 1877-1891. [V. P. Mikhailov, “The Dirichlet problem for a second order elliptic equation” // Differ. Uravn., 1976. Vol. 12, no. 10. Pp. 1877-1891].

2. B. 77. Михайлов, “О граничных значениях решений эллиптических уравнений второго порядка”// Матем. сб., 1976. Т. 100(142), №1(5). С. 5-13; англ. пер.: V. P. Mikhailov, “On the boundary values of solutions of second-order elliptic equations” // Math. USSR-Sb., 1976. Vol. 29, no. 1. Pp. 3-11.

3. А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка” // Матем. сб., 1988. Т. 137(179), №1(9). С. 19-64; англ. пер.: А. К. Gushchin, “On the Dirichlet problem for a second-order elliptic equation”// Math. USSR-Sb., 1990. Vol. 65, no. 1. Pp. 19-66.

4. А. К. Гущин, В. 77. Михайлов, “О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения”// Матем. сб., 1995. Т. 186, №2. С. 37-58; англ. пер.: А. К. Gushchin, V. P. Mikhailov, “On the continuity of the solutions of a class of non-local problems for an elliptic equation” // Sb. Math., 1995. Vol. 186, no. 2. Pp. 197-219.

5. А. К. Гущин, В. 77. Михайлов, “О существовании граничных значений у решений эллиптических уравнений” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия, 2008. №8/1(67). С. 61-75. [А К. Gushchin, V. P. Mikhailov, “On the existence of boundary values of solutions of elliptic equations” // Vestn. SamGU. Yestestvennonauchnaya seriya, 2008. no. 8/1(67). Pp. 61-75].

6. А. К. Гущин, В. 77. Михайлов, “Внутренние оценки обобщенных решений эллиптического уравнения второго порядка” // Вестн. СамГУ. Естественнонаучная серия, 2008. №8/1(67). С. 76-94. [А К. Gushchin, V. P. Mikhailov, “Internal estimates of general solutions of second order elliptic equation” // Vestn. SamGU. Yestestvennonauchnaya seriya, 2008. no. 8/1(67). Pp. 76-94].

7. А. К. Гущин, В. 77. Михайлов, “О существовании граничных значений решений эллиптического уравнения”// Матем. сб., 1991. Т. 182, №6. С. 787-810; англ. пер.: А. К. Gushchin, V. P. Mikhailov, “On the existence of boundary values of solutions of an elliptic equation” // Math. USSR-Sb., 1992. Vol. 73, no. 1. Pp. 171-194.

8. А. К. Гущин, В. 77. Михайлов, “О граничных значениях в Lp, р > 1, решений эллиптических уравнений”// Матем. сб., 1979. Т. 108(150), №1. С. 3-21; англ. пер.: А. К. Gushchin, V. P. Mikhailov, “On boundary values in Lp, p > 1, of solutions of elliptic equations” // Math. USSR-Sb., 1980. Vol. 36, no. 1. Pp. 1-19.

и чтобы выполнялось условие

|/г/|—s-0 o<iKn^<So

lim sup \\Th,u(-,xn)\\w-i(Rn-1)=0.

h/\—^On/-v. ^2 v )

9. В. 77. Михайлов, “Об одном достаточном условии существования предельных значений полигармонических функций на границе области” / В сб.: Дифференциальные уравнения и их приложения: Труды второго Международного семинара. Самара, 1998. С. 115-121. [V. P. Mikhailov, “On one sufficient condition of the existence of limit values of polyharmonics functions on the boundary” / In: Differential equations and their applications: Proceedings of the Second International Seminar. Samara, 1998. Pp. 115-121].

10. B. 77. Михайлов, “О существовании граничных значений у метагармонических функций”// Машем, сб., 1999. Т. 190, №10. С. 17-48; англ. пер.: V. P. Mikhailov, “Existence of boundary values for metaharmonic functions” // Sb. Math., 1999. Vol. 190, no. 10. Pp. 1417-1448.

11. А. К. Рущин, “Lp-оценки некасательной максимальной функции для решений эллиптического уравнения второго порядка”// Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ,-мат. науки, 2013. №1(30). С. 53-69. [А К. Gushchin, “Lp-estimates of the nontangential maximal function for solutions a second-order elliptic equation” // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2013. no. 1(30). Pp. 53-69].

12. F. Riesz, “Uber die Randwerte einer analytischen Funktion”// Math. Z., 1923. Vol. 18. Pp. 87-95.

13. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier Series and Power Series” //

J. London Math. Soc., 1931. Vol. 6, no. 3. Pp. 230-233.

14. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier Series and Power Series (II)” // Proc. London Math. Soc., 1937. Vol. 42, no. 1. Pp. 52-89.

15. J. E. Littlewood, R. E. A. C. Paley, “Theorems on Fourier Series and Power Series (III)” //

Proc. London Math. Soc., 1938. Vol. 43, no. 2. Pp. 105-126.

16. J. Marcinkiewicz, A. Zygmund, “A theorem of Lusin. Part I” // Duke Math. J., 1938. Vol. 4,

no. 3. Pp. 473-485.

Поступила в редакцию 25/X/2012; в окончательном варианте — 17/1/2013.

MSC: 35J67; 35J25, 35B30, 35B45

ON THE EXISTENCE OF BOUNDARY VALUES OF SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS

V. P. Mikhailov

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences,

8, Gubkina St., Moscow, 119991, Russia.

E-mail: [email protected]

In the paper we show a survey of results related to the existence of boundary values of solutions of elliptic equations.

Key words: elliptic equations, classical and generalized solutions, limits of boundary values, existence theorems.

Original article submitted 25/X/2012; revision submitted 17/1/2013.

Valentin P. Mikhailov (Dr. Sci. (Phys. & Math.)), Leading Researcher, Dept, of Mathematical Physics.